1 Richtcharakteristik von Mikrofonen

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1 Audiotechnik I Analoge Audiotechnik: 8. Tutorium Prof. Dr. tefan Weinzierl Musterlösung: 24. Juni 213, 16:6 1 Richtcharakteristik von Mikrofonen Die Gleichung für die ideale Richtcharakteristik von Mikrofonen lautet: s(θ): Uebertragungsfaktor A: Druckanteil B: Gradientenanteil A + B = 1 s(θ) = A + B cos(θ) 1) Berechnen und plotten ie die idealen Richtcharakteristiken Kugel, Niere und uperniere in Matlab. Code: % Audiotechnik I 6. Uebung % Aufgabe 2. 1 % Polardiagramme (2 D) c l e a r a l l ; c l o s e a l l ; c l c ; %% I n i t i a l i s i e r u n g e i n e s Vektors der Oeffnungswinkel gegen d i e Achse theta = l i n s p a c e (, 2 pi, 1 ) ; %% Berechnung der R i c h t c h a r a k t e r i s t i k e n s_kugel = ones ( s i z e ( theta ) ) ; s_breiteniere = abs ( cos ( theta ) ) ; s_niere = abs ( cos ( theta ) ) ; s_uperniere = abs ( cos ( theta ) ) ; s_hyperniere = abs ( cos ( theta ) ) ; s_acht = abs ( cos ( theta ) ) ; %% Plotten der R i c h t c h a r a k t e r i s t i k e n f i g u r e ; % Kugel subplot ( 2, 3, 1 ) ; p o l a r ( theta, s_kugel, k ) ; 1

2 t i t l e ( Polardiagramm Kugel ) % B r e i t e Niere subplot ( 2, 3, 2 ) ; p o l a r ( theta, s_breiteniere, k ) ; t i t l e ( Polardiagramm Niere ) % Niere subplot ( 2, 3, 3 ) ; p o l a r ( theta, s_niere, k ) ; t i t l e ( Polardiagramm B r e i t e Niere ) % uperniere subplot ( 2, 3, 4 ) ; p o l a r ( theta, s_uperniere, k ) ; t i t l e ( Polardiagramm uperniere ) % Hyperniere subplot ( 2, 3, 5 ) ; p o l a r ( theta, s_hyperniere, k ) ; t i t l e ( Polardiagramm Hyperniere ) % Acht subplot ( 2, 3, 6 ) ; p o l a r ( theta, s_acht, k ) ; t i t l e ( Polardiagramm Acht ) Code END 2) Als Bündelungsgrad γ bezeichnet man das Verhältnis der von einem idealen Kugelmikrofon aufgenommenen Leistung zu der von einem gerichteten Mikrofon mit gleichem Übertragungsfaktor aufgenommenen Leistung. Als relativer Abstandsfaktor (Distance Faktor, DF) bezeichnet man das Verhältnis des Abstandes, in dem ein gerichtetes Mikrofon weiter von einer challquelle im Raum positioniert werden kann als ein ideales Kugelmikrofon, bei gleichem augenommenen Direkt- Diffus-challverhältnis. Leiten ie in Abhängigkeit der Größen A und B einen Ausdruck für den Bündelungsgrad des Mikrofons her. Das dürch die Winkeländerung dθ gegebene Flächenelement auf einem Kreis mit dem Radius r hat die Fläche: d = r dθ 2πr sin(θ). Mathematisch lässt sich der Bündelungsgrad wie folgt ausdrücken: γ = P Kugel P Richt Allgemein gilt für die challleistung, die auf das Mikrofon einwirkt (im Fernfeld): 2

