Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis Geraden,Parabeln Punkte, Geraden, Parabeln Schnittpunkte, Winkel, Scheitelpunkte Schaubilder im Koordinatensystem

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analsis Geraden,Parabeln Punkte, Geraden, Parabeln Schnittpunkte, Winkel, Scheitelpunkte Schaubilder im Koordinatensstem und mehr Mrz.05 Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

2 Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus der Werbe-Pschologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet übrigens nur die Mathe-Seite.de! Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [A..06] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [A..06]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind. Weitere kostenlose Lern-Schriften auf der MatheSeite Die Lernbuch-Reihe detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden Die Lern-Kartei-Karten handlich und clever Die Formelsammlung das unverzichtbare Nachschlagewerk Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner endlich verständlich

3 Videos mit Lösungsweg auf der Mathe-Seite.de; Ergebnisse hinten im Heft. A.0 Punkte A.0.0 Mittelpunkte [0] Bestimme (zeichnerisch und rechnerisch) den Mittelpunkt der beiden Punkte: A( ), B(- 5). [0] Gegeben sei das Dreieck ABC mit: A( ), B(- 5), C( -). Die Mittelpunkte der Strecken, AB, AC, BC bilden das Dreieck DEF. Bestimmen Sie die Koordinaten von D, E, F. [0] Gegeben sei das Dreieck ABC mit: A(0 -), B( 6), C(5 ). Bestimmen Sie die Mittelpunkte der drei Seiten sowie den Schwerpunkt des Dreiecks. [0] Bestimme (zeichnerisch und rechnerisch) den Mittelpunkt der beiden Punkte: A( ), B( -). A.0.0 Steigung [0] Eine Gerade geht durch die Punkte A( -) und B(6 5). Bestimmen Sie die Steigung der Gerade. [0] Welche Steigung hat die Strecke AB mit A( ) und B( )? Welche Steigung hat die Strecke CD mit C(- ) und D(5 )? [0] Welche Steigung hat die Strecke OA mit O(0 0) und A(6 )? Welche Steigung hat die Strecke BC mit B( 0) und C(0 6)? [0] Welche Steigung hat die Strecke AB mit A(-5 -) und B( )? Welche Steigung hat die Strecke BC mit B( ) und C( -)? [05] Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(- ), B( ) und C(- -). Bestimmen Sie die Steigungen aller drei Dreiecksseiten. A.0.0 Verschiebungen [0] Verschieben Sie A( -) um drei nach links und nach oben. [0] Verschieben Sie B( 5) um zwei nach rechts und nach unten. [0] Verschieben Sie C(- ) um eins nach rechts und nach oben. A.0.0 Entfernungen [0] Bestimmen Sie den Abstand von P( ) zu Q( 6). [0] Wie groß ist die Entfernung vom Ursprung zu P(6 -)? [über Formel] [0] Bestimmen Sie den Abstand von A( ) zu B( 6) sowie von C(- ) zu D(5 ). [0] Bestimmen Sie den Abstand von R(- ) zu S(,5). [05] Bestimmen Sie den Abstand von A(- ) zu B( ). [06] Bestimmen Sie den Abstand von A(0 0) zu B(-5 0). [07] Berechne die Länge des geschlossenen Streckenzuges durch die Punkte A(- ), B( ), C( ), D( -) und E( -). [Andere mögliche Formulierung: Berechne den Umfang des Fünfecks ABCDE!] A.0.05 Spiegelung am Punkt [0] Spiegeln Sie P( -) am Ursprung O(0 0) [0] Spiegeln Sie Q(- 6) an Z( ) [0] Spiegeln Sie A(- -) an B( ) [0] Herleitung der Formel Havoni Schulmedien-Verlag

