Mathematica nutzen. Mathematica als Taschenrechner für Zahlen. intro.nb GCD , FactorInteger , 2, , 1
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- Sven Salzmann
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1 intro.nb Mathematica nutzen Mathematica als Taschenrechner für Zahlen Mathematica führt (jenseits numerischer Näherungen) grundsätzlich alle Rechungen exakt aus und verwendet dazu eine BigInteger Arithmetik Mathematica kennt eine große Zahl zahlentheoretischer Funktionen. GCD 0, 0 FactorInteger,, 84 9, PrimeQ True Auch mit rationalen Zahlen wird exakt gerechnet. 7 6
2 intro.nb Sum,i,, 50 i N Symbolische Ausdrücke wie Π werden als "Bezeichner mit Eigenschaften" behandelt. Eine Eigenschaft ist oft ein Verfahren zur Berechnung numerischer Näherungen beliebiger Genauigkeit. Pi Π N, SinΠ 0 SinΠ 4 SinΠ Aus numerischen Näherungswerten kann man eine Beziehung wie Sin[Π ] 0prinzipiell nicht exakt herleiten. p NΠ, 0; Sinp Mathematica kann natürlich auch mit komplexen Zahlen rechnen. Aus innermathematischen Gründen wird für jede Variable angenommne, dass sie komplexwertig ist, wenn nicht anderes vereinbart ist.
3 intro.nb z I; z 86 z z Expand Für geschachtelte Wurzelausdrücke kennt Mathematica manchmal verblüffende Vereinfachungen. u 4 4 FullSimplifyu u FullSimplifyu 6 An anderen Stellen verhält sich Mathematica dagegen sehr eigenwillig. u FullSimplifyRootReduceu Mathematica als Taschenrechner für Formeln und symbolische
4 intro.nb 4 Ausdrücke Komplizierte rationale Ausdrücke lassen sich gelegentlich in eine verblüffend einfache Form bringen. a u abac b babc c cacb a abac b abbc c acbc u Simplify 0 a n u abac b n babc c n cacb a n abac b n abbc c n acbc Simplify ist dafür nicht immer der rcihtige Operator. sol Tableu. ni Simplify,i,, 7, abc, a b b cc abc, a b b cbc c a bcab b cc, b 6 c 6 ab a 6 abac ac bc b 7 c 7 ab a 7, abac ac bc Das richtige Kommando ist hier Together, mit dem der Hauptnenner gebildet und dann Zähler und Nenner vereinfacht wird. u6 u. n6 Together a 4 a ba b a b b 4 a ca b cab cb ca c a b c b c a c b c c 4 Aber auch das Ergebnis von Simplify war richtig, denn für n>5 sind die geschachtelten rationalen Ausdrücke in der Tat "einfacher". Mathematica vergleicht dazu die Anzahl derbausteine, aus denen die verschiedenen möglichen Ergebnisse bestehen. LeafCount sol, 4, 8, 9, 50, 50 LeafCountu6 79
5 intro.nb 5 Listen, Matrizen, Substitutionslisten Listen und Tabellen sind die grundlegende Datenstruktur, in der Aggregationen von symbolischen Ausdrücken verwaltet werden. Hier sehen Sie die wichtigsten Kommandos für Listen in Aktion. ClearAll"Global "; l Tablei,i,, 5, 4, 9, 6, 5 ApplyPlus, l 55 Plus l 55 SelectTablei,i,, 70, PrimeQ,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67 u Tablex, Sinx,x, 0,, 0. 0., 0.,0., ,0., ,0., 0.955,0.4, , 0.5, ,0.6, ,0.7, ,0.8, , 0.9, 0.787,., ,., ,., 0.909,., ,.4, ,.5, ,.6, ,.7, ,.8, ,.9, 0.946,., ,., ,., ,., ,.4, ,.5, ,.6, ,.7, 0.478,.8, ,.9, 0.949,., 0.4
6 intro.nb 6 PaddedFormGridu,, Auch Vektoren und Matrizen werden intern als Listen dargestellt. Die gewohnte mathematische Notation kann mit verschiedenen *Form Kommandos hergestellt werden. mat a b c d e f a, b, c,d, e, f mat MatrixForm a b c d e f Transposemat MatrixForm a b c d e f Die Lösung von Gleichungssystemen wird als Substitutionsliste zurückgegeben. Zusammen mit dem Substitutionsoperator /. ist eine solche Form für die weitere Verarbeitung besonders gut geeignet.
