Anforderungen, Themenliste und Literatur zum Berufsbezogenen Fachseminar Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik

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1 Anforderungen, Themenliste und Literatur zum Berufsbezogenen Fachseminar Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik Modultitel: Exemplarisches aus der Angewandten Mathematik Dozent: Dr. Thorsten Rohwedder Modulzugehörigkeit: Lineare Algebra II (Modul 4) Voraussetzungen: Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II, Analysis I Zusammenfassung: Eine Vielzahl angewandter Probleme lässt sich mit Hilfe einer geeigneten mathematischen Modellierung in ein Problem aus einer der vielen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der linearen Algebra, Analysis, Numerik, Zahlentheorie oder Optimierung übersetzen. Das Seminar behandelt exemplarisch einige solche Probleme von ihrer mathematischen Modellierung bis ihrer algorithmischen Behandlung durch grundlegende, in diesem Seminar meist numerische Verfahren und gibt dabei einen Überblick über einige zentrale Fragestellungen und Antworten der Angewandten Mathematik. Kriterien für Leistungsnachweis: Verpflichtende Teilnahme an allen Lehrveranstaltungen regelmäßige Vor- und Nachbereitung Durchführung einer 90-minütigen Seminarsitzung (durch ein bis zwei Studierende) Schriftliche Ausarbeitung (4 Seiten pro Referent, plus Literatur und Abbildungen), die spätestens vier Wochen nach dem Vortrag abzugeben ist und die wesentlichen Gedankengänge Ihres Vortrags, zentrale Sätze und Verweise auf die von Ihnen benutzte Literatur enthält. Ihre Ausarbeitung und/oder Ihre Vortragsfolien machen Sie bitte auf der Moodle-Seite des Kurses den anderen Seminarteilnehmern zugänglich. Hinweise zu den Anforderungen: In diesem Seminar sollen Sie anhand eines Themas aus dem Bereich der Angewandten Mathematik Ihre Kenntnisse der Linearen Algebra und Analysis exemplarisch anhand einer Anwendung vertiefen. Durch selbstständige Literaturrecherche auf der Basis der jeweils gegebenen Literaturvorschläge sollten Sie einerseits ein vertieftes Verständnis Ihres Themas gewonnen 1

2 haben (um z.b. auf Nachfragen im Anschluss an den Vortrag antworten können); andererseits sollen Sie das Thema für eine Sitzung von 90 Minuten adressatengerecht (d.h. für Studierende mit Vorkenntnissen in Linearer Algebra I/II und Analysis I) aufbereiten. Zum einen wirken bunte Bilder aus Ihrer jeweiligen Anwendung zum Einstieg oft motivierend; zum anderen sollte im Zentrum des Vortrages aber der mathematische Kern stehen, der hinter der von Ihnen vorgestellten Anwendung verborgen ist. Als grobe Daumenregel sollte das folgende dienen: Die Vorstellung Ihrer Anwendung und ihrer Mathematisierung sollte höchstens 50 %, der rein mathematische Teil (Analyse/Behandlung des Problems auf mathematischer Ebene) mindestens 50 % des Vortrags ausmachen. Bewertet wird auch die Art der Präsentation, z. B. sinnvolle Vortragstechnik und der sinnvolle Einsatz von Medien. Berücksichtigen Sie die üblichen Kriterien wissenschaftlichen Arbeitens, z. B. Quellenangaben, Bildnachweise, Unterscheiden zwischen eigener und fremder Meinung,... Etwa eine Woche vor dem Vortrag (z.b. im Anschluss an die vorangehende Seminarsitzung) sprechen Sie bitte Ihre grobe Planung des Vortrags mit mir ab. Wenn Ihnen etwas unklar sein sollte, oder Sie Fragen zum Vortrag haben, fragen Sie bitte! Hinweise zur Literatur: Zu den einzelnen Themen sind jeweils Literaturvorschläge angegeben, die Ihnen als Grundlage für den Vorschlag dienen soll. Selbstverständlich ist darüber hinausgehende Recherche erlaubt bzw. sogar gewollt. Die angegebene Literatur finden Sie in der UB (wenn nichts anderes angegeben ist), online (im HU-Netz, wenn angegeben, oder per Google), oder bekommen Sie direkt bei mir bzw. auf der Moodle-Seite des Kurses. Wenn Sie etwas nicht finden, fragen Sie bitte! Einige Themen verweisen auch auf Grundliteratur zur Numerik; gemeint sind z.b. diese Bücher: Grundlagen der Numerik W. Dahmen, A. Reusken, Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer, 2006 (im HU-Netz frei!). P. Deuflhard, A. Hohmann, Numerische Mathematik 1, de Gruyter, 2008 (im HU-Netz frei!). R.W. Freund, R.H.W. Hoppe (Hrsg.): Stoer/Burlisch, Numerische Mathematik I + II, Springer, 2007 (im HU-Netz frei!). M. Hanke-Bourgeois, Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Vieweg und Teubner, 2009 (im HU-Netz frei!). E. Süli, D. Maers: An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge Univ. Press, 2003 (im HU- Netz frei!). 2