4 A.0.06 Spiegelung an Geraden (nur an achsenparallelen Geraden) [0] Spiegeln Sie P( -) an der -Achse [0] Spiegeln Sie Q(5 ) an der -Achse [0] Spiegeln Sie B(- 6) an der Gerade = [0] Spiegeln Sie A(- -) an der Achse = A.0 Geraden A.0.0 Einzeichnen [0] Zeichnen Sie die Geraden = und = in ein Koordinatensstem. [0] Zeichnen Sie die Gerade = in ein Koordinatensstem. [0] Zeichnen Sie die Gerade = + in ein Koordinatensstem. [0] Zeichnen Sie die Geraden = und =- in ein Koordinatensstem. 5 [05] Zeichnen Sie die Gerade = in ein Koordinatensstem. [06] Zeichnen Sie die Gerade =,5 7,5 in ein Koordinatensstem. [07] Zeichnen Sie die Gerade = in ein Koordinatensstem. A.0.0 Auslesen Gib die Gleichung der gezeichneten Geraden an. [0] [0] [05] [0] [0] - - A.0.0 Punktprobe [0] Liegt P( ) auf der Geraden g : =+? [0] Liegt P(- ) auf der Geraden g : =-? [0] Liegt P(- -) auf der Geraden g : =+? [0] Liegt P( -) auf der Geraden g : =-0,5+? [05] Liegt P( ) auf der Geraden g : = +? A.0.0 Koordinaten vervollständigen [0] Bestimme a so, dass A( a) auf der Gerade =-+ liegt. [0] Bestimme b so, dass B(b 5) auf der Gerade = 7 liegt. [0] Bestimme c so, dass C(c 0) auf der Gerade =,5 0 liegt. [0] A(...) und B... liegen auf der Geraden g : = +. ( ) Bestimmen Sie die vollständigen Koordinaten von A und B. Havoni Schulmedien-Verlag

5 A.0.05 Konstantengleichung [0] Welche senkrechte Gerade geht durch A( )? [0] Welche waagerechte Gerade geht durch B(,5 )? [0] Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Geraden, die parallel zur - und Achse sind und den Punkt C(- ) enthalten. A.0.06 Parallele und Senkrechte [0] Welche Gerade ist parallel zu =+ und geht durch A( -)? [0] Welche Gerade ist orthogonal zu =+ und geht durch B( -)? 5 [0] Welche Gerade ist parallel zu = und geht durch C(- )? [0] Welche Gerade ist orthogonal zu = und enthält D( 5)? A.0.07 Schnittpunkt Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden und. [0] =+ und =-+ [0] =0,5 und =+,5 [0] = und = -+ [0] = und =+ A.0.08 Gleichung aus Punkt+Steigung Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden mit den folgenden Angaben: [0] P(0 0) und m= [0] Q( 5) und m=-½ [0] R(-5 ) und m=0, [0] A( ) und m=- [05] C( ) und m= [06] E(5 ) und m= [07] P( -) und m=-½ A.0.09 Gleichung aus Punkt+Steigung (PSF) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden mit den folgenden Angaben: [0] P(0 0) und m= [0] Q( 5) und m=-½ [0] R(-5 ) und m=0, [0] A( ) und m=- [05] C( ) und m= [06] E(5 ) und m= [07] P( -) und m=-½ A.0.0 ; A.0. Gleichung aus zwei Punkten Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden die die beiden Punkte enthalten: [0] A( ) und B(5-5) [0] C( ) und D(- -) [0] E(5 ) und F( -) [0] G(- ) und H( -) Havoni Schulmedien-Verlag

6 A.0. Gleichung der Seitenhalbierenden [0] A( ), B(- ), C( ). Bestimmen Sie die Seitenhalbierende auf BC sa. [0] A( -), B(5 ), C( ). Bestimmen Sie die Seitenhalbierende auf AC sb. [0] A(- 0), B( ), C(0 5). Bestimmen Sie die Seitenhalbierende auf AB sc. A.0. Gleichung der Höhe [0] A( 0), B(- ), C( ). Bestimmen Sie die Höhe auf BC ha. [0] A(- -), B( ), C(5 ). Bestimmen Sie die Höhe auf AC hb. [0] A(- -), B( ), C(5 ). Bestimmen Sie die Höhe auf AB hc. A.0. Gleichung der Mittelsenkrechten [0] A( 0), B(- ), C( ). Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte auf BC ma. [0] A(- -), B( ), C(5 ). Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte auf AC mb. [0] A(- -), B( ), C(5 ). Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte auf AB mc. A.0.5 Anstiegswinkel [über m=tan(α)] [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =+5 und -Achse. [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =-+ und -Achse. [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =+ und =. [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen = und =-. [05] Bestimmen Sie den Winkel zwischen = +... und einer Horizontalen. A [06] Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC aus der nebenstehender Skizze. B A.0.6 Winkel untereinander C [ tan(α) = (m m)/(+m m) ] [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =-+ und -Achse. [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =+ und =. [0] Bestimmen Sie den Winkel zwischen =7 und =+. A.0.7 Parameter bei Geraden [0] Für welchen Wert von t enthält =t+t den Punkt P( )? [0] Für welche Werte von t liegt A(0 ) auf der Gerade =t+t²? [0] Bestimmen Sie die Nullstelle von der Gerade =t+t². [0] Bestimmen Sie die Nullstelle der Gerade =t+t 8. A.0. vermischte Aufgabe Die Gerade g ist parallel zur ersten Winkelhalbierenden und geht durch B(- -). Die Gerade g hat die Gleichung = +5. Die Gerade g geht durch B und P(-5 ). [0] Zeichnen Sie die Geraden in ein rechtwinkliges Koordinatensstem und stellen Sie die Gleichungen der Geraden g und g auf. [0] Bestätigen Sie durch Rechnung, dass C(,5,5) auf g und g liegt. [0] Berechnen Sie den Schnittpunkt A von g und g. [0] Berechnen Sie den Innenwinkel des Dreiecks ABC bei A. Havoni Schulmedien-Verlag

