Polytope Eine Einführung in die Diskrete Geometrie Vorlesungsnotizen

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1 Polytope Eine Einführung in die Diskrete Geometrie Vorlesungsnotizen Luca Gugelmann Thomas Rast Mathias Graf SS 2005 Alexander Rudyk Dozentin: Eva Maria Feichtner Warnung: Wir sind sicher dass diese Notizen eine Menge Fehler enthalten. Betreten der Baustelle auf eigene Verantwortung! Falls ihr einen entdeckt, schreibt eine Mail an wir werden uns dann darum kümmern. Bitte erwähnt immer von welcher Version (die Id Zeile unten) ihr ausgeht. Weitere Informationen gibts unter: Revision März

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 3 2 Polytope: Definitionen und Beispiele Seiten, Seitenverbände Exkurs: Halbordnungen Polarität 17 4 Polytopgraphen Exkurs: Graphentheorie Polytopgraphen Seitenzahlen von Polytopen Polytopale Komplexe f-vektoren und h-vektoren von Polytopen Upper Bound Theorem

3 1 Grundbegriffe Definition 1.1 Eine Punktemenge k R n heisst konvex falls mit je zwei Punkten x, y k auch ihre Verbindungsstrecke [x, y] = {λx + (1 λ)y 0 λ 1} ganz in k enthalten ist. (Abbildung 1) konvex nicht konvex Abbildung 1: Konvexität Definition 1.2 Für M R n heisst die kleinste konvexe Menge in R n, die M enthält, die konvexe Hülle von M, geschrieben conv(m). Die konvexe Hülle einer endlichen Punktemenge in R n heisst (konvexes) Polytop. Proposition 1.3 Für x 1,..., x n in R n, ist { n conv(x 1,..., x n ) = λ i x i λ i 0, i=1 Definition 1.4 Sei P = conv(x 1,..., x n ), dann dim P = dim(aff P ) } n λ i = 1 i=1 wobei { n aff P := λ i x i λ i R, } λ i = 1 i=1 Definition 1.5 Sei P Polytop in R d, und c 1 x 1 + c 2 x c n x n c o, c T R d, c 0 R Dann heisst F = P {x cx = c 0 } Seite von P. Wieder dim F := dim(aff F ) (Abbildung 2) 3

4 ci x i = c 0 ci x i < c 0 ci x i > c 0 Abbildung 2: Seite Beachte P ist Seite, denn O T x = 0 für alle x P ist Seite, denn O T x 1 für alle x P Definition 1.6 Eine Seite F von P mit: dim F = 0 heisst Ecke dim F = 1 heisst Kante dim F = 2 heisst Fläche Ist dim P = d, und dim F = d 1, dann heisst F Facette von P Satz 1.7 (Euler-Formel) Sei P ein 3-dimensionales Polytop mit e Ecken, k Kanten und f Flächen, dann gilt e k + f = 2 Ausblick P Polytop, dim P = d definiere: f i := Anzahl der n-dimensionalen Seiten von D Dann gilt: d ( 1) i f i = 0 Für d = 3: i= 1 f 1 = 1 f 3 = 1 (leere Seite) P Sprich: wie die Euler-Formel f = (f 1, f 0,..., f d ) N d+2, Wann ist f Vektor von Seitenzahlen? 4

5 Abbildung 3: d = 3, n = 4 (Tetraeder) Frage Wieviele Kanten kann ein d-dimensionales Polytop mit n Ecken höchstens haben? n(n 1) #Kanten #Eckenpaare 2 d = 3: vgl. Abbildung 3 n = 4 n 5 ( ) 4 k = 6 =? 2 Gibt es ein 3-Polytop mit 5 Ecken und vollständigem Ecken/Kanten- Gerüst? NEIN! Behauptung Für n 5 gilt stets Beweis k f = s 3 + s 4 + s n(n 1) 2 s i = Anzahl i-ecke 2k = 3s 3 + 4s 4 + 5s k 3f = s 4 + 2s 5 + 3s k k + (2k 3f) = 3(k f) Euler = 3(n 2) = 3n 6 für < n 5 n(n 1) 2 Konstruktion φ: R R 4 x (x, x 2, x 3, x 4 ) C 4 (n) := conv{φ(1), φ(2),..., φ(n)} heisst zyklisches Polytop. 5

6 Behauptung Je zwei Punkte φ(p) φ(q), für 1 p q n, sind durch eine Kante in C 4 (n) verbunden. Beweis Finde lineare Ungleichung, die für alle Punkte n in C 4 (n) gültig ist, und unter den φ(i) nur von φ(p) und φ(q) mit Gleichheit erfüllt wird. (x p) 2 (x q) 2 = 4 c i x i i=0 Betrachte 4 i=0 c ix i 0 und setze φ(s) ein. c 0 4 i=1 c i }{{} s i = (s p) 2 (s q) 2 (φ(s)) i { 0 für alle s = 1,..., n = 0 für s = p, s = q Zwischen φ(p) und φ(q) gibt es eine Kante in C 4 (n) Ausblick Zyklische Polytope in Dimension d: φ: R R d x (x, x 2,..., x d ) C d (n) := conv{φ(1), φ(2),..., φ(n)} Upper bound theorem: für jedes d-polytop P auf n Ecken gilt f i (P ) f i (C d (n))für i = 0,..., d 1 2 Polytope: Definitionen und Beispiele Bemerkung Sind K, K konvexe Mengen in R d, so ist auch K K konvex. Also ist conv(m) die kleinste konvexe Menge, die M enthält. Proposition 2.1 Sei M R d, dann ist { k conv(m) = λ i x i {x 1,..., x k } M, λ i 0, i=1 Beweis : Induktion über k k = 1: x 1 M conv(m) } k λ i = 1 i=1 6

