1.4 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Inhalt dieses Vorlesungsteils - ROADMAP

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1 AKUSTISCHE WELLEN 1.4 Inhalt dieses Vorlesungsteils - ROADMAP MECHANISCHE SCHWINGUNGEN ELEKTRO- MAGNETISCHE WELLEN WECHSELSTROM KREISE E Elemente E11 Mechanische Schwingungen E12 Akustische Schwingungen E13 Wechselstromkreise E14 Elektromagnetische Wellen FOLIE 1

2 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Strahlung oder Wellen bezeichnet die Kopplung von elektrischen und magnetischen Feldern. Die verschiedenen Arten (Radiowellen, Mikrowellen, Infrarotstrahlung, sichtbares Licht, UV-Strahlung, Röntgen- und Gammastrahlung) unterscheiden sich nur durch ihre Frequenz bzw. Wellenlänge f = c und somit ihrer Energie (E = h *f). Die Einteilung in die oben genannten Typen beruht auf den sich mit der Frequenz kontinuierlich ändernden Eigenschaften der Strahlung.) Elektromagnetisches Spektrum GAMMA RÖNTGEN UV LICHT IR MIKROWELLEN RADIOWELLEN FOLIE 2

3 Elektromagnetische Wellen Frequenz [Hz] Wellenlänge [m] 'QUELLE: Wikipedia FOLIE 3

4 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen Elektromagnetische Wellen benötigen kein Medium, um sich auszubreiten. Sie pflanzen sich im Vakuum unabhängig von ihrer Frequenz mit Lichtgeschwindigkeit c 0 als Transversalwellen fort. Die Quantenfeldtheorie Planck sches Wirkungsquantum: h = ev betrachtet die elektromagnetische Energie als Fluss von Photonen der Energie E = h * f mit der Frequenz f und der Planck schen Konstante h. Aus der Sicht der Elektrodynamik sind elektromagnetische Wellen sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen elektrisches und magnetisches Feld senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis. Dieses ist gerade durch die Wellenimpedanz gegeben. FOLIE 4

5 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen In einem Medium verringert sich die Geschwindigkeit abhängig von der Permittivität und der Permeabilität (magnetische Leitfähigkeit) des Stoffes. Es gilt dann: c= 1 µ Zudem wird sie abhängig von der Frequenz f der Welle (Dispersion) sowie (je nach Medium) abhängig von ihrer Polarisation und ihrer Ausbreitungsrichtung gebrochen. Eine direkte Krafteinwirkung (z.b. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium oder die Gravitationskraft erfolgen. FOLIE 5

6 Elemente der Elektrodynamik Das elektrische Feld U d E elektrostatisches Feld: konstante Feldichte zwischen den Platten, Krümmung an den Rändern elektrische Feldintensität (V/m) E= U d H Das magnetische Feld I I H r statisches Magnetfeld: magnetische Feldintensität (A/m) H = I C 2 r FOLIE 6

7 Elemente der Elektrodynamik U~ D Ampere sches Gesetz: Das Ampere sches Gesetz verknüpft das Integral der Tangentialkomponente des Magnetfeldes entlang einer geschlossenen Kurve C mit dem Strom I C, der durch die von dieser Kurve begrenzten Fläche hindurchtritt. H di =I enc A: Fläche [m 2 ] ε 0 : Permittivität im Vakuum e :relative Permittivität Maxwell scher Verschiebungsstrom: Das Konzept des Max wellschen Verschiebungstroms erklärt den Stromfluß durch einen Kondensator bei Anlegen von Wechselstrom ohne Vorhandensein einer Leitenden Verbindung. Maxwell postulierte einen sogenannten Verschiebungsstrom I V, der einem magnetischen Feld entspricht, welches durch einen zeitverländerliches elektrisches Feld induziert wird. D wird dabei als die Verschiebungsdichte bezeichnet. D= 0 E Sie ist analog zur Stromdichte in einem konventionellen Stromkreis. Wie beim einem Leiter ist mit dem Stromfluß ein diesen umgebendes Magnetfeld verbunden. FOLIE 7