7 A.0 Flächen A.0.0 Achsparallele Flächen Eine Seite ist parallel zu den Koordinatenachsen. Verwenden Sie das für die Berechnung des Flächeninhalts. [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD mit A(- 5), B( 5), C( -) und D(- -). [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0 ), B(0 ) und C(6 ). [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit den drei Eckpunkten A( ), B(6 ) und C(- ). [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt von ABC mit A(- -), B( -) und C( 5). A.0.0 Dreiecksflächen (Standardweg) [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A( ), B(0 ) und C( ). [0] Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks ABC mit A( ), B(- -), C(5-0,5). [0] Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks ABC mit A(- -), B( 5) und C(-6 ). A.0.0 Dreiecksflächen (von Rechtecken umschrieben) Legen Sie um das Dreieck ein Rechteck, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Ziehen Sie vom Flächeninhalt des Rechtecks die Flächen der drei rechteckigen Dreiecke ab. [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A( ), B(0 ) und C( ). [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A( ), B(- -) und C(5-0,5). [0] Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks ABC mit A(- -), B( 5) und C(-6 ). A.0.0 Dreiecksflächen (Formel) [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A( ), B(0 ) und C( ). [0] Bestimmen Sie den Flächeninhalts des Dreiecks ABC mit A( ), B(- -) und C(5-0,5). [0] Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks ABC mit A(- -), B( 5) und C(-6 ). A.0.05 viereckige Flächen [0] Bestimmen Sie die Fläche des Vierecks ABCD mit A(- ), B( 5), C( ) und D(5 ). [0] Bestimmen Sie die Fläche des Vierecks ABCD mit A(0 0), B(- ), C( ) und D( ). Havoni Schulmedien-Verlag 5

8 A.0 Parabeln A.0.0 Zeichnen mit WT Zeichnen Sie die Parabeln mit Hilfe einer Wertetabelle [0] =² + [0] =²+ [0] =-½²+ ½ A.0.0 Zeichnen von Normalparabeln Zeichnen Sie die Parabeln mit Hilfe des Scheitelpunkts [0] =² + [0] =-²+ [0] =²+6 A.0.0 Die Parabelformen: Normalform, Scheitelform, Linearfaktorform Zeichnen Sie die Parabeln: [0] =² [0] =( ) [0] =( )( ) [0] =-0,5²+,5 [05] =-½(+)+ [06] =0, (+) ( ) A.0.0 Normalform in Scheitelform (über quadratische Ergänzung) Geben Sie die Scheitelform der Parabeln an. [0] =²+ [0] =² 6+8 [0] =²+5+ [0] =-²+8 6 [05] =² 6+5 A.0.05 Scheitelform in Normalform Geben Sie die Normalform der Parabeln an. [0] =(+) [0] =( )+ [0] =( ) 5 A.0.06 Normalform in Linearfaktorform Geben Sie die Linearfaktorform der Parabeln an. [0] =²+5+ [0] =²+5 6 [0] =-²+6 A.0.07 Linearfaktorform in Normalform Geben Sie die Normalform der Parabeln an. [0] =(+)( ) [0] =( )(+) [0] =-(+)(+) A.0.08 Verschieben von Parabeln Beachten Sie, dass wir die Scheitelpunkte der Parabeln bereits in A.0.0 berechnet haben. [0] [0] [0] [0] [05] Verschieben Verschieben Verschieben Verschieben Verschieben Sie Sie Sie Sie Sie =²+ um nach links und nach unten. =² 6+8 um nach rechts und nach oben. =²+5+ um nach rechts und nach unten. =-²+8 6 um nach links und nach oben. =² 6+5 um nach links und nach unten. A.0.09 Strecken von Parabeln [0] Strecken Sie =²+ um in -Richtung. [0] Stauchen Sie =² 6+8 um -0,5 in -Richtung. [0] Strecken Sie =²+5+ um - in -Richtung. [0] Strecken Sie =-²+8 6 um,5 in -Richtung. A.0.0 Achsenschnittpunkte [0] Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von =0,5² 9 6 Havoni Schulmedien-Verlag

