6 Vektorräume mit Skalarprodukt

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1 6 Vektorräume mit Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind oder drei Vektoren in einer Ebene liegen. Reale Vektoren im physikalischen Raum V haben aber auch Längen und schließen Winkel miteinander ein. Dies ist Folge einer zusätzlichen Struktur dieses Vektorraums, die durch den Begriff des Skalarprodukts zweier Vektoren begründet wird. Das Standard-Skalarprodukt im R n, definiert durch a b a 1. a n b 1. b n := a 1 b a n b n, (487) haben wir zur anschaulichen Interpretation von Begriffen, etwa der Determinante als Volumen eines Parallelepipeds, bereits mehrmals benutzt. 6.1 Skalarprodukte Geometrische Motivation Im physikalischen Raum V wird für je zwei Vektoren a und b, mit Längen a, b R und Zwischenwinkel γ (mit γ π), ein Skalarprodukt a b definiert als a b := a b cosγ = ± a b a. (488) Hier ist b a der Vektor der Projektion von b auf die Richtung von a, b a := a b cosγ, (489) a und ± das Vorzeichen von cos γ. Das Skalarprodukt ist kommutativ (Eigenschaft S1), und positiv definit (S3), a b = b a, (49) a a a 2, wobei a a = genau dann, wenn a =. (491) Außerdem ist es im rechten (und somit auch im linken) Argument linear (S2), a (λb+µc) = a (λb)+a (µc) λa b+µa c (λ,µ R). (492) a (b+c) = a b+a c folgt aus der anschaulichen Beziehung (b+c) a = b a +c a. Die Eigenschaften (S1 3) werden der Definition von Skalarprodukten in abstrakten Vektorräumen zugrunde gelegt. Um auch den Fall K = C einzuschließen, müssen sie etwas modifiziert werden. 84

2 6.1.2 Allgemeine Definition Def.: Es sei V ein beliebiger Vektorraum über dem Körper K {R,C}. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung V V K, die jedem geordneten Paar von Vektoren a,b V eine Zahl (a,b) a b K zuordnet und dabei folgende Eigenschaften hat (mit a,b,c V und λ,µ K): (S1) Hermitezität (Charles Hermite, ), (S2) Linearität im zweiten Argument, (S3) Positive Definitheit, (b,a) = (a,b) ; (493) (a,λb+µc) = λ(a,b)+µ(a,c); (494) wobei (a,a) = dann und nur dann gilt, wenn a =. (a,a), (495) Im Fall K = R heißt das Skalarprodukt reell, im Fall K = C heißt es unitär. Entsprechend heißt V ein euklidischer bzw. ein unitärer Vektorraum. Bsp. 1a: Die Menge V = C n ist ein Vektorraum über K = C, wenn man definiert a 1 b 1 a 1 +b 1 a 1 λa :=., λ. :=. (λ C). (496) b n a n +b n a n λa n a n Wie in den Übungen gezeigt wird, ist ein Skalarprodukt in Cn gegeben durch a 1. a n b 1. b n := a 1 b a n b n C. (497) Als Beispiel mit n = 2 berechnen wir ( ) ( ) 1+2i 3+4i = (1 2i)(3+4i)+(2+ i)(5+2i) = 19+7i. (498) 2 i 5+2i Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist tatsächlich, ( ) ( ) 3+4i 3+4i = (3 4i)(3+4i)+(5+2i)(5 2i) = = 54.(499) 5 2i 5 2i 85

3 Bem.: Mit (S1) und (S2) ist ein Skalarprodukt im ersten Argument antilinear, (λa+µb,c) = λ (a,c)+µ (b,c). (5) (Soweit in der Physik; in der Mathematik wird Linearität im ersten Argument festgelegt!) Im Fall K = R gilt (a,b) (a,b), und das Skalarprodukt ist nach (S1) kommutativ, (a,b) = (b,a), und in beiden Argumenten linear. B = {v 1,...,v n } sei eine Basis von V. Für die Vektoren a = a i v i, b = b i v i (51) berechnen wir unter Ausnutzung der Eigenschaften (S1) und (S2) das Skalarprodukt, ( (a,b) = a i v i, ) b j v j = a i b j(v i,v j ) = g ij a i b j. (52) Man nennt G = (g ij ) die Matrix des Skalarprodukts bezüglich der Basis B, g ij := (v i,v j ), (53) gelegentlich auch den metrischen Tensor des Skalarprodukts bezüglich B. Bsp. 1b: Im Vektorraum P 2 (R) betrachten wir das Skalarprodukt (Übungen!) (f,g) := dtf(t)g(t). (54) Für die Polynome a(t) = t 2 4t+3 und b(t) = 2t 2 +t 5 ergibt sich also (a,b) = dt(t 2 4t+3)(2t 2 +t 5) = dt(2t 4 7t 3 3t 2 +23t 15) = (55) Bezüglich der Basis B = {1,t,t 2 } =: {v 1 (t),v 2 (t),v 3 (t)} lautet der metrische Tensor g 11 g 12 g g ij = dtv i (t)v j (t) g 21 g 22 g 23 = g 31 g 32 g 33 Mit (a 1,a 2,a 3 ) = (3, 4,1) und (b 1,b 2,b 3 ) = ( 5,1,2) folgt also (a,b) = g 11 a 1 b 1 +g 12 a 1 b g 33 a 3 b 3 = a 1 b 1 + a 1b 2 +a 2 b 1 2 = a 1b 3 +a 2 b 2 +a 3 b a 2b 3 +a 3 b 2 4. (56) + a 3b = (57)