7 k > 1: ( k k 1 ) λ λ i x k <1 λ i i = (1 λ k ) x i +λ k x k 1 λ i=1 k }{{} y conv(m) i=1 y conv(m) nach Induktionsvoraussetzung. λ i 1 λ k 0 für i = 1,..., k 1, k 1 i=1 ( λ i = 1 k 1 1 λ k 1 λ k i=1 λ i ) } {{ } 1 λ k = 1 Damit ist k i=1 λ ix i conv(m). : rechte Seite in Prop. 2.1 ist selbst konvexe Menge. Glossar Hüllenoperatoren für endliche Punktmengen in R d : Definiere für M = {x 1,..., x n } R d lin(m) = { n i=1 λ ix i λ i R} lineare Hülle aff(m) = { n i=1 λ ix i λ i R, n i=1 λ i = 1} affine Hülle cone(m) = { n i=1 λ ix i λ i R, λ i > 0} konische Hülle conv(m) = { n i=1 λ ix i λ i R, λ i 0, n i=1 λ i = 1} konvexe Hülle Definition 2.2 (1) Die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge im R d heisst V-Polytop, P = conv(x 1,..., x n ) für x 1,..., x n R d (2) Der Schnitt endlich vieler geschlossener, affiner Halbräume im R d heisst H-Polyeder. P = {x R d Ax z } mit A R }{{} m d, z R m n lin. Ungl. Ein H-Polyeder heisst H-Polytop, falls es beschränkt ist, d.h. es enthält keinen Strahl {x + ty t 0} für x, y 0, R d Satz 2.3 (Darstellungssatz) Eine Teilmenge P R d ist V-Polytop genau dann, wenn P ein H-Polytop ist. Bemerkung Beide Konzepte haben Vor- und Nachteile: 7

8 P Abbildung 4: Schnitt einer Pyramide mit einer Ebene Q + = P + Q Abbildung 5: Minkowski Summe eines Dreiecks und einer Geraden 1. Der Schnitt eines Polytops mit einem affinen Unterraum ist immer Polytop. Das ist klar, wenn man mit einem H-Polytop arbeitet: Man schneidet einfach mit zusätzlichen Halbräumen. Betrachtet man V-Polytope ist es nicht so einfach. 2. Die Minkowski-Summe (siehe Abb. 5 zweier Polytope P, Q ist ein Polytop: P + Q := {x + y x P, y Q } 3. Der Schnitt eines Polytops mit einem H-Polyeder ist Polytop: 4. Die affine Projektion eines Polytops ist Polytop. Beispiel Seien e 1,..., e d die Einheitsvektoren im R d. (1) d = conv{e 1,..., e d+1 } = Standard d-simplex. { } d+1 x R d+1 x i = 1, x i 0 i=1 8

9 Abbildung 6: ein vollständiger Graph mit Kantengewichten Würfel. C d := conv { {+1, 1} d} = { x R d 1 x i 1, 1 i d } Kreuzpolytope. Q d = conv {e 1, e 1,..., e d, e d } (2) Sei P ein d-polytop, x 0 aff P. pyr(p ) = conv(p {x 0 }) heisst Pyramide über P, z.b. d = pyr d 1. Für x + 0, x 0 Bipyramide über P. aff(p ), [x + 0, x 0 ] P ist innerer Punkt von P. Dann heisst bipyr(p ) = conv(p {x + 0, x 0 }) Seien P R p, Q R q Polytope. Definiere: P Q = {(x, y) x P, y Q} R p+q P Q heisst Produkt und ist Polytop der Dimension dim(p ) + dim(q). Die Seiten (s. Def. 2.4) von P Q sind genau die Produkte der Seiten von P und Q. (3) Polytope mit Eckenmengen {0, 1} d heissen 0/1-Polytope und spielen eine wichtige Rolle bei Optimierungsproblemen. Beispiel Travelling Salesman Polytop Geg.: vollständiger Graph mit Kantengewichten (vgl. Abb. 6) 9

10 Ges.: Eine Rundtour durch alle Ecken des Graphen mit minimalem Gesamtgewicht der benutzten Kanten. T E(K n ) Tour χ T R (n 2) (χ T ) i = { 1 falls Kante i in T 0 sonst { } T (n) := conv χ T {0, 1} (n 2) χt ist Touren-Vektor R (n 2) optimale Tour = Maximum einer linearen Funktion über T (n) 2.1 Seiten, Seitenverbände Definition 2.4 Sei P Polytop im R d, c (R d ), c 0 R so dass c x c 0 für alle x P Dann heisst Seite von P. Übung F = P {x cx = c 0 } P = 2 2 a) dim P? b) Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen, Facetten? c) Wie sehen Facetten aus? d) Charakterisieren Sie, wann sich zwei Facetten schneiden. Lösung zur Übung P ist in Abbildung 7 dargestellt. a) dim P = 4 (Seiten von 2 2 sind Produkte der Seiten der Faktoren) b) Ecken: 9 Kanten: 18 Seiten: 15, Facetten: 6 c) Typen, 10

11 Abbildung 7: Zur Übung d) F, G Facetten: F G = { Notation F(P ) := {F F Seite von P } F k (P ) := {F F(P ) dim F = k} Proposition 2.5 Sei P Polytop im R d, F, G Seiten von P. (i) F G ist Seite von P. (ii) Die Seiten von F sind genau die Seiten von P, die in F enthalten sind: F(F ) = {G F(P ) G F } Beweis Beachte die Abbildung 8. (i) Sei F = P {x R d cx = c 0 } G = P {x R d bx = b 0 } mit cx c 0 bzw. bx b 0 für alle x P. Dann ist (c + b)x c 0 + b 0 für alle x P und P {x R d (c + b)x = c 0 + b 0 } = F G 11

12 cx = c 0 b bx = b 0 bx = b 0 cx = c 0 c F G b c P zu (i) zu (ii) Abbildung 8: Zum Beweis von 2.5 (ii) : G = P {x R d bx = b 0 } mit bx b 0 für alle x P, insbesondere für alle x F. Mit G F ist G = F {x R d bx = b 0 }. : Sei G = F {x R d bx = b 0 } F = P {x R d cx = c 0 } gültig für x F gültig für x P Wähle λ R so dass λ < b 0 bv c 0 cv für alle v vert(p ) \ vert(f ) dann ist (b + λc)x b 0 + λc 0 mit Gleichheit für v vert(g) und < für v vert(f ) \ vert(g). Für v vert(p ) \ vert(f ): λ(cv c 0 ) < b 0 bv (b + λc)v < b 0 + λc Damit ist G = P {x R d (b + λc)x = b 0 + λc 0 } 12

