Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie [V]

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie [V] Punkte, Geraden und Ebenen Abstände berechnen Kreise und Kugeln Pyramiden und mehr Mrz. Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

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3 Videos mit Lösungsweg auf der Mathe-Seite.de; Ergebnisse hinten im Heft. V. Punkte, Geraden und Ebenen V.. Zeichnen im D-Koordinatensystem [] Zeichnen Sie A( ), B( -), C(- ), D( -). Zeichnen Sie die Vektoren AB, AC, BC. Wie entsteht BC aus AB und AC? [] Ein Quader hat die Eckpunkte: A( ), C( ), H( ). Zeichnen Sie den Quader in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie die restlichen Eckpunkte. [] Zeichnen Sie die Gerade g : V.. Mittelpunkte, Schwerpunkte, Richtungsvektoren [] A( ), B( - 8), C(- -) Bestimmen Sie den Mittelpunkt MAB der Strecke AB. Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren AC, BC. AB, Zeichnen Sie die Punkte A, B, C und den Vektor AB ein. [] Gegeben ist das Dreieck PQR mit P( ), Q( - 8), R(- -). Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmitten MPQ, MPR, MQR des Dreiecks PQR. Zeigen Sie: die Schwerpunkte der Dreiecke PQR und MPQMPRMQR fallen zusammen. V.. Parameterform von g aufstellen Stellen Sie eine Parameterform der Gerade auf, die durch die beiden Punkte geht: [] durch A( ) und B( ) bzw. durch C(- -) und D(- ) [] durch P( - 9) und Q( ) bzw. durch R( 8) und S( ) V.. Erklärung der Ebenenformen (PF, KF, NF, HNF, AAF) Machen Sie sich klar, wie die verschiedenen Ebenenformen aussehen, wofür man sie verwendet und welche Angaben zum Aufstellen notwendig sind. [] Parameterform (PF) [] Koordinatenform (KF) [] Normalenform (NF) [] Hesse-Normal-Form (HNF) [] Achsen-Abschnitts-Form (AAF) V.. Parameterform von E aufstellen Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an, welche bestimmt ist durch: [] A( ), B( -), C( - -) [] A( - ), B( ) und C( -) [] P(- ) und h : x = [] g : ( )+r ( ), h : x = ( )+r ( ) [] g : x = ( )+r ( ), h : x = ( )+ r ( ) [] g : ( )+r ( ), h : x = ( )+r ( ) [8] g : ( )+r ( ), h : ( )+ r ( ) [] P( -) und g :

4 V.. Ebenenformen umwandeln (Parameterform in Koordinatenform) Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an 8 + s ( ) : + s ( ) : + s ( ) [],[],[] E : [],[],[8] E [],[],[9] E V.. Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Parameterform) Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an [] E : x+x [] E : x+x+ [] E : x+x+ [] E : x+ [] E : x V..8 Ebenenformen umwandeln (Koord.form in Normalenf. und zurück) Wandeln Sie die angegebene Koordinatenform (KF) der Ebene E in Normalenform um. Wenn Sie erfolgreich waren, dürfen Sie Ihr Ergebnis wieder in KF umwandeln. [] x+x [] x+x+ [] x+x+ V..9 Spurpunkte, besondere Lage von Gerade Bestimmen Sie die Spurpunkte der Gerade g. Welche besondere Lage hat die Gerade im Raum? ( )+ t ( ) [] g : ( )+ t ( ) [] g : ( )+ t ( ) [] g : ( )+ t ( ) [] g : V.. Spurpunkte, besondere Lage von Ebenen Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene E. Welche besondere Lage hat die Ebene im Raum? [] E: x x+ [] E: x+x+ [] E : -x+ [] E: x V.. Zeichnen von Ebenen Zeichnen Sie die Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein. [] E : x x+ [] E : x Zeichnen Sie die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem ein, zeichnen Sie auch die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein. [] E : x+x+ und F : x+