4 6.1.3 Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz Satz: Der Vektorraum V sei euklidisch oder unitär. Dann gilt für alle a,b V (a,b) 2 (a,a)(b,b). (58) (Gleichheit gilt genau dann, wenn {a, b} linear abhängig ist.) Beweis: OBdA sei b. Für beliebiges λ C gilt Speziell für λ = (b,a) (b,b) (a λb,a λb) = (a,a) λ (b,a) λ(a,b)+λ λ(b,b). (59) ergibt sich direkt die Behauptung. Bsp. 2a: Im Fall V = R n mit Standard-Skalarprodukt erhalten wir (a b) 2 (a a)(b b) ( ) 2 ( a k b k k=1 a 2 i )( a 2 j ). (51) Bsp. 2b: (Quantenmechanik!) Die stetigen Funktionen f : [,1] C, t f(t) einer reellen Variable t bilden einen ( -dimensionalen) Vektorraum V über K = C. Durch (f,g) := dtf (t)g(t) (511) wird in V ein unitäres Skalarprodukt erklärt (Übungen!). Folglich gilt dtf (t)g(t) 2 dt f(t) 2 dt g(t) 2 (512) Als Beispiel betrachten wir die Funktionen f(t) = t 5 und g(t) = t 8, = dtt 5 t dtt 1 dtt = (513) 87

5 6.1.4 Norm Def.: Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Die Norm (oder der Betrag/die Länge ) eines Vektors a V wird definiert als a := (a,a). (514) Satz: Sei V ein VR mit Skalarprodukt. Dann gilt für a,b V die Dreiecksungleichung, a+b a + b. (515) Beweis: Allgemein gilt a+b 2 (a+b,a+b) = a 2 +(a,b)+(b,a)+ b 2 = a 2 +2Re(a,b)+ b 2. (516) Wegen Re(z) z, für beliebige z C folgt a+b 2 a 2 +2 (a,b) + b 2 ( a + b ) 2, (517) wobei im zweiten Schritt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz benutzt wurde, (a, b) a b. (518) Wegen der Ungleichung von Cauchy-Schwarz kann man in beliebigen euklidischen Vektorräumen den Winkel γ zwischen je zwei Vektoren a und b definieren durch cosγ := (a,b) a b. (519) Bsp. 2c: Im R n mit dem Standard-Skalarprodukt ist der Winkel γ zwischen der Raumdiagonale und einer der Achsen gegeben durch 1 1 cosγ = 1 n 1.. = 1. (52) n 1 Es gilt also γ = 45 (n = 2), γ 54.7 (n = 3), γ = 6 (n = 4), sowie lim n γ = 9. Zwischen den beiden Polynomen a = t 2 4t+3 und b = 2t 2 +t 5 aus Bsp. 1b, mit (a,b) = (a,a)(b,b)cosγ = cosγ, (521) ließe sich ein Winkel γ mit cosγ.935 definieren! 88

6 6.1.5 Orthonormierte Basen (ON Basen) Def.: Zwei Vektoren a, b V heißen zueinander orthogonal, wenn gilt (a,b) =. (522) Bem. 1: Der Nullvektor V ist zu jedem Vektor a V orthogonal. Bem. 2: Sind die Vektoren v 1,...,v k paarweise orthogonal, (v i,v j ) = für alle i,j {1,...,k} mit i j, (523) und ist v i für alle i {1,...,k}, so ist {v 1,...,v k } linear unabhängig. Beweis: Sei k λ iv i =. Dann folgt für jedes j {1,...,k}, ( k ) k = (v j,) = v j, λ i v i = λ i (v j,v i ) = λ j (v j,v j ), (524) und also, wegen v j, λ j =. Def.: Eine Basis {v 1,...,v n } eines Vektorraums V mit Skalarprodukt heißt orthonormiert oder ON-Basis, wenn die Basisvektoren auf 1 normiert und paarweise orthogonal sind, v i = 1, (v i,v j ) = für alle i,j {1,...,n} mit i j. (525) Dies läßt sich mit Hilfe des Kronecker-Symbols δ ij kompakter formulieren, (v i,v j ) g ij = δ ij für alle i,j {1,...,n}. (526) Der metrische Tensor G von (,) bezüglich einer ON-Basis ist also die Einheitsmatrix E. Lemma 1: Sei B = {v 1,...,v n } eine ON-Basis von V und a V beliebig. Dann gilt a = a i v i, mit: a k = (v k,a). (527) Der k-te Koeffizient a k von a bezüglich B ist also genau das Skalarprodukt von v k mit a. Beweis: ( ) (v k,a) = v k, a i v i = a i (v k,v i ) = a }{{} k. (528) δ ki Lemma 2: Mit b = n b jv j folgt weiter ( ) (a,b) a i v i, b j v j = a i b j (v i,v j ) = }{{} δ ij a i b i. (529) 89

