Statistik für alle Aufgabensammlung

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1 Universität Lüneburg Statistik für alle Aufgabensammlung Fakultät II Wirtschafts-, Verhaltens- und Rechtswissenschaften Professur 'Statistik und Freie Berufe' Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz Übungs- und Klausuraufgaben

2 Übungs- und Klausuraufgaben Statistik für alle A ÜBUNGSAUFGABEN 1 Allgemeine Grundlagen Eindimensionale Häufigkeitsverteilung Lageparameter Streuungsparameter Konzentration Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung und Korrelationsrechnung...14 B KLAUSURAUFGABEN...17

3 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 1: Allgemeine Grundlagen 1 Im Rahmen der Vorlesung findet regelmäßig eine Umfrage zur Wohnsituation der Studierenden statt. Auch Sie erleben gerade die ersten Tage an der Uni und nehmen an dieser Umfrage teil. Der Fragebogen sieht folgendermaßen aus: Geschlecht: (männlich, weiblich) Wohnform: (Wohnung, Haus, Zimmer im Haus der Eltern, ) Mietwohnung: (ja, nein) Höhe der Miete: Quadratmeteranzahl:... qm Anzahl der Mitbewohner: a) Klären Sie für diesen Fragebogen die folgenden Begriffe: - statistische Einheit (bzw. Merkmalsträger), - Merkmal, - Merkmalsausprägung b) Nennen Sie zwei Arten von statistischen Massen und entwickeln Sie je zwei Beispiele. c) Ordnen Sie den folgenden Merkmalen jeweils die Ausprägung stetig bzw. diskret zu. A: Anzahl der Studenten, die an der Wohnungsumfrage teilnahmen B: Geschlecht (0=männlich, 1=weiblich) C: Größe der Wohnung in qm D: Anzahl der Mitbewohner E: Höhe der Miete in 2 Sie haben eine Erhebung über Bärenarten in Deutschland und ihr Vorkommen nach Regionen durchgeführt. Folgende Ergebnisse liegen Ihnen vor: In Deutschland leben Braunbären und Schwarzbären. 60% der Braunbären leben in Bayern, 40% im restlichen Deutschland. Von den Schwarzbären leben 30% in Bayern, die anderen 70% leben im übrigen Deutschland. Insgesamt haben Sie bei ihrer Erhebung 400 Braunbären und 250 Schwarzbären gezählt. Stellen Sie die oben aufgeführten Informationen in einer passenden Tabelle dar.

4 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Üben Sie den Umgang mit Summenzeichen anhand folgender Beispiele: a) 5 xi b) i= 1 n i x i y j c) x2 y j d) j= 1 5 i f) i= 1 e) ( 2x + 2) 4 j= 2 5 y x j i i= i= 1 j= 1 + y x y i 2 j 4 Geben Sie die Skalierung der folgenden Merkmale an: a) Geschlecht b) Temperatur in Celsius c) Körpergröße d) Kinderzahl e) Schulnote f) Postleitzahl g) Abonnierte Zeitungen h) Nationalität i) Wahlergebnis einer Partei j) Militärdienstgrad k) Fahrpreise l) Geschwindigkeit m) Rückennummer von Fußballspielern n) Güteklasse o) Einkommen p) Familienstand q) Telefonnummer