5 V. Schnittmengen V.. Gegenseitige Lage von Geraden / Schnitt von Geraden Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. [] [] [] [] () () + r () ( ) g : + r und und und 8 ( h: ( h: ( h : ( und h : ) + r ( ) ) + r ( ) ) + r ( ) ) + r ( ) V.. Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene / Schnitt Ebene-Gerade Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. [] [] [] und E: x x +x = und E: x +x +x = und E: -x +x +x = V.. Gegenseitige Lage von Ebenen / Schnitt Ebene-Ebene Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E und E. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade. [] E: x+x und E: x+x [] E: x x+8 und E: -x+x - [] E: x+x+ und E: x+x+ [] E: x+x+x = und E: x+x - V. Abstände V.. Abstand zweier Punkte Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte. [] A( - ), B( ) [] C(- ), D( ) [] P( ), Q( 8 -) V..; V..; V..; V.. Abstand Punkt-Gerade Bestimmen Sie den Abstand von der Gerade zum angegebenen Punkt. und A( ) [] g : und P(- -) [] g : und Z( 9) [] g :

6 V.. Abstand Punkt-Ebene über Lotgerade Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Wie groß ist dieser Abstand? [] P( - ) und E: x 8x+x = -9 [] P( ) und E: x x x = [] P( 8) und E: -x+x+x = V.. Abstand Punkt-Ebene über HNF Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Verwenden Sie die Methode über die Hesse-Normal-Form? [] P( - ) und E: x 8x+x = -9 [] P( ) und E: x x x = [] P( 8) und E: -x+x+x = V..8 Abstand von zwei parallelen Objekten Weisen Sie nach, dass beide angegebenen Objekte parallel sind. Wie groß ist deren Abstand? [] [] [] und h : und E : x+x x = E : x+x x = 9 und E: x+x x = V..9; V.. Abstand zweier windschiefen Geraden Wie groß ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden? [] [] [] und und 8 h: h: und h : V. Spiegeln V.. Senkrechte Spiegelung [] [] [] am Ursprung. Spiegeln Sie B( -) und h : an der x -Achse. Spiegeln Sie C( ) und i : x = an der x -x -Ebene. Spiegeln Sie A( - ) und g : V.. Spiegeln von Punkt an Punkt Spiegeln Sie den einen Punkt am zweiten. [] A( ) an S( ) [] B(- ) an P( ) [] P( -) an Z( )

7 V.. Spiegeln von Punkt an Gerade Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Gerade [] C( ) an g : ( ) + t ( ) [] A( -) an g : [] B( -) an g : ( ) + t ( ) V.. Spiegeln von Punkt an Ebene Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Ebene E [] P( ) an E:-x+x+x =-9 [] Q( - 8) an E:x x+ [] R( ) an E:-x+x+ V.. Spiegeln von diversem Zeug Erläutern Sie, wie man vorgeht, um folgende Spiegelungen durchzuführen [] Gerade an Punkt [] Ebene an Punkt [] Gerade an Gerade [] Ebene an Gerade [] Gerade an Ebene [] Ebene an Ebene V. Diverses Zeug V.. Winkelberechnung Bestimmen Sie die angegebenen Winkel [] [] [] [] [] [] und h : x = Winkel zwischen g : und h : x = Winkel zwischen E : x +x x = und g : Winkel zwischen g : Winkel zwischen E : x+x x = und E : x x+x = Innenwinkel im Dreieck ABC mit A( ), B( -), C(- ) Innenwinkel im Parallellogramm ABCD mit den Eckpunkten A(- ), B( ), C( - ) und D( - ). V.. Skalarprodukt Bestimmen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander? a=, b = a=, b= u= [] [] [] () ( ) ( ) () () v= mit ( ) V.. Kreuzprodukt Geben Sie mithilfe des Kreuzprodukts denjenigen Vektor an, der auf den beiden angegeben Vektoren orthogonal (=senkrecht) steht. a= [] ( ), b = ( ) a= [] ( ), b = ( ) a= [] 8 ( ) und b = ( )

