Motivation: Die theoretische Deutung der umfangreichen experimentellen Daten zu den Atomspektren war einer der ersten wichtigen Erfolge der QM.

Transkript

1 . Wssstoff-Ato (H-Ato) Woc.doc Motivtio Di totisc Dutug d ufgic xit Dt zu d Atost w i d st wictig fog d QM. i H-Ato wcswi i to ( -) ud i Poto ( ) üb ds bstdsbägig Couob-Potzi itid (äuß Fd wd vcässigt). D q Zustd ds Systs wid (i Otsdstug) duc di WF ~ i t ( t) Ψ( ) Ψ bscib wobi Ψ ( ) d d (.) di Wsciicit gibt ds - ud ds i ifiitsi Vout u di Ot bzw. zu fid -Köob. Wi i d KM wd wi ds -Köob uf i idisio wgug i Ztfd zuücfü. Dc utz wi di gbiss us K. 9 ud bsti di idugszustäd i F ds zid Couob-Potzis id wi Gg. (9.8) fü α U() α (.) 4πε ös. Di t gbiss tsc d icttivistisc dug ds H- Atos o Si. Aus H( ) / / U( ) gibt sic it d Kosodzg di zu ösd sttioä SG Ψ( ) ~ Ψ( ) it U( ). (.)

2 . Scwuts- ud tivbwgug Wi i d KM fü wi Scwuts- ud tivoodit bzw. i M (.4) I F ds H-Atos ist / ~ / ~ so ist di Gstss M i gut Näug gic d Potoss ud di duzit Mss μ stit i gic Näug it d toss übi M μ. Aus (.4) fogt M M ud wg [ ] M M M M M. Aso t di SG (.) bi Vwdug vo Scwuts- ud tivoodit di Fo U() M it () ~ () μ Ψ Ψ. Mit d Stiosstz ) ( () ) ( Ψ fogt ~ wobi ~ () () U() () () M stz gic ubägig vo stz gic vo ub. μ

3 D st T füt uf di Gicug () () us d wi M () (π) / i P (.5) fid wobi P ud P M &. () ist F ds Otos ds M M Gstiuss Pˆ (d Scwut bwgt sic gdiig gicföig "fis Tic"). Aus d zwit T gibt sic di SG d tivbwgug μ U() () () (.6) di i säisc Koodit di Fo (9.8) it vg. K. 9.. FAZIT Wi i d KM tot di fi ( d i äuß Fd) Tstiosbwgug ds Scwuts vo d U-bägig tivbwgug. Ds -Kö-Pob d WW zwisc Poto ud to duzit sic uf di wgug is q Tics it d Mss μ i ztsytisc Potzi (.). Dit sid di sutt us Kit 9 fü di Witi d WF übtgb.. gistu ds H-Atos Wi wiss us K. 9 dss bi Vwdug vo d Syti ds Pobs gsst säisc Koodit fü di WF χ () ( ) ( ϑ Y ( ϑ

4 git wobi χ () Lösug d Gicug (vg. (9.8)) d χ α ( ) () () χ χ χ ( ) (.7) μ d μ ist. Dis Gicug bscibt di idisio wgug i fftiv Potzi (vg. 9.9) α () ( ) μ (q) Uff α >. (.8) Wi wt so dist giivus i F <. Zu Lösug vo Gg. (.7) fü wi di u ubägig Vib ud d -bägig Pt β i 8μ α 8μ 8μ α μ β. (.9) 4 6 4πε Ds füt uf di Gicug d ' d ( ) β χ ( ) χ( ) χ( ) (.) 4 di wi og d Vogswis i F ds HO it d Sofd sc Poyotod ös Asytot fü χ ( ) χ( ) χ( ) ~ (ögic Lösug ict 4 oib) F F Abstug d Asytot χ( ) F( ) F F ( ) β. Potzistz F ( ). (.) 4

5 Mit F ( ) fogt F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β bzw. F ( ) [( ) ( ) β ]. Dit ist d Astz (.) u d Lösug vo (.) w di Koffizit d Potzi d usiosfo β ( ) ( ) ud fs (.) güg. Fogug us d usiosfo (i) s uss si d fü wä usw. udic ud di WF ict oib. Dus fogt.... (ii) Fü goß b wi so. Dit wücs F( ) sytotisc wi! wous ( ) ~ χ fog wüd wid ut Vtzug d Noiugsbdigug. Aso uss di Potzi bi i bstit > bbc. Fü dis tüic Z uss gt β >. (.) Fü di WF bdutt ds F( ) F ( ) it β > ud usiosfo (.) (.4) 5

