Funktionsmaterialien Teil I

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1 Funktionsmaterialien Teil I Vorlesungstermine: , , Uhr, 3P Elektronentheorie , :00, Uhr, P4 + R4 Elektronentheorie , , Uhr, 3P Leitfähigkeit , , Uhr, 3P Magnetismus Dr. Patric Gruber Karlsruher Institut für Technologie Institut für Angewandte Materialien Werkstoff- und Biomechanik IAM-WBM Sprechzeit nach jeder Vorlesung Mail: Patric.Gruber@kit.edu Tel.:

2 Vorlesung Werkstoffwissenschaft VIII : Elektronische Eigenschaften Prof. Dr. E. Arzt Institut t für Metallkunde Universität Stuttgart E. Arzt, Universität Stuttgart

3 0. Einführung Mechanische Eigenschaften Elastizität, Dämpfung, Fließgrenze, Zugfestigkeit, Härte, Zähigkeit, Kriech-, Ermüdungsfestigkeit, Verschleißfestigkeit... Chemische Eigenschaften Stabilität, Korrosionsbeständigkeit, Oxidationsbeständigkeit, Toxizität... Optische Eigenschaften Reflexionsvermögen, Photoeffekt, Lichtabsorption, Emissionsvermögen... Elektronische Eigenschaften Elektrische Leitfähigkeit, Spezifischer Widerstand, Isolationsfähigkeit, Dielektrische Eigenschaften, Magnetische Suszeptibilität, Sättigungsmagnetisierung, Koerzitivkraft, Remanenz, Sprungtemperatur... Thermische Eigenschaften Schmelzpunkt, Schmelzwärme, Bildungsenthalpie, Wärmeausdehnung, Wärmeleitfähigkeit, -kapazität...

4 Übersicht: Wichtige elektronische Effekte

5 Kopplung elektronischer und mechanischer Eigenschaften Piezoelektrizität Magnetostriktion Elektromigration mechanische Spannungen

6 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen der Elektronentheorie 1.1 Schrödinger-Gleichung 1. Bändermodell des Festkörpers 1.3 Besetzung von Energiezuständen. Elektrische Eigenschaften.1 Elektrische Leitfähigkeit: Grundlagen. Leitfähigkeit von Metallen.3 Leitfähigkeit von Halbleitern Teil II, Prof. Strunk.4 Leitfähige Polymere.5 Ionenkristalle.6 Supraleitung 3. Magnetische Eigenschaften 3.1 Grundlagen des Magnetismus 3. Magnetische Suszeptibilität 3.3 Diamagnetismus 3.4 Paramagnetismus 3.5 Ferromagnetismus 3.6 Magnetwerkstoffe

7 Literatur zur Vorlesung

8 Naturkonstanten Umrechnungen

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10 1. Grundlagen der Elektronentheorie

11 1. Grundlagen der Elektronentheorie e eo e 1.1 Schrödingergleichung und einige wichtige Lösungen 1. Kontinuumstheorie (19 Jh.) phänomenologische Beschreibung der Beobachtungen empirische Gesetze keine Annahmen über innere Struktur der Materie Beispiele: Ohmsches Gesetz, Maxwell-Gleichungen, Newtonsches Gesetz. Atomistische Theorie (19/0 Jh.) Annahmen über innere Struktur der Materie empirische Gesetze Elektronen umkreisen und wechselwirken mit Atomkernen Beispiele: i klassische Elektronentheorie th (Paul Drude)

12 1. Grundlagen der Elektronentheorie e eo e 1.1 Schrödingergleichung und einige wichtige Lösungen 3. Quantentheorie (0 Jh.) Energie der Atome ist quantisiert Heisenbergsches Unschärfeprinzip Teilchen-Welle Dualismus des Elektrons Beispiele: Plankches Strahlungsgesetz, Bohrsches Atommodell, Schrödingergleichung, Dirac-Gleichung

13 Heisenbergsche Unschärferelation: Lage und Impuls eines submikroskopischen Teilchens lassen sich gleichzeitig nicht beliebig genau festlegen Δx Δp x h 6, Js Plancksches Wirkungsquantum Δt ΔE h Quantentheorie ist nicht deterministisch bezüglich der Werte von Observablen! Aber sie ist deterministisch bezüglich der g Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen

14 Teilchen-Welle-Dualismus des Elektrons Teilcheneigenschaften (1897): (Elektronenstrahlröhre) Welleneigenschaften (194): (Beugung, Interferenz) p mv Impuls p k k : Wellenvektor p E m kinetische Energie λ π k h p Wellenlänge (de Broglie) ν v λ Frequenz h 34 π Js

15 Welleneigenschaft des Elektrons Welle: eine Störung, die periodisch ist in Raum und Zeit ein Elektron kann durch eine Wellenfunktion (x,t) beschrieben werden, die diese Periodizitäten widerspiegelt Ψ im einfachsten Fall ist dies eine harmonische Welle: = sin(kx - t) ) Ψ die Wellenfunktion Ψ (x,y,z,t) ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das Elektron zur Zeit t am Ort (x,y,z) befindet Ψ Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte

16 Nomenklatur : Ψ Ψ(x, y, z, t) orts-, und zeitabhängige Wellenfunktion ψ ψ(x, y,z) gg ( ) ortsabhängige (Wellen-)Vibrationsfunktion

17 Schrödinger-Gleichung g( (zeitunabhängige gg Form, 196) eindimensional: d ψ (x) m dx E V(x) ψ (x) 0 m... Teilchenmasse E... Gesamtenergie V(x)... potentielle Energie h 34 π Js dreidimensional: m x dy dz E V x, y,z ψx, y,z 0

18 1.1.1 Freies Elektron: Energiekontinuum Annahmen: - Vx 0 - freie Ausbreitung der Elektronen in x-richtung (eindimensional) d ψ dx m Eψ 0 Lösung: (+ x-richtg.) ψ (x) A e ikx A cos(kx) ia sin(kx) mit k m Wellenzahl E

19 daraus folgt: E m k Da keine Randbedingungen zur Lösung der Vibrationsgleichung erfüllt werden müssen, sind alle Werte von k (und damit E) möglich. freien Elektronen sind alle Energiezustände erlaubt : Energiekontinuum

20 1.1. Elektron im Potentialtopf: diskrete Energieniveaus Unendliches Kastenpotential (1D) x 0 : V 0 < x < a : V = 0 x a : V Lösungsansatz: d ψ dx m E ψ 0 ψ A e i x B e ix

21 ergibt: me Randbedingungen: ψ 0 0 : A B 0; B A ψ a 0 : A e ia B e ia 0 A e i a A e ia 0 mit EULER: e ix e ix isin x folgt: isin(a) 0 Quantisierung: a n n 1,,... E n n ma

22 Energieniveaus Wellenfunktion E n = 6 n = 5 n = 4 n = 3 n = n = 1 Kastenpotential n k =nπ/a =π/k=a/n 1 π/a a π/a a 3 3π/a /3 a

23 Wellenfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte

24 Vergleich: Wasserstoffatom Coulomb Potential: V r e r Schrödingergleichung Bohrsches Atommodell diskrete Energieniveaus Bohrsches Atommodell (1913): Wellenfunktion des Elektrons muss eine stehende Welle sein nur diskrete Bahnen um den Atomkern herum sind möglich r λ r nλ r n π

25 Energieniveaus Wasserstoffatom: Kastenpotential: me 4 1 n n En ev E n π ma n E n= n = 3 n = Bindun ngsenergie E n = 6 n = 5 n = 4 n=3 n = n = 1 n = 1 Bindu ungsenerg gie n=1: Ionisierungsenergie (13.6 ev) n=1: Grundzustandsenergie

26 Unendliches Kastenpotential in 3 Dimensionen E nx n y n z ma (n x n y n z ) oder E n k mit k (n x n n z ) 1/ n xn y n y z m a π Grundzustand: n x n y n z 1 E 3 ma 1. angeregter Zustand: n,n, n 11 1,,1 (dreifach entartet) x y z 1,1,,1,1 E 6 ma π