5 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 2: Eindimensionale Häufigkeitsverteilung 1 Sie planen nach Beendigung Ihres Studiums, als Manager/in im Gastgewerbe zu arbeiten. Um Ihre Jobaussichten besser beurteilen zu können, recherchieren Sie zunächst die Beschäftigungszahlen in den einzelnen Bereichen des Gastgewerbes. Folgende Beschäftigungszahlen (in 1000) im niedersächsischen Gastgewerbe liegen Ihnen vor: Bereich Jahr Hotels, Gasthöfe, Pensionen Restaurants, Cafes, Sonsti. Gaststättengewerbe Sonst. Beherbergungsgewerbe Kantinen und Caterer Quelle: Niedersächsisches Landesamt für Statistik a) Um welches Merkmal handelt es sich und auf welcher Skala wird es gemessen? Handelt es sich um ein stetiges oder diskretes Merkmal? b) Wie viele Beschäftigte gab es 2001 im Gastgewerbe in Niedersachsen? c) Erstellen Sie eine Tabelle, die die absoluten und relativen Häufigkeiten für das Jahr 2003 darstellt. d) Was sagt h 3 aus? Und warum muss sich als Summe der relativen Häufigkeiten 1 ergeben? e) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung des Merkmals Tätigkeitsbereich im Gastgewerbe in geeigneter Form graphisch dar. 2 Sie denken darüber nach, ein Kaffeehaus in der Lüneburger Innenstadt zu übernehmen. Um genauer einschätzen zu können, ob sich die Investition lohnt, befragen Sie zunächst die Inhaberin des benachbarten Kaffeehauses, die Ihnen netterweise folgende Liste über die Verkaufszahlen (bestellte Tassen Kaffee pro Person) zur Verfügung stellt. x i n i h(x i ) F( x i )

6 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben a) Vervollständigen Sie die Tabelle. b) Erläutern Sie, was die Verteilungsfunktion F(x i ) widerspiegelt und interpretieren Sie den Wert F(2). c) Stellen Sie die Häufigkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion graphisch dar. Aufgrund des hohen Laufpensums, welches ein Kellner Tag für Tag zu absolvieren hat, fragen Sie sich, ob sich dies in der Altersstruktur der Kellner niederschlägt. Wieder fragen Sie die inzwischen schon freundschaftlich mit Ihnen verbundene Kaffeehausinhaberin, ob Sie Ihnen auch hierzu Auskunft geben kann. Sie gibt Ihnen eine anonyme Liste mit dem Alter all Ihrer Mitarbeiter , ,5 16 d) Ordnen Sie die angegebene Tabelle der Größe nach folgenden Gruppen zu: 16 < x 18, 18 < x 22, 22 < x 25, 25 < x 30, 30 < x 50. e) Stellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit allen notwendigen Informationen für die Verteilungs- und Dichtefunktion auf. f) Stellen Sie die Dichtefunktion graphisch (als Histogramm) dar. 3 Sie benötigen einen Nebenverdienst und bewerben sich bei einer Marketingagentur. Diese setzt Sie als Interviewer in der Lüneburger Innenstadt ein. Sie sollen nun herausfinden, wie viel km die Lüneburger Studenten Tag für Tag von Ihrer Wohnung zur Universität zurücklegen und welchen Verkehrsmittel Sie benutzen. Sie befragen zuerst einmal 12 Studenten, um sich einen Überblick zu verschaffen und kommen zu folgendem Ergebnis: Entfernung Verkehrsmitte l Bus Auto Rad Auto Bahn Auto Bus Auto Rad Rad Auto Auto a) Auf welchen Skalen werden die Merkmale gemessen? Handelt es sich um stetige oder diskrete Merkmale? b) Bestimmen Sie für beide Merkmale die absoluten und relativen Häufigkeiten. c) Berechnen Sie zudem die Verteilungsfunktion der Entfernung (in km).

7 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Wahr oder falsch? a) Die Körpergröße (in cm) ist nominal skaliert. b) n i bezeichnet die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung. c) Die Verteilungsfunktion eines metrisch skalierten diskreten Merkmals lässt sich in Form von Stäben darstellen. d) Das Histogramm ist eine Form, um die Dichtefunktion abzubilden. e) Die Verteilungsfunktion eines metrisch skalierten stetigen Merkmals ist eine Treppenfunktion. f) Der Anteil der Merkmalsausprägungen, die über einer bestimmten Merkmalsausprägung x i liegen, berechnet sich als: 1-F(x i ). g) Um die Klassenbreite zu ermitteln, subtrahiert man die Obergrenze der Klasse von der Untergrenze.

