Boole'sches Modell <is web>
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- Helge Gärtner
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1 Boole'sches Modell basiert auf Mengentheorie und Boole'scher Algebra sehr einfaches Modell mit klarer Semantik Dokumente als Mengen von Indextermen Termgewichte sind binär: im Dokument enthalten oder nicht enthalten Test auf Enthaltensein als Vergleichsfunktion Verknüpfung von Enthaltenseinsbedingungen mittels Boole'scher Junktoren and or not (Mengendurchschnitt) (Mengenvereinigung) (Mengendifferenz) 1
2 Boole'sches Modell: Beispiel Indexvokabular {Korsika, Sardinien, Strand, Ferienwohnung, Gebirge} Dokument d1:{sardinien, Strand, Ferienwohnung} Dokument d2:{korsika, Strand, Ferienwohnung} Dokument d3:{korsika, Gebirge} 2
3 Boole'sches Modell: Beispiel (2) Anfrage Korsika liefert {d2, d3} Ferienwohnung liefert {d1, d2} Ferienwohnung and Korsika liefert {d2} Ferienwohnung or Korsika liefert {d1, d2, d3} Ferienwohnung and not Korsika liefert {d1} 3
4 Boole'sches Modell: Beispiel (3) 4
5 Anfragenormalisierung in DNF bzw. KNF Anfrage: Ferienwohnung and ((Sardinien and Strand) or Korsika) in disjunktiver Normalform (DNF): (Ferienwohnung and Sardinien and Strand) or (Ferienwohnung and Korsika) in konjunktiver Normalform (KNF): Ferienwohnung and (Sardinien or Korsika) and (Strand or Korsika) 5
6 Anfrageauswertung jeder Term liefert Menge von Dokumenten, die diesen Term enthalten komplexe Anfrage: Kombination der Dokumentenmengen durch entsprechende Mengenoperationen kleine Zwischenergebnisse durch DNF (zuerst Durchschnitt, dann Vereinigung) 6
7 Nachteile des Boole'schen Modells exaktes Modell aufgrund binärer Gewichte eher Daten-Retrieval keine Ähnlichkeitssuche durch zu scharfe Suche Größe des Ergebnisses alle Dokumente sind bzgl. Anfrage gleichrangig Präsentation der gesamten Ergebnismenge Ergebnismenge in Abhängigkeit von Anfrage oft zu groß oder zu klein bzw. leer 7
8 Nachteile des Boole'schen Modells (2) Boole'sche Junktoren schwierige Anwendung Boole'scher Junktoren Verwechslung mit und, oder und nicht Impliziter weiterer Gegensatz: IR wird stärker von Laien benutzt als SQL 8
9 Milderung Problem exaktes Modell verschiedene Stufen der Relevanz durch Überführung Konjunktion in Disjunktion Präsentation der Ergebnisse sortiert nach Relevanzstufen Beispiel: Umwandlung von Korsika and Strand Korsika or Strand Ergebnis: zuerst die and-({d2}), dann restliche or- Dokumente ({d1, d3}) 9
10 Milderung Problem Größe des Ergebnisses faceted query zweistufiges Suchverfahren 1.Formulierung und Verfeinerung der Anfrage anhand benannter Anfragen und Ergebnisanzahl 2.Ergebnis zur finalen Anfrage anzeigen 10
11 Milderung Problem Größe des Ergebnisses (2) Beispiel: 1 Korsika liefert Q1: Q1 and Strand liefert Q2: 13 2 Anzeige Q2 liefert die 13 Ergebnisdokumente staab@uni-koblenz.de 11
12 Beispiel Problem Boole'sche Junktoren Anwender sucht Dokumente über Korsika und Dokumente über Sardinien falsche d.h. nicht intendierte Anfrage: Korsika and Sardinien liefert Dokumente, in denen beide Terme gemeinsam auftreten richtige bzw. intendierte Anfrage: Korsika or Sardinien 12
13 Milderung Problem Boole'sche Junktoren Verwendung besserer Junktorenbegriffe, etwa Ersetzen von and durch all or durch any 13
14 Fuzzy-Modell Erweiterung des Boole'schen Modells um Unschärfe (fuzzy) Verallgemeinerung Boole'scher Junktoren Unschärfe durch graduelle Zugehörigkeit von Dokumenten zu Termen 14
15 Fuzzy-Mengen beim Information Retrieval Universum ist Menge aller gespeicherten Dokumente Term definiert Fuzzy-Menge Zugehörigkeit (Fuzzy-Wert) des Dokuments d zu Term t durch Wert 0 für keine Relevanz 1 für maximale Relevanz Wert zwischen 0 und 1 für graduelle Relevanz staab@uni-koblenz.de 15
16 Beispiel Universum umfasst 3 Dokumente {d1, d2, d3} Fuzzy-Mengen Korsika bzw. Strand drücken Zugehörigkeit zu Term Korsika bzw. Strand aus staab@uni-koblenz.de 16
17 Fuzzy-Junktoren jedes Dokument in jeder Fuzzy-Menge übliche Mengenoperationen nicht anwendbar Junktoren ermitteln neue Zugehörigkeitswerte and durch Min-Funktion or durch Max-Funktion 17
18 Fuzzy-Junktoren (2) not durch Subtraktion von 1: 18
19 Beispiel Korsika and Strand Korsika or Strand not Korsika 19
20 Fuzzy-Anfragen und Anfragebearbeitung Überführung Anfrage in disjunktive Normalform jeder Suchterm induziert eine Fuzzy-Menge Anwendung entsprechender Fuzzy-Operationen auf Fuzzy-Mengen Ergebnis: Dokumente absteigend sortiert nach Zugehörigkeitsgrad ausgeben 20