27 1.1.3 Elektron im periodischen Potential: Energiebänder Kronig und Penney (1931): E < V 0 Periodizität : V(x+R) = V(x) mit R = a+b Muffin Tin Potential (1964)

28 Bereiche I : d ψ m dx E ψ 0 Bereiche II : d ψ m dx (E V 0 ) ψ 0

29 Substitution: m E m (V E) 0 ) Lösungsansatz: ikx Bloch-Wellen (198) ψ (x) u(x)( ) e ikx mit u(x R) u(x) und k eine reelle Zahl ikx ψ ~ e u(x): gedämpfte Vibration

30 neue Schrödingergleichungen: Bereiche I: Bereiche II: d u 1 ki du 1 (k )u 1 0 d u ki du (k )u 0 dx dx dx dx Lösungen: u ikx (A ix B ix 1 (x) e e e ) u ( (x) e ikx (C e x D e x )

31 Randbedingungen: 1) x = 0 : u stetig d.h. u 1 (0) = u (0) es folgt: A + B = C + D ) x = 0 : du/dx stetig ti d.h. u 1 '(0) = u ' (0) es folgt: Ai( k) Bi( k) C(ik ) D(ik ) 3) u periodisch in (a+b) d.h. u 1 (a) = u (-b) es folgt: A e (iik)a B e (iik)a C e (ik)b D e (ik)b 4) du/dx periodisch in (a+b) d.h. u 1 '(a) = u ' (-b) es folgt: Ai( k) e ia(k) Bi( k) e ia(k) C( ik) e (ik)b D( ik) e (ik)b

32 Determinante für A, B, C, D gleich Null: sinh ih ( b ) sin( a ) cosh ( b ) cos( a ) cos k ( a b ) Näherungen: m V E, β v0 0 α 0 βb1 sinh ( b) b cosh ( b) 1 V 0 b=const ergibt: m V 0b sin(a) cos(a) cos(ka)

33 Substitution: b P mav 0b f (a) P sin(a) a cos(a) cos(ka) Quantisierungsbedingung Beispiel: P = 3/

34 erlaubte Energiebereiche >> Energiebänder verbotene Energiebereiche >> Energielücken

35 P mav b 0 me, α f (a) P sin(a) cos(a) cos(ka) a Grenzfälle: 1) V 0 b 0, P 0 cos αa cos(ka) α k E k m freie Elektronen ) V 0 b, P sin αa αa π 0 αa nπ E ma n gebundene Elektronen (unendliches Kastenpotential)

36 Vergleich der Energiezustände eines Elektrons freies gebundenes Elektron Elektron Elektron (H-Atom) im Festkörper

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38 1. Bändermodell des Festkörpers 11F 1..1 Freies und gebundenes Elektron im kr k-raum freies Elektron in 1D: gebundenes Elektron im 1D Kastenpotential: E m k x const k x E k n x k m n π, a x const k x n 0, 1,,..., Parabel, auf der E alle Werte annehmen kann Parabel, auf der E nur diskrete Werte annehmen kann

39 freies Elektron gebundenes Elektron E π/a k x k x

40 freies Elektron in D: gebundenes Elektron im D Kastenpotential: k y π/a k x

41 freies Elektron in 3D: k y Energieflächen k x k z

42 1.. Elektron im leeren Gitter Periodizität der Elektronenwellen: Beispiel 1: k π 7π 8, λ 8a Beispiel : k, λ a 4a 4a 7 ψ ψ a gleiche ψ -Werte an Atompositionen, aber unterschiedliche Energien/ Impulse die Wellenzahl k beschreibt die Bewegung des Elektrons im periodischen Potential nicht eindeutig wähle Intervall im k-raum aus, in dem die Elektronenwelle eindeutig ist

43 Reziprokes Gitter und Brillouin-Zonen Raumgitter: a 1 a 1 a 3 a 3 wobei a 1, a, a 3 Basisvektoren 1,, 3 ganze Zahlen Reziprokes Gitter: g m 1 g 1 m g m 3 g 3 wobei g 1, g, g 3 Basisvektoren m 1, m, m 3 ganze Zahlen