13 cx = c 0 cx = c 1 Abbildung 9: Beispiel einer Eckenfigur Definition 2.6 P Polytop, dim P > 1 und v vert(p ). {v} = P {cx = c 0 } und cx c 0 für alle x P. Sei c 1 < c 0 mit cw < c 1 für alle w vert(p )\{v}. Dann heisst P/v := P {x cx = c 1 } Eckenfigur von P. (Abbildung 9) Beispiel 1) P = pyr(q), dann ist P/x 0 = Q (x 0 Spitze von pyr(q)) 2) C 3 /v = 2, C n /v = n 1 Übung 3) Welche Polytope treten auf als Eckenfiguren im Kreuzpolytop? 4) Welche als Eckenfiguren im C 4 (6)? Proposition 2.7 F k (P )/v F k 1 (P/v) F F {x cx = c 1 } P aff(f {v}) F ist eine Bijektion. Beweis Ziegler Seite

14 B 3 {1, 2, 3} {1, 2} {2, 3} {1, 3} {2} {1} {3} Abbildung 10: Hasse-Diagramm 2.2 Exkurs: Halbordnungen Definition 2.8 (S, ), wobei S endliche Menge, eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation auf S, heisst Halbordnung oder partielle Ordnung. Beispiel (B k, ) für k N, die Boolesche Algebra: B k = {A A {1,..., k}} mit Inklusionsordnung. Abbildung 10 zeigt eine Darstellungsmöglichkeit von B 3. Definition 2.9 Eine Halbordnung mit maximalem Element ˆ1 und minimalem Element ˆ0 heisst beschränkt. Für x, y S heisst das Intervall von x nach y in S. [x, y] = {z S x z y} Definition 2.10 Eine vollständig geordnete Teilmenge T in S heisst Kette. heisst die Länge von T. l(t ) = T 1 14

15 P Abbildung 11: Seitenverband eines Fünfecks Definition 2.11 Eine Halbordnung S heisst gradiert, falls sie beschränkt ist und maximale Ketten gleiche Länge haben. Für x S, definiere r(x) := max{l(t ) T Kette in [ˆ0, x]} r : S N heisst Rangfunktion, r(ˆ1) =: r(s) heisst Rang von S. Beispiel B k ist gradiert mit r(a) = A, und r(b k ) = k. Definition 2.12 Eine beschränkte Halbordnung heisst Verband ( lattice) falls für je zwei Elemente x, y eine eindeutige kleinste obere Schranke x join y = x y und eine eindeutige grösste untere Schranke x meet y = x y existiert. Beispiel B k wobei A B := A B A B := A B Übung Sei (S, ) beschränkte Halbordnung mit kleinsten oberen Schranken. Zeigen sie, dass S Verband ist. Definition 2.13 Die Halbordnung aller Seiten eines Polytops P geordnet durch Inklusion heisst Seitenverband von P, L(P ). Beispiel 1) Abbildung 11 2) L( ) = B 3 3) L( d ) = B d+1 Proposition 2.14 (i) L(P ) ist gradierter Verband mit r(l) = dim P + 1 und Rangfunktion r(f ) = dim F

16 P F [G, F ] = L(... (F/v 1 )/v 2... /v k ) iterierte Eckenfigur G [, G] = L(G) Prop. 2.3(ii) vert G = {v 1,..., v k } Abbildung 12: Zu 2.14(ii) (ii) Jedes Intervall [G, F ] in L(P ) ist Seitenverband eines Polytops der Dimension r(f ) r(g) 1. (iii) Jedes Intervall der Länge 2 hat genau 4 Elemente. (iv) (L(P ), ) =: L(P ) op ist auch Seitenverband eines Polytops. Beweis (Skizze) (i) ˆ0 L =, ˆ1 L = P, gradiert. F G = F G L(P ) nach Prop. 2.3(i) für F, G L(P ), und jedes H L(P ) und H F, H G erfüllt H F G. (vgl. Übung (3): F G = {H L(P ) H F, H G. (ii) Abbildung 12 (iv) siehe Kapitel 3: Polarität. Definition 2.15 Seien P R p, Q R q Polytope. (i) P und Q heissen affin isomorph, P = Q, falls es eine affine Abbildung f : R p R q gibt, die eine Bijektion ist zwischen P und Q. (ii) P und Q heissen kombinatorisch äquivalent, P Q, falls ein Isomorphismus, d.h. eine ordnungserhaltende Bijektion, h: L(P ) L(Q) zwischen den Seitenverbänden existiert. Bemerkung P = Q P Q, aber nicht umgekehrt! 16

17 3 Polarität Lemma 3.1 Sei P ein d-dimensionales Polytop im R d. Die folgenden Aussagen über y P sind äquivalent: (i) y liegt auf keiner echten Seitenfläche von P (ii) falls ay = a 0 für a (R d ), a 0 R, mit a 0, so ist ax a 0 keine gültige Ungleichung für alle x P. (iii) y lässt sich schreiben als Konvexkombination (iv) Beweis y = d λ i x i mit x 0,..., x d affin unabhängig in P, λ i > 0 und d i=0 λ i = 1. i=0 y = 1 d + 1 wobei x 0,..., x d affin unabhängig in P. (iii) (ii): (ii) (i), (iv) (iii): klar. d i=0 x i a 0 = a y = d λ i ax i i=0 angenommen ax a 0 (gilt für alle x P ) d λ i a 0 = a 0 i=0 Nur gültig, falls ax i = a 0 für alle x i, i = 0,..., d. Dies nur falls a = 0 und a 0 = 0, oder die x i sind affin abhängig. Widerspruch! (ii) (iv): Für jedes u R d existiert α > 0 so dass y + αu P. Wähle d+1 solcher α-werte für e 1,..., e d, d i=1 e i, und sei α 0 das Minimum unter diesen. So gilt ( ) y = 1 ( d ) d y α 0 e i + (y + α 0 e i ) d i=0 i=1

18 Bemerkung 3.2 (1) Punkte mit Eigenschaften aus 3.1 heissen innere Punkte, Notation: int(p ). (2) Analog definiert man relativ innere Punkte, Notation: relint(p ), eines Polytops bezüglich seiner affinen Hülle. Es sind äquivalent: (i) y relint(p ), dim P = k, k < d (ii) ay = a 0 und ax a 0 für alle x P, dann gilt a x = a 0 für alle x P. (iii) y = k i=0 λ ix i, x 0,..., x k affin unabhängig in P, λ i > 0, λ i = 1 (iv) y = 1 k+1 k i=0 x i, x 0,..., x k affin unabhängig in P. (3) relint(p ) auch für dim P = 0. (4) P = F L(P ) relint(f ) Wir nehmen im folgenden an, dass 0 int(p ). Dies kann immer erreicht werden durch affine Isomorphie (Projektion auf aff(p ) und Translation eines inneren Punktes nach 0). Äquivalent dazu können wir annehmen, dass P gegeben ist durch P = {x R d A x 1} für geeignetes A R m d. (Beweis: Übung!) Definition 3.3 Für eine Teilmenge P R d, definiere die polare Menge in (R d ) durch P = {c (R d ) cx 1 für alle x P } Iteration: P = {y R d cx 1 für alle x P, und ein c (R d ) impliziert dass cy 1} Übung Bestimmen sie P für ( ) P 1 = conv ( ) P 2 = conv ( ) P 3 = conv Lösung siehe Abbildung 13 18

