Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur

Transkript

1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analsis die Funktionstpen Eponential-Funktionen Sinus-, Kosinus-Funktionen Gebrochen-Rationale Funktionen Logarithmus-Funktionen Wurzel-Funktionen Polnome Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de Mrz.05

2 Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus der Werbe-Pschologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet übrigens nur die Mathe-Seite.de! Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [A..06] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [A..06]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind. Weitere kostenlose Lern-Schriften auf Mathe-Seite.de Die Lernbuch-Reihe detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden Die Mathe-Fibel alles Nötige in Kompaktform Die Lern-Kartei-Karten handlich und clever Die Formelsammlung das unverzichtbare Nachschlagewerk Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner endlich verständlich

3 A. Eponential-Funktionen A..0 Gleichungen lösen (Basiswissen) Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: [0] f() = e [0] g() = e-+ 6 [0] h() = +e+ [0] f() = ² e [05] g() = e ( e+0,5) [06] h() = (+) e- A..0 Gleichungen lösen (Herausforderungen) Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: [0] f() = e e [0] g() = -e5+e [0] h() = e e+ [0] f() = -e+e 8 [05] g() = e e- [06] h() = e e-+ A..0 Ableitungen (Basiswissen) Bestimmen Sie zwei Ableitungen der folgenden Funktionen: [0] f() = e e [0] g() = 0,5e-6+e+ [0] ht() = e-+t+t -t [0] f() = e +e+e [05] gt() = ¼ e +te [06] h() = ( e0,5) A..0 Ableitungen (Herausforderung) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: [0] f() = (+) e-6+ [0] g() = (+) e+ [0] h() = ² e-+ ²+ e +5 e [0] f( ) = [05] g() = [06] h( ) = e e + e + A..05 Integrieren (Basiswissen) Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: [0] f()=e+5 [0] g()=e-+ e+ [0] h()=e (e+e-) A..06 Integrieren (Herausforderung) Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: [0] f( ) = [0] f( ) = e+5 e e e + [0] g() = (+) e [0] h() = ² e-++6² [05] g() = e (e 7) [06] h() = e² A..07 Asmptoten (=Grenzwerte) Bestimmen Sie die Asmptoten der folgenden Funktionen: [0] f() = e 5 [0] g() = e-+e- [0] h() = e+ [0] f() = ( ) e- [05] g() = e+ + [06] h() = e+ 5 A..08 Asmptoten (Herausforderungen) Bestimmen Sie die Asmptoten der folgenden Funktionen: [0] f( ) = e e + [0] g() = e + e Havoni Schulmedien-Verlag [0] h( ) = e e +

4 A..09 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: [0] f()=e0,5 [0] g()=+e- [0] h()=6 e A..0 Schaubild Funktionsgleichung [0] Die Funktion f() hat die Form f()=a e-0,5+b. a [0] Die Funktion g() hat die Form g() = e b. Bestimmen Sie a und b. [0] Die Funktion h() hat die Form h()=a e-+b. Bestimmen Sie a und b. Bestimmen Sie a und b. f() g() h() A.. Funktionsanalse [0] f() = 0,5e0, 0,5e-0, Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Smmetrie, e) Wendepunkte, f) das asmptotische [0] g() = (+6)e-0,5 Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Smmetrie, e) Wendepunkte, f) das asmptotische [0] h() = ½ ( e0,5) Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Smmetrie, e) Wendepunkte, f) das asmptotische c) Nullstellen, d) Etrema, Verhalten, g) eine Skizze. c) Nullstellen, d) Etrema, Verhalten, g) eine Skizze. c) Nullstellen, d) Etrema, Verhalten, g) eine Skizze. A. Trigonometrische Funktionen A..0 Die Periode Bestimmen Sie die Periode der folgenden Funktionen: π [0] f() = sin() [0] g() = cos( + )+ [0] h( ) = 8sin ( ) 5 (5 ) A..0 Gleichungen lösen Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: [0] f()= sin() [0] g() = cos(+) [0] h( ) = ( sin(π +) ) [0] f()=sin²(0,5) sin(0,5) [05] g() = cos(-)+sin(-) cos(-) [06] h( ) = cos( )+ sin( )+ A..0 Gleichungen lösen (.Lösung eakt bestimmen) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion im Intervall I. [0] f() = sin()+ I=[0;Periode] [0] g() = cos(+) I=ℝ [0] h() = sin(0,+π)+ I=[-0π;0π] Havoni Schulmedien-Verlag