7 6.1.6 Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren Sei {v 1,...,v n } eine Basis von V. Wir wollen daraus eine ON-Basis {e 1,...,e n } konstruieren (und dadurch zeigen, daß dies immer möglich ist). Im ersten Schritt wählen wir e 1 := v 1 v 1. (53) Nun fahren wir induktiv fort. Sei also {e 1,...,e k } orthonormiert, wobei e i, mit 1 i k, jeweils eine Linearkombination von {v 1,...,v i } ist. Dann ist der Vektor v k+1 = v k+1 k (e j,v k+1 )e j (531) verschieden von, da hier von v k+1 eine Linearkombination der Vektoren {v 1,...,v k } subtrahiert wird. Insbesondere ist v k+1 orthogonal zu e i für alle i {1,...,k}, denn (e i,v k+1) = (e i,v k+1 ) = (e i,v k+1 ) k (e i,(e j,v k+1 )e j ) k (e j,v k+1 )(e i,e j ) }{{} =. (532) δ ij Eine orthonormierte Menge {e 1,...,e k+1 } ergibt sich also mit der Wahl Damit ist die Konstruktion der ON-Basis {e 1,...,e n } klar. e k+1 := v k+1 (533) v k+1. Bsp. 3: Für {v 1,v 2,v 3 } = {1,t,t 2 } P 2 (R) findet man bezüglich (f,g) = dtf(t)g(t) e 1 e 1 (t) = 1, e 2 e 2 (t) = 3(2t 1), e 3 e 3 (t) = 5(6t 2 6t+1). (534) Für die Polynome a a(t) = t 2 4t+3 und b b(t) = 2t 2 +t 5 aus Bsp. 1b/2c findet man mit a i = (e i,a) bzw. b i = (e i,b) folgende Darstellungen (Übungen!): a(t) = e 1(t) 2 e 2(t)+ 3 e 3(t), b(t) = e 1(t)+ 2 e 2(t)+ 15 e 3(t). (535) Ihr Skalarprodukt ergibt sich jetzt tatsächlich nach der Formel aus Abschnitt zu (a,b) 3 a i b i = = = (536) 9

8 6.2 Skalarprodukt und lineare Selbstabbildungen Notation: Zu einer komplexen (n m)-matrix A, mit den Elementen a ij, definieren wir die adjungierte Matrix A durch A := (A T ) a ij := a ji. (537) Insbesondere ist das Adjungierte eine komplexen Spalte a C n die Zeile Sind alle Elemente von A reell, so ist natürlich A A T. Bsp.: A= ( 1+2i 2 3i 5 6i ) a := (a 1,...,a n ). (538) ( ) ( ) 1 2i 5 2+i : A =, a= : a =(2 i,3i).(539) 2+3i 6i 3i Unitäre Selbstabbildungen Im physikalischen Raum V sei eine lineare Selbstabbildung f : V V, x y = f(x) dadurch festgelegt, daß jeder Bildvektor y gegen seinen Urvektor x mit dem gleichen Winkel φ um eine starr vorgegebene Achse e verdreht ist. Dann ist anschaulich klar, daß y die gleiche Länge hat wie x, und daß je zwei Bildvektoren y 1 und y 2 den gleichen Winkel einschließen wie die entsprechenden Urvektoren x 1 und x 2. Es gilt also y 1 y 2 f(x 1 ) f(x 2 ) = x 1 x 2, für alle x 1,x 2 V, (54) mit dem üblichen geometrischen Skalarprodukt in V. Man nennt f eine Drehung. Lineare Selbstabbildungen f : V V mit der Eigenschaft (54) heißen orthogonal. Es sind die sog. Drehspiegelungen, bei denen zusätzlich zur Drehung eine (Raum-) Spiegelung am Ursprung erfolgen kann. Wir wollen dies nun verallgemeinern. Def.: Sei V ein Vektorraum mit unitärem (bzw. reellem) Skalarprodukt. Eine lineare Selbstabbildung f : V V heißt unitär (bzw. orthogonal), wenn gilt (f(a),f(b)) = (a,b), für alle a,b V. (541) Bem.: Ist V endlich-dimensional, so gilt für eine unitäre Abbildung f : V V: (a) f(v) = v für alle v V; (b) f(v) = λv λ = 1 (alle Eigenwerte von f haben den Betrag 1); (c) f ist ein Isomorphismus, also invertierbar. 91