8 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 3: Lageparameter 1 Sie sind wieder einmal von den langen Warteschlangen an den Supermarktkassen genervt und sprechen den Filialleiter auf das Problem an. Dieser beteuert, dass nach seinem Wissen die Kunden durchschnittlich nicht länger als 1,5 Minuten warten müssen. Sie schenken dieser Behauptung keinen Glauben und beschließen, selber eine halbe Stunde lang die Wartezeiten der Supermarktkunden zu notieren. Dabei erhalten Sie folgende zwölf Zeiten (in Sekunden): a) Berechnen Sie den Modus, Median und arithmetisches Mittel. Mit Ihren Ergebnissen konfrontieren Sie den Filialleiter. Dieser ist überrascht und zeigt Ihnen die Ergebnisse seiner ausführlicheren Untersuchung. Leider liegen hierbei die Daten nur in gruppierter Form vor: 0 < x 1 1 < x 2 2 < x 3 3 < x 4 4 < x 8 Abs. Häufigkeit b) Der Filialleiter hat nur sehr beschränkte Statistikkenntnisse und war daher nicht in der Lage, seine Ergebnisse zu verdichten. Sie werden gebeten Modus, Median und arithmetisches Mittel zu berechnen. c) Decken sich die Ergebnisse mit Ihrer Untersuchung? d) Liegt eine symmetrische, links- oder rechtssteile Verteilung vor? Fertigen Sie eine Skizze der Verteilung an, die die drei Ihnen bekannten Lageparameter beinhaltet. Interpretieren Sie die Verteilung. 2 Sie haben im Lotto gewonnen und wollen dieses Geld für drei Jahre anlegen. Die CashMoney Bank unterbreitet Ihnen ein Angebot. Ihr Guthaben soll im ersten Jahr mit 10 Prozent, im zweiten Jahr mit 20 Prozent und im dritten Jahr mit 30 Prozent verzinst werden. Welcher über drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? 3 Wie jeden Samstagabend gucken Sie zusammen mit Ihrer Oma Wer wird Millionär?. Die Euro Frage von Herrn Jauch lautet dieses Mal: Ein Auto fährt 100 Kilometer mit 100 km/h und dann 100 Kilometer mit 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um die 200 Kilometer in der gleichen Zeit zurückzulegen? Schon bevor die vier Antwortmöglichkeiten aufgezeigt werden schreit Ihre Oma Das kann doch nur

9 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben km/h sein! in Richtung Fernseher. Geben Sie Ihrer Oma Recht oder kommen Sie zu einer anderen Lösung? 4 Die Einkommensverteilung in Niedersachsen ist eine linkssteile Verteilung. a) Skizzieren Sie eine solche linkssteile Verteilung und schätzen Sie die Lage von Modus, Median und arithmetischem Mittel. b) Bill Gates spielt mit dem Gedanken nach Lüneburg zu ziehen. Auf welchen der drei Lageparameter hätte dieser Umzug einen Einfluss? c) Wo würden die Lageparameter bei einer symmetrischen Verteilung liegen? 5 Wahr oder Falsch? a) Die Summe der Abweichungen der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel ist gleich null. b) Modus, Median und arithmetisches Mittel sind Lageparameter. Sie beschreiben mit Hilfe einer charakteristischen Zahl eine statistische Masse. c) 50 Prozent der Merkmalswerte liegen unterhalb des Modus. d) Eine Eigenschaft des arithmetischen Mittels ist es, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel gleich null ist. e) Bei gruppiertem Datenmaterial ist der Modus immer gleich dem arithmetischen Mittel. f) Das geometrische Mittel wird zur Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten herangezogen, da es in diesem Zusammenhang genauer ist, als das arithmetische Mittel.