9 [0] Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von =0,5²+ [0] Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von =²++ [0] Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von =-² +5 A.0. Schnittpunkte mit Gerade Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden [0] =²+ =-+5 [0] =² + = [0] =² + = [0] =² + =- A.0. Schnittpunkte zweier Parabeln Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln [0] =²+ =² + [0] =²+ [0] =-²+ =² =²++ A.0. Tangente an Parabel [0] Zeigen Sie, dass sich =+ und f()=²++ berühren. [0] Zeigen Sie, dass =-+5 Tangente an g()=-²++ ist. Bestimmen Sie den Berührpunkt. [0] =-+a und h()=²++b enthalten beide den Punkt P(- ). Bestimmen Sie a und b. Zeigen Sie, dass P kein gewöhnlicher Schnittpunkt, sondern ein Berührpunkt ist. A.0. Steckbrief: Normalparabel und Scheitelpunkt [0] Eine nach oben geöffnete Normalparabel besitzt den Scheitelpunkt in S( ). Bestimmen Sie eine Gleichung der Parabel. [0] Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen nach unten geöffneten Normalparabel, die in S( 9) den höchsten Punkt besitzt. [0] Bestimmen Sie die Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel mit dem Scheitelpunkt in S( -). [0] Bestimmen Sie die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit dem Scheitelpunkt in S(- 5). A.0.5 Steckbrief: Normalparabel und Punkte [0] Welche nach oben geöffnete Normalparabel geht durch den Ursprung und durch A( )? [0] Welche nach oben geöffnete Normalparabel enthält die beiden Punkte P(- 6) und Q( )? [0] Welche nach unten geöffnete Normalparabel geht durch die Punkte A( 9) und durch B(- 5)? A.0.6 Steckbrief: Parabel mit Scheitelpunkt und Punkt [0] Welche Parabel mit dem Scheitelpunkt in S( -) geht durch A( )? [0] Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt in S( 7) und enthält den Punkt B( ). Bestimmen Sie die Parabelgleichung in Normalform. [0] Eine Parabel berührt die -Achse in N( 0) und geht durch C( ). Wie lautet die Parabelgleichung in allgemeiner Form? [0] Welche Parabel mit dem Scheitelpunkt in S( -) geht durch A( )? [05] Welche Parabel mit dem Scheitelpunkt in S(- 5) enthält P( )? A.0.7 Steckbrief: Punkte [0] Eine Parabel enthält die Punkte A( ), B(0 0) und C( -). Bestimmen Sie die Havoni Schulmedien-Verlag 7

10 Gleichung der Parabel. [0] Eine Parabel enthält die Punkte A(0 -), B( 5) und C(- -). Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. [0] Eine Parabel enthält die Punkte P( -), Q( ) und R(- 7). Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. A.0.8 Steckbrief: Nullstellen [0] Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat bei N( 0) und N(5 0) ihre Nullstellen. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. [0] Welche nach unten geöffnete Normalparabel hat ihre Nullstellen in den Punkten N(- 0) und N( 0). Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. [0] Eine Parabel geht durch A( 0), B(- 0) und durch C( 5). Bestimmen Sie die Parabelgleichung in Normalform. [0] Eine Parabel geht durch P(- 0), Q( ) und durch R( 0). Bestimmen Sie die Parabelgleichung in Normalform. A.0.9 Parameter bei Parabeln [0] Für welches t geht =½ ²+t 6t durch den Punkt P( )? [0] Für welches t geht =² t+t² durch den Punkt P( )? [0] Bestimme die Nullstellen von =²+t+t² in Abhängigkeit von t. [0] Bestimme die Nullstellen von =² 6t+8t in Abhängigkeit von t. [05]; [6] Bestimme die Anzahl der Nullstellen von =² 6t+8 in Abhängigkeit von t. [über a-b-c-formel bzw. über p-q-formel] [Sie brauchen nur eine der beiden Formeln!] A.05 kubische Parabeln A.05.0 Nullstellen [0] Bestimmen Sie die Nullstellen von f()=³ ² 5 [0] Bestimmen Sie die Nullstellen von g()=½ ³ ²+8 [0] Bestimmen Sie die Nullstellen von h()=³ 8 A.05.0 Ableitungen [0] Bestimmen Sie zwei Ableitungen von f()=³ ² 5 [0] Bestimmen Sie zwei Ableitungen von g()=½ ³+² [0] Bestimmen Sie zwei Ableitungen von h( ) = ³+ ² + 8 Havoni Schulmedien-Verlag 6