8 Elemente der Elektrodynamik Wenn der Plattenabstand der Wellenlänge der Abstrahlung entspricht, dominiert der Verschiebungsstrom über dem Leitungsstrom. Dies führt zu einer Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung (Dipolantenne) Die elektromagnetische Induktion (Faraday sches Gesetz) E E Bei Änderung des magnetischen Feldes durch eine Leiterschleife wird eine Spannung U induziert E j H s E U = E ds=µ 0 µ A dh dt µ0: Permeabilität imvakuum µ : relative Permeabilität FOLIE 8

9 Stromdichte J 1. Maxwell sche Gleichung rot H J Magnet. Feldstärke H Ohm sches Gesetz J E B H Kopplungsstärke frequenzabhängig Elektr. Feldstärke E 2. Maxwell sche Gleichung rot E B t Magnet. Induktion B Bild Elektromagnetische Wirkungszusammenhänge FOLIE 9

10 Elemente der Elektrodynamik Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Feldern Elektrisch Magnetisch Coulomb sches Gesetz F= Q Q a 2 r B= µ I d I a 0 R r 4 R 2 Biot-Savat sches Gesetz Gauss sches Gesetz D d S=Q enc H d I =I enc Ampere sches Gesetz Kraftgesetze F=Q E F=Q u B Quellenterm dq Q u= I d I Feldintensität E= U l V /m H = I l A/m Flußdichte D= S C /m2 B= S Wb/m2 Zusammenhang zw. Feldern D= E B=µ H Potentiale (Faraday sches Gesetz) E= U H = U m J =0 U = L d l 4 r A= µ I d I 4 R Flüsse = D d S = B d S =Q=C U I =C du dt =L I U =L di dt Energiedichte w E = 1 2 D E w m= 1 2 B H Poisson Gleichung 2 U = V 2 A= µj FOLIE 10

11 MAXWELL-GLEICHUNGEN Geschichtlicher Hintergrund Die grundlegenden Säulen der Elektrodynamik bilden das elektrische (E- Feld), das magnetische Feld (H-Feld) und das Prinzip der Induktion. James Clark Maxwell ( ) J.C. Maxwell legte die erste geschlossene theoretische Beschreibung aller elektrischen und magnetischen Phänomene ( Treatise on electricity and magnetism ) vor und sagte auch die Existenz von elektromagnetischen Wellen voraus. Heinrich Hertz gelang 1888 der experimentelle Nachweis dieser. Heinrich Hertz ( ) FOLIE 11

12 Maxwell sche Gleichungen Verallgemeinerte Maxwell-Gleichungen Differentielle Form D= v B=0 E= B t H =J D t Integrale Form S D d S= dv V B d S=0 S E d l= L t S L B d S H d l= J D t d S S Gauss scher Satz Nichtexistenz magnetischer Monopole Faraday sches Gesetz Ampere sches Gesetz Zeitharmonische Maxwell-Gleichungen Differentielle Form Integrale Form D S = VS D S d S = VS dv Gauss scher Satz B S =0 B S d S =0 Nichtexistenz magnetischer Monopole E S = j B S E S dl= j B S d S Faraday sches Gesetz H S =J S j D S H S dl= J S j D S d S Ampere sches Gesetz FOLIE 12

13 Elektromagnetische Wellengleichung 2 x E= c 2 t 2 E 2 x H = c 2 t 2 H Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den Maxwell schen Gleichungen: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für harmonisch (sinusförmig) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle (s. Bild) c= 1 µ x E = E 0 cos (-βz) a x z y H = H 0 cos (-βz) a y Bild: Ausbreitung einer ebenen elektromagnetischen Welle im Vakuum (vektorielle Darstellung) FOLIE 13