5 A..0 Ableitungen (Basiswissen) Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion: π [0] f() = sin() [0] g() = cos( + )+ [0] h( ) = 8sin ( ) 5 (5 ) A..05 Ableitungen (Herausforderungen) Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion: [0] f( ) = (sin(π +) ) [0] g() = sin²(0,5) sin(0,5) [0] h() = ² sin() [0] j() = sin() [ cos()] A..06 Integrieren (Basiswissen) Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: [0] f()= sin()+ [0] g()=cos(+) [0] h()= sin(0,+π)+³ A..07 Integrieren (Herausforderung) Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: [0] f( ) = cos²( ) [0] g()= sin() [0] h()=sin() cos() A..08 Grundfunktion: a sin(b[ c])+d bzw. a cos(b[ c])+d Beschreiben Sie die Lage und Form der folgenden Funktionen. (Verschieben, Strecken,Spiegeln,...) [0] f() = sin( )+ [0] g() = cos(π +π) A..09 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: π [0] f()= sin(+) [0] g() = cos( +π )+ [0] h() = sin( ) A..0 Schaubild Funktionsgleichung Bestimmen Sie eine Gleichung der folgenden Funktionen: [0] [0] f() - g() h() [0] 5 Havoni Schulmedien-Verlag

6 A.. Funktionsanalse [0] f() = sin(0,5)+ Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Periode, c) Etrema, d) Wendepunkte, e) eine Skizze. [0] g() = (sin())² Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Nullstellen, c) Etrema d) eine Skizze, e) Periode. [0] h() = sin() cos() mit 0 π Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Nullstellen, c) Etrema, d) Wendepunkte, e) eine Skizze, f) die Periode. A. Gebrochen-Rationale Funktionen A..0 Nullstellen Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: ² + [0] f( ) = [0] g() = [0] h( ) = + A..0 Ableitungen (Basiswissen) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: ² + [0] f( ) = [0] g() = [0] h( ) = +² A..0 Ableitungen (Herausforderungen) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: ² [0] f( ) = [0] g() = ( + ) (+) A..0 Stammfunktionen (Basiswissen) Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: ³ ²+6 [0] f( ) = [0] g() = 5 [0] h( ) = ² ( 5) A..05 Stammfunktionen (Herausforderungen) siehe Kap. A..05 Produktintegration, A..06 Integration durch Substitution, A..07 Partialbruchzerlegung A..06 Asmptoten (waagerechte und senkrechte) Bestimmen Sie waagerechte und senkrechte Asmptoten der folgenden Funktionen: ² + [0] f( ) = [0] g() = [0] h( ) = ³ + ² [0] j() = ² ²+ Havoni Schulmedien-Verlag

7 A..07 schiefe Asmptoten / Polnomdivision Bestimmen Sie die schiefen Asmptoten der folgenden Funktionen: ³ ²+ ²+ [0] f( ) = [0] g() = [0] h( ) = ² A..08 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: ² [0] f( ) = [0] g() = ² [0] h( ) = ² ³ 5²+ ²+ ² (+) ( ) A..09 Schaubild Funktionsgleichung Bestimmen Sie eine Gleichung der folgenden Funktionen: [0] [0] f() f() [0] h() A..0 Funktionsanalse ² 8 [0] f( ) = ( ) Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, g) eine Skizze. ²+ [0] g() = ² Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, g) eine Skizze. [0] h( ) = + + Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, g) eine Skizze. Havoni Schulmedien-Verlag 5