19 c P c 1 P 1 P 2 P P 2 P Abbildung 13: Lösung der Übung Satz 3.4 (i) P Q impliziert P Q und P Q. (ii) P P (iii) Ist P Polytop mit 0 int(p ), und P = conv{v 1,..., v m } =: conv V für V R d m, dann ist P = {a a V 1} Zudem ist P beschränkt, d.h. Polytop. (iv) Unter Voraussetzungen wie oben gilt P = P Beweis (iii) P = {a ax 1 x P } = {a av 1 v vert(p )} ok, folgt aus Konvexität: x = λ v v λ v 0, λ v = 1 v vert(p ) ax = v vert(p ) }{{} a v λ v = 1 1 Für F L(P ) definiere Beweis 3.4 F := {c (R d ) cx 1 x P und cx = 1 x F } 19

20 (iii) P beschränkt Für r R >0, B(r) := {x R d x r} c.x = c x cos θ sup c.x = x.r, x B(r) B(r) = {c (R d ) c x 1für x B(r)} = {c (R d ) sup c.x 1} x B(r) = {c (R d ) c 1 r } = B(1 r ) O int P heisst: es existiert r > 0 mit B(r) P Dann P B(r) = B( 1 r ), also ist P beschränkt. (iv) (P = P ) P P = {y R d y.c 1 für alle c P } Sei x 0 / P, insbesondere existiert h (R d ) : hx 0 > 1 und hx < 1 für alle x P h P da x 0.h > 1 ist somit x 0 / P Beispiel (1) Simplexe sind selbstpolar. (2) Abbildung 14 C 3 Q 3 C d Q d Abbildung 14: Beispiel von Polaren Polytopen 20

21 Abbildung 15: P n I bipyr(p n ) (3) Abbildung 15 Satz 3.5 Sei P Polytop mit O int P. Dann ist folgender Abbildung eine ordnungsumkehrende Bijektion: insbesondere ist φ: L(P ) L(P ) d.h. L(P ) mit umgekehrter Inklusion. F ˆF = {c P cx = 1 für alle x F. L(P ) = L(P ) op Beweis 1. ˆF L(P ): Sei X 0 relint F. Definiere: G = {c P cx 0 = 1} L(P ) ˆF G Sei c G, also c P mit cx 0 = 1, aber c / ˆF, also c.x 1 < 1 für ein x 1 F. Dann existiert x 2 F (Abbildung 16) mit: x 0 = λx 1 + (1 λ)x 2, 0 < λ < 1 also c.x 0 = λcx 1 + (1 λ)cx 2 < 1 Wiederspruch zu c G 2. ˆF für alle F L(P ): ˆF = {y P y.c = 1 für alle c ˆF } F ˆF Sei z 0 P \ F also ex h (R d ) mit h.z 0 < 1 weil h.x = 1 für alle x F. Also h ˆF, aber z 0 / ˆF, da z0 < 1 21

22 x 1 x 0 x 2 F Abbildung 16: Wegverlängerung P F F Facette B oder P L(P <triangle ) L(P ) B oder P V Abbildung 17: zur Definition

23 Definition 3.6 Ein Polytop heisst simplizial, falls jede Facette ein Simplex ist. Ein Polytop heisst einfach, falls jede Eckenfigur in P Simplex ist. Siehe Abbildung 17 Beispiel Simplizial d Q d Kreuzpolytop C d (n) Zyklische Polytope Einfach d C d Würfel Permutaeder Übung dim P 3, P einfach und simplizial impliziert, dass P Simplex ist. Proposition 3.7 Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) P simplizial, dim P = d. (ii) alle echten Seiten von P sind Simplexe. (iii) jede Facette hat d Ecken. (iv) jedes intervall [Ô, F ] in L(P ) mit F P, ist Boolesche Algebra. Es gelten ebenso folgende Äquivalenzen: (i) P einfaches Polytop, dim P = d (ii) jede iterierte Eckenfigur ist ein Simplex (iii) jede Ecke liegt auf d Facetten (iv) jedes Intervall der Form [F, ˆ1] in L(P ) mit F = ist eine Boolesche Algebra. Proposition 3.8 Zu jedem simplizialen Polytop gibt es ein kombinatorisch äquivalentes Polytop mit ganzzahligen Eckenkoordinaten. Äquivalent: Zu jedem einfachen Polytop gibt es ein komibnatorisch äquivalentes Polytop dessen facettendefinierende Gleichungen ganzzahlige Koeffizienten haben. Beweis (Skizze) P simplizial, Verschieben der Ecken in rationale Punkte ändert kombinatorische Struktur nicht, Skalieren macht Koordinaten ganzzahlig. Bemerkung 3.9 Dies hat vor allem Vorteile bei ganzzahlige Optimierung, torische Varietäten. 23

24 4 Polytopgraphen P G(P ) Polytopgraph L(P ) Seitenverband Einige Beispiele werden in Abbildung 18 gegeben. Ecken: Ecken in P Kanten: Kanten in P?! Wieveil kombinatorische Information über P ist enthalten in G(P )? Weche Graphen treten auf als Polytopgraphe? Ausblick 1. Für einfache Polytope ist L(P ) durch G(P ) vollständig bestimmt. 2. dim P = d, dann ist G(P ) d-zusammenhängend. 3. dim P = 3, G = G(P ) G einfach, planar und 3-zusammenhängend 4.1 Exkurs: Graphentheorie Definition G = G(E, K), K ( ) E = {k E k = 2} 2 heisst Graph mit Eckenmenge E = E(G) und Kantenmenge K = K(G) K n = ( [n], ( ) [n] }{{} 2 ) heisst vollständiger Graph (Abbildung 19). ={1,...,n} Definition heisst Weg der Länge n 1 P n := ([n], {{i, j} i j = 1} C n := (Z n, {{i, j} i j ±1 mod n}) heisst Kreis der Länge n. 24

