Brechung und Linsen (BLI)

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1 Brechung und Linsen (BLI) Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München rundpraktika (25. JANUAR 27) MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE Die geometrische Optik beschreibt die Ausbreitung des Lichts unter Vernachlässigung seiner Wellennatur, d.h. in Form von Lichtstrahlen. Voraussetzung für die Anwendung der geometrischen Optik ist, dass die optischen Elemente (Linsen oder Spiegel) groß im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts sind. Dann ändern diese Elemente allein die Ausbreitungsrichtung des Lichts. Das grundlegende Phänomen dabei ist das der Lichtbrechung, welches als erstes in diesem Versuch untersucht wird. Linsen sind die rundbausteine vieler optischer Instrumente, z.b. Lupe, Mikroskop oder Fotoapparat. Im Versuch wird die Brennweite von verschiedenen Linsen in Luft bestimmt, sowie die sphärische Aberration und der Astigmatismus. Im letzten Teilversuch wird der Abbildungsvorgang in einem optischen Wannenmodell des menschlichen Auges untersucht. Teilversuche/Stichwortliste 1. Lichtwellen, Versuchsaufbau. Licht als elektromagnetische, transversale Welle. Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und in einem Medium. Brechungsindex. Beschreibung der Apparatur zur Messung von Lichtreflexion und -brechung. Einfallslot, Reflexions- und Brechungsgesetz. 2. Optische Linsen, Abbildung I. Hauptebene. Optische Achse, Brennpunkt, -ebene und -weite. Bildkonstruktion bei Sammel- und Zerstreuungslinse, reelles bzw. virtuelles Bild. Abbildungsmaßstab und -gleichung. 3. Abbildung II, sphärische renzfläche. Verkleinerte und vergrößerte Abbildung, experimentelle Bestimmung der Brennweite. Brechkraft: Definition, Einheit, esamtbrechkraft eines Linsensystems. ln. (11), (12) ohne Herleitung: Brechkraft einer sphärischen Fläche zwischen zwei Medien in Abhängigkeit vom Krümmungsradius. Brechkraft einer Linse zwischen zwei Medien. 4. Auge, Linsenfehler. Optischer Aufbau des menschlichen Auges. Würde ohne die Augenlinse eine Abbildung zustandekommen? Augenmodell. Sphärische Aberration: Entstehung (Skizze), experimentelle Bestimmung. Astigmatismus: astigmatische Linse, Brennlinien (Skizze), experimentelle Bestimmung, Korrektur. zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein Spezialfall einer solchen Welle ist in Abb. 1 dargestellt. Bei einer elektromagnetischen Welle schwingt keine Materie, wie bei Wasser- oder Schallwellen, weshalb elektromagnetische Wellen kein Medium zur Ausbreitung benötigen. Licht von den Sternen gelangt auch durch das Vakuum des Weltraums ungehindert zur Erde. Allgemein gilt für jede Art von Wellen: v = λ f (1) v = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, λ = Wellenlänge, f = Frequenz. Speziell für eine elektromagnetische Welle ist f eine charakteristische Konstante, welche die Energie die Farbe des Lichtes angibt. Für ein bestimmtes Wellenpaket, nämlich für ein Photon ist die Energie W = h f, wobei h das Planck sche Wirkungsquantum ist. Im Vakuum bewegt sich eine elektromagnetische Welle unabhängig von f mit der Lichtgeschwindigkeit c 0 = m/s. Bewegt sich die Welle in einem Medium fort, sind ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit v und ihre Wellenlänge λ jedoch abhängig vom Medium. Beschreibt man eine elektromagnetische Welle durch λ, so geht man vom Ausbreitungsmedium Vakuum oder Luft (c 0 v Luft ) aus. Der sichtbare Wellenlängenbe- I. PHYSIKALISCHE RUNDLAEN I.1. Elektromagnetische Wellen Licht ist eine elektromagnetische Welle. Eine solche Welle besteht aus einem elektrischen und einem magnetischen Wechselfeld gleicher Frequenz, die stets senkrecht aufeinander stehen. Elektromagnetische Wellen sind transversal, d.h. die Felder stehen immer senkrecht Abbildung 1: Der einfachste Spezialfall einer transversalen Welle ist die linear polarisierte Welle. E bezeichnet das elektrische Feld und B das magnetische Analogon.

2 2 reich reicht etwa von 400 nm bis 800 nm (Abb. 2). Auch die angrenzenden Bereiche werden als Licht bezeichnet. Abbildung 2: Das Spektrum der elektromagnetischen Strahlung. Die Wellenlängen sind für die Ausbreitung der Strahlung im Vakuum angegeben. Der Brechungsindex n eines Mediums x auch Brechzahl genannt ist definitionsgemäß das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten: n x = Ausbreitungsgeschw. im Vakuum Ausbreitungsgeschw. im Medium = c 0 v x. (2) Brechungsindizes optischer Medien sind wellenlängenabhängig für blaues Licht im Normalfall einige Prozent größer als für rotes. Man nennt dies Dispersion 1. In der Refraktometrie (vgl. I.3) wird der Brechungsindex gemessen und analytisch ausgewertet. Der Ursprung des Namens Brechungsindex wird im nächsten Abschnitt klar. I.2. Reflexion und Brechung Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene renzfläche zwischen zwei transparenten Medien, so wird er teilweise reflektiert und teilweise gebrochen (vgl. Abb. 3). Das Reflexionsgesetz lautet: Einfallswinkel = Reflexionswinkel Abbildung 3: Reflexions- und Brechungsgesetz. renzfläche stets dieselbe Zahl liefert: sinα sinβ = const = n 2 n 1. ilt n 2 > n 1, so nennt man Medium 2 optisch dichter als Medium 1. Wasser ist optisch dichter als Luft, und las optisch dichter als Wasser. Der Brechungsindex für Luft weicht (unter normalen Bedingungen) nur sehr wenig von dem des Vakuums ab und wird deshalb diesem oft näherungsweise gleichgesetzt: n Luft = 1, (4) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in optisch dichteren Medien ist nach l. (2) also stets kleiner als in optisch dünneren. Im Wellenbild des Lichtes nach Huygens ( ) lässt sich das Reflexionsgesetz gemäß Abb. 4 folgendermaßen er- Dabei werden die Winkel relativ zur Flächennormale und nicht zur Fläche selbst gemessen, weil das Reflexionsgesetz damit auch für gekrümmte Flächen (z.b. Linsen oder Augenspiegel) sinnvoll formuliert ist. Ferner gilt das von Snellius ( ) empirisch gefundene Brechungsgesetz: n 1 sinα = n 2 sinβ. (3) Snellius stellte fest, dass das Verhältnis der Sinuswerte von Einfalls- und Brechungswinkel an einer gegebenen 1 Meist verwendet man die D-Linie des Natriums mit der Wellenlänge λ = 589,3 nm und macht dies durch den Zusatz D deutlich. Da der Brechungsindex auch von der Temperatur abhängt, gibt man meist den Wert für 20 C an und schreibt n 20 D. Abbildung 4: Reflexion im Wellenbild.

