Euklid, Geometrische Algebra

Transkript

1 Euklid, Geometrische Algebra von Michael Schmelling Seminar Geschichte der Algebra bei Prof. Dr. Scriba Sommersemester Mai 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Euklid, zur Person Die Vorgeschichte Die griechische Mathematik Euklid, zur Person Euklid, seine Mathematik Euklids Werke Euklids geometrische Algebra Sätze aus den Elementen Quadratische Gleichungen

3 1 Euklid, zur Person 1.1 Die Vorgeschichte Über die Person des Euklides gibt es keine gesicherten Berichte. Eine Biographie zu seiner Person zu schreiben, wre schon bei der Angabe seines Geburtsdatums zum Scheitern verurteilt. Es ist sinnvoll eine kurze Abhandlung über die Zeit, bevor Euklid lebte, zu formulieren und dann zu seiner Person und zu seiner Arbeit zu kommen, um den Wandel deutlich zu machen, der sich in der Mathematik durch die Griechen vollzog. Schon sehr lange Zeit, bevor sich die Griechen aktiv an der Entwicklung der Mathematik beteiligten, kannten und benutzten einige Kulturen wie das alte China, Indien, die Babylonier in Mesopotamien und die Ägypter mathematische Sachverhalte und Lösungsvorschriften. Charakteristisch für den damaligen Umgang mit der Mathematik war das Fehlen von Begründungen für verwendete Lösungsverfahren (es existieren zumindest keine schriftlichen Überlieferungen) und die enge Verbindung zur praktischen Anwendung bestimmter Bereiche, wie Landvermessung, Astronomie und Kalenderrechnung. 1 So war es im alten Ägypten von Nöten, durch mathematische Methoden der Landvermessung die Besitzrechte der Landeigentümer, welche am Nilufer ihren Grund und Boden hatten, zu klren, nachdem der Nil eine berflutung verursacht hatte, die die Grundstücksgrenzen verwischte. 2 Gerechnet wurde bei den Ägyptern mit einem Rechenbrett, ähnlich dem der Griechen, während in der altbabylonischen Mathematik mit umfangreichen Zahlentabellen gerechnet wurde, die über die damaligen praktischen Bedürfnisse hinauszugehen scheinen. Die babylonische Mathematik war der ägyptischen überlegen. Die babylonische ermöglichte die Beherrschung einiger algebraischer Probleme, wie Systeme simultaner linearer Gleichungen und gemischt quadratischer Aufgaben in voller Allgemeinheit, während die ägyptische Algebra auf die Auflösung von Gleichungen ersten Grades und rein quadratischen Gleichungen beschränkt war. Desweiteren sei noch zu erwähnen, daß die Babylonier im Gegensatz zu den rn den Pythagoräischen Lehrsatz verwendeten. Er taucht nicht direkt als Satz auf, aber er wird in konkreten Aufgaben benutzt. Die ägyptische und die babylonische Mathematik ist für die Entwicklung der griechischen Mathematik von großer Bedeutung. Die Griechen kannten und benutzten Rechentechniken beider Kulturen. Was die Geometrie angeht, so sahen die Griechen in den Ägyptern ihre ersten großen Lehrmeister. 3 1 [1] Seite 8 2 [3] Seite [4] Seite