25 a P G(P ) a b b Abbildung 18: Beispiele von Polytopgraphen K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Abbildung 19: Die ersten fünf vollständigen Graphen 25

26 Abbildung 20: Induzierter Teilgraph Abbildung 21: Knotengrad Definition Sei E E Teilmenge der Eckenmenge eines Graphes G(E, K). Dann heisst der Graph mit E als Eckenmenge und Kantenmenge K = K E E der von E induzierte Teilgraph in G (Abbildung 20). E = [5] ({3, 4, 5} }{{} E, {{4, 5}, {3, 4}}) ist Teilgraph, nicht induziert von E (E, {{4, 5}, {3, 4}, {3, 5}}) ist induzierter Teilgraph. Definition Sei v E(G), deg v := {k K(G) v k} heisst Grad von v in G (Abbildung 21). G heisst k-regulär, falls deg v = k für alle v E(G) Beispiel C n ist 2-regulär K n ist (n 1)-regulär (K n = G( n 1 )) Definition G heisst orientiert, falls jede Kante mit einer Richtung versehen ist. Eine Orientierung heisst azyklisch, falls sie keine orientierte Kreise auf G liefert. Ein endlicher Graph mit azyklischer Orientierung besitzt stets eine Senke, d.h. es existiert eine Ecke, aus der keine Kanten hinausweisen (Abbildung 22). 26

27 w Abbildung 22: Eindeutige Senke v c v c w für {v, w} k(g) 4.2 Polytopgraphen Abbildung 23: Zur Proposition 4.2 Definition 4.1 Sei P Polytop. Dann heisst G(P )(Ecken in P, Kanten in P ) Polytopgraph für P. Proposition 4.2 Sei P Polytop in R d, und c (R d ) so dass cv i cv j für v i v j vert (P ). Die Orientierung auf G(P ) nach ansteigenden Auswertungen von c (Abbildung 23) ist azyklisch und besitzt eine eindeutige Senke, dort wo cx sein Maximum auf P annimmt. Bemerkung 4.3 (1) Ein solches c (R d ) existiert für jedes P, c heisst ïn allgemeiner Lageßu P. (2) Für jede Seite F in P ist G(F ) der von der Ecken in F induzierter Teilgraph in G(P ). Eine azyklische Orientierung wie in 4.2 induziert eine azyklische Orientierung auf G(F ), wieder mit eindeutiger Senke. (3) Identifiziere eine azyklische Orientierung O auf G(P ) mit Halbordnung auf der Eckenmenge von P : v O w es existiert ein gerichteter Weg bezüglich O von v nach w Satz 4.4 Ist P einfaches Polytop, so bestimmt G(P ) den Seitenverband L(P ). Beweis (Blind & Mani 1987, Kalai 1988) (1) Sei G(P ) Graph eines einfachen Polytops, dim P = d. Dann gilt: 27

28 gut nicht gut Abbildung 24: Zur Definition F Abbildung 25: Azyklische Orientierung (i) G(P ) ist d-regulär. (prop 3.7 (ii) P/v ist (d 1)-Simplex, hat also d Ecken.) (ii) G(F ) ist k-regulär für jede k-dimensionale Seite F in P (iii) Sei v vert (P ). Jede k-teilmenge der mit v inzidententen Kante spannt eine k-dimensionale Seite von P auf. (2) Eine azyklische Orientierung auf G(P ) heisst gut, falls sie auf dem Graphen jeder nicht-leeren Seite von F genau eine Senke besitzt (Abbildung 24). Azyklische Orientierungen wie in 4.2 sind gut. (3) Behauptung Die Menge der guten azyklischen Orientierungen auf G(P ) bestimmt die kombinatorische Struktur auf P. Genauer: Ein induzierter, zusammenhängender k-regulärer Teilgraph H in G(P ) ist Graph einer Seite von P genau dann, wenn E(H) Anfangsstück einer guten azyklischen Orientierung ist, d.h. v O w und w E(H) impliziert v E(H). : Für jede Seite F in P ist E(G(F )) Anfangsstück einer guten azyklischen Orientierung (Abbildung 25): Wähle C F (R d ) so, dass vert (F ) kleinere Werte annimmt als andere Ecken. : Sei H induzierter k-regulärer zusammenhängender Teilgraph in G(P ) und E(H) Anfangsstück einer guten azyklischen Orientierung O. 28

29 Sei x E(H) Senke bezüglich O. Nach (1)(iii), gibt es eine Seite in P, die x und die k nach x hineinführenden Kanten enthält. x ist eindeutige Senke in F, da O gut ist. v O x für alle v vert (F ). Damit ist vert (F ) E(H). Da G(F ) und H k-regulär und zusammenhängend sind, gilt H = G(F ) (4) Gute azyklische Orientierungen für G(P ) können allein aus dem Graphen konstruiert werden. Sei O eine azyklische Orientierung auf G(P ). Definiere { } v vert(p ), F L(P ), F F O := (v, F ) und v ist eindeutige Senke von O auf G(F ) Dann kann man schreiben: f O := F O f O = d {(v, F ) F O dim F = i} i=0 d i=0 f i Es gilt: O ist gut f O = Diese Charakterisierung braucht aber Seitenzahlen, G(P ) reicht so nicht aus. Beachte Die f O -Werte für gute azyklische Orientierungen sind minimal, und werden angenommen für geometrische Orientierungen. Behauptung f O kann allein aus G(P ) und O bestimmt werden. Eine Ecke v in G(P ) heisst vom Typ k, falls genau k Kanten in v hineinführen. d f O = {(v, F ) F O Typ v = k} Mit h O k k=0 := {v vert(p ) Typ v = k} gilt: d i=1 f i {(v, F ) F O Typ v = k} = 2 k h O k 29