3 1. Lineare Ausgleichsprobleme und Gleichungssysteme Computertomographie (3 Sitzungen) (1A) Von der Messung zur Normalengleichung Modellierung des Problems als lineares Ausgleichsproblem ( Least Squares, Hochbruck/Sauter) Ausgleichsprobleme und Normalengleichung, geometrische Deutung kurzer Ausblick: Möglichkeiten zur Lösung der Normalengleichung über Matrixfaktorisierungen (Choleski-Zwerlegung, QR-Faktorisierung, Singulärwertzerlegung, s. z.b. Demmel) M. Hochbruck, J. M. Sauter: Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie, Math. Semesterber. 49 (2002), No. 1, S Zum linearen Ausgleichsproblem: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben. J.W. Demmel: Applied numerical linear algebra, SIAM, (1B) Lösung der Normalengleichung Einfache Verfahren für symmetrische LGS Warum iterative Löser statt Gauß-Algorithmus? (Aufwandsbetrachtung) Gauss-Seidel-Verfahren, SOR-Verfahren Vorstellung der Verfahren, Konvergenzbeweis Kacmarz-Methode zur Lösung von LGS (Hackbusch), Konvergenz; Numerische Ergebnisse (Hochbruck/Sauter) Zu Gauss-Seidel-Verfahren, SOR-Verfahren: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben. W. Hackbusch, Iterative Lösung schwachbesetzer großer Gleichungssysteme, Teubner, M. Hochbruck, J. M. Sauter: Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie, Math. Semesterber. 49 (2002), No. 1, S (1C) Lösung der Normalengleichung Verfahren der konjugierten Gradienten für große, symmetrische Matrizen Vorstellung des cg-verfahrens Terminierung nach n Schritten cg als iteratives Verfahren Grundliteratur zur Numerik, insb. Hanke-Burgeois, Stoer/Burlisch II, Dahmen/Reusken W. Hackbusch, Iterative Lösung schwachbesetzer großer Gleichungssysteme, Teubner, 1991.

4 2. Berechnung von Eigenwerten Der PageRank-Algorithmus von Google (1 Sitzung) Von Page-Rank-Problem zur Eigenwertgleichung (Elden, Page) Warum nicht über das charakteristische Polynom? (Aufwandsbetrachtung) Vektoriteration zur Berechnung des größten Eigenwertes Konvergenz der Vektoriteration, Konvergenzgeschwindigkeit Verbesserungen der Vektoriteration (Shift, Inverse Iteration) L. Elden: Matrix Methods in Data Mining an Pattern Recognition, SIAM, 2007 (bei T. Rohwedder). Konvergenzbeweis der Vektoriteration: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.b. Hanke- Bourgeous, Deuflhard/Hohmann. L. Page et al.: The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web. Technical Report. Stanford InfoLab, 1999 (bei T. Rohwedder). C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz frei erhältlich!).