10 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 4: Streuungsparameter 1 Der Trainer der deutschen Fußballnationalmannschaft Joachim ( Jogi ) Löw macht sich Gedanken über den Fitnesszustand seiner Spieler. Sie werden von ihm gebeten, die Herzfrequenz (Herzschläge pro Minute) einiger Akteure während der Halbzeitpause eines Freundschaftsspiels zu messen und erhalten dabei folgende Werte: a) Bestimmen Sie die Spannweite. b) Ermitteln Sie das untere (0,25-Quantil) und obere (0,75-Quantil) Quartil sowie die Quartilsabweichung. c) Bestimmen Sie außerdem die mittlere absolute Abweichung, die Varianz und Standardabweichnung. 2 Durch einen Zufall finden Sie die Ergebnisse einer älteren Untersuchung über den Fitnesszustand der deutschen Fußballnationalmannschaft. Auch hier wurde die Herzfrequenz (Herzschläge pro Minute) der Spieler nach einer hohen Trainingsbelastung gemessen. Es resultierten folgende Ergebnisse: a) Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten unter Berücksichtigung folgender Klassen: 100 < x 120; 120 < x 140; 140 < x 160; 160 < x 200. b) Ermitteln Sie Verteilungs- und Dichtefunktion. c) Bestimmen Sie die mittlere absolute Abweichung, die Varianz und Standardabweichung. d) Verwenden Sie nun wieder das ungruppierte Datenmaterial. Ermitteln Sie zunächst das untere (0,25-Quantil) und oberer (0,75-Quantil) Quartil sowie die Quartilsabweichung. Zeichnen und interpretieren Sie dann einen Box-and-Whisker-Plot.

11 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Ihnen liegen Informationen über die Gewinne der letzten zehn Jahre von zwei Lebensmitteleinzelhändlern vor: Arithmetisches Mittel (Gewinn ) Standardabweichung (Gewinn ) Tante Emma GmbH ALDI NORD GmbH & Co. OHG Euro 1 Mrd. Euro Euro 160 Mio. Euro Bei welchem Unternehmen schwankten die Gewinne in der Vergangenheit stärker? 4 Bestimmen und interpretieren Sie die standardisierte Schiefe und die standardisierte Wölbung der Verteilung aus Aufgabe 2 (gruppierte Daten). Ein völlig identisch durchgeführter Test der brasilianischen Fußballnationalmannschaft ergab eine standardisierte Schiefe von 0,9 bei ansonsten identischen Lage- und Streuungsparametern. Welche Schlüsse bezüglich des Fitnesszustands können Sie aus einem Vergleich der beiden Werte ziehen? 5 Erstellen Sie ein Steam-and-Leaf-Diagramm. Verwenden Sie hierfür die unklassierten Daten aus Aufgabe 2. Welche Vorteile hat ein solches Diagramm im Vergleich zu einer gruppierten Darstellung eines Datensatzes? 6 Wahr oder Falsch? a) Wenn die Lageparameter von zwei Verteilungen übereinstimmen, müssen auch die Streuungsparameter identisch sein. b) Je stärker negativ das dritte Moment (Schiefe) ist, desto linkssteiler ist eine Verteilung. c) Der Median liegt immer zwischen dem 0,25-Quantil und dem 0,75- Quantil. d) Der Wohnungsumzug von Bill Gates nach Niedersachsen beeinflusst sowohl das untere als auch das obere Quartil der Einkommensverteilung. e) Im Vergleich zur mittleren absoluten Abweichung werden bei der Standardabweichung größere Abweichungen durch die Quadrierung stärker gewichtet. f) Zwei Verteilungen, bei denen sowohl das arithmetische Mittel als auch die Varianz gleich ist, können sich hinsichtlich der Schiefe und Wölbung unterscheiden.