30 Siehe (1)(iii): jede Teilmenge der in v hineinführenden Kanten spannt eine Seite auf. Also ist f O = h O 0 + 2h O d h O d Mit dieser Darstellung bestimmt man alle f O -Werte allein aus G(P ). Die Orientierungen, für die f O minimal ist, sind die guten azyklischen Orientierungen. Definition 4.5 Die Vereinigung aller k-dimensionalen Seiten eines Polytops P heisst k-skelett von P, Notation: P k. G(P ) ist gerade das 1-Skelett von P. P k für k 1 ist der sogenannte polyedrische Komplex (siehe 5.1). Ausblick Satz 4.4 besagt, dass ein einfaches Polytop durch sein 1-Skelett bestimmt wird. Für simpliziale Polytope braucht es das d -Skelett [Perles 70]. 2 Für allgemeine Polytope braucht es das (d 2)-Skelett [Grünbaum 68]. Übung Ein d-polytop P heisst von nicht-eindeutiger Dimension, falls es ein Polytop Q gibt, dim Q d, aber G(Q) = G(P ). Zeigen Sie, dass d von nicht-eindeutiger Dimension ist für d 5. Welche Graphen treten als Polytopgraphen auf? Definition 4.6 Ein Graph heisst d-zusammenhängend, wenn das Entfernen einer beliebigen (d 1)-elementigen Teilmenge von Ecken und aller inzidenten Kanten den Graphen zusammenhängend lässt. Bemerkung 4.7 G 1-zusammenhängend heisst: G zusammenhängend. Übung Ein Graph ist 2-zusammenhängend genau dann wenn je zwei Ecken auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Satz 4.8 (Balinski 1961) Der Graph eines d-polytops ist d-zusammenhängend. Beispiel Abbildung 26 Beweis Seien v 1,..., v d 1 Ecken in G(P ), P d-dimensionales Polytop, und Setze M := aff{v 1,..., v d 1 }. G = G(P ) \ {v 1,..., v d 1 } 30

31 Abbildung 26: Beispiel zum Satz 4.8 (Balinski) H F v 2 H F M v 1 G(H F P ) Abbildung 27: Beweis zu 4.8: 1. Fall 31

32 H + v 1 H v 2 H v Abbildung 28: Beweis zu 4.8: 2. Fall 1. Fall M int P =. Dann bestimmen v 1,..., v d 1 eine Seite F von P. Sei H F die zugehörige Hyperebene, und H F die Seitenbestimmende Hyperebene parallel zu H F. H F P ist Polytop mit zusammenhängendem Graphen. Für jedes v E(G ) gibt es einen Weg zu den Ecken auf H F, also ist G zusammenhängend. (Abbildung 27) 2. Fall M int P. Sei H eine Hyperebene, die M und mindestens eine weitere Ecke v E(G ) enthält. Seien H +, H die beiden seitenbestimmenden Hyperebenen an P parallel zu H. H + P und H P sind Polytope mit zusammenhängenden Graphen. Ecken von G oberhalb von H sind verbunden mit G(H + P ), Ecken von G unterhalb von H sind verbunden mit G(H P ). Diese Teilgraphen sind verbunden via v. (Abbildung 28) Satz 4.9 (Steinitz 1922) Ein Graph G ist Polytopgraph eines 3-dimensionalen Polytops genau dann wenn G einfach, planar und 3-zusammenhängend ist. Glossar einfach keine Schlingen, keine Mehrfachkanten planar G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass die Kanten Überschneidungsfrei sind. (K 4 ist planar, K 5 nicht) 32

33 Beweis Notwendigkeit der Steinitz-Bedingungen: G = G(P ), dim P = 3: (i) G einfach: klar. (ii) G planar: Schlegeldiagramme. (iii) G 3-zusammenhängend: Satz 4.8 (Balinski). Vollständiger Beweis: Ziegler, Kapitel 4. 5 Seitenzahlen von Polytopen P, dim P = d, f(p ) = (f 1, f 0,..., f d ), f i := Anzahl i-dim Seiten in P, i = 1,..., d (1) Welche Zahlenfolgen (f 1, f 0,..., f d ) N d+2 treten auf als f-vektoren von Polytopen? Euler-Poincaré-Formel: d ( 1) i f i = 0 i= 1 Dehn-Sommerville-Relationen, P Simplizial f(p ) lin Transf. h(p ) = (h 0,..., h d ) h-vektor Es gilt: h i = h d i für alle i = 0,..., d. Charakterisierung der f-vektoren für simpliziale Polytope (Ausblick) (2) Wie gross kann f i werden für gegebenes f 0 und d? Upper-Bound Theorem 5.1 Polytopale Komplexe Definition 5.1 Eine endliche, nicht-leere Familie von Polytopen C = {F 1,..., F t } R d heisst polytopaler Komplex falls gilt: (1) Ist F C und H Seite von F, dann gilt H C. 33

34 F F F F (0, 2) (0, 1) (1, 1) (0, 0) F 1 = conv{(0, 0), (0, 2)} F 2 = conv{(0, 1), (1, 1)} F 1 F 2 ist Seite von F 2, nicht aber von F 1 polytopaler Komplex kein polytopaler Komplex, verletzt (2) Abbildung 29: zur Definition von polytopaler Komplex (2) Sind F und F in C, so ist F F Seite von F und Seite von F. Die Polytope in C heissen Seiten von C, inklusionsmaximale Seiten heissen Facetten. Die Dimension einer höchstdimensionalen Facette in C heisst Dimension von C. Ein polytopaler Komplex heisst rein, falls alle Facetten gleiche Dimension haben. Die Menge: heisst Träger. Siehe Abb. 29. C := F C F Beispiel (1) Graphen, die mit überschneidungsfreien Streckensegmenten als Kanten gezeichnet sind, sind polytopale Komplexe. { 0 falls G nicht-leer aber keine Kanten besitzt dim G = 1 falls G eine Kante besitzt G ist rein, falls dim G = 0, oder falls dim G = 1 und G besitzt keine isolierten Ecken. (2) P Polytop, dim P = d, dann ist C(P ) = {F F Seite von P } ist reiner Komplex der Dimension d. C( P ) = {F C(P ) F P } heisst Randkomplex von P, dim C( P ) = d 1. Für k d ist: C(P k ) = {F C(P ) dim F k} ist reiner k-dimensionaler polytopaler Komplex. 34

35 Abbildung 30: Lineare Ordnung Definition 5.2 Sei C reiner, k-dimensionaler polytopaler Komplex. Eine Schälung von C ist eine lineare Ordnung auf den Facetten von C, F 1,..., F s, so dass gilt: (1) entweder dim C = 0, (2) oder dim C > 0 und (2.1) C( F 1 ) besitzt eine Schälung. (2.2) für 1 < j s ist F j ( j 1 i=1 F i ) = G 1... G r mit r t nicht-leer und Anfangsstück einer Schälung G 1,..., G t von C( F j ). Ein reiner Komplex C heisst schälbar falls eine Schälung existiert. Bemerkung 5.3 Insbesondere ist: F j ( j 1 i=1 F i ) reiner (k 1)-dimensionaler schälbarer Komplex. Beispiel (1) C ist schälbar, falls dim C = 0 (2) dim C = 1: C ist schälbar genau dann wenn C zusammenhängend ist. 35