8 Bestimmen Sie mithilfe des Kreuzprodukts: [] den Flächeninhalt des Dreiecks ABC: A( -), B( ), C( ) [] die Parallelogrammfläche ABCD: A( ), B( -), C( ), D( - ) [] das Volumen der Pyramide: A(- ), B( ), C( ), S( ) [] Volumen der Pyramide: A(- ), B( ), C( 8 ), D( -), S( 9) V.. Der vierte Punkt eines Parallelogramms Bestimmen Sie: [] D so, dass ABCD mit A( ), B( -), C( ) ein Parallelogramm ist. [] A so, dass ABCD mit B( -), C( ), D( ) ein Reckteck ist. [] C so, dass ABCD mit A(- ), B( ), D(- 8) ein Quadrat ist. V.. Liegt Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms? [] Liegt P( ) im Inneren des Parallelogramms ABCD mit A( ), B( -), C( ) und D( - )? [] Liegt P( - ) im Inneren des Quadrats ABCD mit A(- ), B( ), C( ) und D(- 8)? [] Liegt D( ) im Inneren des Dreiecks ABC mit A(- ), B( ) und C( )? [] Liegt D( -) im Inneren des Dreiecks ABC mit A( -), B( ) und C(- -)? V.. Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks ABC über die Flächeinhaltsformel A=½ g h (Sie erhalten hier bessere Zahlen, wenn Sie die Seite AB als Grundseite verwenden.) [] [] [] A(- ), B( - 8) und C( 8). A( - ), B( ) und C( - ) A( - -), B(- ) und C(- ) V.. Dreiecksfläche Bestimme den Flächenhalt des Dreiecks mithilfe des Kreuzproduktes (=Vektorprodukt) [] A(- - ), B( 9 ) und C(- ) [] A( - ), B(- 9 -) und C( ) [] A(- ), B( ) und C( -) V. Kreise und Kugeln V.. Allgemeines zur Kreisgleichung [] Stelle eine Kreisgleichung auf mit M( ) und r=. [] Welcher Kreis hat M( ) als Mittelpunkt und geht durch P(- -)? [] Beschreibt x²+x²+x x+9= einen Kreis? V.. Schnitt Kreis-Gerade Untersuchen Sie, ob sich der Kreis K und die Gerade g schneiden. Geben Sie ggf die Schnittpunkte an. [] K : (x )+(y+)= g : y = x+ [] K : (x+)+(y )= g : y =-x+ [] K : (x+)+(y 8)=9 Gerade durch A( -) und B(- -)

9 V.. Schnitt von zwei Kreisen Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kreise schneiden. Geben Sie ggf. die Schnittpunkte an. [] K : (x+)+(y )= K : (x )+(y )= [] K : (x+)+(y )= K : (x )+y= [] K : (x ) +(y ) = K : (x+)+(y )= V.. Abstand Punkt-Kreis Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt zum Kreis. Entscheiden Sie, ob der Punkt innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt. [] K : (x )+(y+)=9 P(-8 ) [] K : (x+)+(y )= P( ) [] K : (x+)+(y+)= P( ) V.. Abstand Gerade-Kreis Bestimmen Sie den Abstand der Gerade zum Kreis. [] K : (x )+(y+)= 9 g:y=x+ [] K : (x+)+(y )= g : x y = [] K : (x+)+(y+)= g : y+x = V.. Abstand Kreis-Kreis Bestimmen Sie den Abstand der beiden Kreise. [] K : (x )+(y+)= K : (x+)+(y )= [] K : (x+)+(y )=9 K : (x+)+(y )=8 [] K : (x+)+(y+)= K : (x )+(y+)= V.. Allgemeines zur Kugelgleichung [] Stellen Sie eine Kugelgleichung auf mit M( ) und r=. [] Welche Kugel hat M( -) als Mittelpunkt und geht durch P( -)? [] Beschreibt x²+x²+x² x+x 8- eine Kugel? V..8 Schnitt Kugel-Gerade Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Gerade g schneiden. Geben Sie gegebenfalls die Schnittpunkte an. [] K : (x )+(x+)+(x )= [] K : x [] K : (x+)+(x )+(x+)= [ ( )] = g : g : V..9 Schnitt Kugel-Ebene Untersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Ebene E schneiden. Geben Sie ggf. den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an. [] K : (x )+(x )+(x )= E : x x x = - [] K : (x )+(x 9)+(x ) = 8 E : x+x+9 [] K : (x )+(x )+(x+)= 8 E : x+x+x =