11 A.05.0 Hoch- und Tiefpunkte [0] Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von f()=³ ² 9+ [0] Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von g()=³ ²+6 [0] Bestimmen Sie die Etrempunkte von h( ) = ³+ ² 5 A.05.0 Wendepunkte [0] Bestimmen Sie die Wendepunkte von f()=³ ² 9+ [0] Bestimmen Sie die Wendepunkte von g()=³ ²+6 [0] Bestimmen Sie die Wendepunkte von h( ) = ³+ ² 5 A Tangenten [0] Bestimmen Sie die Tangente an f()=³ ²+9 im Punkt P(?) [0] Bestimmen Sie die Tangente an g()=0,5³ ²+6 in A( g()). [0] Bestimmen Sie die Wendetangente von h( ) = ³+ ² 5. A Beispielaufgabe f( ) = ³+² 6 [0] [0] [0] [0] [05] [06] Zeichnen Sie f() im Bereich - 5 Bestimmen Sie die Nullstellen Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte. Bestimmen Sie die Wendepunkte. Bestimmen Sie die Tangente an f() im Punkt P(?). Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f() mit g()=². A Beispielaufgabe f( ) = ³ [0] [0] [0] [0] [05] 5 Zeichnen Sie f() im Bereich -5 Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte. Bestimmen Sie die Wendepunkte. In welchem Punkt ist die Tangente an f() parallel zur Gerade 5+6=7? Bestimmen Sie den Schnittpunkt von f() mit =-,6+ A.06 verschiedene Funktionstpen A.06.0 Parabeln höherer Ordnung [0] Bestimmen Sie das Grenzverhalten von f() = ³+² 6+5. [d.h. ± laufen lassen]. Skizzieren Sie f() im Grenzbereich. [d.h. vor allem links und rechts im Schaubild.] [0] Bestimmen Sie das Grenzverhalten von f() = -½+². Skizzieren Sie f() im Grenzbereich. [0] Gegeben sei f() = +a²+b. Bestimmen Sie lim f () und lim f( ). Skizzieren Sie f() im Grenzbereich. [0] Gegeben sei f() = -5+a+b+c+d+e. Bestimmen Sie lim f () und lim f( ). Havoni Schulmedien-Verlag 9