9 Satz: f : V V ist bereits unitär, wenn für eine ON-Basis {v 1,...,v n } von V gilt: (f(v i ),f(v j )) = δ ij für alle i,j {1,...,n}. (542) (Trivialerweise gilt dies umgekehrt für jede ON-Basis, wenn f unitär ist.) Beweis: Für zwei beliebige Vektoren a,b V, a = a i v i, b = b j v j, (543) folgt sofort (Lemma 2 aus Abschnitt 6.1.5!) (f(a),f(b)) = a ib j (f(v i ),f(v j )) = }{{} δ ij a ib i = (a,b). (544) Wir betrachten einen Vektor x V und seinen Bildvektor y = f(x) V, x = x i v i, y = y j v j, (545) wobei B = {v 1,...,v n } eine ON-Basis von V sei. Die Matrix A von f ist definiert durch x := x 1. x n, y := y 1. y n y = A x. (546) Die k-te Spalte von A enthält also die Koeffizienten des Vektors f(v k ) bezüglich B, f(v k ) = A ik v i. (547) Ist also f unitär, (f(v k ),f(v l )) = δ kl, so sollten die Spalten von A paarweise orthonormal sein, m.a.w.: eine ON-Basis des C n bilden, A ik A il = δ kl A ki A il (A A) kl = δ kl A A = E. (548) Tatsächlich gilt der Satz: Die invertierbare Matrix A, durch die eine unitäre Abbildung f : V V bezüglich einer ON-Basis {v 1,...,v n } dargestellt wird, hat die Eigenschaft A 1 = A. Beweis: Da f unitär ist, gilt δ kl (f(v k ),f(v l )) = A ika jl (v i,v j ) = }{{} δ ij A ika il = A ki A il = (A A) kl. (549) 92

10 6.2.2 Lineare Funktionale Def.: Unter einem linearen Funktional auf dem Vektorraum V versteht man eine lineare Abbildung f : V K von V in den Grundkörper K. Statt f,g,... schreiben wir α,β,..., α : V K, x α(x) K. (55) Linearität: Für λ,µ K und x 1,x 2 V muß gelten α(λx 1 +µx 2 ) = λα(x 1 )+µα(x 2 ). Bsp. 1a: Zwei lineare Funktionale α,β : V R auf V = P 2 (R) sind etwa gegeben durch α : x x(t) α(x) := 3 dtt 2 x(t), β : x x(t) β(x) := x(t=.8). (551) Für x x(t) = pt 2 +qt+r folgt α(x) = 48.6p+2.25q+9r und β(x) =.64p+.8q+r. Wie man sich leicht klarmacht (Übungen!), bildet die Menge aller linearen Funktionale auf V selbst einen Vektorraum, den sog. Dualraum V von V. Zwischen diesen Räumen besteht eine enge Beziehung: Bezüglich einer (ON-) Basis von V werden die Elemente von V selbst durch Spalten, diejenigen von V durch (1 n)-matrizen, also Zeilen dargestellt. Ehe wir den entsprechenden Satz beweisen, wollen wir dies noch etwas genauer betrachten. Die Matrix A von α V bezüglich einer Basis B = {v 1,...,v n } von V ist eine Zeile, α(x) = A x, A (A 11,...,A 1n ) = (α(v 1 ),...,α(v n )), (552) wobei x C n die aus den Komponenten x k von x = n k=1 x kv k gebildete Spalte ist. A ist das Adjungierte a einer durch α (und B) eindeutig bestimmten Spalte a C n, A = a, a a 1. a n = A 11. A 1n = α(v 1 ). α(v n ). (553) Wir können also schreiben α(x) = a x. Ist insbesondere B eine ON-Basis, so gilt α(x) a x = (a,x), (554) mit dem Vektor a V, der bezüglich B durch a dargestellt wird. Es deutet sich an: Satz: Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gibt es zu jedem α V genau ein a V, und umgekehrt zu jedem a V genau ein α V, sodaß gilt α(x) = (a,x), für alle x V. (555) 93

11 Beweis: Sei {v 1,...,v n } eine ON-Basis von V. Mit den n Zahlen α(v k ) C setzen wir a := α(v k ) v k. (556) k=1 Dann gilt für beliebiges x = n k=1 x kv k V, wobei x k = (v k,x) ist, tatsächlich α(x) = x k α(v k ) = k=1 (v k,x)α(v k ) = (a,x). (557) k=1 Sei umgekehrt α(x) = (b,x), mit einem b V. Speziell für x = a b folgt dann = (a,x) (b,x) = (a b,a b) a b = b = a. (558) Def.: Das dem Vektor a V durch die Bedingung α(x) = (a,x), für alle x V (559) eindeutig zugeordnete lineare Funktional α V heißt das Adjungierte a von a. Bsp. 1b: Wir betrachten das Funktional β aus Bsp. 1a und das Skalarprodukt (x,y) := dt x(t)y(t) (56) in P 2 (R). Mit b b(t) := 1.2t t.6 gilt für x x(t) = pt 2 +qt+r tatsächlich (b,x) = dt b(t)x(t) = =... dt(1.2t t.6)(pt 2 +qt+r) =.64p+.8q+r = f(.8) β(x). (561) Es gilt also β = b. Bem.: In der Quantenmechanik ist folgende Schreibweise (nach P.A.M. Dirac) üblich: x = x, β b = b, also: β(x) = b x. (562) 94

