Finanzzeitreihen Teil 2

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1 Teil 2 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 09/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg Literatur : Quantitative Risk Management Wu Jui Sun

2 Contents 1 Wiederholung Value at Risk Expected shortfall Volatilitätsmodelle und Risikoschätzung Volatilitätsvoraussage Beispiel Voraussage in dem GARCH(1,1)-Modell Bedingte Risikomessung Annahme Backtesting Grundlagen der multivariaten Zeitreihen Grunddefinitionen Definition strikte Stationarität Definition schwache Stationarität Definition Korrelation-Matrix-Funktion Definition Multivariates Weisses Rauschen Definition Multivariates Strikt Weisses Rauschen Definition Multivariate martingale Differenz Multivariater ARMA Prozess Definition VARMA Prozess Beispiel VAR(1)-Prozess Multivariate GARCH-Prozesse Allgemeine Struktur von Modellen Definition Modelle für bedingte Korrelation (CCC) Definition Satz Modelle für bedingte Kovarianz Definition Satz Dimensionsreduzierung in MGARCH Definition MGARCH und bedingtes Risikomass

3 Finanzzeitreihen Teil 2 1 Wiederholung 1.1 Value at Risk Betrachte Verteilung des Verlustes F L (l) = P[L l]. V ar α = inf{l R : P[L > l] 1 α} = inf{l R : F L (l) α} Falls der Verlust normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 dann V ar α = µ + σφ 1 (α) wobei Φ die Standardnormalverteilung ist. Der Value at Risk ist derjenige Verlust, der mit einer Wahrscheinlichkeit von (1 α) innerhalb eines bestimmten Zeitraumes nicht überschritten wird. 1.2 Expected shortfall Für einen Verlust L mit E( L ) < und VF F L : ES α = 1/(1 α) 1 α V ar u (L)du = E(L L V ar α ) Der Expected Shortfall gibt an, welche Abweichung bei Eintritt des Extremfalls, d.h. bei Überschreitung des VaR, zu erwarten ist. 2 Volatilitätsmodelle und Risikoschätzung Wir werden Standardmethoden für Marktrisiken betrachten. Die Hauptprobleme sind die Abschätzungen von bedingten Risikomassen wie VaR und Expected Shortfall sowie das Backtesting von diesen Schätzern. 2.1 Volatilitätsvoraussage Wie wollen die zukünftige Volatilität voraussagen, d.h den Wert σ t+h für h 1 bestimmen. Wir nehmen an dass wir den Zugang zu den Beobachtungen von dem Prozess bis zum Zeitpunkt t besitzen, dargestellt durch die natürliche Filtration F t = σ({x s : s t}). Nehmen wir auch an, dass das GARCH-Modell kalibriert worden ist und dessen Parameter sind geschätzt. 2

4 2.1.1 Beispiel Voraussage in dem GARCH(1,1)-Modell Sei (Z t ) t Z ein SWN(0,1). Ein GARCH(1,1)-Modell ist ein Prozess (X t ) t Z der strikt stationär ist und der t Z und für den strikt positiven Prozess (σ t ) t Z die folgenden Gleichungen erfüllt : X t = σ t Z t, σt 2 = α 0 + α 1 Xt β 1σt 1 2 mit α 0 > 0, α 1 0, β 1 0. Nehmen wir an dass das Modell auch kovarianzstationär ist s.d E(Xt 2 ) = E(σt 2 ) <. Da das Modell eine Martingal-Differenz ist, ist die beste Voraussage von X t+h gleich Null. Eine natürliche Voraussage von Xt+1 2 basierend auf F t ist dessen natürlicher Erwartungswert σt+1 2 gegeben durch E(Xt+1 2 F t) = α 0 + α 1 Xt 2 + β 1 σt 2. Zur Zeit t kennen wir den Wert σt+1 2. Wir sagen der Prozess (σ t) t Z ist previsibel. In der Praxis müssen wir jedoch eine Approximation von dieser Formel machen, da wir die vergangene Werte, die uns ermöglichen σt 2 zu berechnen, nicht haben. Eine natürliche Approximation ist σt 2 zu approximieren. 2.2 Bedingte Risikomessung Betrachten wir die Situation wo man das Risiko für eine Investition in einer einzigen Aktie messen will. Am Tag t ist der Wert der Aktie V t und der Log-return für den kommenden Tag beträgt X t+1, also ist der linearisierte Verlust über den kommenden Tag L t+1 = l t (X t+1 ) = V t X t+1. Wir setzen V t = 1 für alle t und schreiben L t = X t, so ist (L t ) t Z der Prozess der negativen Log-returns Annahme Der Verlustprozess (L t ) t Z ist F t -messbar mit L t = µ t + σ t Z t wobei µ t und σ t F t 1 -messbar sind und (Z t ) t Z SWN(0,1) sind. Sei G die Verteilungsfunktion von (Z t ) t Z, dann kann man leicht nachrechnen dass F Lt+1 F t(l) = G((l µ t+1 )/σ t+1 ) Wir kriegen dann V ar t α = µ t+1 +σ t+1 q α (Z) und ES t α = µ t+1 +σ t+1 ES α (Z) wobei Z die Verteilungsfunktion G hat. Im Allgemeinen, um diese Risikomasse zu schätzen, braucht man die Schätzungen von µ t+1 (,der bedingte Erwartungswert) und σ t+1 (,die Volatilität des Schadensprozesses). Wir brauchen auch das Quantil sowie den Expected Shortfall von der Verteilungsfunktion G. In einem Modell mit Gauss schen Innovationen haben wir q α (Z) = Φ 1 (α) und ES α (Z) = φ(φ 1 (α))/(1 α). In einem nicht-gauss schen Modell hängen q α (Z) und ES α (Z) von weiteren Parametern ab. 3