8 A. Logarithmus Funktionen A..0 Definitionsmenge Bestimmen Sie die Definitionsmenge der folgenden Funktionen: [0] f()= ln(+) [0] g()=ln(-) [0] h( ) = ln( 6) A..0 Ableitungen (Basiswissen) Bestimmen Sie eine Ableitung der folgenden Funktionen: [0] f()= ln(+) [0] g()= ln(5) [0] h()=-ln(+5)+8 A..0 Ableitungen (Herausforderungen) Bestimmen Sie eine Ableitung der folgenden Funktionen: [0] f()= ln(5) [0] g()= ln() [0] h( ) = ln( ) 5 A..0 Stammfunktionen Bestimmen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen: [0] f()= ln() [0] g()=+ln() [0] h() = ln() A..05 Gleichungen lösen Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: [0] f()= ln() [0] g()=- ln( )+ ln( ) 5 [0] j() = [05] k() = ln(²+) [0] h()= ln() A..06 Asmptoten Bestimmen Sie das Verhalten von f() an den Definitionsrändern. [0] f() = ln() [0] g()= ln() [0] h()= ln(+) ln() [0] j() = [05] k()= ln(²+) A..07 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: [0] f() = ln() [0] g()= ln() ln() [0] j() = [05] k()= ln(²+) 6 Havoni Schulmedien-Verlag [0] h()= ln(+)

9 A..08 Schaubild Funktionsgleichung Bestimmen Sie eine Gleichung der folgenden Funktionen: [0] [0] f() [0] g() h() A..09 Funktionsanalse ln( ) [0] f( ) = Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, [0] g() = ² ln(-) Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, [0] h() = ln() Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, c) Asmptoten g) eine Skizze. c) Asmptoten g) eine Skizze. c) Asmptoten g) eine Skizze. A.5 Wurzel Funktionen A.5.0 Ableitungen (Basiswissen) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: [0] f( ) = + [0] g() = (+) ³ [0] h( ) = ³ A.5.0 Ableitungen (Herausforderung) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: + [0] f( ) = + [0] g() = + [0] h( ) = ( +) A.5.0 Stammfunktion (Basiswissen) Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen: [0] f( ) = + [0] g() = (+) ³ [0] h( ) = A.5.0 Stammfunktion (Herausforderung) Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen: +6 [0] f( ) = ²+ [0] g() = 6 [0] h( ) = ( ) Havoni Schulmedien-Verlag 7

10 A.5.05 Nullstellen Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: +6 [0] f( ) = + [0] g() = ²+ [0] h( ) = 6 [0] i( ) = ( ) + A.5.06 Asmptoten Bestimmen Sie das asmptotische Verhalten der folgenden Funktionen: [0] f( ) = + + [0] g() = + [0] h( ) = A.5.07 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: [0] f( ) = [0] g() = 5 [0] h( ) = A.5.08 Schaubild Funktionsgleichung Bestimmen Sie eine Gleichung der folgenden Funktionen: [0] f() [0] [0] g() A.5.09 Funktionsanalse [0] f( ) = Bestimmen Sie: a) Ableitungen, d) Nullstellen, e) Etrema, [0] g() = +6 Bestimmen Sie: a) Ableitungen, d) Nullstellen, e) Etrema, 6 [0] h( ) = ²+ Bestimmen Sie: a) Ableitungen, d) Nullstellen, e) Etrema, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten f) Wendepunkte, g) eine Skizze. b) Definitionsmenge, c) Asmptoten f) Wendepunkte, g) eine Skizze. b) Definitionsmenge, c) Asmptoten f) Wendepunkte, g) eine Skizze. A.6 Ganzrationale Funktionen A.6.0 Polnomdivision ; A.6.0 Horner Schema Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: [0] f()=³ ²+ [0] g()=³ 6² +6 [0] h()=³ ² +0 8 Havoni Schulmedien-Verlag h()