44 Beziehungen zwischen beiden Gittern: g ij 1 für i j i a j ij 0 i j i, j 1,, 3 V a a V g g 1 a3 1 g3 V ' ( )3 V a g 1 a 3 a 1 (a a 3 ) V (a a 3 ) a 3 a g 1 a1 (a a 3 ) V (a 3 a 1 ) a g 1 a ( 3 (a 1 a a ) 1 (a a 3 ) V

45 ein-dimensionale Kette und ihr reziprokes Gitter a 1, a 1 =a π g1 a1 π g1 a 1 a

46 zwei-dimensionales Gitter und sein reziprokes Gitter a Raumgitter a 1 reziprokes Gitter g 1 π π, g a 1 a g g1 g g1 g 0 g 1

47 kubisch-primitives Gitter und sein reziprokes Gitter a 3 a a 1

48 0 0 1 Basisvektoren des 1 0 a, 0 1 a, 0 0 a 3 1 a a a Basisvektoren des Raumgitters a 0 a 0 a V a a a a 0 0 a a V a a g Basisvektoren des reziproken Gitters p a 0 V, 0 a V a a g a a g 3 j i 0, j i i i a g a g

49 krz-gitter und sein reziprokes Gitter

50 kfz-gitter und sein reziprokes Gitter

51 hdp-gitter und sein reziprokes Gitter

52 Allgemein gilt: - die Basisvektoren des reziproken Gitters sind Vektorprodukte der Basisvektoren der primitiven iti Einheitszelle it des Raumgitters - Raumgitter und reziprokes Gitter haben dieselbe Rotationssymmetrie - Raumgitter und reziprokes Gitter gehören demselben Kristallsystem an: monoklin monoklin, triklin triklin, kubisch kubisch, hexagonal hexagonal, aber innerhalb eines Kristallsystems kann sich das Bravaisgitter ändern: kubisch: krz kfz kfz krz

53 Wie sieht die primitive Einheitszelle des reziproken Gitters aus? Im allgemeinen wird als primitive Einheitszelle nicht das durch g 1, g und g 3 aufgespannte Parallelepiped gewählt, sondern die sog. erste Brillouin Zone (1. BZ). Die 1. BZ hat das Volumen g 1 (g x g 3 ), aber sie entspricht in 3D i.a. nicht einem Parallelepiped, sondern einem Polyeder. Die Konstruktion der 1. BZ ist analog zur Konstruktion der primitiven Wigner-Seitz Zelle im Raumgitter.

54 Brillouin-Zonen Konstruktion: Symmetrieelement zwischen Gitterpunkt (Koordinatenursprung) und seinen Nachbarn Beispiel: quadratisches Gitter 3.BZ 1BZ 1.BZ.BZ

55 1. Brillouin-Zone der ein-dimensionalen Kette a 1

56 1. Brillouin-Zone des quadratischen Gitters 1.BZ /a /a

57 1. Brillouin-Zone des kubisch-primitiven Gitters

58 1. Brillouin-Zone des kfz-gitters 1. Brillouin-Zone des krz-gitters abgeschnittenes Oktaeder Rhombendodekaeder

59 1. Brillouin-Zone des hdp-gitters hexagonales Prisma

60 Zusammenfassung Brillouin Zonen sind Linien (1D), Flächen (D) oder Polyeder (3D) im reziproken Raum sie sind nützlich zur Beschreibung der Anisotropie der Energie/ des Impulses der Elektronen k y 1) Elektron bewegt sich entlang der Diagonale: /a k max, Emax /a 1BZ a ma a k x ) Elektron bewegt sich entlang der k x -Achse: /a k max, a E max 1 ma für ein gegebenes Raumgitter entspricht die erste Brillouin Zone (1.BZ) einer primitiven Einheitszelle des reziproken Gitters die 1.BZ enthält somit alle k-vektoren, die zu allen unterscheidbaren Energiezuständen der Elektronen führen (außerhalb liegende k-vektoren führen zu Wellenfunktionen mit gleichem Funktionswert am Ort der Atomkerne) zukünftig beschränken wir uns auf die 1.BZ (1D: [-/a, /a]) / zur Darstellung der Elektronenenergie E(k)