5 2.3 Backtesting Wir definieren Indikator-Variablen I t+1 = I Lt+1 >V ar t α. Der Prozess (I t) t Z ist ein Prozess mit iid Bernoulli-verteilten Variablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit 1 α. Erfolg bedeutet hier falls das Quantil VaR überschritten wird. In der Praxis machen wir einen-schritt-voraus VaR-Schätzer V ar t α und betrachten den Verstoss-Indikator Ît+1 := I Lt+1 > V ar t α. Nach iid Bernoulli- Verletzungen des einen-schritt-voraus VaR zu prüfen, hat 2 Aspekte: (*) einerseits prüft man ob die Anzahl der Verstosse im Durchschnitt korrekt ist, (**) andererseits prüft man ob das Muster der Verstosse beständig ein iid Benehmen hat. Eine Möglichkeit die Unabhängigkeit der Bernoulli-Indikatoren zu prüfen ist der Runs Test vom David(1947). Man zählt die Läufe von aufeinanderfolgenden Nullen oder Einsen in der Realisierungen der Indikator-Variablen und vergleicht die realisierte Anzahl der Läufe mit der bekannten Verteilung von der Anzahl der Läufe in den iid Bernoulli Daten. 3 Grundlagen der multivariaten Zeitreihen 3.1 Grunddefinitionen Nehmen wir an, dass die Momente der multivarianten Zeitreihe exisistieren. Wir definieren die Erwartungswertfunktion µ(t) und die Kovarianz-matrixfunktion Γ(t, s) von der multivarianten Zeitreihe (X t ) t Z durch: µ(t)=e(x t ), t Z, Γ(t, s)=e((x t µ(t))(x s µ(s)) T ), t, s Z. Analog zu dem eindimensionalen Fall, haben wir Γ(t, t) = cov(x t ). Man beobachtet, dass für die Elemente γ ij (t, s) von Γ(t, s) γ ij (t, s) = γ ji (s, t) gilt. Es ist klar dass Γ(t, s) = Γ(s, t) T für alle t,s. Die Matrix muss aber nicht symmetrisch sein, also gilt im Allgemeinen Γ(t, s) Γ(s, t), was im Gegensatz zum eindimensionalen Fall steht Definition strikte Stationarität Eine multivariate Zeitreihe (X t ) t Z ist strikt stationär falls (X T t 1,..., X T t n ) d = (X T t 1+k,..., X T t n+k ) für alle t 1,..., t n,k Z und für alle n N. 4

6 3.1.2 Definition schwache Stationarität Eine multivariate Zeitreihe (X t ) t Z ist schwach stationär oder kovarianzstationär falls, die ersten zwei Momente existieren und µ(t)=µ, t Z Γ(t, s)=γ(t + k, s + k), t, s, k Z Eine strikt stationäre multivariate Zeitreihe mit endlicher Kovarianzmatrix ist auch kovarianzstationär, aber es gibt auch Prozesse die strikt stationär aber nicht kovarianzstationär sind. Wir haben Γ(t s, 0) = Γ(t, s) für alle t,s. Wir schreiben Γ(h) = Γ(h, 0), h Z und bemerken dass Γ(0) = cov(x t ), t Definition Korrelation-Matrix-Funktion Wir schreiben = (Γ(0)), und die Korrelation-Matrix-Funktion P(h) von einer kovarianzstationären multivarianten Zeitreihe (X t ) t Z ist P (h) = 1 Γ(h) 1, h Z Definition Multivariates Weisses Rauschen (X t ) t Z ist ein multivariates Weisses Rauschen falls es kovarianzstationär ist mit Korrelation-Matrix-Funktion { P, für h =0 P(h)= 0, sonst für einige positiv definite Korrelation-Matrizen P. Ein multivariater Weisses-Rauschen-Prozess mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix Σ = cov(x t ) wird mit WN(0,Σ) notiert Definition Multivariates Strikt Weisses Rauschen (X t ) t Z ist ein multivariates Strikt Weisses Rauschen, falls es eine Folge von iid Zufallsvektoren mit endlicher Kovarianzmatrix ist. Ein multivariater StriktWeisses-Rauschen-Prozess mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix Σ wird mit SWN(0,Σ) notiert. 5