12 6.2.3 Die zu f : V V adjungierte Abbildung f : V V Sei a V ein fester Vektor und f : V V eine Selbstabbildung. Dann wird durch β(x) := (a,f(x)), x V (563) eine Abbildung β : V K festgelegt. Diese ist ein lineares Funktional, β V, denn β(λx 1 +µx 2 ) = (a,f(λx 1 +µx 2 )) = (a,λf(x 1 )+µf(x 2 )) = λβ(x 1 )+µβ(x 2 ). (564) Nach Abschnit gibt es also ein durch a eindeutig bestimmtes b V, sodaß gilt β(x) (a,f(x)) = (b,x), x V. (565) M.a.W.: Durch die Bedingung (a,f(x)) = (g(a),x), x V (566) wird eindeutig eine Abbildung g : V V, a b = g(a) festgelegt. Sie ist linear, denn (g(λa 1 +µa 2 ),x) = (λa 1 +µa 2,f(x)) = λ (a 1,f(x))+µ (a 2,f(x)) = λ (g(a 1 ),x)+µ (g(a 2 ),x) = (λg(a 1 )+µg(a 2 ),x). (567) Def.: Die zu einer gegebenen Abbildung f : V V durch die Bedingung (v,f(x)) = (f (v),x), x V (568) eindeutig festgelegte Abbildung f : V V heißt die zu f adjungierte Abbildung. Satz: Die Abbildung f : V V werde bezüglich der ON-Basis B = {v 1,...,v n } durch die Matrix A dargestellt. Dann wird f bezüglich B durch die Matrix A dargestellt. Beweis: Die gesuchte Matrix von f sei M, f (v l ) = M jl v j. (569) Wegen f(v k ) = n A ikv i folgt dann ( ) A lk = (v l,f(v k )) = (f (v l ),v k ) = M jl v j,v k = Mjl (v j,v k ) = Mkl. (57) Es folgt also A = M M = A, und die Behauptung ist bewiesen. 95

13 6.2.4 Unitäre und selbstadjungierte Abbildungen Def.: Die Abbildung f : V V heißt selbstadjungiert, wenn gilt f = f. Bem.: Während die Matrix U einer unitären Abbildung f : V V (bezüglich einer ON-Basis von V) invertierbar ist, mit der Eigenschaft ( unitär ) U = U 1, (571) so ist die Matrix H einer selbstadjungierten Abbildung charakterisiert durch H = H. (572) Solche Matrizen heißen hermitesch. (Reelle hermitesche Matrizen sind symmetrisch.) Bsp. 2a: Eine unitäre und eine hermitesche (2 2)-Matrix U bzw. H sind etwa, U = 1 ( ) ( ) 1 i 1 i, H =. (573) 2 i 1 i 1 Bem.: Alle Eigenwerte λ einer selbstadjungierten Abbildung f sind reell. Beweis: Sei nämlich f(v) = λv und (v,v) = 1. Dann folgt λ = (v,λv) = (v,f(v)) = (f (v),v) (f(v),v) = (λv,v) = λ, q.e.d. (574) Dasselbe gilt natürlich insbesondere auch für die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix. Bsp.: Die allgemeine hermitesche (2 2)-Matrix lautet ( ) a x+ iy H = (a,b,x,y R). (575) x iy b Man beachte, daß die Diagonalelemente H ii, auch im Fall (n n), alle reell sein müssen! Das charakteristische Polynom, hat tatsächlich nur reelle Nullstellen, P H (λ) = λ 2 (a+b)λ+[ab (x 2 +y 2 )], (576) λ 1,2 = 1 2 [ (a+b)± ] (a b) 2 +4(x 2 +y 2 ). (577) Dies gilt natürlich erst recht im speziellen Fall y = einer symmetrisch-reellen Matrix! 96