4 1.2 Die griechische Mathematik Der erste zu erwähnende griechische Mathematiker vor Euklid war Thales von Milet, der etwa 624 bis 546 v. Chr. lebte. Thales war ebenso ein angesehener Philosoph. In der sogenannten hellenischen Mathematik, die von den Anfängen bis hin zu Euklid dauerte, war die Mathmatik mit der Philosophie eng verbunden. Die Leistungen des Thales auf dem mathematischen Gebiet war unter anderem der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck und der nach ihm benannte Satz, daß der Peripheriewinkel im Halbkreis ein Rechter ist. Diese und andere Gesetzmäßigkeiten waren schon bei den Babyloniern, vermutlich auch bei den Ägyptern bekannt. Thales jedoch formulierte diese als Lehrsätze und bewies sie. Von Thales wird ferner behauptet, daß er die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 voraussagte, das heißt natürlich, er berechnete sie und er berechnete die Höhe einer Pyramide mit Hilfe eines Stabes und dessen Schattenlänge. 4 Seiner wissenschaftlichen Neigung wegen wurde Thales vom Volk, für welches eine derartige Arbeitsweise ungewohnt war, verspottet. Der praktische Nutzen war noch nicht einsichtig. 5 Als nächstes sei Pythagoras bzw. der um 530 v. Chr. in Unteritalien gegründete Geheimbund der Pythagoräer erwähnt. Im Kreise seiner Schüler und Anhänger bildete sich nach dem Tod des Pythagoras, etwa um 500 v. Chr. eine Partei der sogenannten Mathematikoi heraus, die vornehmlich die Mathemata, d.h. die systematisch geordneten Lehrgebiete der im übrigen vorwiegend weltanschaulich-philosophisch und politisch ausgerichteten Lehren des Meisters Pythagoras weiterentwickelten. Die Mathemata umfassten die vier Lehrgebiete Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Harmonielehre, also Musiktheorie. Auch für Pythagoras bestand eine sehr enge Verknüpfung zwischen Philosophie und Mathematik, die sich besonders stark durch seine These Alles ist Zahl ausdrückt. Pythagoras ursprüngliche These war, die natürlichen Zahlen und deren Verhältnisse seien als alleiniger Schlüssel zum Verständnis der Welt ausreichend. Diese seine These erlitt noch vor seinem Tod einen krisenhaften Zusammenbruch, als die irrationalen Zahlen entdeckt wurden. Als Ausweg wurde von den Pythagoräern eine geometrische Algebra geschaffen ( dieser Name wurde von dem dänischen Mathematikhistoriker H.G. Zeuthen eingeführt ), in der Größen als Streckenlängen, Flächeninhalte oder Volumina repräsentiert werden und die arithmetischen Operationen zwischen ihnen durch geometrische Konstruktionen erklärt sind. Der tatsächliche Anteil der Pythagoräer an der voreuklidischen Mathematik ist nur sehr ungenau bekannt. Das liegt zum einen an der Geheimniskrämerei des Bundes und zum anderen daran, daß die Überlieferungen nur mündlich getätigt wurden. Etwa um diese Zeit gab es ebenfalls in Unteritalien eine sogenannte Schule der Eleaten, von der verschiedene moderne Autoren behaupten, sie habe die Mathematik entscheidend beeinflusst, insofern, als daß sie die Wendung vom Empi- 4 [4] Seite [1] Seite 13 4

5 rischen und Konkreten zum Abstrakten hin vorangetrieben haben. In der Schule der Eleaten traten zum ersten Mal Widerspruchsbeweise auf. Diese Beweistechnik verlangt, sich zumindest zeitweise einen Sachverhalt vorzustellen, der in Wirklichkeit unmöglich, also keiner Veranschaulichung fähig ist. Ohne Zweifel hat dies die Schärfe mathematischer Beweise erheblich gefördert. In dieser Zeit gewann die Mathematik an Wertschätzung in der engagierten Öffentlichkeit, denn es wurde der Mathematik eine gewisse erzieherische und allgemeinbildende Funktion zugesprochen. 6 Als nächster sei Platon genannt, welcher allerdings wohl mehr Philosoph als Mathematiker war. Platon gründete 389 v. Chr. in Athen eine eigene Akademie. Platon maß der Mathematik für die Ausbildung, die er vertrat, einen hohen Wert bei. Er sah ihren Hauptzweck darin, die für die Leitung des ihm vorschwebenden Idealstaates bestimmte Elite einer Art intellektuellen Trainings zu unterwerfen und dabei gleichzeitig zum Schönen und Guten zu erziehen. Allerdings hat Platon offensichtlich keinen eigenen Beitrag zum mathematischen Wissen geleistet. 7 Ein weiterer Mathematiker, der dem Kreise Platons angehörte, war Eudoxos von Knidos, der von etwa 408 bis 355 v. Chr. lebte. Eudoxos hatte auch als Astronom, Geograph und Arzt einen bedeutenden Rang. Von ihm wurde die Proportionstheorie für den allgemeinen Größenbegriff der geometrischen Algebra und der sogenannten Exhaustionsmethode zum Beweis von Volumenformeln für krummflächig begrenzte Körper entwickelt. Eudoxos war der erste, der einen exakten Beweis des zuerst von Demokrit von Abdera ( v. Chr.) gefundenen Satzes zur Berechnung des Volumens einer Pyramide führte. Ebenfalls zum Kreise Platons gehörte Theaitetos. Er lebte um 417 bis 368. Theaitetos wird die Entwicklung der Konstruktion der fünf regulären Polyeder mit Zirkel und Lineal zugesprochen. Wahrscheinlich hat Theaitetos das Oktaeder und das Ikosaeder erstmals gefunden, ebenso wie den Beweis, daß es keine weiteren regulären Polyeder gibt Euklid, zur Person Wie eingangs erwähnt gibt es von Euklid, dem Elementenschreiber, wie er seit Archimedes schlechthin genannt wird, keine gesicherten berlieferungen. Einige Historiker vermuten sogar, daß Euklid garn nicht existiert hat, sondern nur ein Pseudonym einer Gruppe von Mathematikern gewesen sei, die im Museion in Alexandria gearbeitet haben. Das Museion von Alexandria wurde unter Ptolemaios I gegründet. Es war aus heutiger Sicht ein Zwischending zwischen Universität und Akademie, eine wissenschaftliche Einrichtung, die sowohl der Forschung und Lehre als auch der Repräsentation der Herrscher diente. Das Museion verfügte über Hörsäle, Arbeitsräume, Speisesäle, Gästezimmer, einer 6 [1] Seite [1] Seite [1] Seite 15-16, 18 5