6 Außd stt di Fodug β > ut ücsictigug d Dfiitio vo β (.9) i Qutisiugsbdigug fü di gi ds tos d 4 μ ()... ud... (4πε ) (.5) dists gistu. Di giigwt/giivus äg u vo d Hutqutz b. Zu voggb sid diusqutz Nbqutz... ögic. Jd -Wt tsc vscid Wt d Mgtqutz. Dit gibt sic i fc ttug d giivus i H-Ato d (ittisc i) ( ) ( ). Ut ücsictigug ds Ftos fü di Si-ttug ds tos vo s x ½ fid wi isgst i ttugsgd vo g. Zuodug d Qutz zu d giwt fü "sobit" (s) ict ttt it Si -fc ttt (s) () 4-fc ttt it Si 8-fc ttt (s) () (d) 9-fc ttt it Si 8-fc 6

7 4 (4s) 4 6-fc ttt it Si -fc. (issios- ud Absobtios-) Stu ds H-Atos. Q güdug ds itz sc Kobitiosizis Di Wcswiug ds - it i äuß Fd z.. d Fd i igstt W Übgäg zwisc zwisc d dist giivus (Idx utdüct) usös (vg. K. zitbägig Stöugstoi). i Übgäg vo c sid fogic (bgs vo d tüic Liibit) scf Stii zu wt. Vo d QM wud st vo (.5) di iisc Fo πc it d (u duc di q cug bstätigt) / Abägigit ud d ydbg-kostt vwdt. Dus fogt ω πc itz scs Kobitiosizi (95) (.6) x Di btst Stsi ds H-Atos (Ctisiug uf sis d dzustäd ) sid Übgäg uf Ly-Si s ~ (UV) -Si s ~ 4-6 (UV sictb) Psc-Si d ~ - 7 (ifot) 4 ctt-si f d ~ - 7 (ifot) Zu Vgic zwisc Toi ud xit Aus (.5) fogt 4 ω it ω μ. (.6) QM (4πε ) 7

8 it μ 4 ε (95) 4πc(4πε ) x (). Aufgud dis vogd qutittiv Übistiug ist di Quttoi to St i d Ausggsut fü di xit stiug d uivs Ntuostt. Nict bücsictigt wud di Fistutu d Stii s Fog d Si-- WW ud di Hyfistutu d Stii ifog d WW zwisc to ud Ksi ( Qutci II).. Wfutio ud Aufttswsciicit diti Ubägig 678 χ() ( ϑ Y( ϑ ϕ 44 ) Witi d WF fü Ztotzi diti d WF () χ () F ( ) it F β ( ) ( ) ( ) ud fs 8μ sowi M zig dss di üb (.7) dfiit Poyo F (.7) (.7). 8

9 it d Lgu-Poyo F ( ) L ( ) zusäg d wobi L ( ) ( ) d Lgu-Poyo d Odug d L ( ) L ( ) ssoziit Lgu-Poyo d Odug sid. d I us F ist ud zu stz ( üf). I Kugoodit wid tscd d () d π π () dϕ dϑsi ϑ Y 44 ( ϑ χ () Mittug üb ictug oit. WF d füf gtisc idigst Zustäd ds H-Atos Ds gbis (.5) äst sic ifc uf d ztsytisc -toob vgi id i Potzi (.) di Potodug duc Z stzt (Z Kdugsz) wid. Fü ds H-Ato ist Z H ; di gbiss gt b uc fü ioisit Ato it u i to z.. Z Z usw. H Li Gudzustd ( s ) Z Z ( ϑ π 4πε.5977 o sc dius. μ D o sc dius dfiit di to Lägs; i d "t" Quttoi (9) w ds d "dius d st stugsos ds - ". Di AWD ist ottiossytisc ("s-obit"). übzugt sic ict dvo dss ds Mxiu vo ( / ) x bi igt. 9

10 st ggt Zustäd ( s ud ) Z Z ( ϑ 8 π s Zustd Z ( ϑ ( ϑ π Z Z π Z Z 8 Z Z cosϑ si ϑ ± i ϕ Zustäd itt übzug Si sic dss (i) () ~ fü i Fiftbi x fü goß Noiug it wcsd vscib sic di AWD zu göß Wt vo.. (ii) t (ufgud d igscft d ssoziit Lgu-Poyo) N Kot (ositiv Nust ud ict itgct). (iii) Zustäd zu sid i Usug dic Zustäd it vscwid i Usug.

11 .4 AWD ud "towo" Di Nust d di AWD χ () bsti di di vo Kugfäc uf d di AWD ds - gic Nu ist (dis Nust o us F bzw. d igscft d Lgu-Poyo). Zwisc d Kot gibt s o Mxi di i d Nä d o sc ig. Fü so di xi Nbqutz t wi Z () π ()! Z Z Z Z d.. χ x () ~. WF ud di AWD bsitz i Kot; ds izig Mxiu d AWD igt bi Z x ~. Fü di tiv Scwug ds Abstds ds - vo K fogt (Püf!). o scs Kosodzizi. Witi d AWD Itgi di vo AWD () üb dω d () dω d () Y ( ϑ dω Y ( ϑ d χ() dω w 44 4 ( ϑ) d Witi d AWD ist ottiossytisc bzügic d z-acs. Zu scuic Dstug d Wivtiug wd sogt