3 3 I.3. Optische Linsen Im allgemeinen sind optische Linsen durchsichtige Körper aus einer lichtbrechenden Substanz, die von gekrümmten Flächen begrenzt werden. Einfache Linsen sind durch die Oberflächen zweier Kugelabschnitte begrenzt. Die grundlegenden optischen Elemente einer solchen Linse sind also meist eine sphärische renzfläche zwischen Luft und las und eine zweite zwischen las und Luft. Abb. 6 illustriert für einen einfachen Fall, wie zwei Lichtstrahlen senkrecht auf eine Linse einfallen. Der Strahl (1) durch die Mitte der Linse erfährt kei- (2) (1) F Hauptebene Abbildung 5: Lichtbrechung im Wellenbild. klären. Betrachtet man ein einfallendes Bündel ebener Wellen geeigneter Breite, so kann erreicht werden, dass die kurzen Katheten der beiden rechtwinkligen Dreiecke an der renzfläche gerade gleich lang und zwar gleich der Wellenlänge λ 1 im Medium 1 werden. Die Wellenlänge ändert sich bei der Reflexion nicht, da die Strahlung im selben Medium bleibt. Die Dreiecke stimmen in allen drei Seiten paarweise überein und sind somit kongruent. Damit wird aber auch α = α. Ferner sind α und α in den Dreiecken auch gleich dem Einfalls- bzw. Reflexionswinkel gemäß Abb. 3. Analog kann man mit Hilfe des Wellenmodells auch die Lichtbrechung gemäß Abb. 5 erklären. Während dort die letzte Wellenfront im optisch dünneren, oberen Medium gerade noch die Strecke λ 1 bis zur renzfläche zurücklegt, breitet sich die Welle im optisch dichteren, unteren Medium schon mit kleinerer eschwindigkeit aus. Die Wellenlänge wird folglich verkürzt auf λ 2. Für die beiden rechtwinkligen Dreiecke an der renzebene gilt in diesem Fall gemäß der Sinus-Definition ( egenkathete geteilt durch Hypotenuse ): sinα = λ1 λ2 und sinβ = L L. Dividiert man die erste dieser leichungen durch die zweite, so erhält man sinα sinβ = λ1 λ 2 = v1/f v 2/f = v1 v 2 = c0v1 c 0v 2 = c0/v2 c 0/v 1 = n2 n 1, Abbildung 6: Konstruktion der Hauptebene bei einer symmetrischen bikonvexen Linse. nerlei Ablenkung er trifft tatsächlich senkrecht auf die gekrümmte Oberfläche. Der parallele Strahl (2) trifft allerdings schräg auf die Linsenoberfläche und wird beim Ein- und Austritt an den renzflächen der Linse gebrochen. Diese beiden Brechungen lassen sich vereinfacht durch eine Brechung an einer gedachten Ebene beschreiben, die senkrecht zum Strahl (1) durch die Linsenmitte ist. Dies ist die sogenannte Hauptebene der Linse. In Abb. 7 sind verschiedene Linsenformen skizziert. Dabei unterscheidet man konvexe (nach außen gewölbte) und konkave (nach innen gewölbte) Linsen. Nur bei bikonvexen und bikonkaven Linsen kann man auf rund der Symmetrie leicht die Hauptebene finden. I.4. Strahlengang und Bildkonstruktion Für die Konstuktion des Strahlengangs an einem optischen Element sind die folgenden rößen hilfreich. wobei der bei Wellen allgemein gültige Zusammenhang v = λ f benutzt wird. Dass die Frequenz sich bei Lichtbrechung nicht ändert, ist eine Folge des Energieerhaltungssatzes; eine Frequenzänderung wäre gleichbedeutend mit einer Energieänderung. Abbildung 7: Schnittbilder von einfachen Linsenformen.