12 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 5: Konzentration 1 Bei einer Umfrage unter Selbständigen wurden folgende Angaben zur Einkommenssituation erhoben: Nettoeinkommen (jährlich, in ) Anzahl der Personen a) Ermitteln Sie die kumulierte relative Merkmalssumme und tragen Sie diese mit der kumulierten Häufigkeit zusammen in einem Diagramm (Lorenzkurve) ab. b) Beurteilen Sie in allen drei Fällen, ob die Einkommen gleichverteilt sind. Berechnen Sie hierzu ein geeignetes statistisches Maß. 2 Schon während der Einführungswoche an der Leuphana Universität Lüneburg ist Ihnen aufgefallen, dass die Körpergröße von Professoren sehr ungleich verteilt ist. Anhand dieser Vermutung wollen Sie das Erlernte der ersten Statistik-Vorlesungen anwenden und haben das folgende Steam-and-Leaf- Diagramm für die Körpergröße in cm erstellt. 16: : 13 18: 69 19: 368 Stem width: 10 Each leaf: 1 case Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten und interpretieren Sie ihr Ergebnis. 3 Die Regulierungsbehörde für die Preise von Milchprodukten in Mitteldeutschland hat für 2006 folgende Umsatzdaten der Milchbauern erhoben: Jahresumsätze der Milchbauern in Tausend Anzahl der Unternehmen

13 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben a) Ermitteln Sie die kumulierte relative Merkmalssumme und tragen Sie diese mit der kumulierten Häufigkeit zusammen in einem Diagramm (Lorenzkurve) ab. Interpretieren Sie einige Werte der Lorenzkurve. b) Die Regulierungsbehörde möchte wissen, ob sich der Jahresumsatz auf wenige Milchbauern konzentriert oder gleichverteilt ist. Berechnen Sie hierzu ein geeignetes statistisches Maß. 4 Multiple choice Der Gini-Koeffizient für die Einkommensverteilung der Leuphana Universität Lüneburg beträgt 0,2. Welche der folgenden Aussagen lässt sich hieraus ableiten? A: Es liegt eine schwache Konzentration vor. B: 10% der reichsten Studierenden stellen 20% des Gesamteinkommens. C: Es liegt eine schwache Konzentration im Bereich der ärmeren Studierenden vor. D: Es liegt eine schwache Konzentration im Bereich der reicheren Studierenden vor. 5 True or false Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig? A: Eine Gleichverteilung liegt dann vor, wenn für alle Klassen gilt F(x) = MS(x) B: Unter bestimmten Voraussetzungen kann die Lorenzkurve auch oberhalb der Gleichverteilung liegen. C: Auch die Standardabweichung kann als Anhaltspunkt für eine Konzentration dienen. D: Der Gini-Koeffizient kann maximal einen Wert von 1,0 annehmen.

14 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabenblatt 6: Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung und Korrelationsrechnung 1 In einem Ihrer Seminare bekommen Sie die Aufgabe, Ihren Kommilitonen die Lüneburger Schullandschaft näher zu bringen. Besonders interessiert sind Sie an den Fragen nach der unterschiedlichen Bildung von Jungen und Mädchen, Außerdem sollen Sie sich mit der Frage beschäftigen, ob Kinder von armen Eltern andere Schulen besuchen als die von nicht-armen Eltern. Sie suchen nach Informationen auf der Seite des niedersächsischen Landesamts für Statistik und finden sogleich folgende (gekürzte) Tabelle für das Jahr 2006: Schulgliederung Schüler/innen Insgesamt weiblich Armut der Eltern Hauptschule Realschule Gymnasium Freie Waldorfschule Mit diesen Daten ausgestattet schreiten Sie nun zur Tat und beginnen sofort mit der Analyse der Merkmale Schulform(X) und Geschlecht (Y; weiblich= y 1 ). 1 a) Stellen Sie die beiden Merkmale mit ihren absoluten Häufigkeiten sowie ihren marginalen absoluten Häufigkeiten (Randverteilungen) in einer zweidimensionale Tabelle dar. b) Berechnen und interpretieren Sie folgende Werte: n 1. ; h.1 ; hx ( 1; y 1) ; n.3 ; nx ( 3; y 1) ; hx ( 1 y1) und hy ( 1 x 1) c) Ist das Merkmal Schulform unabhängig vom Merkmal Geschlecht? d) Untersuchen Sie den Anteil der jeweiligen Schulformen für beide Geschlechter getrennt. e) Wie müsste die unter Aufgabenteil d) aufgestellte Tabelle bei Unabhängigkeit aussehen? Die Geschlechterfrage haben Sie, Ihrer Meinung nach, ausreichend behandelt und wenden sich nun der Frage zu, ob es einen Zusammenhang zwischen der Armut der Eltern und der von den Schülern besuchten Schulform gibt. f) Wie sind die Merkmale Schulform und Armut der Eltern skaliert und mit welchem Zusammenhangsmaß können Sie eine mögliche Korrelation feststellen? 2 g) Berechnen Sie das von Ihnen in f) gewählte Korrelationsmaß. 3 1 Das Thema Armut der Eltern bleibt vorerst unberücksichtig. 2 Gehen Sie davon aus, dass die Schulform nichts über Ihre Wertigkeit aussagt. 3 Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.