10 V.. Schnitt zweier Kugeln Untersuchen Sie, ob sich die beiden Kugeln schneiden. Geben Sie gegebenfalls den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an. [] K:(x )+(x )+(x )= K:(x )+x+(x )=9 [] K:(x )+(x )+(x 8)= K:(x+9)+(x )+(x )= [] K:(x ) +(x ) +(x+) = 8 K:(x )+(x )+(x+)= V.. Punkt und Kugel Liegt der Punkt P innerhalb oder außerhalb der Kugel K. Wie groß ist der Abstand? [] K:(x )+(x )+(x )=, P( - ) [] K : x+(x )+(x ) = 8 P(8 - ) P K? [] K : (x )+(x )+(x+)=8 P( -) P K? V.. Abstand Gerade-Kugel Bestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Gerade g. [] [] [], K:(x ) +(x ) +(x ) = (vergl: V..., V..., V...) () (), K:(x ) +(x ) +(x 9) = + r, K:(x+)+(x )+(x+)=9 (vergl.: V..., V..., V...) (vergl.: V..., V..., V...) V.. Abstand Kugel-Ebene Bestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Ebene E. [] K : (x+)+(x )+(x+)= E : x+x [] K : (x+)+(x )+(x )= E : x x+ [] K : (x )+(x )+(x )=8 E : x+8x+ V.. Abstand zweier Kugeln Bestimmen Sie den Abstand der beiden Kugeln voneinander. [] K:(x )+(x )+(x )= K:(x+)+(x )+(x+)=9 [] K:(x+) +(x ) +(x ) = K:(x )+(x )+(x+)= [] K:(x+)+(x )+8 K:(x+)+(x )+(x+)= V.. Tangentialebene Bestimmen Sie die Tangentialebene ETan an die Kugel K im Berührpunkt B. [] K : (x )+(x )+(x )= B( - -) [] K : x+(x )+(x ) = 9 B( c) mit c< [] K : (x )+(x )+(x+)= 9 B(a ) mit a< V.. Tangentialkegel Bestimmen Sie: [] K : (x+)+(x )+(x+)= P( - ) a) den Öffnungswinkel b) den Radius des Schnittkreises [] K : (x+)+(x )+(x )= P(- ) a) den Öffnungswinkel b) den Radius des Schnittkreises c) das Volumen des Kegels zwischen Schnittkreis und Punkt P. 8

11 [] K : (x )+(x )+(x )=9 P( - ) a) den Öffnungswinkel b) den Radius des Schnittkreises c) die Mantelfläche des Kegels zwischen Schnittkreis und Punkt P. V.. Polarkreis / Polarebene Vom Punkt P werden Tangenten an die Kugel K gelegt. Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels? In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? [] K : (x )+(x )+(x )= P(- - -) [] K : x+(x )+(x ) = P(8 8 -) In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte? [] K : (x+)+(x )+(x+)=9 P( - ) Umkugel und Inkugel finden Sie in Kapitel V.9. und V.9.. V. Pyramiden V.. Pyramide zwischen Ebene und den Koordinatenebenen Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die von der Ebene E und den Koordinatenebenen gebildet wird. [] E : x+x+x = [] E : x+x+x = [] E : -x+x+x = 8 V.. Senkrechte, quadratische Pyramide [] Bestimmen Sie das Volumen der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit A(- - ), B( - ), C( ), D(- ) und S( 8). [] Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze der senkrechten, quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten der Grundfläche in A(8 ), B(8 8 ), C( 8 ), D( ) und dem Volumen von V=8. [] Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze in S( ) und dem Volumen von V=, wenn die Grundfläche in der xx-ebene liegt. V..; V.. Volumen einer dreiseitigen Pyramide Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C und D. [] A(- ), B( ), C( ), D( ) [] A(- ), B( - ), C( -), D( ) [] A( ), B( - ), C( ), D(9 ) V.8 Parameter V.8. Ebenenscharen [] Welche Ebene der Schar Et : tx+tx+t+ enthält A( -)? [] Welche Ebene der Schar Et : tx+tx+t+ hat vom Punkt P( ) den Abstand d=? [] Welche Ebene der Schar Et : tx+t+ schließt mit der Ebene F : x einen Winkel von ein? [] Alle Ebenen der Schar Et : tx+tx+t+ haben eine gemeinsame Schnittgerade s. Bestimmen Sie eine Gleichung von s. 9