6 Sternwarte, einen botanischen und einen zoologischen Garten, vor allem aber über eine riesige Bibliothek, 9 welche in der Blütezeit über ca Buchrollen verfügte und 47 v. Chr. durch einen Brand zerstört wurde. 10 Aus den berlieferungen aus dieser Zeit geht hervor, daß Euklid zwischen 360 und 280 v. Chr. gelebt haben muß und seine Werke vermutlich um 300 v. Chr. entstanden sind. Vermutlich wurde Euklid auf eine Empfehlung des Demetrios von Phaleron nach Alexandria gerufen. Daher ist anzunehmen, daß er aus Athen kam, was allerdings noch nichts über seine Herkunft oder Nationalität aussagt. Die These, daß Euklid aus einer der beiden großen athenischen Philosophenschulen oder aus beiden hervorging, wird sehr stark durch sein Werk gestützt, das überall Spuren sowohl der platonischen Philosophie als auch der aristotelischen Methodologie trägt und überdies eine enge Vertrautheit des Verfassers mit den Theorien von Eudoxos und Theaitetos beweist. Die Ansichten der Historiker über die Stellung des Euklid im Museion von Alexandria gehen auseinander. Einige behaupten, Euklid wäre Rektor gewesen, andere sagen, daß er wohl mit dem Museion in Verbindung gestanden hatte, jedoch nicht in einer offiziellen Stellung. 11 Lange Zeit ist Euklid mit dem athenischen Philosophen Euklid von Megara, welcher um 450 bis um 380 v. Chr. lebte und ein Schüler des Sokrates war, identifiziert worden. Das wurde jedoch 1572 von dem Euklidübersetzer und - bearbeiter Commandino wegen zeitlicher Widersprüche zurückgewiesen. Alle überlieferten Informationen über die Person des Euklid stammen von spätantiken oder islamischen Schriftstellern. So schrieb der Mathematiker Pappos um 320 n. Chr. in der Einleitung zum siebten Buch seiner berühmten Enzyklopädie über Euklid : Er war von mildester Gesinnung und, wie es sich geziehmt, wohlwollend gegen jeden, der, und wärs noch so wenig, die mathematischen Disziplinen zu fördern vermochte, in keiner Weise gehässig, sondern im höchsten Grad rücksichtsvoll. 12 Weiter schreibt Pappos über Euklid, daß dieser absichtlich hinter seinem Werk zurückgetreten sei und so wenig wie möglich an den überkommenen Theorien geändert habe. Nach heutigen Erkenntnissen hat Euklid in seinen Elementen ganze Kapitel nach Inhalt und Stil früherer Mathematiker übernommen. Der makedonische Schriftsteller Joannes Stobaios schrieb im 5. Jahrhundert n. Chr. in der folgenden berühmten Anekdote 13 : Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht in der Geometrie zu nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er den ersten Satz der Elemente kennengelernt hatte : Was habe ich nun davon, daß ich das weiß? Euklid rief seinen Sklaven und sagte : Gib dem Manne drei Obolen, denn er studiert, um Profit zu machen! Diese kleine Geschichte sollte die uninteressierte Haltung Euklids an praktischen Anwendungen der 9 [1] Seite [5] Seite [1] Seite [6] Seite 6 13 [1] Seite