15 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben h) Interpretieren Sie die Werte von χ² und K*. Gehen Sie dabei auch auf die Richtung eines möglichen Zusammenhangs ein. i) Angenommen, Sie entschließen sich, dem Merkmal Schulform Rangnummern zuzuordnen (1 für Gymnasium, 2 für Waldorfschule, 3 für Realschule und 4 für Hauptschule), welcher Skalierung entspräche dieses? Kann nun ein anderes Korrelationsmaß zur Berechnung eines möglichen Zusammenhangs herangezogen werden? Begründen Sie Ihre Antwort. 2 Sie haben irgendwo gelesen, dass die Zahl der Privatinsolvenzen in den letzten Jahren stark angestiegen ist und überlegen womit das zusammenhängen könnte. Spontan fallen Ihnen die Arbeitslosenzahlen ein. Da Sie im Bereich der Korrelationsrechnung noch Wissenslücken aufweisen, beschließen Sie diesen möglichen Zusammenhang aus Übungszwecken einmal zu überprüfen. Aus der Genesis-Online Datenbank des Statistischen Bundesamtes erhalten Sie folgende 4 Daten: Jahr Insolvenzverfahren Unternehmen (in Tsd.) Insolvenzverfahre n Rest (in Tsd.) Arbeitslose (in Mio.) ,56 2,69 4, ,67 8,023 4, ,65 10,58 4, ,51 40,18 4, ,06 54,18 4, ,90 71,14 4,60 a) Berechnen Sie das, der Merkmale Insolvenz-Rest (X) und Arbeitslose (Y) entsprechende Zusammenhagsmaß und interpretieren Sie das Ergebnis 5. b) Berechnen Sie für die unter a) genannten Merkmale den Spearman`schen Rangkorrelationskoeffizienten. Welches Ergebnis erwarten Sie? c) Worin unterscheiden sich die Ergebnisse aus a) und b)? Welches ist genauer? d) Berechnen Sie den Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten für die Merkmale Insolvenz-Unternehmen und Arbeitslose. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem von a). 3 Frisch auf der Uni interessiert Sie vor allem die Frage, ob eine regelmäßige Teilnahme an den Vorlesungen mit Ihren Noten in Zusammenhang steht. Zu diesem Zweck befragen Sie alle Teilnehmer einer Vorlesung nach Ihrer Teilnahme und Ihren anschließend erzielten Noten. Sie gelangen zu folgenden Ergebnissen 6, ausgehend von 16 Veranstaltungen pro Semester und einer maximalen Punktzahl von Die Daten sind stark verdichtet und gerundet. 5 Benutzen Sie die vereinfachte Formel für die Varianz. 6 Es handelt sich hierbei um rein fiktive Zahlen.

16 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Teilnahme/Punkte n i. Fast immer (12-16) Regelmäßig (8-12) Gelegentlich (4-8) Selten (0-4) n. j a) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? A: 20% der Vorlesungsteilnehmer erscheinen regelmäßig zur Vorlesung und bestehen mit Punkten. B: 9 Personen kommen selten zur Vorlesung, erzielen aber Punktzahlen zwischen C: 15% der Kommilitonen nehmen nur selten an der Vorlesung teil. D: 20% aller Studenten, die fast immer die Vorlesung besuchen, erzielen zwischen 40 und 60 Punkte in der Abschlussklausur. E: 6,25% der Kommilitonen die Punkte erzielen, nehmen nur selten an der Vorlesung teil. F: Die beiden Merkmale Teilnahme und Punkte sind unabhängig voneinander. b) Prüfen Sie, ob ein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht und bewerten Sie Ihr Ergebnis.