11 A.6.0 Zerlegung in Linearfaktoren Zerlegen Sie f() in Linearfaktoren: [0] f()=³ [0] g()= 0+5 [0] h()=½ ³+² 6 [0] i()=³ 6² +6 A.6.0 Polnome über Nullstellen aufstellen Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f() auf, von welcher Folgendes bekannt ist: [0] N( 0), N(- 0), N( 0), P(0 -) [0] N,(- 0), N( 0), P( ) [0] Eine Parabel fünfter Ordnung hat eine doppelte Nullstelle bei N,( 0) und je eine einfache Nullstellen bei N(0 0) und N,5(± 0). Der Kurvenpunkt Ä(- -6) sei bekannt. A.6.05 Steckbriefaufgaben Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f() auf, von welcher Folgendes bekannt ist: [0] Eine quadratische Parabel berührt die -Achse bei und schneidet die -Achse bei 6. Bestimmen Sie die Parabelgleichung. [0] Eine Parabel. Ordnung hat bei W(0 ) eine Wendetangente mit der Steigung m=- und enthält den Punkt P( ). Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. [0] Eine Gleichung dritten Grades ist punktsmmetrisch zum Ursprung und hat bei H( ) einen Hochpunkt. Bestimmen Sie die zugehörige Gleichung. [0] Die Form einer geplanten Straße kann durch s()=a²+b beschrieben werden und soll an der Stelle = knickfrei in eine bereits vorhandene Straße einmünden, die durch die Gleichung f()=-²+6 8 dargestellt werden kann. Bestimmen Sie die Gleichung der gesuchten Funktion s(). [05] Ein neues Stück einer Minigolfbahn soll durch eine zur -Achse smmetrischen Parabel vierter Ordnung moduliert werden. Es soll an der Stelle =- ruckfrei in die bereits vorhandene Minigolfbahn übergehen, welche ganz gut durch die Funktion m()=³+²++8 angenähert werden kann. Bestimmen Sie bitte, bitte die Gleichung der gesuchten Funktion. A.6.06 Funktionsgleichung Schaubild Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: [0] f()=³ [0] g() = 0,5³ 6²+8 [0] h() = -0,5+ A.6.07 Schaubild Funktionsgleichung Bestimmen Sie eine Gleichung der folgenden Funktionen: [0] g() [0] [0] h() f() Havoni Schulmedien-Verlag 9

12 Ergebnisse [A..0] [0] =½ ln() [0] = (ln() ) [0] keine Lösung [0],=0 [05] =ln() [06] =- [0] = ln(6) [0] =0, =ln() [A..0] [0] =ln() ln() [0],=½ ln() [05] = [A..0] [0] f'()=e e f''()=e e [0] f'()=e+e f''()=e [0] g'() =-,5e-6+e+ g''() = 9e-6+e+ [05] gt'() = -½ t e-t+te gt''() = t² e-t+te [A..0] [0]f'()=e-6+ (+) [0] g'() =e+ (6+7) [0] f'()=e 5e - [05] g'() = [06] =0 [0] h'() = e-+ ( ²) e [0] ht'() = -e-+t+t ht''() = e-+t [06] h'() = -e0,5+e h''() = -e0,5+e [06] h'() = (e + ) (²+ )e e + (e +) oder h'() = e ( ²+ ) +8 (e + ) [A..05] [0] F()=,5e+5 [0] G()=-e-+ ½ e+² [0] H()= e +e [A..06] [0] F()=½ e 5e- [0] F()= ln e+ [0] G()=e (+) [05] G()= ( e 7) [A..07] [0] + [0] + [0] + [0] + [05] + [06] + 9 f() +, - f() 0, - f() +, - f() 0, - f() +, - f() +, - f() -5, f() +, f() 0, f() -, f() +, f() -, [0] H()=e-+ (-² )+³ [06] H() = e² waag.as. bei =-5 waag.as. bei der -Achse waag.as. bei der -Achse waag.as. bei der -Achse schiefe.as. bei =-+ schiefe.as. bei = 5 [A..08] [0] + f(), - f() 0, zwei waag.as. bei = und bei =0 [0] + f(), - f() -/, zwei waag.as. bei = und bei =0, eine senkrechte As. bei =ln(). [0] ± f() 0, eine waag.as. bei der -Achse 0 Havoni Schulmedien-Verlag