7 Wissenschaft deutlich machen und ihn als Mensch darstellen, für den die Wissenschaft alles war. 14 Eine weitere berühmte Anekdote über Euklid wurde von Proklus Diadochus, der um 450 n. Chr. Nachfolger des Plato in der Leitung der Akademie, d.h. Rektor der Universität Athen war, in seinem Euklidkommentar abgefasst. Er schrieb : Nicht viel jünger als diese ( Hermotimos, der Kolophoner und Philippos, der Schüler Platons ) ist Euklides, der die Elemente verfasste, wobei er vieles, was vom Eudoxos herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles, was Theaitet begonnen, vollendete und außerdem so manches, was früher ohne rechte Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Und dieser Mann lebte unter dem ersten Ptolemaios, denn Archimedes, dessen Lebenszeit sich an die des ersten Ptolemaios anschließt, erwähnt des Euklid, und zwar erzählt er : Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht zur Geometrie einen bequemeren Weg gäbe als die Elemente. Jener aber antwortete : Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg. Er ist also jünger als die Schüler des Platon und älter als Eratosthenes und Archimedes, denn diese waren Zeitgenossen, wie Eratosthenes irgendwo sagt. Aus dem Grundsatz war er ( Euklid ) Platoniker und in der platonischen Philosophie zu Hause. 15 Außer Zweifel steht der starke Einfluß, den Euklid über Jahrtausende auf die Mathematik hat. Dies wird auch durch ußerungen von van der Waerden deutlich, welcher in seinem 1956 erschienenen Buch Erwachende Wissenschaft schreibt : Und wirklich, Eukleides hat durch seine hervorragenden didaktischen Qualitäten diesen Ruhm in vollem Masse verdient. Er ist der größte Schulmeister, den die Geschichte der Mathematik kennt. Euklids Elemente sind durch Jahrtausende hindurch als mustergültige Lehrbücher der Schulgeometrie anzusehen. Schulgeometrie heißt in England Euclid. Die eigendliche Genialität des Euklid lag also offenbar weniger in seiner Fähigkeit als Mathematiker sondern vielmehr im didaktischen Bereich Euklid, seine Mathematik 2.1 Euklids Werke Die Elemente ( griechisch: stoicheia ) sind das Hauptwerk des Euklid. Sie bestehen aus dreizehn Büchern. Aus dem Kommentar von Proklus ist bekannt, daß es schon mindestens drei Verfasser von Elementen vor Euklid gegeben hat. ( Hippokrates von Chios, ca. 440 v. Chr. ; Leon, ca. 370 v. Chr. und Theudios von Magnesia, ca. 340 v. Chr. ). Von deren Inhalt ist allerdings nichts überliefert. Vermutlich sind die älteren Versionen der Elemente, sofern sie inhaltlich einander ähnlich waren, deshalb verloren gegangen, weil man nur noch der neu- 14 [6] Seite 6 15 [6] Seite 5 16 [7] Seite

8 sten Version Beachtung schenkte. 17 Es folgt eine bersicht, die den Umfang der Elemente zeigt : Die Elemente Euklids Buch Inhalt inhaltl. Anzahl der Nr. Herkunft Defini- Proposi- davon tionen tionen Konstruktionsaufgaben 1. ebene Geometrie bis Satz des Pythagoras u. 5. Jh. 2. elementare v. u. Z., geometrische insbes. Algebra Pythago räer, ion. Naturphi- 3. Kreislehre losophen Dem Kreis ein- u. umbeschriebene Vielecke Proportionenlehre Eudoxos Anwendungen von Buch 5 auf ebene Geometrie? Theorie der natürlichen Pythago Zahlen räer quadratische Irrationalitäten Theaitetos elementare z.t. wie Stereometrie Volumen Eudoxos reguläre Polyeder Theaitetos Zählung nach Cl. Thaer Bei den jeweils hinzugefügten Aufgaben handelt es sich um Propositionen, die bei Cl. Thaer nicht formal als Aufgaben ausgewiesen, aber sachlich als solche zu betrachten sind. Entnommen aus [1] Seite [1] Seite 32 8