12 A.06.0 Hperbeln [0] Skizzieren Sie f( ) = + 8 ² h( ) = (+) f( ) = (+5) g() = + h( ) = [0] Skizzieren Sie g() = [0] Skizzieren Sie [0] Skizzieren Sie [05] Skizzieren Sie [06] Skizzieren Sie A.06.0 Eponentialfunktionen [0] Skizzieren Sie f()= und g() = ( ) [0] Skizzieren Sie f()= und g() = -0,5 [0] Skizzieren Sie f()=0, und g() = 0, [0] Eine Eponentialfunktion der Form =a b geht durch die Punkte A(0 ) und B( 9). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. [05] Eine Eponentialfunktion der Form =a b geht durch die Punkte A( -6) und B( -). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. [06] Eine Funktion der Form =a b geht durch die Punkte A(- 6,5) und B( ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. A.07 Wachstum A.07.0 lineares Wachstum [0] In einem neu angelegten Garten stehen 8 Apfelbäume. Stefan, der Gärtner setzt täglich 6 Bäume neu ein. a) Wann sind alle 0 geplanten Bäume in der Erde. b) Wieviel Bäume stehen nach einer Woche drin? [0] Auf einer überschwemmten Wiese steht das Wasser 8 Stunden nach der allerersten Messung 55cm hoch. Noch einmal Stunden später steht das Wasser nur noch 9cm hoch. a) Wie hoch stand das Wasser anfangs? b) Wann wird das Wasser voraussichtlich komplett weg sein? [0] Elisabeth bekommt von ihrer Oma jede Woche 50Cent, die sie in ihre rosa Schweinchen-Spardose wirft. Zur Zeit sind drin. a) Wann haben Elisabeth und die Oma mit der Sparmaßnahme begonnen? b) Wann wird sich Elisabeth einen Roller im Wert von 600 von diesem Geld leisten können? A.07.0 eponentielles Wachstum [0] Emanuel war ein sehr braver Schüler und verdient nun eine Menge Geld. So kommt es dass er nun 0.000,- zur Bank bringen kann, die es ihm prompt mit % verzinst. a) Erstellen Sie eine Funktion, mit deren Hilfe sich Emanuels Vermögen bei der Bank angeben lässt. b) Wieviel Geld hat Emanuel nach 5 Jahren? c) Wann hat sich Emanuels Geld verdoppelt? [0] Tscheko war ein sehr fauler Schüler. Zwar hat er mit Kokainhandel einen Haufen Kohle verdient, hat das Geld aber in Moldavien angelegt, wo es jährlich 8% an Wert verliert. Egal denkt er. Jetzt, nach Jahren sind immer noch.00 auf dem Konto. a) Wieviel Geld hatte er anfangs? b) Wie hoch ist sein Vermögen in 5 Jahren, wenn er wieder aus dem Knast kommt? 0 Havoni Schulmedien-Verlag

13 [0] Eine normale Glascheibe hält ca. 0% des Lichts ab. a) Wieviel Prozent des Lichts dringt durch ein dreifach verglastes Isolierfenster durch? b) Wieviel Glasscheiben braucht man, damit nur noch die Hälfte des Lichts durch kommt? A.07.0 begrenztes (beschränktes) Wachstum [0] Johanna steigt gelegentlich unter die Dusche, wodurch die Luftfeuchtigkeit im Bad bis auf 00% steigt. Anfangs liegt die Luftfeuchtigkeit bei 0%. nach einer Minute ist sie bereits auf 0% gestiegen. a) Geben Sie die Luftfeuchtigkeit der ersten 5 Minuten an, wenn begrenztes Wachstum vorausgesetzt werden kann. b) Wann liegt die Luftfeuchtigkeit bei 75%? [0] Bei Tag liegt die Temperatur auf dem Mond bei ca.0, nachts sinkt sie auf ca -60. Ein Mondtag, also ein Umlauf des Mondes dauert ca 8 Tage. Ein Stein auf der Mondoberfläche habe sich nun auf 0 aufgeheizt. Wenn sich der Mond nun mitsamt Stein von der Sonne wegdreht, kühlt der Stein ab. Eine Stunden nach Sonnenuntergang hat sich der Stein bereits auf 95 abgekühlt. Wie hoch ist die Temperatur des Steins nach 5 Stunden? [0] Samuel steht vor einem 50-Liter-Fass, welches randvoll mit Wasser gefüllt ist. Er schöpft mit einem -Liter-Krug Inhalt aus dem Fass ab und schüttet es weg. Gleich anschließend schöpft er mit dem gleichen Krug aus einem anderen Gefäß eine 0%ige Alkohollösung in das Fass. Da er nichts zu tun hat, wiederholt er diese Prozedur, bis der Arzt kommt. a) Welche Menge an reinem Alkohol wird sich langfristig im Fass befinden? b) Wann befindet sich eine Gesamtmenge von einem Liter reinen Alkohols im Fass? [0] Bauer Hirt streut jeden Tag jeden Tag 0kg Saatgut auf seinem Feld aus. Die blöden Krähen fressen jedoch täglich 0% der Menge die sich morgens auf dem Feld befindet, wieder weg. a) Erstellen Sie eine Tabelle für die Menge des Saatgutes, welches in den ersten 5 Tagen auf dem Feld liegt. b) Welche Menge wird sich langfristig auf dem Feld befinden? A.07.0 logistisches Wachstum [0] Ein Tannensetzling ist 5cm groß, als er eingesetzt wird. Ein Jahr später ist er um 75cm gewachsen. Wie groß ist die Tanne nach Jahren, wenn von einer Endgröße von 60m ausgegangen werden kann? [0] In einer Stadt mit Einwohnern sind 500 Personen an Grippe erkrankt. Drei Wochen später sind es bereits 800. a) Wieviel Personen sind nach 6 Wochen erkrankt? b) Wann ist die Hälfte der Stadt erkrankt? [0] Ein böser Hacker entwirft ein böses Virus. Zu Beginn infiziert der Hacker 000 beliebige Computer aus dem Internet. Nach einer Woche sind bereits doppelt so viele PCs infiziert. Es ist davon auszugehen, dass weltweit Mio PCs infiziert werden, bis die Antivirenprogramme die Verbreitung des Virus erfolgreich eindämmen. Wie viel PCs werden nach einem Monat befallen werden? Havoni Schulmedien-Verlag