4 4 Abbildung 8: Brechung von Parallelstrahlen an einer Sammellinse (a) und einer Zerstreuungslinse (b). Die optische Achse (OA) ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden sphärischen Flächen, die die (einfache) Linse begrenzen. Bei einer konvexen Linse werden Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen, hinter der Linse im Brennpunkt F (Fokus) vereinigt man spricht von einer Sammellinse (Abb. 8a). Bei einer konkaven Linse verlaufen die parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen hinter der Linse derart divergent auseinander, als würden sie vom Brennpunkt F herkommen (Zerstreuungslinse, Abb. 8b). Unter der Brennweite f versteht man den Abstand des Brennpunktes von der Hauptebene der Linse. Bei Zerstreuungslinsen ist f per Konvention negativ. Wichtig ist weiterhin die sogenannte Brennebene. Sie verläuft durch den Brennpunkt und senkrecht zur optischen Achse. Verläuft ein Bündel paralleler Strahlen nicht mehr parallel zur optischen Achse, sondern trifft es schräg auf die Linse auf, so werden die Strahlen bei einer Sammellinse nicht mehr im Brennpunkt, sondern in einem Punkt auf der Brennebene vereinigt, Abb. 9a. Bei einer Zerstreuungslinse verlaufen sie entsprechend divergent auseinander, als würden sie von einem Punkt in der Brennebene herkommen, Abb. 9b. Linsen, deren Eigendicke in Richtung der optischen Achse im Vergleich zur Brennweite vernachlässigt werden kann, werden als dünne Linsen bezeichnet. Die Eigendicke bewirkt dann einen Messfehler z.b. bei der direkten Messung der Brennweite f, da die Hauptebene im Inneren der Linse liegt. Bei der Bildkonstruktion malt man nicht wie in den bisherigen Abbildungen eine Linse, sondern man repräsentiert wie in Abb. 10 eine dünne Linse durch einen Abbildung 9: Brechung schräg einfallender paralleler Strahlen an einer Sammel- (a) und einer Zerstreuungslinse (b). langen senkrechten Strich an der Stelle der Hauptebene mit Pfeilspitzen an beiden Enden nach außen bzw. innen. Abbildung 10: Skizze für eine Sammellinse (a) und eine Zerstreuungslinse (b). a) b) Abb. 11 zeigt exemplarisch den Verlauf der Strahlen, die man für eine Bildkonstruktion benötigt. Der Mittelpunktsstrahl geht von der Spitze des egenstandes aus zum Mittelpunkt der Linse, d.h. zum Schnittpunkt von optischer Achse und Hauptebene, und ohne Richtungsänderung durch die Linse hindurch. In der Linsenmitte sind die begrenzenden lasflächen der Linse fast parallel wie bei einer Fensterscheibe. Dadurch wird der Strahl nur ein wenig parallel versetzt, was bei dünnen Linsen vernachlässigt werden kann. Der Parallelstrahl, der vom egenstand aus parallel zur optischen Achse einfällt, wird bei Sammellinsen stets zum Brennpunkt hin gebrochen. Bei Zerstreuungslinsen (Abb. 12) wird er so gebrochen, als käme er vom rückwärtigen Brennpunkt.

5 5 Parallelstrahl Mittelpunkts strahl F B OA g F B OA b Abbildung 11: Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. Der Strahlengang ist umkehrbar (s. Text). Der Schnittpunkt von Mittelpunkts- und Parallelstrahl ist der Bildpunkt, auf den der Ausgangspunkt die Spitze von optisch abgebildet wird. Entsprechend werden alle Lichtstrahlen, die vom Ausgangspunkt kommen und das optische Element passieren, im Bildpunkt der Spitze von B vereint. Im Falle von Abb. 11 entsteht das resultierende Bild B tatsächlich auf rund von Lichtstrahlen, die am Ort des Bildes gebündelt werden. Es ist also ein reelles Bild, welches auf einem Schirm sichtbar gemacht werden kann. Im egensatz dazu kann die Zerstreuungslinse kein reelles Bild liefern. Schaut ein Betrachter in Abb. 12 von rechts auf die Linse, so scheinen alle Lichtstrahlen von einem verkleinerten virtuellen Bild links von der Linse zu kommen, wo sich der Mittelpunktsstrahl und der rückwärts verlängerte Parallelstrahl schneiden. In beiden Abbildungen ist noch ein dritter Strahl gepunktet eingezeichnet der sog. Brennpunktsstrahl. In Abb. 11 kommt er zustande, wenn man bei der Bildkonstruktion an der Sammellinse die Rollen von und B vertauscht. Dann ist klar, dass auf der anderen Seite der Linse ein zweiter Brennpunkt liegt. Jede dünne Linse hat also zwei Brennpunkte, die symmetrisch zur Hauptebene liegen. Der Brennpunktsstrahl verläuft von direkt zum zweiten Brennpunkt, und sein Schnittpunkt mit der Hauptebene definiert die Höhe des abgebildeten Punktes von B. Bei Zerstreuungslinsen muss der Brennpunktsstrahl wie der Parallelstrahl rückwärts verlängert werden, um das Bild zu erreichen (Abb. 12). g Abbildung 13: Verkleinerte (oben) und vergrößerte Abbildung (unten) mit zugehörigen egenstands- und Bildweiten. Das Vertauschen der Rollen von und B in Abb. 11 zeigt außerdem, dass Lichtwege umkehrbar sind. Deshalb gibt es bei der Sammellinse zwei Positionen, die ein scharfes Bild liefern. Ist die Linse weit entfernt vom egenstand, d.h. ist die sog. egenstandsweite g > 2f, so wird das Bild verkleinert. Im umgekehrten Fall wird das Bild vergrößert. Abb. 13 illustriert den Spezialfall 2f > g > f. Der Fall f > g entspricht der Verwendung der Sammellinse als Lupe, was den Strahlengang deutlich verändert (ohne Abb., vgl. Versuch OIN). In der Praxis treffen Parallel- und Brennpunktsstrahl oft außerhalb der Linse auf die Hauptebene. Beide Strahlen dienen dann lediglich als Hilfsmittel zur Bildkonstruktion. Dies tut der realen Bildentstehung jedoch prinzipiell keinen Abbruch, da alle Strahlen, die vom egenstandspunkt kommen und die Linse passieren, im Bildpunkt abgebildet werden. I.5. F OA Die Abbildungsgleichung für eine Linse b B Parallelstrahl Reduziert man die Bildkonstruktion aus Abb. 11 o. 13 auf ihr geometrisches erippe, so bleibt Abb. 14 übrig, wobei nun die egenstandsgröße und B die Bildgröße Mittel punktsstrahl F B OA Abbildung 12: Bildkonstruktion an einer dünnen Zerstreuungslinse. Der Parallelstrahl wird rückwärtig verlängert (gestrichelt). Abbildung 14: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung.