7 3.1.6 Definition Multivariate martingale Differenz (X t ) t Z hat die multivariate Martingale-Differenz Eigenschaft bzg. Filtration (F t ) falls E X t < und E(X t F t 1 ) = 0, t Z Der unbedingte Erwartungswert von so einem Prozess ist natürlich auch Null und falls cov(x t ) < für alle t, dann Γ(t, s) = 0 für t s. 3.2 Multivariater ARMA Prozess Wir werden hier kurz die mehrdimensionale ARMA Modelle betrachten Definition VARMA Prozess Sei (ɛ t ) t Z ein WN(0, Σ ɛ ). Der Prozess (X t ) t Z ist ein VARMA(p,q)-Prozess mit Erwartungswert Null, falls er kovarianzstationär ist und Gleichungen der Form : X t φ 1 X t 1... φ p X t p = ɛ t + θ 1 ɛ t θ q ɛ t q t Z erfüllt, für Parameter-Matrizen φ i und θ j in R d d. (X t ) t Z ist ein VARMA-Prozess mit Erwartungswert µ falls (X t µ) t Z ein VARMA(p,q)-Prozess mit Erwartungswert Null ist. In der Praxis betrachten wir nur VARMA-Prozesse, wo die Lösung der Gleichungen die Form X t = i=0 Ψ iɛ t 1, hat Beispiel VAR(1)-Prozess Der VAR(1)-Prozess erfüllt Gleichungen dieser Form X t = φx t 1 + ɛ t, t. Die Lösung sieht dann folgendermassen aus X t = i=0 φi ɛ t i. Die Kovarianzmatrixfunktion von diesem ist Γ(h) = φ h Γ(0), h=0,1,2,... In der Praxis sind vollständige VARMA-Modelle weniger üblich als z.b die VAR-Unterfamilien. Ein Grund dafür ist, dass Probleme beim Schätzen der Parametern auftauchen. Zum Beispiel können wir Situationen haben, wo das VARMA(1,1)-Modell X t φx t 1 = ɛ t + Θɛ t 1 in X t φ X t 1 = ɛ t + Θ ɛ t 1 für völlig verschiedene Parameter φ und Θ umgeschrieben werden kann. 6

8 4 Multivariate GARCH-Prozesse 4.1 Allgemeine Struktur von Modellen Definition Sei (Z t ) t Z ein SW N(0, E d ). Der Prozess (X t ) t Z ist ein multivariater GARCH-Prozess, falls er strikt stationär ist und Gleichungen der Form: X t = Σ 1/2 t Z t, t Z, erfüllt wobei Σ 1/2 t R d d der Cholesky-Faktor von einer symmetrischen und positiv definiten Matrix Σ t, die F t 1 -messbar ist, mit F t 1 = σ({x s : s t 1}), ist. Es ist einfach nachzurechnen dass so ein Prozess die multivariate Martingal-Differenz Eigenschaft besitzt: E(X t F t 1 ) = 0 und somit ein Weisses-Rauschen-Prozess sein muss. Σ t wird die bedingte Kovarianz-matrix sein : cov(x t F t 1 ) = Σ t Die Kunst multivariate GARCH-Modelle zu konstruieren besteht darin die Abhängigkeit von Σ t zur Vergangenheit so zu spezifizieren dass Σ t immer symmetrisch und positiv definit bleibt. 4.2 Modelle für bedingte Korrelation (CCC) Definition Der Prozess (X t ) t Z ist ein CCC-GARCH-Prozess, falls er die generelle Struktur eines GARCH-Prozesses besitzt, so dass die bedingte Kovarianz- Matrix die Form Σ t = t P c t hat, wobei (i) P c eine konstante positiv-definite Korrelation-Matrix ist, und (ii) t eine diagonale Volatilitätsmatrix ist, mit Elementen σ t,k, die folgenden Gleichungen erfüllen σt,k 2 = α k0 + p k i=1 α kixt i,k 2 + q k j=1 β kj σt j,k 2, k=1,...,d wobei α k0 > 0,α ki 0, i=1,...,p k,β kj 0, j=1,...,q k Satz Das CCC-GARCH Modell ist wohldefiniert im Sinne, dass Σ t fast sicher postitiv definit ist, für alle t. Es ist genau dann kovarianzstationär wenn pk i=1 α ki + q k j=1 β kj < 1 für k=1,...,d. Beweis. Für einen Vektor v 0 in R d, haben wir v T Σ t v = ( t v) T P c ( t v) > 0, 7