14 Ergebnisse A.0.0 [0] MAB( ) [0] D( ); E(,5 -); F(.5 ) [0] MAB(0,5 ); MAC(,5 0); MBC( ); SABC( ) [0] MAB( ) A.0.0 [0] mab= [0] mab -- mcd=0 [0] mab = mbc=- [0] m=0 [05] mab = 5 ; mbc = ; mac=- A.0.0 [0] A'(- ) [0] B'( ) A.0.0 [0] d(a,b)=5 [0] [0] d(a,b)=5; d(c,d)=7 [0] [05] d(a,b)=5 [06] [07] AB= 5 ; BC= 0 ; CD= 7 ; DE= 5 ; [0] C'(- 5) d(o,p)= 0 d(r,s)=6,5 d(a,b)=5 AE= 9 ; UABCDE 7, A.0.05 [0] P*(- ) [0] A*(5 8) [0] Q*( -) [0] Beweis A.0.06 [0] P*( ) [0] B*(- ) [0] Q*(-5 ) [0] A*(5 -) A.0.0 [0] [0] [0] [0] = - = Havoni Schulmedien-Verlag

15 [05] [06] - [07] A.0.0 [0] = [0] = + [0] =-+ [0] = bzw. = [05] = + bzw. = 5 A.0.0 [0] ja [0] ja [05] nein A.0.0 [0] A( ) [0] C( 0) A.0.05 [0] = [0] =-; = A.0.06 [0] nein [0] ja [0] B( 5) [0] A(,5) B(- 0,5) [0] = [0] = [0] = 5 [0] = + [0] = +8 A.0.07 [0] S( ) [0] S( ) [0] S(-9-7,5) [0] S A.0.08 ; A.0.09 [0] = [0] = +7 Havoni Schulmedien-Verlag

16 [0] =0,+ [05] = [07] = [0] =-+5 [06] = A.0.0 ; A.0. [0] =-+5 [0] = [0] = [0] =-0,5 A.0. [0] s a: = + [0] sb:= [0] sc:=+5 [0] hb:=-+6 8 [0] hc : = + 7 [0] msb := + [0] msc : = + A.0. [0] ha:=-+ A.0. [0] msa:=-+ A.0.5 [0] α=5 [0] α=6, α=90 [05] α=,69 [06] α=67,8 β=6,59 γ=9,57 [0] α=6,57 [0] α=8, [0] A.0.6 [0] α=6, [0] α=6,57 A.0.7 [0] t= [0] t=± [0] N(-t 0) t 0 [0] N ( t 8 g ) A.0. [0] g:= g : = 7 [0] Beweis 9 6 [0] A ( [0] g 9 ) α=8,7 [0] AABC=9 (LE²) [0] AABC= (LE²) A.0.0 ; A.0.0 ; A.0.0 [0] AABC=5 (LE²) [0] AABC=,5 A.0.05 [0] AABCD=,5 g A.0.0 [0] AABCD= (LE²) [0] AABC=7 (LE²) P Skizze 6 (LE²) [0] AABC=9 (LE²) (LE²) Havoni Schulmedien-Verlag B [0] AABC= (LE²)

17 A.0.0 [0] [0] [0] - - A.0.0 [0] S( -) [0] S(0 ) [0] S(- -9) S S A.0.0 [0] S [0] [0] [0] [05] [06] - A.0.0 [0] =(+) [0] =(+,5),5 [05] =( ) [0] =( ) [0] =-( )+ Havoni Schulmedien-Verlag 5