36 Abbildung 31: zum Beweis, 2.1 im Beispiel F F j j Abbildung 32: zum Beweis, 2.2 im Beispiel Beweis : (Abb. 30) ( ) Wähle lineare Ordnung auf den Kanten, so dass F j i<j F i (2.1) C( F 1 ). Siehe Abb dim, also schälbar. ( ) (2.2) F j i<j F i Siehe Abb. 32 : Sei C nicht zusammenhängend, F 1,..., F s Schälung. Siehe Abb. 33. Sei t minimal ( mit F t nicht in der Zusammenhangskomponente von F 1. ) F j i<j F i =. Widerspruch zur Schälung. (3) Siehe Abb.34 F t F 1 Abbildung 33: zum Beweis im Beispiel, nicht-zusammenhängend 36

37 F 1 F 2 F nicht-reiner schnitt schälbar nicht schälbar da F 3 (F 1 F 2 ) 0-dimensional nicht schälbar Abbildung 34: Beispiel 3 F j G F i Abbildung 35: zum Beweis von 5.6 Übung Zeigen Sie, dass folgende Komplexe schälbar sind: 1) C( n ) n n-simplex. 2) C( C n ) C n n-würfel. Bemerkung 5.4 Sei P Polytop. So gilt: C(P ) C( P ) schälbar. Satz 5.5 (Brugesser und Mani) Polytope sind schälbar. Lemma 5.6 Sei F 1,..., F s die Schälung eines Polytops, dann ist auch F s, F s 1,... F 1 eine Schälung. Übung Finden Sie einen polytopalen Komplex, für den 5.6 nicht gilt. Beweis Induktion über dim P = d d = 0: klar. d > 0: Sei F j Facette von P zu jeder Facette G vor F j existiert genau eine Facette F i von P mit G = F i F j. Enweder i < j (F i kommt von F j ) oder i > j (F i kommt nach F j ). Siehe Abb

38 ) G = F j ( i<j F i ist Anfangsstück einer Schälung von F j, kann also zu einer Schälung vervollständigt werden. Es ist: ( ) F j F i = F j \ G i<j ( ) insbesondere ist F j i<j F i Anfangsstück einer Schälung von F j, nämlich der Umkehrung der vervollständigten Schälung von oben. Beweis von Satz 5.5 Ein Punkt x P heisst in allgemeiner Lage zu P, falls x aff(f ) für alle Facetten F von P. Eine Facette F von P heisst sichtbar von einem Punkt x in allgemeiner Lage zu P, falls int(p ) und x auf verschiedenen Seiten der von aff(f ) bestimmten Hyperebene liegen. Wir zeigen die stärkere Aussage (A): Sei P ein d-dimensionales Polytop und x in allgemeiner Lage zu P. Dann hat P eine Schälung, in der die von x aus sichtbaren Facetten zuerst auftreten. (1) Konstruktion der Schälung: Wähle eine Gerade l im R d (Abbildung 36), so dass x l l int(p ) l aff(f ) für jede Facette F. l aff(f 1 ) l aff(f 2 ) für F 1 F 2 Facetten von P. Sei P l = {p, q} und p sichtbar von x. Wähle die Trägerfacette von p zur ersten Facette der Schälung. Verlasse P von p aus entlang l und füge Facetten zur Schälung nach dem Auftregen ihrer Schnittpunkte entlang l. Kehre ebenso entlang l zu q zurück. ( Line-shelling ) (2) Nachweis von (A): Die von x aus sichtbaren Facetten werden zuerst gewählt. F 1 erfüllt (A) nach Induktion. Sei F 1,..., F r, F r+1,..., F t die Ordnung aus (1), wobei F 1 Trägerfacette von p, F 1 sichtbar von l aff(f j ) für alle j = 2,..., r, F t Trägerfacette von q und F t sichtbar von l aff(f j ) für j = r + 1,..., t 1. Für 1 < j r ist F j i<j F i 38

39 F j aff(f j ) l aff(f j ) l Abbildung 36: Wahl von l Familie der von l aff(f j ) aus sichtbaren Facetten von F j, also Anfangsstück einer Schälung nach Induktionsannahme. Für r < j t ist F j i<j F i die Familie der von l aff(f j ) aus nicht sichtbaren Facetten von F j, also nach Induktion das Endstück einer Schälung von F j, also nach Lemma 5.6 auch das Anfangsstück einer Schälung. 5.2 f-vektoren und h-vektoren von Polytopen Definition 5.7 Sei dim P = d. Definiere f i als die Anzahl der i-dimensionalen Seiten von P. Dann ist der f-vektor von P definiert durch f(p ) := (f 1, f 0, f 1,..., f d ) Satz 5.8 (Euler-Poincaré-Formel) Für ein Polytop P mit f(p ) = (f 1,..., f d ) gilt d ( 1) i f i = 0 i= 1 Für d = 3 ergibt sich als wichtiger Spezialfall die Euler-Formel f 0 f 1 + f 2 = 2 39

40 Beweis Definiere f i für polytopale Komplexe C wie oben, und weiter die reduzierte Eulercharakteristik dim C χ(c) = ( 1) i f i i= 1 Sind C 1, C 2 polytopale Komplexe, und auch C 1 C 2 sowie C 1 C 2, so gilt Wir zeigen: Für d = dim P ist Induktion über d: d 1: sehen χ(c 1 ) + χ(c 2 ) = χ(c 1 C 2 ) + χ(c 1 C 2 ) χ(p ) = 0 und χ( P ) = ( 1) d 1 d > 1: Sei F 1,..., F t eine Schälung von P. Behauptung Für j < t gilt ( ) χ F i = 0 Induktion über j: i j j = 1: χ(f 1 ) = 0 nach Induktion über d 1 < j < t: ( ) ( ) ( ) ( ) χ F i = χ F i + χ(f j ) χ F i F j i j i<j wobei auf der rechten Seite χ( i<j F i) = 0 nach Induktion über j; χ(f j ) = 0 nach Induktion über d; und χ( i<j F i) = 0 da Anfangsstück einer Schälung von F j, dim F j = d 1. Weiter ( χ( P ) = χ F i )+χ(f t ) χ( F t ) i<t i<j = ( 1) d 2 = ( 1) d 1 40