12 [] Die Ebenen der Schar Et : tx+tx+t+ rotieren alle um die Gerade s :. Eine einzige dieser rotierenden Ebenen kann nicht durch Et beschrieben werden. Bestimmen Sie deren Gleichung. V.8. Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einer Ebene Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zur Ebene E den Abstand d besitzen. r [], E : x +x x =, d=. [] g : ( ) + ( ), d=. E : x+x, V.8. Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einem Punkt Bestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zum Punkt P den Abstand d besitzen. [] [] [], g :, g :, A( ), d=. A( ), d=. A( ), d=? V.8. Lage von Gerade und Ebene in Abhängigkeit vom Parameter [] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade Ebene E : x+x+ in Abhängigkeit von ü. [] Für welche Werte von a sind die Gerade g : ü und der und die Ebene E : x+ax+ parallel? [] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : y der Ebene E : x+x+ in Abhängigkeit von y. und V.8. Geradenpunkt bildet rechten Winkel mit zwei anderen Punkten [] Welcher Punkt G der Gerade g : bildet mit A( ) und B( ) ein im G-Punkt rechtwinkliges Dreieck? [] Welche Punkt T der Gerade g : bildet mit A( -8) und B(8 ) ein Dreieck, welches in A einen rechten Winkel hat? V.8. Geradenschar [] Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar g k : liegen. Geben eine Ebenengleichung an. [] Gegeben sind die Geraden g k : k+ k k+ k in einer Ebene Für welche Werte von k schneiden sich die beiden Geraden? und h : x = ( ) + s ( ).

13 V.9 Anwendungsaufgaben V.9. Flugzeugaufgabe Ein Flugzeug befindet sich anfangs in A( ), eine Minute später in B( 8 ). Ein zweites Flugzeug startet zeitgleich in C( 9 9) und hat eine Minute später die Position D( 9) erreicht. [] Bestimmen Sie die Geraden, welche jeweils die Flugbahnen der beiden Flugzeuge beschreiben. [] Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten der Flugzeuge. [] Wann haben beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe erreicht? [] Wie nah kommen sich die beiden Flugbahnen? [] Wie nah kommen sich die beiden Flugzeuge? [] Unter welchem Winkel scheinen sich die Flugbahnen für einen Beobachter am Boden zu schneiden? V.9. Flugzeugaufgabe Zwei Kleinflugzeuge bewegen entlang der Geraden: 8 und f : x = 8 + s 8 (Längeneinheiten in Metern, Zeiteinheiten in Sekunden ab Messbeginn) f : x = ( ) () [] Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten der Flugzeuge. [] Wann sind die beiden Flugzeuge vom Boden gestartet? [] Wann befindet sich das zweite Flugzeug auf einer Höhe von m? Wie weit ist es zu diesem Zeitpunkt vom anderen Flugzeug entfernt? [] Bestimmen Sie den Steigungswinkel des ersten Flugzeugs. [] Zeigen Sie, dass die Flugzeuge nicht kollidieren, obwohl sich die Flugbahnen kreuzen. [] Wie nah kommen sich die beiden Flugzeuge? V.9. Senkrechte Projektionen Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. [] [] A( ) und g : A( ) und g : auf die x-x-ebene. auf die x-x-ebene. V.9. Schattenaufgaben (schiefe Projektionen) Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade g auf die angegebene Koordinatenebene. [] Im Punkt B( ) befindet sich ein m hoher Mast, der von einer Lampe beschienen wird, die sich im Punkt L( - 9) befindet. Wie lang ist der entstehende Schatten? ( ) v= [] Im Punkt B( ) befindet sich ein m hoher Mast. Aus der Richtung fällt Sonnenlicht auf den Mast. Wie lang ist der entstehende Schatten? [] Eine m hohe quadratische, senkrechte Pyramide mit den Eckpunkten der