14 6.2.5 ON-Basis aus Eigenvektoren Eigenvektoren v 1 und v 2 einer selbstadjungierten Abbildung f zu verschiedenen Eigenwerten λ 1 bzw. λ 2 sind zueinander orthogonal, denn λ 2 (v 1,v 2 ) = (v 1,f(v 2 )) = (f(v 1 ),v 2 ) = λ 1(v 1,v 2 ) λ 1 (v 1,v 2 ), (578) was wegen λ 2 λ 1 nur mit (v 1,v 2 ) = vereinbar ist. Auch bei einer unitären Abbildung f, mit f = f 1, sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten λ 1 = e iφ 1 bzw. λ 2 = e iφ 2 (mit φ 1,φ 2 R) zueinander orthogonal, e iφ 2 (v 1,v 2 ) = (v 1,f(v 2 )) = (f 1 (v 1 ),v 2 ) = (e iφ 1 v 1,v 2 ) = e iφ 1 (v 1,v 2 ), (579) was wiederum wegen φ 2 φ 1 nur mit (v 1,v 2 ) = vereinbar ist. Satz: Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K {C, R} mit Skalarprodukt. Sei außerdem f : V V eine selbstadjungierte oder eine unitäre Selbstabbildung. Dann gibt es eine ON-Basis von V, die aus Eigenvektoren von f besteht. Auf den Beweis wollen wir hier verzichten. Dieser Satz hat fundamentale Bedeutung in der Quantenmechanik, wo er auf gewisse -dimensionale Vektorräume, sog. Hilbert-Räume verallgemeinert wird. Eine dem Satz analoge Aussage gilt natürlich für hermitesche oder unitäre Matrizen: Satz: Sei A eine komplexe (oder auch reelle) (n n)-matrix, die entweder hermitesch oder unitär ist. Dann existiert eine ON-Basis {v 1,...,v n } des C n aus Eigenvektoren von A. Im hermiteschen Fall sind alle Eigenwerte λ 1,...,λ n reell, A = A : A v k = λ k v k, λ k = λ k, (58) im unitären Fall sind sie im allg. komplex, haben dafür aber immer den Betrag 1, A = A 1 : A v k = λ k v k, λ k = e iφ k (φ k R). (581) Bsp. 2b: Die unitäre Matrix U aus Bsp. 2a hat die orthogonalen Eigenvektoren ( ) ( ) 1 1 v 1 =, v 1 2 =, (582) 1 zu den unimodularen komplexen Eigenwerten λ 1,2 = 2 1 2(1± i) e ±πi/4, mit µ 1,2 = 1. Dagegen hat die hermitesche Matrix H aus Bsp. 2a reelle Eigenwerte λ 1 = und λ 2 = 2; die Eigenvektoren sind aber ebenfalls orthogonal, v 1 = ( 1 i ), v 2 = 97 ( 1 i ). (583)

15 Bsp. 3: Für die Physik besonders wichtig ist der Spezialfall einer symmetrisch-reellen Matrix, die ja auch hermitesch ist. Als Beispiel diene die symmetrische (3 3)-Matrix A = (584) Wie man leicht nachrechnet, sind drei paarweise orthogonale Eigenvektoren gegeben durch v 1 = 1 2 1, v 3 2 = 1 2 2, v 3 3 = (585) Sie bilden offensichtlich eine ON-Basis des R 3, und die zugehörigen Eigenwerte sind reell, λ 1 = 18, λ 2 = 27, λ 3 = 45. (586) Zusammenfassung Drei Kategorien mathematischer Objekte: 1. Vektoren a,b,c,... V. 2. Lineare Selbstabbildungen f,g,h,... : V V. 3. Lineare Funktionale α,β,γ,... : V K. Zuenander adjungiert sein können: 1 3, 2 2, 3 1. Wählt man in V eine Basis {v 1,...,v n }: 1. Spalten a,b,c,... K n. 2. (n n)-matrizen F,G,H, Zeilen a,b,c,... 98

16 6.3 Hauptachsentransformation Einführung: Quadratische Funktionen Wir betrachten eine quadratische Funktion mit zwei reellen Variablen x und y, f(x,y) = 23x 2 +72xy 2y 2. (587) Zur graphischen Veranschaulichung denke man an jedem Punkt der xy-ebene je einen Stab vertikal (in z-richtung) aufgestellt, dessen Länge gleich dem jeweiligen Funktionswert f(x,y) ist. [Im Fall f(x,y) < muß der Stab nach unten zeigen.] Die freien Enden dieser Stäbe bilden eine gekrümmte, 3-dimensionale Fläche, den 3D-Plot der Funktion. Wie sieht dieser aus? DieNullstellen von f inderxy-ebenefolgenausder Gleichung 2y 2 +72xy 23x 2 =, y 1,2 = 36x±25 2 x = { (36±25 2) x (x ), (18±25 2) x (x ). (588) Dies sind die beiden Geraden y(x) = (36±25 2)x, also y 71.35x und y.65x. Sie schneiden sich im Ursprung (x,y) = (,) und schließen den Winkel 55 ein. Sie teilen diexy-ebeneinvier Sektoren auf, abwechselnd mit f(x,y) > bzw. f(x,y) <. Damit ist qualitativ klar, daß der 3D-Plot eine Sattelfläche sein muß. Ein klareres Bild läßt sich gewinnen, wenn wir in der xy-ebene zu verdrehten Koordinatenachsen übergehen. Dann gehen die alten Koordinaten x und y eines Punktes, zur Spalte r zusammengefaßt, über in die neuen Koordinaten x und y, bzw. r, r = U r ( ) ( ) ( x U11 U y = 12 x U 21 U 22 y ). (589) Die Spalten der Trafo-Matrix U sind die Koeffizienten der alten Basisvektoren e x und e y, dargestellt als LKen der neuen, e x und e y. Da U eine reine Drehung beschreibt, müssen diese Spalten zueinander orthogonale Einheitsspalten, die Matrix U selbst also orthogonal (d.h.: reel-unitär) sein, U 1 = U T. Für die genannte Funktion f erweist sich folgende orthogonale Matrix als hilfreich, U = 1 ( ) 3 4. (59) Mit der inversen Matrx U 1 = U T ergibt sich zunächst ( ) x 1 ( ) ( ) 3 4 x y y = 1 ( 3x 4y 5 4x +3y ). (591) 99