13 [A..09] [0] [0] h() [A..0] [0] a=-, b= [0] a = ln( ), b= [A..] [0] a) f'()=0, e0,+0,e-0, f''()=0,08 e0, 0,08e-0, f'''()=0,0 e0,+0,0e-0, b) Punktsmmetrie zum Ursprung c) N(0 0) d) H- T- e) W(0 0) f) + f() +, - f() - f() [0] a) g'()=e-0,5 (- ) g''()=e-0,5 (0,5 0,5) g'''()=e-0,5 (-0,5+0,75) b) keine Smmetrie c) N(- 0) d) H(- e0,5) e) W( 8e-0,5) f) + f() 0, - f() - g() [0] a) h'()=-e0,5+0,5e h''()=-e0,5+0,5e h'''()=-0,5e0,5+0,5e b) keine Smmetrie c) N(ln() 0) = N(ln(6) 0) N(,77 0) d) T(ln() 0) = T(ln(6) 0) T(,77 0) e) W(ln() ) = W(ln() ) W(,9 ) f) + f() +, - f() 8 6 h() 5 [0] Per = π [0] Per = [0] a=, b=0 [A..0] [0] Per = π [0] g() f() [A..0] [0] =0, = π [bzw. = π n, = π+ π n [0] =- [bzw. =-+n π mit n ℤ] [0] = π, = π + [bzw. = π +n, = π + +n [0] =0, =π, =π, [bzw. =n π mit n ℤ] [05] = π, = π [06] =π [bzw. =π+n π bzw. = π n mit n ℤ] mit n ℤ] n [bzw. = π+n π, = π+n π bzw. = π + π mit n ℤ] mit n ℤ] Havoni Schulmedien-Verlag

14 [A..0] [0] Per = π, =-0,7 =, [0] =-,77+n π =-,7+n π [0] =-8,7 =7, =, =-55,5 [A..0] [0] f'()=6 cos() π π [0] g'()= 0 sin ( + ) 7 [0] h'() = 5 cos 5 ( ) ( ) [A..05] [0] f'()=6 cos() [0] g'() = sin(0,5) cos(0,5) 0,5 cos(0,5) [0] h'()= sin()+² cos() [0] j'() = cos() [ cos()]+sin() sin() [A..06] [0] F()= cos()+ [0] G()=sin(+) [0] H()=-0 cos(0,+π)+0,5 [A..07] [0] F()=-cos() [0] G()=-0,5 cos()+0,5 sin() [0] H()=½ sin²() oder H()=½ cos²() [A..08] [0] um Faktor in -Richtung gestreckt [Amplitude ist ], um Faktor in -Richtung gestaucht [oder: Periode von π auf π gekürzt], um nach oben verschoben, um,5 nach rechts verschoben. [0] um Faktor in -Richtung gestreckt [Amplitude ist ], um Faktor π in -Richtung gestaucht [oder: Periode von π auf gekürzt], um nach unten verschoben, um nach links verschoben. [A..09] [0] - f() h() [0] g() [0] Havoni Schulmedien-Verlag

