Σ = (z; c : z, f : z z) Σ = (z; c : z, f : z z) ( ; 17, x -x) ( ; 17, pred) ( ; true, neg) ( ; 0, suc) ({a,b} + ; a, xa xb und xb xa)

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1 METHODEN UND MODELLE DES SYSTEMENTWURFS 3. Algebraische Spezifikation mit CASL 3.1 Spezifikationen 3.2 CASL 3.1 SPEZIFIKATIONEN JAN SÜRMELI u.hu-berlin.de/mms-13 ZUR ERINNERUNG 2 DAS ZIEL 3 Signatur charakterisiert eine Menge von Strukturen Charakterisiere eine bestimmte Klasse von Σ-Strukturen NOCHMAL ETWAS ABSTRAKTER 4 LÖSUNG: SPEZIFIKATION 5 Σ Spezifikation = def Signatur Σ + Eigenschaften Ziel: Charakterisiere Beispiele + erzeugt + eindeutig + f ist selbst-invers 1

2 BEISPIELE 6 BEISPIELE 7 + erzeugt BEISPIELE 8 + eindeutig BEISPIELE 9 + erzeugt + eindeutig BEISPIELE 10 EIGENSCHAFTEN HINSCHREIBEN 11 + f ist selbst-invers Beispiel: f ist selbst-invers x. x = f(f(x)) semantische Gleichheit Quantor Variable Terme mit Variablen Variablen reden über beliebige Elemente aus dem Träger Auch über nicht erzeugte 2

3 WEITERE BEISPIELE 12 KONSISTENZ EINER SPEZIFIKATION 13 Es existiert ein Element x,, so dass f(x) = x Geg.: Spezifikation x. x = f(x) Frage: Gibt es ein Modell? f ist surjektiv (rechts-total) total) x. y. x = f(y) f ist injektiv (links-eindeutig) x. y. ( f(x) = f(y) x = y ) Beispiel für Inkonsistenz: + x. ( f(x) = c x = f(x) ) Konsistenz ist unentscheidbar für einige Unterklassen entscheidbar Für Gleichungen besonders schön lösbar MOTIVATION FÜR GLEICHUNGEN 14 GLEICHUNGEN 15 Beispiel:, B = true = neg(neg(true)) = neg(neg(neg(neg(true)))) = c B = f(f(c)) B = f(f(f(f(c)))) B Nicht eindeutig! Aber trotzdem schöne Struktur Idee: Spezifiziere erlaubte Mehrdeutigkeit mit Gleichungen x 1. x m. ( ψ 1 ψ n ) ψ i ist ein Vergleich zweier Terme Gleichung: x. x = f(f(x)) Keine Gleichung: x. y. ( f(x) = f(y) x = y ) x. y. x = f(y) MODELLE FÜR GLEICHUNGS-SPECSSPECS 16 + x. x = f(f(x)) SCHÖNE MODELLE Idee: Es gelten nur die spezifizierten Gleichungen + alle daraus ableitbaren Gleichungen 17 ({ };, ) Beispiel: In B = gilt nur die Selbst- Inversität In U = ({ };, ) gilt zusätzlich: c U = f(c) U 3

4 TERM-ÄQUIVALENZ 18 QUOTIENTEN-TERM-STRUKTUR 19 Eine Gleichung induziert eine Äquivalenz auf den (Grund-)Termen Gegeben: Signatur Σ,, Gleichung G Quotienten-Term-Struktur Beispiel: G= x. x =f(f(x)) Äquivalenzklassen: [c] = {c, f(f(c)), f(f(f(f(c)))), f(f(f(f(f(f(c)))))), } [f(c)] = {f(c), f(f(f(c))), f(f(f(f(f(c))))), }, G = def x. x = f(f(x)) = def ( {[c], [f(c)]} ; [c], g ) mit g([c]) = def [f(c)] und g([f(c)]) = def [c] QUOTIENTEN-TERM-STRUKTUR 20 MODELLE FÜR GLEICHUNGS-SPECSSPECS 21 Gegeben: Signatur Σ,, Gleichung G Quotienten-Term-Struktur, G = def x. x = f(f(x)) = def ( {[c], [f(c)]} ; [c], g ) mit g([c]) = def [f(c)] und g([f(c)]) = def [c] + x. x = f(f(x)) ({ };, ) EINFÜHRENDES BEISPIEL + x. x = f(f(x)) 23 32CASL 3.2 spec Involution = sort z op c : z op f : z -> z axioms forall x : z. x = f(f(x)) 4

5 MEHRERE SORTEN Σ = (z, b; c : z, t : b, f : z z b) + x. f(c,x) = t spec ManySorts = sorts z,b ops c : z; t : b op f : z * z -> b axioms forall x : z. f(c,x) = t 24 STACK spec Stack = sorts stacks, elems op empty : stacks; op push : stacks,elems -> stacks op pop : stacks -> stacks axioms for all s:stacks, a:elems. pop(empty) = empty && pop(push(s,a)) = s 25 ERWEITERUNG 26 KONSTRUKTOREN 27 spec ManySorts = sorts z,b ops c : z; t : b op f : z * z -> b axioms forall x : z. f(c,x) = t spec ManySortsExt = ManySorts then op n : b -> b axioms forall x : b. not(n(x)= x) spec Nats = type n ::= 0 suc(n) op add : n * n -> n axioms forall x,y : n. ( add(x,suc(y)) = suc(add(x,y)) /\ add(x,y) = add(y,x) /\ add(x,0) = x ) STACK REVISITED Stack-Beispiel schöner: spec StackK = sort elems type stacks ::= empty push(stacks,elems), pop(stacks) axioms for all s:stacks, a:elems. pop(empty) = empty && pop(push(s,a)) = s 28 FREE TYPES (BIS AUF GLEICHUNGEN) spec StackF = sort elems free { type stacks ::= empty, push(stacks,elems), } 29 pop(stacks) axioms for all s:stacks, a:elems. pop(empty) = empty && pop(push(s,a)) = s 5

6 30 ALGEBRAISCHE SPEZIFIKATION 31 Σ Ziel: Charakterisiere ZUSAMMENFASSUNG Spezifikation i = def Signatur Σ + Eigenschaften Konsistenz ist unentscheidbar Für Gleichungs-Specs: Quotienten-Term-Struktur METHODEN UND MODELLE DES SYSTEMENTWURFS 3. Algebraische Spezifikation mit CASL 3.1 Spezifikationen 3.2 CASL JAN SÜRMELI u.hu-berlin.de/mms-13 6