5 3. Singulärwertzerlegung (SVD) von Matrizen Bildkompression, maschinelle Erkennung handgeschriebener Texte, usw. (2 Sitzungen) Die Singulärwertzerlegung Existenz und Eigenschaften Abgeschnittene SVDs zur Matrixapproximation, Anwendung Bildkompression (z.b. in Demmel, S. 114ff.) Beweis der Bestapproximationseigenschaft (z.b. Elden) Anwendung zur Erkennung handgeschriebener Ziffern (Elden) Anwendungen: Hauptkomponentenanalyse (PCA), Text Mining, Schlüsselwortextraktion (Elden, Kap. 6, 11 und 13) Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.b. Deufhard/Hohmann, Dahmen/Reusken L. Elden: Matrix Methods in Data Mining an Pattern Recognition, SIAM, 2007 (bei T. Rohwedder). J.W. Demmel: Applied numerical linear algebra, SIAM, 1997.

6 4. Newton-Verfahren und Iterationen im Komplexen Erzeugung von Fraktalen (1 Sitzung) Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen auf R und R n Konvergenzverhalten, lokale quadratische Konvergenz des Newtonverfahren (Dahmen/Reusken), Probleme Newton-Verfahren Anwendung auf komplexe Polynome, Newton-Fraktale Erzeugung von Mandelbrotmengen (Ausblick): Dort benutzte Iterationstypen Verfahren und Konvergenz: Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.b. Hanke-Bourgeous, Dahmen/Reusken Anwendung auf komplexe Polynome: z.b. Bericht zum Schülerprojekt Newton-Fraktale an der HU Berlin Zu Newton-Fraktalen und Mandelbrotmengen gibt es umfangreiche Darstellung im WWW (auch: Visualisierungen auf YouTube)

7 5. Reed-Solomon-Codes Fehlerkorrektur in Daten (1 Sitzung, Absprache mit Thema 6!) Primkörper, kleiner Satz von Fermat Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes Codierung und Decodierung mit euklidischem Algorithmus M. und B. Bossert - Mathematik der digitalen Medien, Kapitel 5, VDE, 2010 (bei T. Rohwedder) C.K.P Clarke, R&D White Paper, Reed-Solomon error correction, WHP 031, July Online erhältlich unter S. S. Adams, Introduction to algebraic coding theory. Skript der Cornell University, Online erhältlich unter web3360/eccbook2007.pdf Netzrecherche

8 6. Modulares Potenzieren Der RSA-Algorithmus in der Kryptographie (1 Sitzung, Absprache mit Thema 5!) Modulares Potenzieren, Satz von Euler-Fermat, Beweis Erklärung des RSA-Verfahrens Warum ist Verschlüsseln mit RSA einfach und Entschlüsseln schwer? (Erzeugung großer Primzahlen, Primzahltests) mögliche Angriffspunkte C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz frei zugänglich!). S. Müller-Stach, J. Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie Ein moderner Zugang zu klassischen Themen, Springer, (im HU-Netz frei zugänglich!) Netzrecherche

9 7. Simplexalgorithmus und Lineare Programme Optimierung von Produktionsprozessen (1 Sitzung) Anwendungsbeispiele (z.b. einführendes Portfoliobeispiel aus Gill/Murray/Wright 7.2.1, Beispiele aus dem Originalbuch von G.B. Dantzig), konkretes kleines Beispiel für Algorithmus Lineare Programme Der Simplex-Algorithmus Stoer/Burlisch: Numerische Mathematik 1 (s. Liste oben) P. Gill, W. Murray, M.H. Wright: Numerical linear algebra and optimization, Addison-Wesley, G. B. Dantzig: Lineare Programmierung und Erweiterungen, P. Ciarlet, Introduction to numerical linear algebra and optimization, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 1989.