17 Setzt man dies in der quadratischen Funktion f(x,y) für x und y ein, f(x,y ) = 23 (3x 4y ) (3x 4y )(4x +3y ) 25 2 (4x +3y ) 2, (592) 25 so treten nur noch rein-quadratische Terme aber kein gemischter Term x y mehr auf, f(x,y ) = 25x 2 5y 2. (593) Die neuen Achsen {e x,e y } heißen daher die Hauptachsen der quadratischen Funktion. Wir werden sehen, daß jede quadratische Funktion (mit n Variablen) durch geeignete Verdrehung der n Koordinatenachsen, Hauptachsentransformation genannt, auf diese reinquadratische Form gebracht werden kann. Im einfachsten Fall n = 2 lautet eine Funktion in rein-quadratischer Form Ihr 3D-Plot... f(x,y) = ax 2 +by 2. (594) 1

18 6.3.2 Bilinearformen Def.: Eine Bilinearform (BF) auf dem Vektorraum V (mit oder ohne Skalarprodukt) ist eine Funktion Φ : V V R, die jedem geordneten Paar von Vektoren x,y V eine Zahl Φ(x,y) R zuordnet und dabei in beiden Argumenten linear ist, Φ(λx 1 +µx 2,y) = λφ(x 1,y)+µΦ(x 2,y), Φ(x,λy 1 +µy 2 ) = λφ(x,y 1 )+µφ(x,y 2 ). (595) Die BF heißt symmetrisch, wenn zusätzlich gilt Φ(x,y) = Φ(y,x). Bsp. 1a: Jedes (reelle) Skalarprodukt (x,y) in V bildet eine symmetrische BF auf V, Φ(x,y) := (x,y) (y,x). (596) Bsp. 1b: Im Fall V = R 2 ist eine BF Φ : R 2 R 2 R gegeben durch ( [ ] [ ] x Φ(x,y) Φ 1 y1 ), = 2x x 2 y 1 y 1 5x 2 y 2. (597) 2 Dies ist zwar symmetrisch aber kein Skalarprodukt, denn es ist etwa Φ([ 1 1 ],[1 1 ]) = 3 <. Bem.: Sei B = {v 1,...,v n } eine Basis von V. Dann gilt für eine BF allgemein ( ) Φ(x,y) Φ x i v i, y j v j = x i y j Φ(v i,v j ) A ij x i y j. (598) Jede BF Φ : V V R auf einem n-dimensionalen Vektorraum V wird also bezüglich einer Basis B von V durch eine (n n)-matrix A = (A ij ) beschrieben, mit A ij = Φ(v i,v j ). (599) Dabei ist Φ genau dann symmetrisch, wenn die Matrix A es ist. Bsp. 1c: Eine nicht-symmetrische BF Φ : R 2 R 2 R und ihre Matrix bezüglich der Standardbasis des R 2 sind 2 ( ) 2 3 Φ(x,y) = 2x 1 y 1 +3x 1 y 2 +7x 2 y 1 8x 2 y 2 = A ij x i y j, A =. (6) 7 8 Bsp. 1d: Im -dimensionalen Vektorraum der auf [a, b] stetigen Funktionen ist eine BF allgemein gegeben durch b b Φ(x,y) = ds dt A(s, t) x(s)y(t), (61) a a mit einer für Φ charakteristischen stetigen Funktion A(s, t) der zwei Variablen s und t. Diese bilden eine Verallgemeinerung die diskreten Matrixindizes i und j. 11