6 6 bezeichnet. Aus ihr lässt sich wegen der Ähnlichkeit 2 der Dreiecke (I) und (II + III) unmittelbar die Formel für den Abbildungsmaßstab β ablesen: β = B = b g, (5) d.h. Bildgröße zu egenstandsgröße verhält sich wie Bildweite zu egenstandsweite. Der Abbildungsmaßstab ist eng verwandt mit der Vergrößerung einer Linse oder eines optischen Instrumentes (vgl. Versuch OIN). Auch die beiden Dreiecke (III) und (IV) sind ähnlich: woraus mit l. (5) folgt: f = B b f, g b = B = f b f. Diese Formel stellt einen einen direkten Zusammenhang zwischen egenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f her. Einige algebraische Umformungen ergeben die Abbildungsgleichung 1 g + 1 b = 1 f. (6) Die Herleitung dieser leichung wurde hier für eine Sammellinse durchgeführt; sie gilt aber auch für Zerstreuungslinsen, wobei dann die Brennweite und die Bildweite negativ sind. I.6. Optische Systeme und Brechkraft punkt der ersten Linse befindet, wird in den Brennpunkt der zweiten Linse abgebildet dort entsteht das Bild B. Also ist f 1 = g und f 2 = b, womit die esamtbrennweite f des Systems direkt aus l. (6) abgelesen werden kann: 1 f f 2 = 1 f. (7) Das Rechnen mit den Reziprokwerten in l. (7) ist in der Praxis aber recht umständlich. Man definiert deswegen die Brechkraft als den Quotienten aus dem Brechungsindex n des umgebenden Mediums und der Brennweite der Linse: D = n f mit [D] = 1 = dpt (Dioptrie). (8) m In Luft istn 1,0, ähnlich wie in Vakuum, so dass praktischerweise meist mit D = 1/f gerechnet werden kann. Eine Brillenlinse von 1 m Brennweite hat demnach die Brechkraft 1 dpt und eine Linse von 0,25 m Brennweite 4 dpt. emäß l. (7) kann man also die Brechkräfte zweier in kleinem Abstand hintereinander gestellter Linsen direkt addieren. Dies gilt auch für mehrere Linsen hintereinander: D = D 1 +D 2 +D , (9) denn jede Einzellinse in Abb. 15 könnte man von vorne herein auch als Linsensystem (mit bekannter Brennweite) auffassen, für das seinerseits l. (7) auch wieder gilt. l. (9) für die Addition der Brechkräfte gilt nicht nur für Linsen, sondern generell für Systeme aus optischen Elementen, was der folgende Abschnitt verdeutlicht. Stellt man zwei Linsen der Brennweite f 1 und f 2 mit gemeinsamer optischer Achse direkt hintereinander auf, so erhält man ein Linsensystem. Um die esamtbrennweite dieses Systems anzugeben, hilft Abb. 15, die zwei verschiedene dünne Sammellinsen mit kleinem Abstand zueinander zeigt. Ein egenstand, der sich im Brenn- Abbildung 15: Verlauf der Brennpunktsstrahlen eines Linsensystem. 2 Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie z.b. in zwei (und damit in allen) Winkeln übereinstimmen. I.7. Brechung an einer sphärischen renzfläche In diesem Abschnitt wird eine Formel zur Berechnung der Brechkraft einer sphärischen Fläche an der renze zweier Medien hergeleitet. Das Ergebnis führt zu einem tieferen Verständnis der optischen Abbildung durch eine Linse und ermöglicht es, im Anschluss das Abbildungsverhalten des menschlichen Auges zu analysieren. Abb. 16 zeigt zwei optische Medien mit den Brechungsindices n 1 und n 2, die durch eine sphärische Fläche voneinander getrennt sind. Vom egenstandspunkt auf der optische Achse geht ein Strahl aus, der nach der Brechung an der renzfläche die optische Achse im Bildpunkt B wieder trifft dies impliziert n 2 > n 1. Der Einfallswinkel α und der Brechungswinkel β lassen sich durch drei Hilfswinkel ausdrücken: α = ϕ+δ und β = δ ϑ. Bei der weiteren Herleitung ist es wesentlich, dass man sich auf achsennahe Strahlen beschränkt. Dadurch bleiben die auftretenden Winkel klein, und das Bogenstück

7 7 1 2 r Abbildung 16: Zur Abbildung an einer sphärischen renzfläche zwischen zwei Medien. Der Krümmungsradius der Sphäre ist r und M ist der Mittelpunkt der Kugel jede von ihm ausgehende erade steht senkrecht auf der sphärischen Fläche, d.h. sie bildet ein Lot darauf. l lässt sich (näherungsweise) als gerade Strecke behandeln, die senkrecht zur optischen Achse verläuft. In Abb. 16 gilt also für die drei rechtwinkligen Dreiecke, in denen diese Strecke als Kathete auftaucht: tanϕ = l g, tanδ = l r und tanϑ = l b. Wegen der Achsennähe sind die Winkel ϕ, δ und θ klein, d.h. unter 10. Man kann dehalb nähern: sinα tanα α, (10) wenn der Winkel im Bogenmaß ausgedrückt wird. Das Brechungsgesetz (3) reduziert sich dann auf: n 1 α = n 2 β. Wenn man die obigen Hilfswinkel (auch entsprechend genähert) einsetzt, folgt ( l n 1 g + l ) ( l = n 2 r r l ). b Einige Umformungen liefern schließlich: n 1 g + n 2 b = n 2 n 1 r. (11) Rückt der egenstandspunkt in Abb. 16 nach links ins Unendliche, so geht hier n 0 /g gegen Null und damit fällt b mit der bildseitigen Brennweite f B zusammen. Auf der linken Seite von l. (11) steht dann die Brechkraft einer sphärischen renzfläche D sph. = n 2 = n 2 n 1 f B r. (12) Die analoge Überlegung für den umgekehrten Lichtweg ergibt gegenstandsseitig die Brennweitef und dieselbe Brechkraft D sph. = n 1 = n 2 n 1 f r. Diese Formeln gelten auch für Flächen, die zur anderen Seite hin gekrümmt sind, jedoch ist dann der Krümmungsradius negativ ebenso wie die Brennweite und die Brechkraft. Schliesslich kann man damit die Brechkraft einer Linse berechnen, die links und rechts von verschiedenen optischen Medien begrenzt ist. Dazu betrachten wir den in Abb. 17 schematisch dargestellten Abbildungsvorgang, n 1 M 2 g 01 n L n 2 M r r Abbildung 17: Abbildungsvorgang durch eine Linse mit Brechungsindex n L zwischen zwei verschiedenen Medien. wobei zu beachten ist, dass der Krümmungsradius r 1 positiv ist und r 2 dagegen negativ. Die hierfür gültige Abbildungsgleichung ist n 1 g + n 2 b = n L n 1 + n 2 n L mit r 2 < 0. (13) r 1 r 2 Diese Formel enthält l. (11) als Spezialfall, der sich ergibt, falls n L = n 2 ist. Man kann sie analog zu l. (11) herleiten (nur langwieriger). Die rechte Seite von l. (13) entspricht der Summe zweier Brechkräfte. Diese ergibt die esamtbrechkraft der Linse D L = D sph.,1 +D sph.,2 = n L n 1 r 1 b B + n 2 n L r 2. (14) Dieses Ergebnis kann auch aus l. (13) gefolgert werden, wenn man wieder die egenstandsweite(n) unendlich groß werden lässt. Die Formeln (13) und (14) bleiben gültig, falls (anders als in Abb. 17) eine oder beide Linsenflächen nach innen gekrümmt sind man muss lediglich jeweils das korrekte Vorzeichen für den Krümmungsradius wählen.