17 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben B Klausuraufgaben Aufgabe 1: Allgemeine Grundlagen a) Welcher der folgenden Aussagen ist/sind richtig? A: Der Bildungsabschluss (Hauptschule, Realschule, Gymnasium) wird auf einer Ordinalskala gemessen. B: Die Arbeitslosenzahl ist metrisch skaliert. C: Der Umsatz eines Unternehmens wird auf einer Verhältnisskala abgetragen. D: Die Startnummer bei einem Marathonlauf ist intervallskaliert. b) Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig? A: Die Telefonnummer ist verhältnisskaliert. B: Die Note in der Statistik-Klausur ist ordinal skaliert. C: Die Anzahl der Klausuren je Semester ist absolut skaliert. D: Das Nettoeinkommen ist absolut skaliert. c) Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig? A: Die Zugehörigkeit einer Person zu einer sozialen Schicht ist (Unterschicht, Mittelschicht, Oberschicht) wird auf einer Ordinalskala gemessen. B: Das zu versteuernde Einkommen ist metrisch skaliert. C: Die Matrikelnummer ist intervallskaliert. D: Der Anteil des Staates am Bruttoinlandsprodukt ist absolut skaliert. Aufgabe 2: Eindimensionale Häufigkeitsverteilung, Lage- und Streuungsparameter Als Marketingchef der Deutschen Eisenbahn führen Sie eine Umfrage zur Kundenzufriedenheit unter zehn zufällig ausgewählten Bahnkunden durch. Die Befragung ergab folgenden Datensatz (Beachten Sie bei der Beantwortung der folgenden Fragen. dass das Jahresnettoeinkommen in angegeben ist!!!) Personen- Jährliche Jahresnetto- Qualität des Wohnort

18 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben nummer Ausgaben für Bahnfahrten (in ) einkommen (in ) Zugpersonals (1:sehr gut 6:sehr schlecht) (1:Ost/ 0: West) a) Das arithmetische Mittel des Jahresnettoeinkommens beträgt: A: B: C: D: 18 b) Die Standardabweichung des Jahresnettoeinkommens beträgt: A: B: 9077,44 C: 82,40 D: 9,08 c) Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig? A: Der Variationskoeffizient beinhaltet Informationen über die Schiefe einer Verteilung B: Ist der Variationskoeffizient größer als 3, so spricht man von der Wölbung einer Verteilung C: Der Variationskoeffizient dient dem Vergleich der Streuung zweier Verteilungen D: Um den Variationskoeffizienten berechnen zu können, wird die Quartilsabweichung benötigt d) Erstellen Sie ein Box-and-Whisker-Diagramm für die jährlichen Ausgaben für Bahnfahrten. Berechnen Sie hierfür zunächst alle notwendigen Parameter und beschriften Sie Ihren Plot mit diesen. e) Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig? A: Die Verteilung aller Einkommen in Deutschland ist rechtssteil B: Die Verteilung aller Einkommen in Deutschland ist linkssteil C: 50% aller Merkmalswerte liegen unterhalb des Modus D: Der Median entspricht dem arithmetischen Mittel aus dem unteren und oberen Quartil