3 P = Id = ρc d Die vom (gerichteten) Mikrofon tatsächlich aufgenommene challleistung entspricht dies jedoch nicht, sondern wird zusätzlich von der Richtcharakteristik des Mikrofons beeinflusst: (p s(θ)) 2 P = d ρc Dabei gibt s(θ) winkelabhängig und dimensionslos die Richtcharakteristik des Mikrofons an. Der einfallende challdruck wird um den Wert von s(θ) vermindert. Dieser ist aus Gleichung 1 gegeben. Die Werte von A und B bestimmen die genaue Form der Richtcharakteristik. A und B summieren sich immer zu 1, sodass s() = 1 für alle Charakteristiken gilt. Für A = 1 und B = bekommt man eine Kugelcharakteristik, im Falle von A = und B = 1 ergibt sich eine Achtercharakteristik. Für die Kugel charakteristik gilt dann: P Kugel = (p (a + Bcos(θ))) 2 d = ρc (p 1)2 ρc d = p2 ρc 4πr2 Für eine beliebige Richtcharakteristik gilt: (p s(θ)) 2 P Richt = d = p2 ρc ρc s 2 (θ)d Es ist also das Integral über die Oberfläche der Richtcharakteristik zu berechnen. Da die Richtcharakteristik rotationssymmetrisch zur -Richtung ist, ist dies am einfachsten zu lösen, wenn man infinitesimal kleine Kugelschichten betrachtet. Abbildung 1: Flächenelement einer Kugelscheibe Die Leistung berechnet sich schließlich nach: 3

4 π P Richt = p2 ρc = p2 ρc 2πr2 = p2 ρc 2πr2 π s 2 (θ) 2πr 2 sin(θ)dθ π s 2 (θ) sin(θ)dθ (A + Bcos(θ)) 2 sin(θ)dθ Und wenn jeweils ein Integral für die Terme aufgestellt wird: π P Richt = p2 ρc 2πr2 (A 2 sin(θ)dθ + 2AB Der Bündelungsgrad ergibt sich demnach zu: π π cos(θ)sin(θ)dθ + B 2 cos 2 (θ)sin(θ)dθ) = p2 ρc 2πr2 (A 2 [ cos(θ)] π + 2AB[ 1 2 sin2 (θ)] π + B 2 [ 1 3 cos3 (θ)]] π ) γ = P Kugel R Richt = ρc 4πr2 ρc 2πr2 (2A B2 ) = 1 A B2 = p2 ρc 2πr2 (2A B2 ) 3) Leiten ie den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Bündelungsgrad γ und dem Distance Factor DF für viel gängige Richtcharakteristiken (Breite Niere, Niere, uperniere, Acht) aus den Ergebnissen vom vorigen Aufgabenteil und einem idealisierten Verlauf von Direkt- und Diffusfeld im Raum. Am gleichen Punkt im Raum hat ein gerichtetes Mikrofon ein größeres Direkt-Diffusschall-Verhältnis als ein ungerichtetes Mikrofon. Mit anderen Worten: ein gerichtetes Mikrofon nimmt (wegen seiner nicht-kugelförmigen Richtcharakteristik) am gleichen Punkt im Raum weniger Diffusschall auf als ein ungerichtetes Mikrofon mit dem gleichen Übertragungsfaktor bei Grad/vorne. Um das gleiche Direkt-Diffusschall-Verhältnis zu erhalten muss man sich also mit dem gerichteten Mikrofon weiter von der challquelle entfernen, weil dort das Verhältnis von Direkt- zu Diffusschall des Raumes kleiner ist. Bzw. kann man sich mit einem gerichteten Mikrofon weiter von der Quelle sich positionieren als mit einem Kugelmikrofon, ohne das Direkt-Diffusverhältnis zu stören. Im Raum überlagert sich an jedem Punkt das Direktschallfeld einer challquelle mit dem Diffusschallfeld. Der challdruck des idealisierten Diffusschallfelds ist dabei im gesamten Raum konstant, während der challdruck des Direktfeldes mit 1/r abnimmt. omit nimmt auch das Verhältnis von Direktschall zu Diffusschall mit 1/r ab. Das von einem Mikrofon aufgenommene Verhältnis von Direktschall zu Diffusschall lässt sich ausdrücken durch das Verhältnis aus dem Übertragungsfaktor in -Richtung - also dem challanteil, was von vorne aufgenommen wird - zu dem Anteil was von allen anderen eiten aufgenommen wird, also die Mittelung des Übertragungsfaktors über alle Raumrichtungen: 4