9 Die Data Es ist mit sehr hoher Warscheinlichkeit anzunehmen, daß Die Data von Euklid verfasst wurden, da sie sich inhaltlich sehr eng an die Elemente anschließen. Die Data beinhalten am Anfang zwölf Definitionen, in denen u.a. erklärt wird, wann ein ( geometrisches ) Objekt der Größe nach bzw. der Gestalt nach bzw. der Lage nach gegeben ist. Den Hauptteil bilden 94 Propositionen, die fast alle die folgende Form haben : Wenn gewisse Objekte in der und der Weise gegeben sind, dann ist ein gewisses anderes ( von ihnen abhängiges ) Objekt in der und der Weise gegeben. Z.B.: Satz 39 : Sind alle Seiten eines Dreiecks der Größe nach gegeben, so ist das Dreieck der Gestalt nach gegeben. Zu jeder Proposition wird eine Begründung angegeben, die im allgemeinen auf entsprechende Sätze aus den Elementen verweist. 18 ber die Teilung von Figuren Diese Werk behandelt Aufgaben, gegebene Dreiecke, Parallelogramme, Trapeze, und in einem Fall einen Kreis, durch jeweils eine zu konstruierende Gerade in Teilfiguren zu zerlegen, die eine gegebene Form haben oder deren Flächeninhalte in einem gegebenen Verhältnis stehen. Z.B.: 19 : Ein gegebenes Dreieck ABC mittels einer durch den inneren Punkt D dieses Dreiecks gehenden Geraden in zwei f lächengleiche Teilstücke zu zerlegen. 19 Die drei Bücher über Porismen Diese Werke sind verloren. Nach Pappos enthielten sie 171 Propositionen und 38 Hilfssätze. Es wird vermutet, daß die Porismen Euklids eine Anzahl tieferliegender Charakterisierungen von Geraden und Kreisen als geometrische Orte beinhalteten. 20 Eine weitere Schrift von Euklid über Flächen im Raum als geometrische Orte, soll ebenfalls existiert haben, ist aber verloren gegangen. Zwei Schriften, die ebenfalls verloren sind, sind Pseudaria, in der es um mathematische Trugschlüsse und Fehler geht, und Konika, bestehend aus vier Büchern, die die Kegelschnittlehre behandeln. Die Optika ist im griechischen Orginaltext und einer um 370 von Theon redigierten Fassung erhalten. Dieses Werk behandelt die Lehre von der Perspektive. Die Katoptrik behandelt die Theorie der Spiegel. Phaenomena ist eine weitere erhaltene Schrift. Es ist ein Werk über die elementare theoretische Astronomie ( Drehung der Himmelskörper, Auf- und Untergang der Teile der Ekliptik ). Vermutlich hat Euklid noch zwei weitere Werke verfasst. Eines über die Elemente der Musik, also Harmonielehre mit dem Namen Sectio canonis und ein Werk über Mechanik, von dem zur Zeit drei Fragmente bekannt sind [1] Seite [1] Seite [1] Seite [1] Seite

10 2.2 Euklids geometrische Algebra Seit der dänische Mathematikhistoriker H.G. Zeuthen 1886 die Bezeichnung geometrische Algebra für die charakteristische Weise der Griechen einführte, algebraische Sachverhalte mittels geometrischer Darstellung der Größen und darauf bezogenen geometrischen Beweisen zu behandeln, ist in der Literatur die Interpretation vorherrschend, die griechischen Mathematiker hätten nach der Entdeckung inkommensurabler Streckenpaare, die von den Babyloniern übernommene Algebra retten wollen und sie darum auf einen geometrischen Größenbegriff gegründet. Ob dem so war, sei dahingestellt. Die Frage, wozu die Griechen die Algebra überhaupt brauchten, lässt sich einzig sinnvoll damit erklären, daß die Griechen damit befähigt waren, kompliziertere geometrische Sachverhalte analytisch behandeln zu können. Die erste Stelle in den Elementen, an der in klarer Form die algebraische Charakterisierung eines geometrischen Sachverhaltes auftritt, ist der Satz des Pythagoras am Ende des ersten Buches ( nebst dem vorbereitenden Kathetensatz ), welcher offenbar als Einstieg bzw. Motivation für das 2. Buch genutzt wird, welches der geometrischen Algebra gewidmet ist. Die wesentliche Beschränkung der geometrischen Algebra liegt in der Beschränkung auf Produkte von höchstens drei Streckenfaktoren ( die dann als Volumina zu deuten sind ) und in der Addierbarkeit von nur gleichdimensionalen Größen. So ist z.b. eine Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 in der geometrischen Algebra sinnlos, da man ein Rechteck px nicht zu einer Strecke q addieren kann Sätze aus den Elementen Ein typischer Satz aus dem 2. Buch Euklids Elementen ist der Satz 2 : 2 Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so sind die Rechtecke aus der ganzen Strecke und beiden einzelnen Abschnitten zusammen dem Quadrat über der ganzen Strecke gleich. Euklid beweist das so : Man teile die Strecke AB beliebig, im Punkte C. Ich behaupte, daß AB BC + BA AC = AB 2. Man zeichne nämlich über AB das Quadrat ADEB und ziehe durch C CF AD oder BE. Hier ist Pgm. AE = AF + CE; AE ist nun AB 2. Und AF ist BA AC; denn es wird von DA, AC umfaßt, und AD = AB. Und CE ist AB BC; denn BE = AB. Also sind BA AC + AB BC = AB 2 22 [1] Seite