19 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben f) Der Umsatz der Deutschen Eisenbahn nahm von 2000 bis 2003 um jeweils 10% pro Jahr zu, von 2003 bis 2004 betrug die Wachstumsrate nur noch 5%. Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate des Umsatzes von ? A: 1,0875% B: 8,750% C: 7,471% D: 8,728% g) Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig? A: Das dritte Moment ist ein Maß für die Schiefe B: Das dritte Moment ist ein Maß für die Wölbung C: Ist das vierte Moment negativ, so ist die Verteilung gewölbter als die Normalverteilung D: Ist das vierte Moment positiv, so ist die Verteilung flacher als die Normalverteilung Aufgabe 3: Konzentration 18 P. Sie sollen den gesamten Schuhmarkt Deutschlands eingehender analysieren. Hierzu liegen Ihnen folgende Umsatzzahlen (in Mio. ) der einzelnen Schuhgeschäfte vor. Umsatz (in Mio. ) Anzahl der Geschäfte 0 bis < bis < bis < bis < a) Erstellen 10 bis < Sie eine Tabelle, die die Verteilungsfunktion und die kumulierte relative Merkmalssumme dieser Verteilung enthält. Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einer geeigneten Grafik dar. b) Berechnen und interpretieren Sie den Gini-Koeffizienten für diese Verteilung. c) Neben Ihrer Arbeit für das Schuhgeschäft arbeiten Sie immer noch freiberuflich für ein politisches Institut. Sie erhalten diesmal den Auftrag, die Entwicklung der Machtsituation von Bumumba, ein kleines afrikanisches Dorf mit 30 Einwohnern (davon 18 Frauen), zu analysieren. Ihre Recherchen ergab folgende Entwicklung: Jahr Machtform Erklärung 1980 Diktatur 1 Person hat die gesamte Macht 1990 Matriarchat Alle Frauen teilen die gesamte Macht gleichmäßig unter sich auf 2000 Perfekte Demokratie Alle Personen teilen die gesamte Macht gleichmäßig unter sich auf Zeichnen Sie die Lorenzkurven der Machtverteilungen für alle drei Situationen in ein gemeinsames Schaubild.

20 Merz: Statistik für alle Übungs- und Klausuraufgaben Aufgabe 4: Zweidimensionale Häufigkeiten und Korrelation a) Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig? A: Mit der Quadratischen Kontingenz kann man im Vergleich zum Kontingenz-koeffizienten genauere Aussagen über einen Zusammenhang machen, da diese nicht normiert ist. B: Eine vermutete Korrelation zwischen Gehalt eines Mitarbeiters und dessen Zufriedenheit mit seinem Arbeitsplatz auf einer Skala von 1 (gar nicht zufrieden) bis 10 (sehr zufrieden) kann rein rechnerisch auch mit Kontingenzkoeffizienten bestimmt werden, führt aber zu keinem genaueren Ergebnissen. C: Der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient ist grundsätzlich höher als der als der Spearman`sche Rangkorrelationskoeffizient. D: Ein Kontingenzkoeffizient sagt niemals etwas über das Vorzeichen eines Zusammenhangs aus, sondern stets nur, ob ein Zusammenhang besteht. In einer weiteren Umfrage für die OELGEMOELLER BAHNREISEN GMBH wurden Daten über die Zufriedenheit der Fahrgäste getrennt nach ihrem Geschlecht und der Nutzungshäufigkeit erhoben. Folgende Tabelle gibt die absolute Anzahl der Fälle in den jeweiligen Kategorien wieder: Gelegentliche Seltene Häufige Nutzung Zufriedenheit Nutzung Nutzung Mann Frau Mann Frau Mann Frau 1 (sehr zufrieden) (zufrieden) (unzufrieden) (sehr unzufrieden) b) Erstellen Sie auf Grundlage des Datenmaterials eine Kreutztabelle, die die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Fahrgäste in dieser Umfrage zwischen der Zufriedenheit und dem Geschlecht darstellt. Berechnen Sie hierfür die Randverteilungen. c) Berechnen und interpretieren Sie: h(weiblich), h ( zufrieden, weiblich), h(männlich unzufrieden ). d) Wählen Sie ein geeignetes Korrelationsmaß zwischen Zufriedenheit und Häufigkeit der Nutzung aus. Berechnen Sie dieses auf der Grundlage des gegebenen Datenmaterials (für Männer und Frauen zusammen) und interpretieren Sie ihr Ergebnis.