9 da P c positiv definit ist und die strikte Positivität von den einzelnen Volatilitätsprozessen sichert dass t v 0. "= " Falls (X t ) t Z kovarianzstationär ist, dann ist jede einzelne Komponentenfolge (X t,k ) t Z ein kovarianzstationärer GARCH-Prozess. Eine notwendige und ausreichende Bedingung dazu ist p k i=1 α ki + q k j=1 β kj < 1. " =" Falls die Komponenten-Folgen kovarianz-stationär sind, dann gilt nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung σ ij = ρ ij E(σ t,i σ t,j ) ρ ij E(σt,i E(σ 2 ) t,j 2 ) <. Da (X t) t Z eine multivariate Martingale-Differenz mit endlichen, zeitunabhängigen zweiten Momenten σ ij ist, ist er ein kovarianzstationäres Weisses Rauschen. Das CCC-Modell ist oft ein nützlicher Ausgangspunkt für komplexere Modelle. In empirischen Situationen gibt es eine angemessene Leistung, doch im Allgemeinen wird die Konstanz der bedingten Korrelation in diesem Modell als unrealistisch gesehen und der Einfluss von Nachrichten auf finanzielle Märkte erfordert Modelle die dynamische Entwicklungen der bedingten Korrelation und der Volatilitäten erlauben. 4.3 Modelle für bedingte Kovarianz Definition Der Prozess (X t ) t Z ist ein BEKK-Prozess falls er die generelle Struktur eines GARCH-Prozesses besitzt und die bedingte Kovarianz-matrix Σ t erfüllt für alle t Z, Σ t = A 0 + p A T i X t i Xt ia T i + i=1 q Bj T Σ t j B j wobei die Koeffizienten-matrizen alle in R d d und A 0 symmetrisch und positiv definit ist Satz In einem BEKK-Modell, ist die bedingte Kovarianz-matrix Σ t fast sicher positiv definit für alle t. Beweis. Betrachten wir der Einfachheit halber ein Modell erster Ordnung. Für einen Vektor v 0 in R d haben wir v T Σ t v = v T A 0 v + (v T A T 1 X t 1) 2 + (B 1 v) T Σ t 1 (B 1 v) > 0, da der erste Term strikt positiv ist und der zweite und der dritte Term nicht-negativ sind. j=1 8

10 4.4 Dimensionsreduzierung in MGARCH Definition Der Prozess (X t ) t Z definiert ein PC-GARCH-Modell falls eine orthogonale Matrix Γ R d d existiert, die ΓΓ T = Γ T Γ = E d erfüllt, so dass (Γ T X t ) t Z ein rein diagonales GARCH-Modell definiert. Falls (X t ) t Z einen PC-GARCH-Prozess für gewisse Matrizen Γ definiert, dann können wir einen Prozess (Y t ) t Z einführen der folgendermassen definiert wird Y t = Γ T X t und somit Y t = t Z t erfüllt wobei (Z t ) t Z ein SWN(0,E d ) ist und t eine diagonale Volatilitätmatrix. Da X t = Γ t Z t, haben die bedingten und unbedingten Kovarianz-matrizen folgende Struktur Σ t = Γ 2 t Γ T Σ = ΓE( 2 t )Γ T und sind offensichtlich symmetrisch und positiv definit. 4.5 MGARCH und bedingtes Risikomass Nehmen wir an, wir kalibrieren ein multivariates GARCH-Modell, das die generelle Struktur X t = µ t +Σ 1/2 t Z t mit historischen Risikofaktoren X t n+1,..., X t hat. Wir interessieren uns für die Verteilung des Verlustes L t+1 = l [t] (X t+1 ) gegeben F t = σ({x s : s t}). Eine Methode die man anwenden kann, ist die Monte-Carlo-Methode: Man kann den nächsten Wert X t+1 vom stochastischen Prozess (X t ) t Z mehrmals simulieren, indem wir Schätzer von µ t+1 und Σ t+1 benutzen. Alternativ, kann man die Varianz-Kovarianz-Berechnung benutzen : betrachten wir den linearisierten Verlust-Operator mit der allgemeinen Form l[t] (x) = (c t + b T t x), die Momente der bedingten Verlust-Verteilung werden dann E(L t+1 F t ) = c t b T t µ t+1 cov(l t+1 Ft ) = b T t Σ t+1 b t 9