11 A C B D F E 23 Euklid beweist also die Gleichung (a+b) 2 = a(a+b)+b(a+b), wenn a das erste und b das zweite Teilstück der Geraden, die a + b lang ist, rein geometrisch. Ein weiterer, interessanter Satz ist der 4. Satz im 2. Buch : 4 Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzen Strecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck aus den Abschnitten zusammen gleich. Euklid zeigt : Man teile die Strecke AB beliebig, in C. Ich behaupte, daß AB 2 = AC 2 + CB AC CB. Man zeichne nämlich über AB das Quadrat ADEB, ziehe BD, ferner durch C CF AD oder EB und durch G HK AB oder DE. Da CF AD, und BD sie schneidet, so ist der äußere Winkel CGB dem innen gegenüberliegenden ADB gleich (I,29). Aber ADB = ABD, da die Seite BA = AD (I,5); also ist auch CGB = GBC (Ax.1), so daß auch die Seite BC = derseitecg (I,6). Andererseits ist CB = GK (I,34) und CG = KB; also ist auch GK = KB (Ax.1); also ist CGKB gleichseitig. Ich behaupte, daß es auch rechtwinklig ist. Da nämlich CG BK [und die gerade Linie CB sie schneidet], so sind KBC + GCB = 2R. (I,29). KBC ist aber ein Rechter; also ist auch BCG ein Rechter (Ax.3); daher sind auch die gegenüberliegenden Winkel CGK, GKB Rechte (I,34). CGKB ist also rechtwinklig. Die Gleichseitigkeit ist oben bewiesen. Also ist es ein Quadrat, und zwar über CB. Aus demselben Grunde ist auch HF ein Quadrat, und zwar über HG, d.h. über AC (I,34); HF, KC sind also AC 2, CB 2. Da ferner Pgm. AG = GE (I,43) und AG = AC CB, weil GC = CB, so ist auch GE = AC CB, also AG + GE = 2 AC CB. Man hat aber auch AC 2, CB 2, nämlich HF, CK; also sind HF +CK +AG+GE = AC 2 +CB 2 +2 AC CB.HF, CK, AG, GE bilden aber zusammen ADEB, d.h. AB 2. Also ist AB 2 = AC 2 + CB AC CB 23 [2] Seite

12 A C B H G K D F E [2] Seite

13 2.4 Quadratische Gleichungen Die Lösung quadratischer Gleichungen lässt sich geometrisch wie folgt konstruieren : Die Gleichung liegt in der Form q = x px vor. Wenn die Fläche q = a2 als Quadrat gegeben ist, dann läßt sich ( p 2 )2 + a 2 sofort als Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten p 2 und a konstruieren, und wenn man p 2 a x p 2 a 2 = q davon p 2 abzieht, erhält man x. Diese Konstruktion wird beim Betrachten der Formel x = p ( 2 ± p 2 )2 + q leicht verständlich [4] Seite

14 Literaturliste [1] Peter Schreiber, Euklid, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leibzig, 1987, 1. Auflage [2] Clemens Thaer, Die Elemente von Euklid 1. Teil, Akademische Verlagsgesellschaft mbh. Leibzig, 1933 [3] C. A. Bretschneider, Geometrie und die Geometer vor Euklides B.G. Teubner Verlag Leigzig 1870, Nachdruck 1968 [4] Oskar Becker, Das mathematische Denken der Antike, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1957 [5] Familien Lexikon 1, Isis Verlag AG, Chur/Schweiz, 1991 [6] K. Fladt, Euklid, Technische Bücherei Otto Salle Verlag Berlin, 1927 [7] Van der Waerden, Erwachende Wissenschaft, Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart,