Das System funktioniert, wenn A UND B gleichzeitig funktionieren. A: Komponente A funktioniert. A : B :

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1 Ein System, das aus einer Serien-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann, wenn beide einzelnen Komponenten gleichzeitig funktionieren. Die Komponenten bzw. seien unabhängig von einander, und P() = 0,99 bzw. P() = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten bzw. funktionieren. dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den dditionssatzes). eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des dditionssatzes). Das System funktioniert, wenn UND gleichzeitig funktionieren. : Komponente funktioniert. : : : R : System funktioniert F : System funktioniert nicht. 1

2 Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann, wenn mindestens einer der beiden Komponenten funktionieren. Die Komponenten bzw. seien unabhängig von einander, und P() = 0,99 bzw. P() = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten bzw. funktionieren. dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den dditionssatzes). eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des dditionssatzes). Das System funktioniert, wenn ODER funktionieren. : Komponente funktioniert. : : : R : System funktioniert F : System funktioniert nicht. 2

3 Folgendes gemischtes System ist gegeben. C Die Komponenten, bzw. C seien unabhängig von einander, und P() = 0,9 P() = 0,9 bzw. P(C) = 0,8 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten, bzw. C funktionieren. dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: der Definition von unabhängigen Ereignissen und des dditionssatzes. eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und des dditionssatzes). Das System funktioniert, wenn UND ODER C funktionieren. : : : : C : C : 3

4 Die irline D bestellt für ihre Langstreckenflüge dreistrahlige Passagierjets der Marke Tri-Star mit Turbinen vom Hersteller RR. Diese haben nach ngaben des Herstellers während eines Langstreckenfluges eine usfallwahrscheinlichkeit von p = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während eines Langestreckenflugs keine Turbine ausfällt (Ereignis E 0 )? eine Turbine ausfällt (Ereignis E 1 )?! 2 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 2 ) " alle 3 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 3 ). Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: eines Ereignisbaums. einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung. : : : : C : C : E 0 = P( E 0 ) = E 1 = P( E 1 ) = E 2 = P( E 2 ) = E 3 = P( E 3 ) = 4

5 eim usfallen der Turbinen gerät ein Flugzeug in bsturzgefahr. Die Wahrscheinlichkeit für die bsturzgefahr des Flugzeugtyps aus der vorigen ufgabe beträgt 0,001, wenn keine Turbine ausfällt. beträgt 0,1, wenn eine Turbine ausfällt. beträgt 0,7, wenn 2 Turbinen ausfallen. beträgt 1, wenn alle 3 Turbinen ausfallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug in bsturzgefahr gerät? Lösung mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. : : : : G : Flugzeug gerät in die bsturzgefahr. G = P( G ) = 5

6 #Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit 4 Komponenten besteht, funktioniert dann, wenn mindestens einer der 4 Komponenten funktionieren. Die 4 Komponenten seien unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass jeweils eine Komponente funktioniert beträgt 0,9 dass das System ausfällt. dass das System funktioniert. Das System fällt aus wenn alle Komponenten gleichzeitig ausfallen. p = 0,9 q = 0,1 P(F) = 0,1 4 = 0,0001 P(R) = 1 P(F) = 0,9999 eide Teilaufgaben sind auch mit Hilfe der inomialverteilung mit n = 4 und p = 0,9 lösbar. $Erstellen Sie eine allgemeine Formel für die Zuverlässigkeits- bzw. usfall- Wahrscheinlichkeit eines Serien-System mit n unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten: P( 1 ) = p 1 ; P( 2 ) = p 2 ;... ; P( n ) = p n, Für die usfallwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Komponenten gilt: q 1 = 1 p 1 ; q 2 = 1 p 2 ;... ; q n = 1 p n 1 2 n $Erstellen Sie eine allgemeine Formel für die Zuverlässigkeits- bzw. usfall- Wahrscheinlichkeiten eines Parallel-System mit n unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten: P( 1 ) = p 1 ; P( 2 ) = p 2 ;... ; P( n ) = p n, Für die usfallwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Komponenten gilt: q 1 = 1 p 1 ; q 2 = 1 p 2 ;... ; q n = 1 p n 1 2 n 6

7 %Ein Flugzeugtyp besitzt 3 identische ord-computer die unabhängig voneinander gleiche ufgaben (Eingaben aus den Sensoren) bearbeiten. Die usgaben (Outputs) dieser 3 Computer werden miteinander verglichen, wenn mindestens 2 usgaben identisch sind, wird das Ergebnis vom Steuerungssystem ausgeführt. Falls einer der 3 Computer einen Fehler macht, funktioniert das System immer noch. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Computer einen Fehler macht, beträgt 10%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System zuverlässig funktioniert? dass das System einen Fehler macht? inomialverteilung mit n = 3 und p = 0,9. P(R) = P(X > 1) = 1 P(X 1) = 0,972 P(F) = 1 P(R) = 0,028 &Zur Messung des Druckes werden in einer Dampfturbine 3 von einander unabhängige Sensoren eingebaut. Ein uswertungssystem vergleicht die usgaben (Output-Signale) der 3 Sensoren miteinander. Wenn mindestens 2 dieser usgaben identisch sind, wird das Messergebnis angenommen und für andere Steuergeräte verwendet. S S 1 Sensorensystem S W S 1 W S 1 uswertungssystem Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass jeder Sensor einen Fehler macht, beträgt 10%. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das System zuverlässig funktioniert (d.h., dass 2 oder 3 Sensoren keinen Fehler machen) 0,972 beträgt. Das uswertungssystem verwendet immer die Messergebnisse, wenn mindestens 2 der Ergebnisse identisch sind. In 1% der Fälle kommt es aber leider vor, dass 2 oder 3 Sensoren den gleichen Fehler machen, so dass das uswertungssystem die Ergebnisse als richtig annimmt und weiter verwendet. In wie viel Prozent der Fälle insgesamt werden die Ergebnisse der Sensoren vom uswertungssystem angenommen?! Wenn ein Messergebnis angenommen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis Fehlerhaft ist? 7

8 inomialverteilung mit n = 3 und p = 0,9. P ( S ) = P ( X > 1 ) = 1 P ( X 1 ) = 0,972 edingte Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit P ( W S ) = 1,0 ; P ( W S ) = 0,01 P ( W ) = 0,97228! Satz von ayes P ( S W ) = 0,00028 'Die folgende Maschine besteht aus 4 Komponenten. Die Komponenten ; ; C 1 bzw. C 2 funktionieren unabhängig von einander. Es seien P() = 0,9 ; P() = 0,8 ; P(C 1 ) = 0,6 bzw. P(C 2 ) = 0,6 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten ; ; C 1 bzw. C 2 (zuverlässig) funktionieren. Die Maschine funktioniert dann zuverlässig, wenn die Komponenten und und C 1 oder und und C 2 oder alle 4 Komponenten zuverlässig funktionieren. C 1 dass die Maschine zuverlässig funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass die Maschine ausfällt. (F: usfall des Systems). C 2 Wie viele weitere Komponenten C mit P(C) = 0,6 müssen parallel zu den beiden Komponenten C 1 und C 2 geschaltet werden, damit die Wahrscheinlichkeit für die Funktionsfähigkeit (Zuverlässigkeit) der Maschine mindestens 70% (d.h. 70% oder mehr als 70%) beträgt? P(R) = 0,6048 ; P(F) = 0,3952 Es müssen noch 2 weitere C-Komponenten parallel geschaltet werden. 8