8 8 I.8. Das Auge Der Aufbau des Auges ist in Abb. 18 skizziert. Für den Abbildungsvorgang auf die Netzhaut (Retina) sind drei Elemente mit unterschiedlichen Brechungsindizes ver- Abbildung 19: Vereinfachte Darstellung der Korrektur von Weit- (links) bzw. Kurzsichtigkeit (rechts) des Auges mit einer Sammel- bzw. Zerstreuungslinse (gestrichelt: Abbildung eines unendlich entfernten egenstandes ohne Korrektur). mit einer passenden Brille korrigiert werden. Ist die Brennweite eines Auges zu groß, d.h. seine Brechkraft zu klein, so entstehen die Bilder erst hinter der Retina. Man bezeichnet ein solches Auge als weit- oder übersichtig (hyperop). Zur Beseitung dieses Augenfehlers verwendet man Sammellinsen als Brillengläser. erade umgekehrt ist es bei der Kurzsichtigkeit (Myopie), die durch Vorschaltung einer Zerstreuungslinse korrigiert werden kann (Abb. 19). Abbildung 18: Optischer Aufbau eines menschlichen Auges. antwortlich: die Hornhaut (Cornea), die das Kammerwasser von der Außenluft trennt, die Linse und der laskörper. Das Auge kann sowohl nahe gelegene, wie auch entfernte egenstände scharf auf die Retina abbilden, obwohl die Bildweite (Entfernung zwischen Augenlinse und Retina) immer gleich bleibt. Die Linse kann nämlich durch Kontraktion bzw. Dehnung des Ziliarmuskels ihre Krümmungsradien verändern und damit die Brennweite, was die Akkomodation ermöglicht. (Beim Projektor regelt man bei starrer lasoptik die egenstandsweite, bei der Kamera die Bildweite zum Zweck einer guten Abbildung.) Die Iris begrenzt das einfallende Lichtbündel also die auf die Retina einfallende Menge an Strahlungsenergie (Helligkeit). Die Kenngrößen des Auges haben ungefähr die folgenden Mittelwerte: Krümmungsradius der Cornea r = 7,8 mm, Krümmungradien der Linse r 1 = 10 mm und r 2 = 6,0 mm, Brechungsindex des Linsenmaterials n L = 1,4, Brechungsindex des Kammerwassers und des laskörpers n 1 = n 2 = 1,336. Die Brechkraft der Cornea, l. (12), ergibt sich zu D C = 1,336 1,0 0,0078m 43 dpt. Die Brechkraft der Linse, l. (14), ergibt sich zu D L = 1,4 1,336 0,0m + 1,4 1,336 0,0060m 17 dpt. Also ist die esamtbrechkraft D C +D L 60 dpt. Dies zeigt den großen Beitrag der Cornea. Anderseits sieht man auch, dass jene Sehfehler, die man durch Brillen einiger Dioptrien korrigiert, nur einen kleinen Bruchteil der esamtbrechkraft des Auges betreffen. Die Bilder, die das Auge erzeugt, sind für uns nur dann wertvoll, wenn sie naturgetreu und scharf sind. Unsere Augen dürfen daher möglichst keine Fehler haben, oder müssen I.9. Linsenfehler 1. Sphärische Aberration In den Abschnitten I.3 bis I.8 wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Lichstrahlen achsennah auf die Linsen einfallen. Dies ist aber nicht immer der Fall. Bei sphärischen Linsen werden die achsenfernen Strahlen stärker gebrochen, d.h. sie schneiden in kürzerem Abstand die optische Achse. Bei gleicher egenstandsweite g wird also die Bildweite im Fall der Strahlen am Rand kleiner (Abb. 20). Diese Erscheinung bezeichnet man als sphärische Aberration. Ihre röße wird durch die Differenz der Brennweiten von zentralen Strahlen (nahe der Achse) und Randstrahlen (fern der Achse) beschrieben: g Blende Blende Hauptebene d f = f Z f R. (15) Abbildung 20: Sphärische Aberration: Randstrahlen (R) werden stärker gebrochen als zentrale Strahlen (Z). b 2 R b 1 Z B 2R B 1Z

9 9 Nach Messung von b Z und b R ergibt l. (6) direkt d f. Die sphärische Aberration tritt bei allen Linsen mit Kugelflächen auf. Sie spielt bei Helligkeit (kleine Irisblende) so gut wie keine Rolle, jedoch tragen bei Dunkelheit (weit geöffnete Iris) auch die Randstrahlen zur Abbildung bei. Dies beeinträchtigt aber die Bildschärfe im Auge, was das Erkennen mühsamer macht: Schlechtes Dunkelsehen. Das schärfere Sehen bei guter Beleuchtung liegt also primär an der geringen sphärischen Aberration, nicht an der größeren Helligkeit, die das Auge ja gerade über die Iris nachregelt. Fehler größer, dann pendelt die Augenlinse zwischen den beiden Brennlinien hin und her, um verwertbare Daten weiterliefern zu können, während das ehirn permament mittelt. Das ist jedoch ermüdend und verursacht typischerweise Kopfschmerzen. II. TECHNISCHE RUNDLAEN II.1. Zubehör 2. Astigmatismus Wir sind bisher von der Vorstellung ausgegangen, dass die Augenlinse durch Kugelflächen begrenzt wird. In der Realität sind jedoch oft die Krümmungsradien in zwei senkrecht zueinander verlaufenden Schnittebenen mehr oder weniger verschieden. Das hat zur Folge, dass ein achsenparalleles Lichtbündel nicht mehr durch einen einzigen Brennpunkt verläuft, vgl. Abb. 21. Die unterschiedlichen Krümmungsradien entsprechen zwei verschiedenen Brennweiten einer in der Horizontalebene (f 1 ) und einer in der Vertikalebene (f 2 ). In Abb. 21 ist f 1 kleiner als f 2, d.h. während das Horizontalbündel schon maximal eingeschnürt ist, hat das Vertikalbündel dort noch eine endliche Höhe. Man beobachtet eine