41 Definition 5.9 Sei dim P = d. Für i = 0,..., d definiere h j := i j=0 ( ) d j ( 1) i j d i f j 1 heisst h-vektor von P. h(p ) = (h 0,..., h d ) Bemerkung 5.10 (1) Berechnen von h(p ) mit einer Variante des Pascal schen Dreiecks: mit der Rekursionsvorschrift f 1 1 f f d 1 h 0 h 1 h d a b b a Merke h(p ) f(p ); genauer f k 1 = k i=0 ( ) d i h i k i Fasst man die f- bzw. h-einträge zu Polynomen zusammen, f(p, t) = d f d i 1 t i = f d 1 + f d 2 t + f d 3 t f 1 t d i=0 so gilt h(p, t) = d h d i t i = h d + h d 1 t + h d 2 t h 0 t d i=0 f(p, t) = h(p, t + 1) 41

42 d k v Typ k H c k Abbildung 37: H c wird durch P geschoben Satz 5.11 (Dehn-Sommerville-Relationen) Sei P simplizial mit h(p ) = (h 0,..., h d ). Dann gilt: h k = h d k für k = 0,..., d Beweis Betrachte P (welches einfach ist), und wähle c (R d ), so dass cv cw für alle v, w vert(p ). Wir schieben H c durch P und zählen an jeder Ecke die H c erreicht, die unterhalb von H c vervollständigten Seiten (Abbildung 37). Deren Beitrag zu f(p, t) = d f d i 1 (P ) t i = i=0 d f 1 (P ) t i i=0 an einer Ecke v vom Typ k: Also 1 t 0 + k t 1 + ( ) k t ( ) k t k = (t + 1) k k h d k = Anzahl der Ecken in P vom Typ k bzgl. c = Anzahl der Ecken in P vom Typ k bzgl. c = h k 42

43 5.3 Upper Bound Theorem Frage Wieviele k-dimensionale Seiten kann ein d-dimensionales Polytop mit n Ecken höchstens haben? es gibt für jedes d und n ein Polytop C d (n), welches die f-einträge gleichzeitig maximiert. Definition 5.12 Sei n > d 1 und φ: R R d t (t, t 2,..., t d ) Dann heisst C d (n) := conv{φ(1), φ(2),..., φ(n)} das zyklische Polytop in Dimension d mit n Ecken. Bemerkung 5.13 (ohne Beweis) (1) Der kombinatorische Typ von C d (n) hängt nicht ab von der Wahl der Punkte φ(1),..., φ(n) auf der Kurve φ. (2) C d (n) ist simpliziales Polytop und dim C d (n) = d. Wähle 1 j 0 < j 2 <... < j d n, j i N, dann ist die Vandermondsche Determinante ( ) j 0 j 1 j d 1 1 det = det j0 2 j1 2 j 2 d = j φ(j 0 ) φ(j d ).... s j r r<s d j0 d j1 d jd d Das heisst, keine d + 1 der n Punkte φ(1),..., φ(n) sind affin abhängig in R d. Damit ist dim C d (n) = d und alle Facetten sind Simplices. (3) Es gilt sogar: jede k-teilmenge {j 1,..., j k } {1,..., n}, k d, bestimmt eine (k 1)-dimensionale simpliziale Seite in C d (n). Polytope mit 2 dieser Eigenschaft heissen nachbarschaftlich. Beweisskizze (1) Die Ecken eines d-polytops können so verschoben werden, dass das resultierende Polytop P simplizial ist und f k (P ) f k (P ) für k 1. 43

44 (2) Falls P nachbarschaftlich (z.b. P = C d (n)), dann ist ( ) n f k 1 = für k d 2 k sonst. (3) f 1,..., f d bestimmen h 0,..., h 2 1 d, diese bestimmen h 0,..., h d wegen den Dehn-Sommerville-Relationen 5.11 (P simplizial!). Damit be- 2 stimmen f 1,..., f d den gesamten f-vektor eines simpliziales Polytops. Insbesondere haben alle nachbarschaftlichen Polytope den gleichen 1 2 f-vektor. (4) Wir schreiben d/2 i=0 T T d d 1 (2) T i = 2 T T 2 d d 0 (2) 2 und umgekehrt für Für k d 2 f k 1 = = = k i=0 d/2 i=0 d/2 i=0 d d/2 T i ( ) d i h i = k i ( ) d i k i k i + d i=0 d i=d/2 ( ) d i h i k i ( ) d i k i k i (( ) ( )) d i i + h i k i k d + 1 }{{} 0 Es bleibt zu zeigen: Die nachbarschaftlichen Polytope maximieren h 0,..., h d 2. Lemma 5.14 Ist P simplizial, so gilt ( ) n d 1 + k h k (P ) = h k (C d (n)) k Beweis Induktion + Schälungsargument, Details in Ziegler, S. 256 ff. 44

45 Index A aff allgemeine Lage azyklisch B beschränkt Halbordnung Bipyramide C conv D Darstellungssatz dim E Ecke Eckenfigur einfach Euler -Formel , 39 -Poincaré-Formel charakteristik, reduzierte F f-vektor Facette , 34 Fläche G Grad gradiert Halbordnung Graph vollständig H h-vektor Hülle affine konische konvexe lineare Halbordnung beschränkt gradiert Rang(funktion) Verband I induzierter Teilgraph Intervall J join K k-regulär Kante Kette konvex Kreis L Lage allgemeine Länge Kette

46 M meet N nachbarschaftlich O orientiert P Polyeder H-Polyeder Polytop 0/1-Polytop einfach H-Polytop konvexes nachbarschaftlich Seite eines simplizial V-Polytop zyklisches , 43 polytopaler Komplex Polytopgraph Produkt Pyramide Seitenverband sichtbar simplizial Skelett T Träger U Upper bound theorem V Vandermondsche Determinante Verband Verbindungsstrecke vollständiger Graph W Weg Z zyklisches Polytop , 43 R Rang(funktion) Halbordnung Rangfunktion reduzierte Eulercharakteristik reiner polytopaler komplex S schälbar Schälung Seite , 10, 34 46