15 [A..0] [0] f( )= sin ( π (,75)) + oder π [0] g()=,5 sin( (,5) ),5 ( π (,5)) + oder g()=,5 sin( π ),5 oder f( )= cos oder π π [0] h( )=sin( ( ) ) + oder h( )=cos ( ( 5) ) + oder [A..] [0] a) f'() = cos(0,5)+ f''() = -0,5 sin(0,5) f'''() = -0,5 sin(0,5) b) Periode = π. c) H--, T--, d) W(n π n π) SP=W(π+n π π+n π) 8π f() 6π π π π π 6π 8π mit n ℤ [0] a) g'() = -sin() cos() g''() = -sin²()+cos²() = cos²() = -sin²()+ g'''() = -8 sin() cos() b) N(0,5π+n π 0) N(,5π+n π 0) oder zusammengefasst: N(0,5π+n π 0) c) T(0,5π+n π 0), H(n π ) e) Periode = π. π [0] a) h'() = cos²() sin²() = 8sin²() = -+8cos²() h''() = -6sin() cos() h'''() = -6cos²()+6sin²() = b) N(0 0) N(0,5π 0) N(π 0) N(,5π 0) N5(π 0) c) H(0,78 ) H(,9 ) T(,6 -) T(5,5 -) d) Wendepunkte sind die Nullstellen f) Periode = π. [A..0] [0],=± [A..0] [0] f '( ) = [A..0] [0] f '( ) = + ² [0] =- = ²+ ² ²++ (+) [0] g'() = 5 ( ) [0] g'() = 8 ( ) h() π π [0] h'() = ² ( ) [0] H() = 9 ( 5) (+ ) [0] G() = ln 5 [A..06] [0] senkrecht: =0 [0] senkrecht: = [0] senkrecht: =± waagerecht: =0 waagerecht: = waagerecht: =0 g() [0] =- = [A..0] 6 [0] F() = ² π Havoni Schulmedien-Verlag

16 [0] senkrecht: keine waagerecht: = [A..07] [0] = [0] =+ [A..08] [0] [0] = [0] f() [A..0] [0] a) f '( ) = [0] g() = + g() [A..09] [0] f( ) = [0] + ² h() + (+)² ( ) [0] h( ) = 6 ( ), f ''() = 8 ( ), f '''() = 9 ( )5 b) D=ℝ\{} c) senkrechte As (ohne VZW): =, waagerechte As: = d) N(0 0) N( 0) e) keine Etrema f) keine Wendepunkte [0] a) g'() = ² + ³, g''() = 9 6 6, g'''() = + 5 b) D=ℝ\{0} c) senkrechte As (ohne VZW): =0, waagerechte As: = f() g() d) N( 0) N(- 0) e) H f) W(,5 0,65) ( ) [0] h'() = + (+), h''() = (+ ), h'''() = 6 (+ ) b) D=ℝ\{0} c) senkrechte As (mit VZW): =-, schiefe As: = + [A..0] [] D={ >-} [] D=ℝ [] D={ >;,5} f) W-- andere Schreibweise: D=]-; [ ; D=(-; ) andere Schreibweise: D={ <0} ; D=]- ;0[ ; D=(- ;0) andere Schreibweise: D=];,5[ ],5; [ ; D=(;,5) (,5; ) [A..0] d) N(0 0) N( 0) e) H(0, 0,086), T(-,,9) h() Havoni Schulmedien-Verlag

17 [0] f '( ) = + [0] g'() = Havoni Schulmedien-Verlag [0] h'() =

18 [A..0] [0] f '( ) = 5 [0] h'() = [0] g'()=ln()+ 7 ln( ) ² [A..0] [0] f()= ln() [0] G()= ²+ln( ) + ln() [0] H()= ln() 6 [A..05] [0] N(0 0) [0] N(e²+ 0) [A..06] [0] 0 f() [0] 0 g() 0 [0] - h() [0] 0 j() - [05] ± k() [0] N(e³ 0) [0] N(e,5 0) [05] N(0 0) f() g() h() j() 0 [A..07] [0] [0] [0] f() g() h() [0] [05] j() 6 k() - [A..08] [0] f() = ln(+) ln(),8 ln(+) [0] g()=ln() [0] h() = [evtl. auch g()=0,5 ln() oder g()= ln()] ln + -, ln(-0,5+0,5) ln(0,5) ( ) [A..09] [0] a) f '( ) = ln()+ ², f ''() = ln( ) 5 ³ b) D=ℝ+ c) senkrechte As: -Achse 0 f() f() 0,5 d) N(e 0) e) H e² f) W e,5 ( e² ) 6 ( e ) Havoni Schulmedien-Verlag - f()

