Vektorgeometrie. Schattenspiele. Anwendungen. Friedrich Buckel. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Stand 24.

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Helmuth Schmidt
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1 Vektorgeometrie Anwendungen Schattenspiele Datei Nr Stand 4. September 0 Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort Es gibt eine Reihe von Aufgaben, die einen Schattenwurf berechnen lassen. Ich beginne hier mit einer ersten Aufgabe, weitere werden folgen.

3 Thema: Schattenwurf einer Pyramide auf eine benachbarte Pyramide Aufgabe In der Nähe von Kairo steht die Cheopspyramide neben der Chephrenpyramide. Die eine wirft einen Schatten auf die andere. Für ein mathematisches Modell verwenden wir für die beiden Pyramiden folgende Koordinaten: Pyramide : A B3 3 0, C3 3 0, D3 3 0, E0 0 5 Pyramide : P5 0 0, Q5 6 0, R9 6 0, S9 0 0, T7 8 3 a) Zeichne die Pyramide in ein Schrägbild (x-achse nach links unten um 35 O gegen die nach rechts zeigende y-achse, LE auf der x-achse ). Verwende die ganze Blattbreite und zeichne die Pyramide an den rechten Rand. b) Die Sonnenstahlen treffen in Richtung des Vektors v 6 auf die Pyramide auf. 7 Berechne den Schattenpunkt Z 0 der Spitze E und zeichne den Schatten so ein, wie er auf der x-y-ebene ohne die Pyramide aussehen würde. c) Trage die Pyramide in die Zeichnung ein. Berechne die notwendigen Punkte, die man benötigt, um auf ihr den Schatten der Pyramide auf der Pyramide einzutragen. d) Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf dem Boden auf? (Quelle der Aufgabe unbekannt, Text wurde verändert)

4 Lösung Aufgabe. Berechnung des Schattenpunktes der Spitze E auf der xy-ebene. Dazu benötigt man den Lichtstrahl durch E Sein Richtungsvektor ist Gleichung dieser Geraden g: Gleichung der xy-ebene: z = 0. 0 x 0 t t 7 t Schnitt mit g: 5 Eingesetzt in g: xe' Der Schattenpunkt der Spitze E: E' ,6, v Berechnung des Schattenpunktes der Spitze E mit der Pyramidenfläche PQT. Gleichung der Ebene (PQT): x OQrQPsQT 5 0 x 6 r 4 s Schnittpunkt Z mit dem E-Strahl: r 4 s 0 t Gleichungssystem: s t 5 4r s 6t 6 3s 7t 5 () () (3) 3 : 6s 36t 5 (4) 3 : 6s 4t 0 (5) (4) + (5): 50t 5 t Man benötigt vor allem r und s um zu erkennen, ob der Schnittpunkt Z auch wirklich innerhalb des Dreiecks QPT liegt. t in (): s 6 5 s s t, s in (): 4r 8 6 4r r. 4 Da r und s in x OQrQPsQT Werte aus dem Intervall 0; haben und außerdem gilt 0 r s, liebt Z wirklich im Innern der Pyramiden-Dreiecksfläche. Also trifft der E-Strahl auf diese Fläche auf, und zwar im Punkt Z 6 8,5 ( t in g eingesetzt).

5 3. Knick des Schattenrandes an der Pyramidenkante Die Schattenlinie der Kante AE trifft also Folge davon die Kante QT in einem Punkt Z*. Diesen berechnet man durch folgende Idee: Der Schatten der Kante AE bildet im Raum eine Ebene F in Richtung der Sonnenstrahlen v. Diese Ebene schneidet man mit der Pyramidenkante QT. Gleichung der Schattenfläche von AE aus. F: x OErEAsv Gleichung der Pyramidenkante QT: 0 3 x 0 r 3 s x OQtQT 5 x 6 t 0 3 Schnittpunkt: Gleichungssystem: r 3 s 6 6 t r s t 5 3r 6s t 6 5r 7s 3t 5 Die Lösung (ihre Berechnung wird hier nicht gezeigt) lautet: r 0,33, s 0,45 und t 0,40. Mittels t kann man aus der Gleichung der Pyramidenkante den Knickpunkt Z* berechnen: Ergebnis: Z * 5,8 6,8, 5 5,8 z 6 0,4 6,8 0 3, d) Berechnung des Auftreffwinkels der Sonnenstrahlen auf der xy-ebene. Einen Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor v und dem Normalenvektor n vn der Ebene wird berechnet durch die Formel: cos. v n 0 Aus v 6 und n 0 folgt: 7 (Gemessen gegen die Vertikale). 7 cos 0, also O 70,7.

Zeichnung (Erstellt mit Mathegrafix, Version 0) Hinweise zur Schattenkonstruktion auf der Pyramide. Z 0 ist der Schatten von E auf dem Erdboden ohne das Vorhandensein der Pyramide.

6 Zeichnung (Erstellt mit Mathegrafix, Version 0) Hinweise zur Schattenkonstruktion auf der Pyramide. Z 0 ist der Schatten von E auf dem Erdboden ohne das Vorhandensein der Pyramide. Am Schnittpunkt der Schattenlinie CZ 0 mit der Pyramidenkante PQ entsteht der erste Knickpunkt Z des Schattens an der Pyramidenfläche PQT. Auf ihr liegt auch der Schattenpunkt Z der Spitze E, den man berechnen musste. Dann kann man die Schattenkante Z Z einzeichnen. Wegen des Vorhandenseins der Pyramidenkante QZ geht der Schatten nicht gradlinig von Z nach Z, dem Schnittpunkt der Schattenlinie AZ 0 mit der Kante QR. Es wurde daher notwendig, den Knickpunkt Z* auf der Kante QT zu berechnen. Dies geschah als Schnitt der Ebene AEZ 0 mit eben dieser Kante QT. Hinweis: Die Darstellung der 3-D-Punkte in einem -D-Koordinatensystem ist eine Abbildung mit folgenden Abbildungsgleichungen: (Winkel 35 0 ; k ) Gegeben: Px y z, gesucht Px y: x y x y xz

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