14 Grundfläche in A( ), B(8 ), C(8 8 ) und D( 8 ) wird nachts von einem Strahler beleuchtet, der sich im Punkt L( ) befindet. Die Pyramide wirft einen Schatten auf eine in der xx-ebene liegende Wand. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Schattens. V.9. Umkugel [] Die Punkte A( ), B(8 ), C(8 8 ), D( 8 ) und S( ) bilden eine quadratische, senkrechte Pyramide. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Umkugel. [] Die Punkte A( -), B( - ), C( ), D(8 ) und S(- 8 ) bilden eine quadratische, senkrechte Pyramide. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Umkugel. V.9. Inkugel [] Die Punkte A( ), B(8 ), C(8 8 ), D( 8 ) und S( ) bilden eine quadratische, senkrechte Pyramide. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Inkugel. [] Die Punkte A( -), B( - ), C( ), D(8 ) und S(- 8 ) bilden eine quadratische, senkrechte Pyramide. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Inkugel. V. Beweise V.. Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit a=, b=, c = linear unabhängig? [] Sind die Vektoren ( ) () () d= [] Sind die Vektoren ( ), e = ( ), f = ( ) linear unabhängig? g= [] Für welches a sind ( ), h = ( ), i = ( ) linear unabhängig? a V.. Teilverhältnisse [] In welchem Verhältnis teilt der Punkt T( ) die Strecke AB mit A( ) und B(8 )? [] P(a b) teilt die Strecke MN im Teilverhältnis r. Bestimmen Sie den Wert für r sowie die Koordinaten von P, wenn die Koordinaten der Punkte M und N lauten: M( - ) bzw. N( ). [] Gegeben sind A(- ) und B( - ). Der Punkt Q teilt die Strecke AB im Verhältnis :. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q. [] Gegeben sind die Punkte G, A( ) und B(π π² π³) sowie das Teilverhältnis TV(AGB)=. Bestimmen Sie das Verhältnis von GB zu BA! V.. geschlossener Vektorzug [] Im Parallelogramm ABCD teilt N die Strecke AB im Verhältnis :, P teilt CD im Verhältnis : und M teilt DA im Verhältnis :. In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Strecken NP und BM? [] Im Dreieck ABC teilt N die Strecke AB im Verhältnis :, M halbiert BC, P teilt AC im Verhältnis :. Die Strecken PN und AM schneiden sich in S. Bestimmen TV(ASM) sowie TV(PSN).

15 V.. Beweise über s Skalarprodukt [] Beweisen Sie, dass in einer Raute (=Rhombus) die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. [] Beweisen Sie den Satz des Thales (jeder Winkel im Halbkreis ist 9 ) [] In nebenstehender Figur sind ABSG und SCDE zwei E D Quadrate. F ist der Mittelpunkt der Strecke GE. F Zeigen Sie, dass das Dreieck ACF rechtwinklig und gleichschenklig ist. G A S C B