19 [0] a) g'()= ln(-)+, g''()= ln(-)+ b) D=ℝ c) senkrechte As: -Achse - g() 0 g() 0 ½ d) N(-0,5 0) e) T e e T(-0, -0,05) ( ) -0, 8 0,05-0, g() ) -0,05-0, / e W(-0, -0,0) f) W e 8 ( [0] a) h'()=ln(), h''() = b) D=ℝ+ c) keine As., f() 0 h() 0 d) N(e² 0) e) T(e -e) f) W-Skizze [A.5.0] [0] f '( ) = = (+) [0] h'() = 0,5 (³ ) [A.5.0] [0] f '( )= =,5 (² ) = + 6 ² 7 5 [0] G() = 7 5 (+) h() 0,5 ³ [0] g'()= (+) + + [A.5.0] [0] F() = ²+ [0] G() = + ( 6) [0] h'()= ( +) 5 [0] H() = 5 ( ) [über Substitution] ( 5 5) H() = ( ) [0] ( ) [über Produktintegration] [A.5.05] [0] N( 0) [0] N( 0) [0] g'() =,5 +,5-0,5-0,5 [A.5.0] [0] F() = - + 0, [über Produktintegration] [0] N(-,5 0) [0] N(0,5 0) N(- 0) [bei =- stimmt die Probe nicht] [=0 ist nicht in Definitionsmenge] [A.5.06] [0] senkrechte As. bei =- [ - f() ], waagerechte As. bei = [0] g(), - g() 0 [keine Asmptoten] [0] - h() -, h() [keine Asmptoten] [A.5.07] [0] [0] - f() [0] g() h() - Havoni Schulmedien-Verlag - 7

20 [A.5.08] [0] f( ) = + [0] g() = [ß] h( ) = + [A.5.09], f ''()= ( ) b) D = { 0,5} = [0,5; [ c) keine Asmptoten. f() 0,5 f() 0,5 d) N( 0) e) T( 0) f) W-[0] g() = +6 Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, g) eine Skizze. 6 [0] h( ) = ²+ Bestimmen Sie: a) Ableitungen, b) Definitionsmenge, c) Asmptoten d) Nullstellen, e) Etrema, f) Wendepunkte, g) eine Skizze. [0] a) f( ) = f '( )= [A.6.0], [A.6.0] [0] N(- 0), N,( 0) [0] N(- 0), N( 0), N(5/ 0) [A.6.0] [0] f()= ( )(+) [0] h()=½ ( )(+6) [0] N(- 0), N( 0), N( 0) [0] g()=² ( 5)² [0] i()=(+)( )( ) [A.6.0] [0] f( ) = ( ) (+) ( ) [0] f( ) = ( ) (+) [0] f( ) = ( ) (+) ( )² 5 [A.6.05] [0] f( ) = ²++6 [0] f( ) = ³ + [0] f( ) = ³+ [0] s()=0,5² [05] f()= 5+ [A.6.06] [0] [0] - f() 8 g() 8 - Havoni Schulmedien-Verlag 6

21 [0] h() [A.6.07] [0] f( ) = (+) ( ) = ³ + 9 [0] g() = ² ( ) = + 9 [0] h( ) = (+) = ³ ² Havoni Schulmedien-Verlag 9

22 Damit die Mathe-Seite.de kostenlos bleiben kann, braucht sie deine Hilfe! Bitte empfiehl die Mathe-Seite deinen Freunden. facebook.com/matheseite Danke! 0 Havoni Schulmedien-Verlag

23 Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de Havoni Schulmedien-Verlag

24 Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de Havoni Schulmedien-Verlag