senkrechte Brennlinie statt eines Brennpunktes. In etwas größerem Abstand von der Linse entsteht entsprechend eine waagrechte Linie. Durch die Brennweitendifferenz δf = f 2 f 1 kann man die röße des Astigmatismus kennzeichnen. In der Praxis auf der optischen Bank kann man den Astigmatismus eines Brillenglases dadurch messen, dass man eine punktförmige Lichtquelle (Lochblende) im Endlichen auf einen Schirm abbildet. Die beiden Positionen der orthogonalen Bildlinien legen zwei Wertepaare g 1 und b 1, bzw. g 2 und b 2 fest, die mit Hilfe von l. (6) entsprechend f 1 und f 2 ergeben. Korrigiert wird der Astigmatismus des Auges durch eine Zylinderlinse ein las mit derselben astigmatischen Eigenschaft, das zur Kompensation des Fehlers um 90 verdreht in das Brillengestell montiert wird. Ist der Astigmatismus gering (f 2 δf f 1), so wählt das ehirn eine zwischen f 1 und f 2 liegende Distanz für das Sehen im Unendlichen. Die Sehschärfe ist aber herabgesetzt. Ist der astigmatische Apparatur zur Messung von Lichtreflexion und -brechung (Abb. 22). Optische Bank mit Reitern (Abb. 23 u. 25), Lichtquelle, Justiernadel, Schirm, drei verschiedene Dias, Brillenglas ohne Astigmatismus (L1 oder L2 oder...), Brillenglas mit Astigmatismus (LA1 oder LA2 oder...); Starbrillenglas (LS1 oder LS2 oder...); Sphärometer; große Konvexlinse mit Loch- und Kreisblenden und Haftmagnete (in Styroporbebehälter); Augenmodell (Plexiglasgefäß mit sphärischer Fläche), dazu Linse, Schirm (Modell-Netzhaut); Rollbandmaß, Probegläser mit Halterung (beim Betreuer erhältlich). II.2. Versuchsaufbau zur Lichtreflexion und -brechung Der verwendete Laser liefert unpolarisiertes Licht. Der Versuchsaufbau enthält eine runde lasküvette. In ihrer Mitte ist eine Halbzylinderlinse fixiert. An sämtlichen Zylinderflächen wird der (schwach fokussierte) Laserstrahl in keiner Stellung der Küvette abgelenkt abgesehen von kleinen Fehlern z.b. bei der Justierung. Die zu untersuchenden Reflexionen und Brechungen finden alle an der ebenen lasfläche in der Mitte der Küvette statt. Der Laser hinterlässt am äußeren ebenfalls zylinderförmigen Mattscheibenring Lichtpunkte, von denen man auch die schwächeren problemlos lokalisieren kann, wenn man von außen senkrecht auf den Mattscheibenring schaut. Winkelmessung Abbildung 21: Entstehung des Astigmatismus. δ Der360 -Messring aus Plexiglas ist drehbar und enthält vier rote Hauptmarkierungen in 90 -Abständen. Weitere Unterteilungen sind im 10 und 5 -Rhythmus zu finden. Der Ring enthält keine Zahlenangaben. Alle Winkel müssen durch Abzählen ermittelt werden und sollen nur auf ganze rad-werte abgelesen werden! In Abb. 22 ist eine typische Messsituation dargestellt, in der man den einfallenden Strahl (von links), den reflektierten und den gebrochenen Strahl erkennen kann, sowie die direkt messbaren Winkel: Der einfallende und

10 10 Abbildung 22: Versuchsaufbau zur Messung von Reflexion und Brechung. der reflektierte Strahl bilden den Winkel 2α. Die rückwärtige Verlängerung des reflektierten Strahls und der gebrochene Strahl schließen den Winkel α+β ein. Zum Ablesen der Winkel dreht man zuerst eine der vier roten Hauptmarkierungen des Messkreises auf die Position des Laserpunktes des reflektierten Strahls. Von dieser Hauptmarkierung bis zum einfallenden Strahl liest man 2α ab. α + β erhält man danach, indem man den Winkel von der gegenüberliegenden Hauptmarkierung bis zum Punkt des gebrochenen Strahls ermittelt. g 1 b 1 B 1 B 2 II.3. Brennweitenbestimmung mit Hilfe der Abbildungsgleichung g 2 b 2 Zwischen einer Lichtquelle, die einen egenstand beleuchtet, und einem Schirm lässt sich eine verschiebbare Linse anbringen (vgl. Abb. 23). Wird ein scharfes Bild auf dem Schirm erzeugt, so gilt die Abbildungsgleichung. In diesem Fall lassen sich aus der Linsenposition x die egenstandsweite g und die Bildweite b berechnen und damit schließlich auch f. Während des Versuchs bleibt der Abstand zwischen der Lichtquelle und dem Schirm fest. Da jedoch Lichtwege umkehrbar sind, kann man durch Verschieben der Linse gemäß Abb. 24 zwei (symmetrische) Positionen finden, die ein scharfes Bild liefern. Ist die Linse näher am egenstand (g < b), so wird das Bild wegen l. (5) Abbildung 24: Vergrößerte und verkleinerte Abbildung. vergrößert und im umgekehrten Fall verkleinert. Bestimmung der Messunsicherheit Die eigentliche Messgröße bei diesem Versuchsaufbau ist die Linsenposition mit einer gewissen Unsicherheit x. Es ist rechnerisch ein wenig mühsam, daraus die Unsicherheit f für die Brennweite zu bestimmen. Erfreulicherweise liefert die Formel beleuchteter egenstand (Dia) Linse Schirm f x (16) eine einfache und realistische Abschätzung dafür. Licht quelle x D g Abbildung 23: Schematischer Versuchsaufbau. x b x S II.4. Sphärometer Das Sphärometer dient zur Bestimmung des Krümmungsradius einer Linse. Bitte lassen Sie sich die Funktionsweise von Ihrer Betreuerin oder Ihrem Betreuer erklären.