16 Lösungen der Aufgaben [V..] x [] AC A x D E G AB g C F x x BC x x [] x H [] C x A B=D BC = AB + AC B x B( ), D( ) E( ), F( ) G( ) [V..] [] MAB( -, ) S( ) B x 8 ( ) AC = ( ) AB = g CD [] g RS x A = :x g : : gab : PQ 8 [V..] 9 oder C oder oder g CD oder grs EABC : [] EABC [] EPg [] EPh [] Eg,h [] Eg,h = :x g : : gab : PQ 8 oder oder oder oder oder oder + s ( ) : + s ( ) : + s ( ) : + s ( ) = :x + s ( ) = :x + s ( ) [] x [V..] [] AB [] MPQ( -, ) MPR( -) MQR(, ) S( ) Eg,h oder... + s ( ) : + s ( ) : + s ( ) : + s ( ) = :x + s ( ) EABC E Ph oder... oder... EABC : EPg oder... oder... oder... oder... oder... oder

17 8 + s ( ) = :x + s ( ) Eg,h : x = [] [8] Eg,h Eg,h oder 8 + s ( ) = :x + s ( ) E g,h : x = oder oder oder [V..] [], [], []: -x x+- (oder Vielfache) [], [], [8]: x+x+ (oder Vielfache) [], [], [9]: -x+x+ (oder Vielfache) [V..] [] [] [] [] [] / + s ( ) E: + s ( ) E: + s ( ) E : + s ( ) E: + s ( ) E: [V..8] [ ( )] ( ) x [] E : / / = (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) / / (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) (oder viele andere Varianten) [ ( )] ( ) x = [] E : [] E : ( ) [ x ( ) ] = [V..9] [] S --S( ) S( ) [] S ( ) S--S( ) [] S (- - ) S(- ) S( 8 ) [] S (- ) S(- -) S(,) [V..] [] S( ) [] S( ) [] S(- ) [] S--- S( - ) S( ) S--S( ) [V..] [] S( ) S( - ) S( ) [] S--S( ) S( -) x x E x S( ) S( ) S( ) S( -) x x [] E:S( ) F:S( ) S( ) S --S( ) S( ) x x E x E F x s

18 [V..] [] g und [] g und [] g und [] g und h h h h sind windschief schneiden sich in S( ) sind parallel sind identisch [V..] [] E und g schneiden sich in S( ) [] E enthält g [] E und g sind parallel [V..] [] E und E sind parallel [] [] [] E und E sind identisch E und E schneiden sich in g : E und E schneiden sich in g : [V..] [] d(a,b)= [] d(p,q)= [] d(c,d)= [V..], [V..], [V..], [V..] [] d( A,g)=, [] d(p,g)= [] d(z,g)=9 [V..] [] d(e,p)=9 [] d(e,p)= [] d(e,p)= [V..] [] d(e,p)=9 [] d(e,p)= [] d(e,p)= [V..8] [] d(g,h)= 8, [] d(e,g) 8, [] d(e,e)= [V..9], [V..] [] d(g,h)= [] [] d(g,h)=, d(g,h)= [V..] [] B*(- ), h* : [] C*( -), i* : [] A*(- -), g* : [V..] [] A*(9 ) [] A( ) [] P*(- ) [V..] [] P(- - ) [] B*(9 ) [] P*(- - -9) [V..] [] P*(8-9 -8) [] Q*( ) [] R*( 8 )

19 [V..] [] α, [] [] [] [] α, α,88, β,, γ 9, [V..] [] a b= [] a b= [V..] 8 8 [] n= ( ) () [] A = 8 [] V= [V..] [] D( ) [] 9, = [] u v n= ( ) () [] A = [] V=, [] A( - ) [V..] [] P liegt im Inneren [] D liegt im Inneren α= [] α 9, α=γ,, β=δ, [] n= 8 ( ) ( ) [] C( ) [] P liegt nicht im Inneren [] D liegt im Inneren [V..] [] A =8 [] A,8 [] A =9 [V..] [] A,89 [] A, [] A =, [V..] [] (x )+(x )= [] (x )+(x )=9 [] Kreis wird beschrieben mit M(- ) und r=. [V..] [] Zwei Schnittpunkte: [] Zwei Schnittpunkte: [] Zwei Schnittpunkte: S( ) S(- ) S( ) S( 8) S(- -) S(- ) [V..] [] Schnittgerade: s:y=-x+, [] Schnittgerade: s:y=x, [] Schnittgerade: s:y= x+ Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) Zwei Schnittpunkte: S( ) S( ) [V..] [] d= P liegt außerhalb [] d=, P liegt auf K [] d, P liegt innerhalb [V..] [] d=, [] d=,9 [] d= (g berührt K) [V..] [] d= (K berührt K) [] K schneidet K [] d,