14 Mathematischer Exkurs Periodische Schwingungen in reeller und komplexer Darstellung A t =A 0 cos t Überführung von sin in cos: cos =sin / 2 Komplexe Zahlen: z:= x + j y imaginäre Einheit j: j 2 = -1 (j in der Elektrotechnik, sonst i) Realteil Re(z) := x Imaginärteil Im(z):=y Darstellungformen komplexer Zahlen: kartesische Darstellung: Polarkoordinaten: Eulergleichung/Zeigerdarstellung : z= x j y z=r cos jsin z:=re i mit e i =1 j j 2! 2 j 3! 3 j 4 4!... j n n! Betrag: z =r= x 2 y 2 Argument: =tan 1 y x FOLIE 14

15 Mathematischer Exkurs Rechenregeln für komplexe Zahlen Addition z 1 z 2 = x 1 x 2 j y 1 y 2 Subtraktion z 1 z 2 = x 1 x 2 j y 1 y 2 Multiplikation z 1 z 2 =r 1 r 2 e j 1 2 Division z 1 z 2 = r 1 r 2 e j 1 2 Wurzel z = r e 0,5 j konjugiert komplexe z * =x jy=r e j FOLIE 15

16 Mathematischer Exkurs Phasoren Beispiel: A= A 0 cos t x a y =Re A 0 e j x a y e j t A S = A 0 e j x a y Komplexe Darstellung einer (co)sinusförmigen zeitabhängigen Funktion Phasoren sind Skalare oder Vektoren A t = A 0 cos t = t A 0 e j = A 0 e j e j t =A s e j t A t = Re A S e j t = A 0 cos t A = Re A e j t Differentiation Integration A t = t Re A S e j t = Re j A S e j t A t j A S A d t A S j FOLIE 16

17 Allgemeine Lösung der Wellengleichung Wellengeschwindigkeit u u= f = 2 1-dimensionale Wellengleichung: Allgemeine Lösung: 2 E t 2 u2 2 E z 2 =0 E x,t = f x ut g z ut Harmonisches E-Feld (Zeitabhängigkeit e jωt) d 2 E S d z 2 2 E S =0 Es folgt die allgemeine Lösung E S = Ae j t z j t z B e FOLIE 17

18 Ausbreitung EM-Wellen Ausbreitungsmedien Vakuum κ = 0 ε = ε 0 µ = µ 0 Verlustloses Dielektrikum Leitfähigkeit Permittivität Permeabilität v k << ω ε κ = 0 ε = εr ε 0 µ = µ r µ 0 Verlustbehaftetes Dielektrikum κ 0 ε = εr ε 0 µ = µ r µ 0 Perfekter Leiter κ ε = ε 0 µ = µ r µ 0 v κ >> ω ε LEMMA: Herleitung der Ausbreitungsgleichung für eine ebene EM-Welle in einem linearen, isotropen, verlustbehafteten aber ladungsfreien Medium ε 0 = * F/m µ 0 = 12.6 * 10-7 H/m FOLIE 18

19 Ausbreitung EM-Wellen Helmholtz Gleichungen (vektorielle Form) 2 E S 2 E S =0 2 H S 2 H S =0 Ausbreitungskonstante = j Dämpfungskonstante = 2 [ 1 [ ]2] 1 Phasenverschiebungskonstante = 2 [ 1 [ ]2] 1 FOLIE 19

20 Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle im verlustbehafteten Medium Betrachtung des E-Feldes bei Ausbreitung in z-richtung (kartesische Koordinaten) E S =E XS z a x E 0 = 0 (keine zurücklaufende Welle) Einführung des Zeitfaktor e jωt E XS z =E 0 e z E 0 e z E z,t =Re[ E XS z e j t a x ]=Re E 0 e z e j t z a x E z,t =E 0 e z cos t z a x FOLIE 20