11 11 Abbildung 25: Realistische Darstellung des Versuchsaufbaus. III. VERSUCHSDURCHFÜHRUN III.2. Brillenglas III.1. Überprüfung des Snelliusschen Brechungsgesetzes an der renzfläche Luft/las Teilversuch Bestimmen Sie den Brechungsindex des Küvettenglases durch Lichtbrechung an der renzfläche Luft/las. Messgrößen Messreihe: mindestens sechs Brechungswinkel β für Einfallswinkel α im Bereich 10 <α<50 Durchführung Der Polarisationsfilterring sollte sich zunächst nicht im Versuchsaufbau befinden. Setzen Sie die Messküvette gemäß Abb. 26 ein. Der Strahl trifft dabei auf die ebene renzfläche aus dem optisch dünneren Medium (Luft) kommend und wird ins optisch dichtere (las) gebrochen. Drehen Sie die Küvette langsam und beobachten Abbildung 26: Zur Überprüfung des Brechungsgesetzes. Sie dabei am Mattscheibenring den Lichtpunkt des gebrochenen und den des reflektierten Strahls. Beachten Sie, dass Sie nur 2α und α + β direkt am Messkreis ablesen können. Für Einfallswinkel größer als 70 steigt die Messungenauigkeit rapide. Legen Sie für die Auswertung eine Tabelle folgender Art an: 2α α α+β β sinα sinβ... Teilversuch Bestimmung der Brennweite eines Brillenglases (ohne Astigmatismus) mit Hilfe der Abbildungsgleichung und durch Verwendung des Sphärometers. Messgrößen Position von Dia x D und Schirm x S Buchstabenkennzeichnung (L mit Zahl dahinter) der verwendten Linse Linsenposition x 1 für die vergrößerte Abbildung Linsenposition x 2 für die verkleinerte Abbildung geschätzte Messunsicherheiten x 1 bzw. x 2 der Linsenpositionen Sphärometerwerte für die ebene Fläche und beide Linsenoberflächen Durchführung Die Lichtquelle und der Schirm werden in möglichst großem Abstand voneinander auf der optischen Bank aufgestellt, die matte Fläche des Schirms der Lichtquelle zugewandt (Bildentstehung auf der matten Fläche, Beobachtung von der glatten aus). Beides bleibt im folgenden so stehen. Das Dia (Kaiser Maximilian) wird in die Halterung an der Lichtquelle eingeklemmt. Nehmen Sie die Halterung, die von der Lampe am weitesten weg ist weiße Seite des Diarahmens zur Lampe hin. Mit Hilfe der Justiernadel wird die Linse auf die gleiche Höhe wie das Dia gebracht. Protokollieren Sie die Messung in Tabellenform, z.b. Abbildung x i /cm x i /cm g i /cm b i /cm vergrößert verkleinert Zur Abschätzung von x drehen Sie die Linse um 180, wechseln sich beim Beobachten des Schirms ab und bestimmen die Positionen der Linse für die vergrößerte und verkleinerte Abbildung erneut. Vermessen Sie das Brillenglas mit Hilfe des Sphärometers nach Anweisung durch Ihre Betreuerin oder Ihren Betreuer. Der Brechungsindex des Brillenglases ist n = 1,5.

12 12 - Bestimmen Sie bereits am Arbeitsplatz die Brechkraft. Liegt Ihr Wert nicht zwischen 1 dpt und 10 dpt, sollten Sie die Messung wiederholen. Hinweis zu den folgenden Teilversuchen Notieren Sie weiterhin immer die Messunsicherheit der Linsenposition (bzw. bei III.6. die der Bildweite). Sie ist entscheidend für die Messunsicherheit des Endergebnisses; allerdings variiert sie von Versuch zu Versuch, da es unterschiedlich schwer zu sagen ist, bei welcher Position die Abbildung auf dem Schirm am schärfsten ist. III.3. Starbrillenglas Messgrößen Buchstabenkennzeichnung (LA mit Zahl dahinter) der verwendten Linse Linsenpositionen für die vergrößerte Abbildung durch die Strahlen in der Waagerechten und durch die Strahlen in der Senkrechten Durchführung Verwenden Sie die kleine kreisförmige Blende vor der Lichtquelle anstelle des Dias. Betrachten Sie nur die vergrößerte Abbildung. Schieben Sie die Linse von der Lochblende weg, bis Sie eine der Bildlinien der Blende möglichst scharf auf dem Schirm beobachten. Danach schieben Sie die Linse weiter von der Blende weg, bis die dazu senkrechte Bildlinie auf dem Schirm möglichst gut zu beobachten ist. Teilversuch Bestimmung der Brennweite eines Starbrillenglases mit Hilfe der Abbildungsgleichung und durch Verwendung des Sphärometers. Messgrößen Buchstabenkennzeichnung (LS mit Zahl dahinter, nicht LS7) der verwendten Linse Linsenpositionen für die vergrößerte und die verkleinerte Abbildung Sphärometerwerte für beide Linsenoberflächen Durchführung Der Messvorgang läuft wie bei dem einfachen Brillenglas ab, nur ist er in der Praxis schwieriger durchzuführen. Beim Abschätzen der Unsicherheit x ist die Unsicherheit beim Scharfstellen und die große Linsendicke besonders zu berücksichtigen. Vermessen Sie auch diese Linse mit dem Sphärometer. III.4. Sphärische Aberration Teilversuch Bestimmung der sphärischen Aberration der großen Linse. Messgrößen Linsenpositionen für vergrößerte Abbildung durch die Zentralstrahlen und durch