20 [V..] [] K : (x )+(x )+(x )= [] K : (x )+(x )+(x+)=9 [] Es ist eine Kugel. K : (x )+(x+)+(x )= [V..8] [] S( - ), S( - ) [] Berührpunkt B( ) [] keine Schnittpunkte [V..9] [] M*( ), r*= [] M*( ), r*= [] M*( -), r*= [V..] [] Schnittebene: E:x x -, [] Schnittebene: E:x+x+, M*( ), r*= M*(- ), r = 9 [] Schnittebene: E:x+x+-, M* 9 9 9, r*, ( [V..] [] P liegt im Inneren von K [] P liegt genau auf K [V..] [] d=, ) [] P liegt außerhalb von K, d(k,p),8 [] d(k,g)= [] d(k,g)= [V..] [] d(e,k)= [] d(e,k)= [] d(e,k)= [E und K berühren sich] [V..] [] d(k,k)= [] d(k,k)= [] d(k,k)= [die Kugeln berühren sich] [V..] [] Tangentialebene: ETan :x x 9, [] Tangentialebene: ETan :x x -, [] Tangentialebene: ETan :-x x+, [V..] [] Öffnungswinkel α=,, r=,9 [] r=,98 h=, V.9 [] Öffnungswinkel α=8,9 r,8 [V..] [] Öffnungswinkel: α=, M=,8 Polarebene: EP : x+x+, [] Öffnungswinkel: α=8, Polarebene: EP : x+x, [] Polarebene: EP : x x+- [V..] [] VPyr= 8 [] VPyr= [] VPyr=

21 [V..] [] VPyr=9 [] Spitzen: S( ), S( -) [] A( - ) B( ) C(- ) D(- - ) [] VPyr=8 [V..], [V..] [] VPyr=, [] VPyr=8, [] VPyr= [V.8.] [] t= (E : x+x+) [] t= (E : x+x+) t= (E : x+x+) [] t= (E : ) ( ) + k ( ) : ( ) + μ ( ) + λ ( ) [] Schnittgerade: s : [] Egesucht ( mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!) [V.8.] [] r,8 P(, 9,8 -,) r= P(- - ) [] r= P( -); r=9 P( - ) [V.8.] [] r= P( ); r= P( ) [] r= P( ); r= P( - ) [] P(9 ), P(- - -8) [V.8.] [] parallel: ü=/. [] parallel: a=. g in E : unmöglich g in E : unmöglich Schnittpkt: ü /. Schnittpkt: a. [V.8.] [] r= P( ); r=/ P(8/ / /) [V.8.] [] + s ( ) [] E: [] Schnitt für k= [] parallel: unmöglich. g in E : unmöglich Schnittpkt: immer. keine Lösung ( mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!) [V.9.] [] f : [] t=9 8, [V.9.] [] v=m/s [] t= Sek [] f : d=,9 v=m/s d=,8 km 9 9 [] [] [] [V..] [] linear abhängig [] für a=: linear abhängig, ( ) + s ( ) d=9, t=- Sek t=- Sek [] v=9, v= [] α=,9 t= Sek t= Sek [] linear unabhängig für a : linear unabhängig 9

22 [V..] [] AT:TB = : [] Q(,) [V..] [] [] AS:SM = : PS:SN = : [] GB:BA = :

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