7 intro.nb 7 sys x y0, xy 0; sol Solvesys,x, y x, y,x, y, x, y x, y. sol,,,,, x y. sol Expand, 8,5,5 sys. sol Expand,x, True, True,True, True,True, True,True, True, y, Dabei wird vom Attribut Listable von /. (der InfixForm von ReplaceAll) Gebrauch gemacht, das als Anwendung einer Liste von Substitutionen auf einen Ausdruck eine Liste von Ergebnissen zurückgibt. In Wirklichkeit kommt Map[sys /. # &, sol] oder kurz sys.& sol True, True,True, True, 4 4 0, True 0, True, zum Einsatz. In Versionen < 6 wurden an dieser Stelle Warnungen ausgelöst. Diese rührten daher, dass beide Seiten von numerisch auswertbar (Eigenschaft NumericQ) sind und deshalb zunächst versucht wurde, die Gleichheit durch numerische Näherung zu falsifizieren. Erst danach bekam Simplify das Kommando. Dieser Zugang ist hier natürlich zwecklos und wurde mit Version 6 geändert. Mit dem folgenden komplexen Kommando (können Sie es dechiffrieren?) wird gezeigt, dass alle linken Seiten in der Probe tatsächlich die Eigenschaft NumericQ haben. NumericQ &First sys. sol True, True,True, True,True, True,True, True Mathematica als mathematisches Expertensystem Mathematica kennt mathematisch algorithmische Verfahren aus vielen Gebieten der Mathematik. ClearAll"Global " x x n n x n
8 intro.nb 8 x,x x SinxLogx x Cosx4xCosx LogxSinxLogx Sinxx Logx Sinx x x Logx Logx x 5x x 5 ArcTan x 5 ArcTan Logx 5 Log 5 xx 5 Log 5 xx Manchmal stimmt die Form des Ergebnisses aber nicht mit den Erwartungen überein. Die Gleichwertigkeit von Ergebnissen zu prüfen oder gar Mathematica zu "überreden", ein Ergebnis in einer bestimmten Form zurückzugeben, ist eine hohe Kunst und bedarf oft genauerer Kenntnisse über Interna der Darstellung und Rechnungen. Hier etwa kommen komplexwertige Argumente an einer Stelle vor, wo sie gar nicht erforderlich sind. x x x p x 4 x xx x x x 4 px 6 ArcTan x ArcTan p p Apart x x xx xx x ArcTan x 4 x Logx Eine solche Zerlegung half noch bei Mathematica 4., eine Darstellung mit reellwertigen Argumenten zu finden.
9 intro.nb 9 px 6 ArcTan x ArcTan x ArcTan x 4 x Logx Mathematica 6 findet dasselbe Ergebnis nur, wenn die beiden Summanden wirklich getrennt integriert und dann die Ergebnisse addiert werden. Wir verwenden dabei als Interna, dass Map nicht nur für Listen, sondern auch für Summen funktioniert. MapIntegrate, x &, p x x ArcTan ArcTan Logxx Logxx Und hier ein paar Rechnungen aus der Analysis. Sinx x Π FresnelS Π x SinxTanx Limit, x0 Cosx SeriesTanSinxSinTanx,x, 0, 0 x x Ox Sumk,k, 0, n 6 nnn n k 0 k 4 n n SumBinomialn, n,n, 0, 7 8 Π
10 intro.nb 0 SumBinomialn, n,n, 0, k 4 k Π Gammak HypergeometricF, k, k, Π Gamma k Die Notation von Mathematica ClearAll"Global " ufactors FactorInteger,, 84 9, Context Global ContextTan System $ContextPath PacletManager, WebServices, System, Global Expandab a a bb ab Expand a a bb lsg Solvex x0, x x,x lsg x IntegrateSqrtx,x, 0, Pi Π Integrate x,x, 0,Π Π
11 intro.nb Calendar oder Needs"Calendar " EasterSunday006Range0 007, 4, 8,008,,,009, 4,,00, 4, 4,0, 4, 4, 0, 4, 8,0,,,04, 4, 0,05, 4, 5,06,, 7 Bevor Symbole und Funktionen aus Paketen verwendet werden, muss der entsprechende Namensraum in den $ContextPath aufgenommen werden. Was passiert, wenn obige Funktion aufgerufen wird, aber das Paket nicht geladen wurde? Probieren wir es aus. Mit Evaluation Quit Kernel starten wir den Kernel neu, was alle bisherigen Setzungen löscht. $ContextPath EasterSunday007 Names"Global " PacletManager, WebServices, System, Global EasterSunday007 EasterSunday Beim ersten Aufruf wurde der unausgewertete Funktionsausdruck zurückgegeben. Beim nachträglichen Laden des Pakets Calendar wird ein zweiter Bezeichner EasterSunday im Kontext Calendar angelegt. Die Warnung weist darauf hin, dass beide Bezeichner denselben unqualifizierten Namen haben. Seit Version 6 wird beim zweiten Aufruf der zuletzt geladene (und damit gewünschte) Bezeichner verwendet. Mit dem folgenden Kommando können Sie sich überzeugen, dass tatsächlich beide Bezeichner existieren. Needs"Calendar " EasterSunday::shdw : Symbol EasterSunday appears in multiple contexts Calendar, Global ; definitions in context Calendar may shadow or be shadowed by other definitions. $ContextPath EasterSunday007 Names" EasterSunday" Calendar, PacletManager, WebServices, System, Global 007, 4, 8 EasterSunday, Global EasterSunday Mit Remove und dem qualifizierten Namen kann der falsche Bezeichner aus der Symboltabelle entfernt werden (bzw. in früheren Mathematica Versionen muss zum ordnungsgemäßen Funktionieren entfernt werden) RemoveGlobal EasterSunday Names" EasterSunday" EasterSunday
12 intro.nb? Solve Solveeqns, vars attempts to solve an equation or set of equations for the variables vars. Solveeqns, vars, elims attempts to solve the equations for vars, eliminating the variables elims.?? Mod Modm, n gives the remainder on division of m by n. Modm, n, d uses an offset d. AttributesMod Listable, NumericFunction, Protected
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