5 M diffus () = M () s(θ) Unter Berücksichtigung des Übertragungsfaktors kann man die Gleichung für den Bündelungsfaktor noch so geschrieben werden: γ = P Kugel R Richt = M 2 ρc d M 2 ρc s(θ) 2 d = M 2 M 2 Beziehungsweise kann man schreiben: Mdiffus 2 = M 2 s 2 (θ)d = M 2 d γ = M 2 frei γ d s(θ)2 d M diffus = M frei 1 Das macht deutlich, dass der Diffusfeldübetragungsfaktor ist um den Faktor γ Freifeldübertragungsfaktor reduziert. In der Pegelbetrachtung folgt dann: Also ist: L diffus = 2log 1 (M diffus ) = 2log 1 (M frei ) = 2log 1 (M frei ) 2log 1 ( ) L diffus = L frei 1log 1 (γ) = L frei d gegenüber dem Das Diffusfeldübetragunsmaß ist also um das Bündelungsmaß kleiner als das Freifeldübertragungsmaß. An einem bestimmten Ort nehmen Mikrofone ein bestimmtes Verhältnis von Direkt- zu Diffusschall auf. Gerichtete Mikrofone können, für dasselbe Verhältnis, weiter entfernt von der challquelle aufgestellt werden. Dabei wird als Abstandsfaktor angegeben. Zur Ableitung: Der Direktschall, also der unter Freifeldbedingungen auf das Mikrofon einfallende challdruck, nimmt in Abhängigkeit von der Entfernung r zur challquelle ab p frei (r) = 1 r p e j(ωt kr) = G 1 r In einem nicht vollstämdig reflexionsfreien Raum entsteht außerdem ein Diffusschallfeld, von dem definitionsgemäß angenommen wird, dass der challdruck ortsunabhängig konstant ist, also p diffus (r) = const. Für ein Kugelmikrofon ergeben sich im Abstand r 1 der Direkt- und der Diffusschallanteil p frei,kugel (r 1 ) = G 1 r 1 und p diffus,kugel (r 1 ) = p diffus,kugel = const. Ein richtmikrofon nimmt an derselben telle entsprechend nur ein Bruchteil des Diffusschalls auf: p diffus,richt = p diffus,kugel. ucht man nun den Abstand r 2, an dem für ds Richtmikrofon dasselbe Verhältnis zwischen Direkt- und Diffusschall vorliegt wie für das KugelMikrofon an r 1, gilt dort: und p frei,richt (r 2 ) = G 1 r 2 p diffus,richt (r 2 ) = p diffus,richt = p diffus,kugel = const Und für gleiche Verhältnisse: p frei,richt (r 2 ) p diffus,richt (r 2 ) = p frei,kugel(r 1 ) G 1 r 2 p diffus,kugel p diffus,kugel = G 1 r 1 p diffus,kugel 1 r 2 = 1 r 1 5