18 A.0.05 [0] =²+ [0] =² 8+8 [0] =² 8+ A.0.06 [0] =(+)(+) [0] =(+6)( ) [0] =-( )( ) A.0.07 [0] =² [0] =²+ 6 [0] =-² 5 A.0.08 [0] =(+) 7=²+6+ [0] =( 0,5),5=² [05] =( ) 5=² [0] =( )=² 8+6 [0] =-( )+5=-²++7 A.0.09 [0] =²+ 6 [0] =-² 5 [0] =-0,5²+ [0] =-²+ 9 A.0.0 [0] N(6 0) N(-6 0) S(0-9) [0] N(- 0) N(- 0) S(0 ) [0] N(0 0) N(-8 0) S(0 0) [0] N( 0) N(-5 0) S(0 5) A.0. [0] S( ) S(- 9) [0] S,( 0) [0] S(5 8) S( 0) [0] kein Schnittpunkt A.0. [0] S( 5) [0] S,( 0) A.0. [0] B(- -) [0] a= b= [0] S( 7) S(- ) [0] B( -) B(- ) A.0. [0] =( )+=² + [0] =( ) =² 6+7 [0] =-( )+9=-²+6 [0] =-(+)+5=-² + A.0.5 [0] =² [0] =-² 8+8 [0] =² A.0.6 [0] =( ) =² 8+5 [0] =( )=² + 9 [05] = (+) +5= ² + [0] =- ( )+7=-²+6+ [0] =( ) =² 6+7 A.0.7 [0] =-²+ [0] =½ ² + [0] =² 6 Havoni Schulmedien-Verlag

19 A.0.8 [0] =² 8+5 [0] =-²++ 6 [0] = ²+ + [0] =² A.0.9 [0] t=0 [0] t= t=- [0] N,(-t 0) [0] N,( t± 9t² 8t 0 ) [05] ; [06] keine Nst. für <t<, eine Nst. für t=± zwei Nst. für t< oder t> A.05.0 [0] =0 =5 =- [0] =0 = =- [0] =0,= A.05.0 [0] f'()=² 8 5 [0] g'() = ²+ [0] h'() = g''()=+ ² +5 7 h''()=-6+5 A.05.0 [0] H(- 7) T( -5) T 9 [0] H 5 ( f''()=6 8 ) ( [0] H( ) T(6 0) ) A.05.0 [0] W( -9) [0] W( 6) [0] W( -) A [0] =6 [0] =-+6 [0] = A [0] A [0] 6 [0] N(0 0) N,( 0) T ( ) ( 6 5 ) [0] H( 0) 6 [0] H T [0] W(0 ) 8 [0] P P ( 5 ) ( 5 ) ( 5 5 ) [05] S(0 ) ( ) [0] W [05] T=0 Havoni Schulmedien-Verlag 7

20 [06] S(0 0) S( 0) S(- 8) A.06.0 Die folgenden Skizzen zeigen natürlich nur mögliche Aussehen der Funktionen. Vor allem am linken und rechten Rand werden die Funktionen annähernd dargestellt. In der Mitte ist der Verlauf der Funktionen nicht bekannt. [0] lim f( )= [0] lim f( )= lim f ()= lim f ()= [0] lim f( )= [0] lim f( )= lim f ()= lim f ()= A.06.0 [0] [0] [0] [0] [05] [06] A.06.0 [0] [0] [0] ( ) [0] = ( ) 8 0, 0,5 [05] = ( ) Havoni Schulmedien-Verlag 0, [06] =5 0,8

21 A.07.0 [0] a) 7 Tage b) 60 Bäume [0] a) 67cm [0] a) vor 6 Wochen b) 00 Wochen nach Beginn A.07.0 [0] a) B(t)=0000,0t [0] a) B(0)= ,- [0] a) B()=7,9% b) 68 Std. b) B(5)=.59,7 c) t=,5 b) B(7)=.6,06 b) 7 Scheiben A.07.0 [0] a) B()=0; B()=55; B()=66,5; B()=7,69; b) Zu Beginn der 5. Minute [0] B(5) -7,6 [0] a) Grenze=0Liter b) im Laufe der 6. Minute [0] a) B()=0; B()=57; B()=8,; B()=0,7; b) Grenze = 00 kg B(5)=8,0 B(5)=,85 A.07.0 [0] B()=; B()=,95; B()=5, [0] a) B(6) 560 b) in der. Woche [0] ca PCs Havoni Schulmedien-Verlag 9

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