10 8. Das Benford sche Gesetz Prüfung von Daten (1 Sitzung) Vorstellung des Benford schen Gesetzes Herleitung der Verteilung aus Skaleninvarianz (z.b. Humenberger) andere Eigenschaften der Benford schen Verteilung Anwendungen zur Datenprüfung (im Netz!) H. Humenberger: Eine elementarmathematische Begründung des Benford-Gesetzes, Didaktikhefte der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft 41 (2009), N. Hüngerbühler: Benfords Gesetz über führende Ziffern: Wie die Mathematik Steuersündern das Fürchten lehrt, EducETH, A. Berger: A basic theory of Benford s Law, Probability Surveys Vol. 8 (2011) S G. Brähler, M. Bensmann, A.-L. Emke: Der Einsatz mathematisch-statistischer Methoden in der digitalen Betriebsprüfung, Ilmenauer Schriften zur Betriebswirtschaftslehre, 4/2010. (Alle angegebene Literatur ist online frei verfügbar.)

11 9. Fourier-Transformation Digitalisierung akustischer Signale, MP3 (1 Sitzung) Fourier-Transformation für Vektoren im R n (Allgemeine Darstellung für Funktionen nicht nötig!) Erklärung von Orts- und Frequenzraum am Beispiel akustischer Daten Nyquist-Frequenz (Herleitung), verlustfreie Digitalisierung, Bedeutung des Abtasttheorems Ausblick: Grobe Funktionsweise der MP3-Kompression C. Rousseau, Y. Saint-Aubin: Mathematik und Technologie. Springer Spektrum, 2008 (im HU-Netz frei erhältlich!). Dahmen/Reusken, Hanke-Bourgeois (s. Literatur oben). T. Huckle, S. Schneider, Numerische Methoden Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker, Springer 2006 (im HU-Netz frei zugänglich). Zusammenfassung zu MP3:

12 10. Diskrete Optimierung Das Travelling Salesman -Problem Grundbegriffe der Graphentheorie, das Problem, seine Komplexität und seine Anwendungen Vorstellung heuristischer Verfahren, Abschätzungen (z.b. Greedy-Algorithmus, Nächster Nachbar, Spanning Tree, Christofides,...), Aufwandswabschätzungen Ausblick: Deterministische Algorithmen, P = NP und Nichtapproximierbarkeit M. Grötschel, Schnelle Rundreisen: Das Travelling-Salesman-Problem. In: Hußmann, Lutz-Westphal (Hrsg.): Kombinatorische Optimierung erleben. Vieweg, B. Korte, J. Vygen, Kombinatorische Optimierung. Theorie und Algorithmen. Springer, (Im HU-Netz verfügbar!) Website zum TSP von Bill Cook, Geogia Tech, Atlanta:

13 11. Gewöhnliche Differentialgleichungen Simulation dynamischer Prozesse (1 Sitzung) Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen (Einleitung Deuflhard/Bornemann), z.b. Modellierung chemischer Reaktionen Explizites und implizites Euler-Verfahren, Konvergenz für kleine Schrittweiten h Ausblick: Verfahren höherer Ordnung (Runge-Kutta) Eventuell weitere Anwendungen, z.b. Räuber-Beute-Modell, Scrapie-Krankheit (s. auch Deuflhard/Bornemann) Deuflhard, Bornemann, Numerische Mathematik 2 - Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter, Grundliteratur zur Numerik, s. Liste oben, z.b. Hanke-Bourgeois, Stoer/Burlisch, Dahmen/Reusken. K. Velten, Mathematical Modeling and Simulation, Wiley-VCH, 2009.

14 12. Finite Elemente Modellierung komplexer physikalischer Phänomene in den Ingenieurswissenschaften (1 Sitzung) Partielle Differentialgleichungen (einfache Prototypen!) und deren schwache Formulierung Galerkin-Ansatz Finite-Element-Räume und Matrixformulierung Anwendungsbeispiele E. Süli/D. Maers, Hanke-Bourgeous (s. Literatur oben) Anwendungen: Dahmen/Reusken, Kap (Simulation der Strömung in einer Blutpumpe) und (Strömung an einem Flugzeugflügel), illustrative Bilder zu Finite-Element-Modellierungen findet man im WWW.