6 Also gilt r 2 = r 1 γ, was zeigt, dass ein Richtmikrofon bei gleichem Direkt- zu Diffus-Verhältnis um den Faktor weiter von der challquelle aufgestellt werden kann. Die Abstandsfaktoren für die Breite Niere (A =,67, B =,33), Niere (A =,5, B =,5), uperniere (A =,37, B =,63) und Acht (A =, B = 1) ergeben sich also zu: DF BreiteNiere = γ BreiteNiere = (A B2 ) 1 = (, , 3332 ) 1 = 1, 44 DF Niere = γ Niere = (, , 52 ) 1 = 1, 73 DF uperniere = γ uperniere = (, , 6342 ) 1 = 1, 93 DF Acht = γ Acht = ( ) 1 = 1, 73 *Danke an Martin chneider für seine Hinweise die klare Formulierung bezüglich der Ableitung des Abstandfaktors und die Erläuterungen zu Diffusfeldfrequenzgang. 2 Laufzeitstereophonie 1) Erläutern ie die Funktionsweise eines Laufzeitstereophonen Mikrofonsystems. Tritt ein challereignis aus einer bestimmten Richtung beim Hörer ein, dann wird es zum einem an dem challereignis zugewandten Ohr geringfügig lauter wahrgenommen als am abgewandten Ohr, und zum anderen trifft es auf der abgewandten eite mit einer gewissen Verzögerungszeit ein. Das menschliche Ohr wertet diese Informationen aus, um das Ereignis zu lokalisieren. Diese Tatsache bildet die Grundlage für die stereophonen Aufnahmeverfahren Laufzeitstereophonie, Pegeldifferenzstereophonie und Äquivalenzstereophonie. Im Falle der Laufzeitstereophonie werden zwei Mikrofone in einem gewissen Abstand zueinander positioniert, sodass chall, der etwas seitlich auf das Mikrofonsystem auftrifft unterschiedliche Laufzeiten zu den einzelnen Mikrofonen aufweist. Pegeldifferenzen, die sich durch diese Abstände ergeben, sind dabei sehr gering und werden in der Regel vernachlässigt. Bei der Pegeldifferenzstereophonie befinden sich die Mikrofone am gleichen Ort, es entstehen also keine Laufzeitunterschiede zwischen denen. tattdessen werden bei der dieser Art der tereophonie stets gerichtete Mikrofone verwendet unf gegeneinander verdreht, sodass sich - bedingt durch die Richtcharakteristik der Mikrofone - bei verschiedenen Einfallsrichtungen verschiedene Pegeldifferenzen ergeben. Die Äquivalenzstereofonie vereint die beiden Verfahren, indem gerichtete Mikrofone gegeneinander verdreht und in einem Abstand zueinander positioniert werden, sodass sowohl Laufzeit- als auch Pegelunterschiede entstehen. 2) Welchen Aufnahmewinkel besitzt ein AB-Mikrofonsystem, das eine Mikrofonbasis von 6cm aufweist? 6

7 Das Prinzip der Laufzeitstereofonie ist von folgender kizze gegeben: Abbildung 2: Laufzeitstereofonie Dabei bezeichnet l die Wegdifferenz, die der chall zum linken Mikrofon mehr zurücklegen muss, als zum rechten. ie lässt sich mithilfe des Winkels θ und der Basisbreite α ausdrücken: sin(θ) = l α l = α sin(θ) Ist die challgeschwindigkeit bekannt, lässt sich die Laufzeit berechnen nach: c = l t t = α sin(θ) c Der Aufnahmewinkel ergibt sich als 2 θ max, wobei θ max der Winkel ist, der gerade für eine Lokalisation der challquelle aus einem der beiden Lautsprecher sorgt. Dies ist bei einer Laufzeitdifferenz von ca. 1,2 ms der Fall. Demnach ergibt sich θ max zu: θ = arcsin( t c α ) θ max = arcsin( 1, s 34m/s ) = 43 Grad m Der Aufnahmewinkel beträgt demnach 2 θ max = 86 Grad. 3) Für eine Choraufnahme möchten ie ein AB-Mikrofonsystem bestehend aus zwei Kugelmikrofonen verwenden. Das Ensemble hat eine Ausdehnung von 6m. Das Mikrofonsystem soll in einem Abstand von 4m vom Chor entfernt positioniert werden. Welche Basisbreite müssen ie wählen, damit der Chor sich über die gesamte Breite der Lautsprecherbasis erstreckt? Der maximale Öffnungswinkel ergibt sich zu θ max = arctan( 6m/2 4m ) = 37 Grad 7

8 Demnach ergibt sich als Basisbreite: α = t c sin(θ) = 1, 2ms 34m/s sin(37) = 68cm 4) Wie ändert sich die Lokalisation, wenn ie statt der Kugelmikrofone Mikrofone mit Nierencharakteristik verwenden? Was ändert sich klanglich? ofern die Nierenmikrofone parallel ausgerichtet werden, ergibt sich keine veränderte Lokalisation, weil weiterhin die gleichen Laufzeitdifferenzen bestehen, und bei parallelem challeinfall keine Pegeldifferenzen hinzukommen. Es ändert sich jedoch der relative Pegel der Richtcharakteristik: eitlich einfallend challwellen werden beispielsweise um 6 db leiser aufgenommen als frontal einfallende. Darüber hinaus ergibt sich durch die Verwendung von Druckgradientenempfängern ein entsprechend tiefenärmeres Klangbild. 8