die mittleren Randstrahlen Durchführung Verwenden Sie die große Linse im Styroporbehälter mit den entsprechenden Blenden und Magneten. III.6. Untersuchungen am Augenmodell Teilversuch Bestimmung der Brechkraft des Augenmodells vor und nach Staroperation, Ausprobieren einer Starbrille. Messgrößen egenstands- und Bildweite beim Augenmodell mit Linse Beobachtung der Abbildung nach Staroperation Brechkraft des Probeglases ( postoperativ ) Bildweite beim Augenmodell ohne Linse Durchführung 1. Aufbau des Augenmodells Als egenstand wird die gerahmte, mit Löchern versehene Alufolie verwendet. Die Plexiglaswanne wird mit zwei Reitern auf der optischen Bank fest aufgestellt, so dass die sphärische Fläche ca. 25 cm vom egenstand entfernt ist (s. Abb. 27). Die Höhe der Wanne wird mit Hilfe der Justiernadel so eingestellt, dass die Mitte der sphärischen Fläche genauso hoch ist wie die Mitte des egenstandes. Füllen Sie die Wanne mit vollentsalztem Wasser, und hängen Sie die Linse direkt hinter der sphärischen Fläche ein. egenstand Plexiglaswanne III.5. Astigmatisches Brillenglas Teilversuch Bestimmung des Astigmatismus eines Brillenglases. Abbildung 27: Optisches Augenmodell.

13 13 Suchen Sie dann die Position der kleinen Mattscheibe im Wasser hinter der Linse, wo die Abbildung am besten erscheint das entspricht der Position der Netzhaut. Messen Sie für diese Anordung egenstandsweite g und Bildweiteb 1 mit dem Metermaß. Als Bezugspunkt dient die Mitte zwischen der sphärischen Fläche und der Linse. 2. Ausführung einer Staroperation Entfernen Sie die Linse aus der Plexiglaswanne. - Wie verändert sich das Bild? Verpassen Sie nun dem Modellauge eine Starbrille : Suchen Sie aus dem Sortiment von Probegläsern eines heraus, das vor die sphärische Fläche gehalten die Wirkung der entnommenen Linse in etwa ersetzt. Notieren Sie den Dioptrienwert (er steht am riff), bevor Sie das Probeglas in den Kasten zurücklegen. 3. Brechkraft der sphärischen renzfläche Verschieben Sie die kleine Mattscheibe im Modell weiter nach hinten, bis die Abbildung wieder möglichst optimal ist. Notieren Sie die neue Bildweite b 2 die egenstandsweite ist unverändert. Beachten Sie, dass die sphärische Fläche allein ein scharfes Bild in unserer Wanne erzeugen kann. Bitte entleeren Sie das Augenmodell vor dem Abbau. Brennweite Ihrer Linse. Stimmen beide Brennweiten innerhalb der Messunsicherheiten überein? Bilden Sie den Mittelwert f und die zugehörige Schwankung. Diskutieren Sie die Schwankung im Vergleich zur geschätzten Messunsicherheit der Linsenpostionen. Berechnen Sie f aus der Brechkraft der Spärometermessung, und vergleichen Sie dies mit f. Welche Messung ist die bessere? Begründen Sie Ihre Antwort. IV.3. Starbrillenglas Führen Sie dieselbe Berechnung wie in Teilversuch IV.2. durch. eben Sie Brennweite, sowie Dioptrienzahl der Starbrille an und vergleichen Sie Ihren Wert mit dem Ergebnis der Sphärometermessung. IV.4. Sphärischen Aberration Bestimmen Sie die Brennweite f Z für das zentrale Bündel und f R für die Randstrahlen, und berechnen Sie die sphärische Aberration. IV. AUSWERTUN IV.5. Astigmatischen Brillenglas Bestimmen Sie bei allen Teilversuchen die Messunsicherheit des jeweiligen Ergebnisses. Nur für die Sphärometermessungen ist keine quantitative Bestimmung der Unsicherheit gefordert. Ermitteln Sie die Brennweiten für die beiden Lichtbündel in den zueinander senkrechten Ebenen, und bestimmen Sie den Astigmatismus des Brillenglases. IV.1. Überprüfung des Snelliusschen Brechungsgesetzes IV.6. Untersuchungen am Augenmodell Tragen Sie die sinβ-werte (y-achse) gegen die sinα- Werte (x-achse) graphisch auf. Beide Koordinatenachsen müssen nur Werte von 0 bis 1 abdecken. l. (3) stellt in der Form sinβ = n 1 n 2 sinα analog zu y = a x eine erade dar. Bestimmen Sie aus der Steigung a = n 1 /n 2 (17) mit Hilfe eines möglichst großen Steigungsdreiecks den Brechungsindex von las n las = n 2. IV.2. Brillenglas Berechnen Sie gemäß l. (6) aus Ihren Werten für das vergrößerte bzw. für das verkleinerte Bild zwei Mal die Nach ln. (11) und (12) kann man die Brechkraft der spärischen Fläche (mit oder ohne Linse) gemäß D = n 1 g + n 2 b (18) mitn 1 = 1 für Luft undn 2 = 1,33 für Wasser berechnen: 1. für das vollständige Augenmodell, also das optische System aus sphärischer Fläche und Linse in Wasser unter Verwendung von g und b 1 und 2. für das staroperierte Auge mit g und b 2. Welcher Anteil der esamtbrechkraft entfällt im Modell also allein auf die laslinse im Wasser? War demnach die Auswahl Ihrer Probebrille sinvoll? 3. Berechnen Sie den Krümmungsradius der sphärischen Fläche im Modell mit Hilfe von l. (12).