21 Ausbreitung EM-Wellen Analog gilt für das H-Feld: H 0 = E 0 H z,t =H 0 e z cos t z a y wobei η die intrinsische Impedanz (Ω) des Mediums bezeichnet: = j µ j = e j mit = µ/ [ 1 2 ]1/ 4 tan 2 = I ds = jωεe s H z,t = E 0 e z cos t z a y I s = σe s Bild: Vektoren Verschiebungsstrom E- und H-Feld sind nicht in Phase. Daraus resultiert ein Verschiebungsstrom J s J S J ds = E S j E S = =tan FOLIE 21

22 Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle im Vakuum E- und H-Feld schwingen in Phase =0 = 0 µ=µ 0 =0 y x E = E 0 cos (-βz) a x H = H 0 cos (-βz) a y z = µ 0 = c u= 1 =c 0 µ 0 0 = µ 0 =120 =377 Ohm 0 (3 * 10-8 m/s) FOLIE 22

23 Ausbreitung EM-Wellen Ebene Welle in einem verlustlosen Dielektrikum E- und H-Feld schwingen in Phase x bei t = 0 bei t = Δt Δt z 0 = 0 r µ=µ 0 µ r oder =0 = µ v= Bild: Ebenes E-Feld E X bei Ausbreitung in halbunendlichem verlustbehaftetem Medium 1 Np = 20 log_10e = db = µ FOLIE 23

24 Ausbreitung EM-Wellen E 0 0,37 E 0 x z Ebene Welle in guten Leitern = 0 µ=µ 0 µ r oder = = µ 2 = f µ u= = 2 µ δ = µ e j45 E-Feld eilt H-Feld um 45 voraus E z,t =E 0 e z cos t z a x H z, t = E 0 µ e z cos t z a y Abschwächung der Amplitude mit Faktor e -α E 0 e =E 0 e 1 Penetrationstiefe = 1 FOLIE 24

25 Leistung und Poynting Vektor Dissipation elektromagnetischer Strahlung (Poynting-Vektor) Power out Die in einem beliebigen Medium dissipierte Mikrowellenleistung kann durch den Poynting Vektor P [W/m 2 ] aus dem Kreuzprodukt P =E x H Stored electrical energy Power in Ohmic losses Stored magnetic energy berechnet werden. Praktisch relevant ist die zeitliche Mittelung der Leistung P =lim T T P da dt T P = E 2 V bzw. die pro Zeit dissipierte Wärmestromdichte q=2 f E 2 bei zusätzlich frei beweglichen Ladungsträgern gilt q=2 f 2 E 2 FOLIE 25

26 Wellen an Grenzflächen Reflexion einer ebenen Welle bei senkrechtem Einfall - ebene Welle: E is, E rs, E ts, analog H-Feld - senkrechter Einfall an der Grenze zwischen zwei Medien (z=0) - konstitutive Parameter: (κ, µ, ε) i Reflexionskoeffizient: medium 1 x medium 2 E E i t E = ro = 2 1 E io 2 1 E ro = E io H i incident wave a k H t a k transmitted wave Transmissionskoeffizient: a k E r H r reflected wave y Z = 0 z T = E to E io = E to =T E io 1 =T FOLIE 26

27 Wellen an Grenzflächen Reflexion einer ebenen Welle bei senkrechtem Einfall κ x 1 =0 κ 2 = 2E i0 (A) Stehende Welle bei Reflexion an einem perfekten Leiter -2E i0-3λ/2 -λ -λ/2 0 z κ x 1 =0 κ 2 =0 2E i0 (1+Γ) (B) Stehende Welle bei Reflexion an der Grenzfläche zwischen zwei verlustlosen Medien 2E i0 (1-Γ) -3λ/4 -λ/2 -λ/4 0 z FOLIE 27

28 Literatur [1] Sadiku, M.N.O. Elements of Electromagentics, 3 rd Ed., Oxford University Press 2001 FOLIE 28