12 Podig vwdt. Dbi wid ( ϑ) Y ( ϑ w s diusvto i b Pooodit ( w ϑ) ufgtg; w ( ϑ) gibt so di AWD i ictug vo ϑ. Duc xizit Auscug d Kugfäcfutio fid wi w ( ϑ) s Zustäd/Obit ugsytisc Sizz 4π ± w( ϑ) cos ϑ w ± ( ϑ) si ϑ Zustäd/Obit 4π 8 Sizz Sizz i ictug ist usgzict ± ± d Zustäd/Obit w ( cos ϑ ) 5 ϑ Sizz 6π ( ) 5 w ± ( ϑ) si ϑcos ϑ Sizz 8π 5 4 w ± ( ϑ) si ϑ Sizz π

13 . Näugsvf i d QM (q Stöugstoi) Motivtio Wi b gs dss di Scödig-Gicug i bzw. (.) t u i Ausfä xt ösb ist (st ct i F vo Viticsyst). Häufig igt jdoc fogd "stöugstotisc Ausggssitutio" vo λ Vˆ ud WP ugstöts q Syst Stö oto göst. (.) I (.) bzic d Hito-Oto ds ugstöt Systs dss F ud W bt si Vˆ d Oto d Stöug ud λ << i i Pt. Wi btct Situtio i d ut d ifuss d Stöug i Kotu bi d F ud d giivus (Vscibug Aufstug ifog d Aufbug vtu vod ttug ) uftt tw i Si vo i ( λ) λ i λ ( λ) ud twic di tscd Vf. isi scwc oisc Scwigug u i stbi Gicgwictsg 4 ˆ ω qˆ qˆ λ { Vˆ H-Ato i scwc äuß togtisc Fd (s.u.)

14 . Zitubägig Stöugstoi fü ictttt Zustäd (Scödig) Wi wo di sttioä SG ( λvˆ ) λ << (.) ut fogd di Vousstzug/A ös (i) si ict xizit zitbägig (ii) di F ud W us si bt ud (iii) d btctt giigwt gö zu dist Stu ud si ict ttt. Wi vsuc Potzisätz fü ud gäß ( λ) ( λ) λ λ () () λ λ ()... ()... (.4) ud Fg i Zusg it d Kovgz d i od vtu ictytisc Abägigit vo λ us. Zwcäßigwis oi wi di gsuct F ict wi übic gäß sod vwd di Noiugsbdigug wous wg ut ücsictigug d Potzitwicug fü di s ützic tio () i (.5) fog. D Lösugsstz (.4) füt igstzt i (.) uf ( λvˆ ) () () ( λ λ... ) () () () () ( λ λ... ) ( λ λ...) 4

15 bzw. c Potz vo λ godt ( Idtitätsstz fü Potzi) λ (.6) λ () () () Vˆ (.7) λ ( ) () ( ) ( ) () () ( ) Vˆ (.8) ( ) usw. Di. Odug d Stöugstoi (ST) oduzit ds bits göst WP fü (.6). I. Odug ST t wi duc Pojtio d λ - Gicug uf () () () Vˆ ud wg () (.6) () () { { () (.5) scißic () Vˆ. (.9) di Kotu. Odug ST zu ugstöt giivu ist gic d q WW ds Stöotos i ugstöt Zustd. s voo dss diss Mtixt/WW idtisc Nu ist (ist us Sytigüd). I dis Fä wid () bötigt. Pojzi wi di λ - Gicug (.8) uf fogt () Vˆ () () () () (). 5

16 D st T uf d i Sit ud d zwit ud ditt T uf d ct Sit d Gicug sid Nu d.. () () Vˆ. Wi st s Liobitio zu sis { } () d () c c (). (.) (.5) () I dis twicug ft d -t Sud d c. Zu cug d twicugsoffizit c stz wi (.) i di λ - Gicug (.7) i fid () c c Vˆ ud c Pojtio uf bi ut ücsictigug d Otogoität d F vo Vˆ c so c c Vˆ. (.) D N vo (.) ist ugic Nu d ds btctt giivu s ict ttt vousgstzt wud. Aus (./) gibt sic di WF i. Odug ST zu () Vˆ (.) ud fü di Kotu. Odug ST zu giivu t wi ( Vˆ itsc) 6

17 () Vˆ () Vˆ Vˆ ( ) ( ) * ( Vˆ ) Z Vˆ. (.) Fzit D q wtugswt ds Stöotos Vˆ i igzustd ds ugstöt Systs bstit di Kotu. Odug ST zu giivu tscd (.9). Di Mtixt Vˆ ds Stöotos Vˆ bsti di Kotu. Odug ST zu WF ud di Kotu. Odug ST zu giivu tscd (.) bzw. (.). Di Kotu. Odug ST zu Gudzustdsgi ist offb stts gtiv. 7