21 Begrenzung Fuzzy-Ähnlichkeitsanfrage Ergebnis umfasst alle Dokumente des Universums Begrenzung der Anzahl durch Schwellwerte für Zugehörigkeitswerte vorgegebene Anzahl von Ergebnisdokumenten 21
22 Begrenzung Fuzzy-Ähnlichkeitsanfrage (2) Beispiel: Korsika and Strand Schwellwert 0,5 liefert Anzahl 2 liefert d3 d2, d3 staab@uni-koblenz.de 22
23 Zugehörigkeitswert: Dokument zu Term viele Möglichkeiten Beispiel: Ansatz von Ogawa, Morita, Kobayashi mittels Term-zu-Term-Korrelationsmatrix Zeile entspricht Term i und Spalte entspricht Term j n i,j ist Anzahl Dokumente, welche Terme t i, t j enthalten staab@uni-koblenz.de 23
24 Zugehörigkeitswert Dokument zu Term (2) n i ist Anzahl Dokumente, welche Term t i enthalten Zugehörigkeitsgrad: staab@uni-koblenz.de 24
25 Beispiel: Term-zu-Term-Korrelationsmatrix Dokument d1: {Sardinien, Strand, Ferienwohnung} Dokument d2: {Korsika, Strand, Ferienwohnung} Dokument d3: {Korsika, Gebirge} 25
26 Beispielrechnung Dokument d1: {Sardinien, Strand, Ferienwohnung} Dokument d2: {Korsika, Strand, Ferienwohnung} Dokument d3: {Korsika, Gebirge} µ Sar (d 1 )=1-Π tk 2{Sar,Str,Fer} (1-c i,k )=1-(1-1)(1-0,5)(1-0,5)=1 µ Kor (d 1 )=1-Π tk 2{Sar,Str,Fer} (1-c i,k )=1-(1-0)(1-0,33)(1-0,33)=5/9 staab@uni-koblenz.de 26
27 Zugehörigkeitswert Dokument zu Anfrageterm Fuzzy-Modell für komplexe Ähnlichkeitsanfragen: Ähnlichkeitswert bzgl. atomarer Anfrage als Zugehörigkeitswert anwendbar für jeden Medien-Typ Beispiel: Suche nach roter Morgensonne Farbe = rot and Gestalt = Kreis staab@uni-koblenz.de 27
28 Information Systems University of Koblenz Landau, Germany Vektorraummodelle
29 Vektorraummodell weit verbreitetes Retrieval-Modell Dokumente als Vektoren eines Vektorraums Überführung Retrieval-Problem in Gebiet der linearen Algebra einsetzbar, wenn jedes Medien-Objekt darstellbar durch feste Anzahl von numerischen Merkmalswerten Beispiel Bild-Retrieval: Vektorwerte etwa anhand der Farbverteilung 29
30 Vektorraummodell (2) Beispiel Text-Retrieval: jeder Indexterm eine eigene Dimension Termgewicht (meist Häufigkeiten) als Vektorwert einer Dimension 30
31 Ähnlichkeit im Vektorraum Anfrage selbst als Vektor Ähnlichkeit zwischen Anfrage q und Dokument d über deren Vektoren Kosinusmaß (Kosinus des eingeschlossenen Winkels als Ähnlichkeitsmaß) Distanzmaß (Abstand zwischen Vektoren als Unähnlichkeitsmaß) z.b. Euklid'sche Distanz: staab@uni-koblenz.de 31
32 Beispiel 32
33 Darstellung im Vektorraum 33
34 Ähnlichkeitswerte nach Kosinusmaß 34
35 Eingeschlossene Winkel 35
36 Unähnlichkeitswerte Euklid'scher Distanz 36
37 Abstände 37
38 Kosinusmaß und Euklid'sche Distanz erzeugen unterschiedliche Ergebnisse (Sortierungen) Kosinusmaß erzeugt <d1, d3, d2> Euklid'sche Distanz erzeugt <d1, d2, d3> Wahl der geeigneten Ähnlichkeitsfunktion abhängig von subjektivem Ähnlichkeitsempfinden Anwendungsszenario 38
39 Zusammenfassung Vektorraummodell Vektorraummodell sehr weit verbreitet setzt feste Anzahl von numerischen Merkmalswerten pro Dokument voraus 39
40 Zusammenfassung Vektorraummodell (2) Probleme: Merkmale als orthogonale Dimensionen aufgefasst (unrealistisch) Orthogonalisierung Problem bei hoher Anzahl von Merkmalswerten bzgl. Effektivität und Effizient Dimensionsreduktion Anfrage ist Vektor, also keine Junktoren Boole'sche Junktoren durch Kombination mit dem Fuzzy-Modell 40
Indexvokabular {Korsika, Sardinien, Strand, Ferienwohnung, Gebirge} Verknüpfung von Enthaltenseinsbedingungen mittels Boole'scher Junktoren.
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N Bit binäre Zahlen (signed)
N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101
C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
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x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
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147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
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0, v 6 = , v 4 = 1
Aufgabe 6. Linearkombinationen von Vektoren Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M = v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v i M, i =,,...,
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Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.
Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):