19 6.3.3 Quadratische Formen Def.: Jede BF Φ : V V R, (x,y) Φ(x,y) definiert durch die Vorschrift Q(x) := Φ(x, x) (62) eine Funktion Q : V R, x Q(x), die zu Φ gehörende quadratische Form (qf). Solange nicht anders betont, ist hier immer V = R n und B die Standardbasis des R n. Bem.: Aus der qf Q(x) läßt sich die BF Φ(x,y) nicht eindeutug rekonstruieren. Wegen x 1 x 2 = x 2 x 1 führen etwa die beiden BFen auf ein- und dieselbe qf Φ(x,y) = 2x 1 y 1 +5x 1 y 2 +5x 2 y 1 8x 2 y 2, Ψ(x,y) = 2x 1 y 1 +3x 1 y 2 +7x 2 y 1 8x 2 y 2 (63) Q(x) Φ(x,x) = 2x x 1x 2 8x 2 2 = Ψ(x,x). (64) Zur Erzeugung von qfen kannman sich daher auf symmetrische BFen(wie Φ imaktuellen Beispiel) beschränken. Die beliebige BF Ψ (mit Matrix M) erzeugt die gleiche qf Q(x) Ψ(x,x) = M ij x i x j = M ij +M ji x i x j =: 2 wie die symmetrische BF Φ mit der symmetrischen Matrix A ij x i x j, (65) A := 1 2 ( M +M T ) A ij := M ij +M ji 2 = A ji. (66) Wir können uns also bei qfen auf symmetrische Matrizen A beschränken. Folglich gibt es neben der Standardbasis B = {e 1,...,e n } im R n auch eine ON-Basis B 1 = {v 1,...,v n } aus Eigenvektoren von A. Jeder beliebige Vektor x R n hat die beiden Darstellungen x = x 1 e x n e n = ξ 1 v ξ n v n. (67) Die neuen Koordinaten ξ k sind mit den x i verknüpft durch eine unitäre Trafo-Matrix U, ξ k = U ki x i ξ = U x. (68) Wegen U 1 = U = U T (die unitäre Matrix U ist reell, also orthogonal) gilt umgekehrt x i = Uikξ T k x = U T ξ. (69) k=1 12

20 Wir setzen dies in der qf Q(x) für x i und x j ein, Q(x) = A ij x i x j = = ( )( ) A ij Uikξ T k Ujlξ T l k,l=1 k=1 l=1 U ki A ij Ujl T ξ kξ l = ) (U A U T k,l=1 kl ξ k ξ l. (61) Als Transformierte von A auf die ON-Basis B 1 aus Eigenvektoren ist A = U A U T die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λ 1,...,λ n auf der Diagonalen, (U A U T ) Damit haben wir folgenden Satz bewiesen, kl = λ k δ kl Q(x) = λ k ξk. 2 (611) Satz (Hauptachsen-Trafo): Jede quadratische Form Q : R n R,x Q(x), Q(x) = k=1 A ij x i x j, (612) läßt sich auf Hauptachsen transformieren. D.h.: Man kann im R n eine ON-Basis B 1 so wählen, daß Q(x) als Funktion der Koordinaten ξ k von x bezüglich B 1 die Form Q(x) = λ k ξk 2 (613) k=1 annimmt, mit n Parametern λ 1,..,λ n. B 1 besteht aus den Eigenvektoren von A, die Parameter λ k die zugehörigen Eigenwerte. Bsp.: Wir betrachten eine quadratische Form auf V = R 3, Q(x) = 4x x2 2 +2x2 3 4x 1x 2 +4x 2 x 3 = A ij x i x j. (614) Ihre (symmetrische!) Matrix A = (A ij ) hat die Eigenwerte λ 1 =,λ 2 = 3 und λ 3 = 6, 4 2 A = 2 3 2, det ( A λe ) = λ(λ 3)(λ 6). (615) 2 2 Drückt man also in Q(x) die x i durch die Koordinaten ξ k von x bezüglich der (noch nicht berechneten!) normierten Eigenvektoren von A aus, so muß sich also ergeben Q(x) λ 1 ξ 2 1 +λ 2ξ 2 2 +λ 3ξ 2 3 = 3ξ2 2 +6ξ2 3. (616) 13

21 Aus dieser Darstellung lesen wir ab, daß Q(x) für alle x R 3, daß aber bei x = trotzdem kein Minimum vorliegt. Man sagt in diesem Fall, Q sei positiv semidefinit (s.u.). Zu den Eigenwerten λ 1 =,λ 2 = 3 bzw. λ 3 = 6 gehören die normierten Eigenvektoren v 1 = , v 2 = , lvv 3 = (617) Sie bilden die Spalten der inversen Trafo-Matrix U 1 = U T, U T = (618) Der Vektor x = ξ 1 v 1 +ξ 2 v 2 +ξ 3 v 3 hat also bezüglich der Standardbasis die Koordinaten x 1 = 1 3 (ξ 1 +2ξ 2 +2ξ 3 ), x 2 = 1 3 (2ξ 1+ξ 2 2ξ 3 ), x 3 = 1 3 ( 2ξ 1 +2ξ 2 ξ 3 ). (619) Setzt man diese Ausdrücke in Q(x) = 4x 2 1+3x 2 2+2x 2 3 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ein, so ergibt sich nach mühsamem Ausmultiplizieren tatsächlich das einfache Ergebnis Q(x) = 3ξ ξ2 3. Def.: Seien λ 1,...,λ n die Eigenwerte der symmetrischen Matrix A. Dann heißt die qf Q(x 1,...,x n ) = A ij x i x j (62) (1) positiv definit, wenn die Menge Λ := {λ 1,...,λ n } nur positive Zahlen, (2) positiv semidefinit, wenn Λ positive Zahlen und Null(en), (3) negativ definit, wenn Λ nur negative Zahlen, (4) negativ semidefinit, wenn Λ negative Zahlen und Null(en), (5) indefinit, wenn Λ positive und negative Zahlen enthält. 14