MLAE1 Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure 1

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1 MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Christoph Kirsch 8 Dezember 5 Inhaltsverzeichnis Überblick Grundlagen Mengenlehre Zahlen 5 Zahlenmengen und Operationen 5 Funktionen 6 4 Der Körper (R, +, ) 7 4 Auflösen von linearen Gleichungen 5 Der Vektorraum (R n, +, ) 6 Matrizen 7 Lineare Gleichungssysteme 6 Einführung 6 Allgemeine Form und Matrixform 7 Lineare Gleichungssysteme in Zeilenstufenform 8 4 Gausssches Eliminationsverfahren 5 5 Zusammenfassung: Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems 4 6 Gauss-Jordan-Algorithmus und inverse Matrix 4 Vektorräume und lineare Abbildungen 5 Vektorräume, Basis, Dimension 5 Lineare Abbildungen, Darstellungsmatrizen 68 Überblick In diesem ersten Teil einer zweisemestrigen Vorlesung über Lineare Algebra für Ingenieure sollen Sie das Rechnen mit Vektoren, Matrizen und komplexen Zahlen sowie Grundlagen der analytischen Geometrie erlernen

2 GRUNDLAGEN Zuerst betrachten wir die bekannte Addition und Multiplikation von reellen Zahlen und stellen fest, dass die Menge R (der reellen Zahlen) zusammen mit diesen Verknüpfungen einen Körper bildet Durch Einführung von Vektoren erhalten wir den Vektorraum R n, der sich für n, bequem veranschaulichen lässt Danach führen wir Matrizen als rechteckige Zahlenschemen ein Eine Matrix kann mit einem Vektor multipliziert werden, was einen neuen Vektor ergibt Dies führt auf lineare Gleichungssysteme, für die wir einen direkten Lösungsalgorithmus (das Gausssche Eliminationsverfahren) kennen lernen Nach dieser Einführung untersuchen wir algebraische Strukturen wie Gruppen, Körper oder Vektorräume allgemeiner Dabei werden auch die komplexen Zahlen eingeführt, die u a bei der Lösung von quadratischen Gleichungen eine Rolle spielen Wir lernen den Begriff der Basis eines Vektorraums kennen und überzeugen uns davon, dass sich lineare Abbildungen auf Vektorräumen mit Hilfe von Matrizen darstellen lassen Diese allgemeineren Betrachtungen finden Anwendung in der analytischen Geometrie, wo Methoden aus der linearen Algebra verwendet werden, um z B Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum R zu beschreiben Die in dieser Vorlesung besprochenen Inhalte sollten in Ihrer Vorlesung PHEMS direkte Anwendung finden Grundlagen Mengenlehre Definition (nach Georg Cantor, 895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen Die Objekte einer Menge heissen Elemente Bemerkungen: Für ein Element x einer Menge M schreiben wir x M und sagen x ist Element von M Weil die in einer Menge zusammengefassten Objekte gemäss Def wohlunterschieden sein müssen, kann eine Menge nicht zwei gleiche Elemente enthalten Definition (Teilmenge) Eine Menge A heisst Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist Bemerkungen: Wir schreiben A B, wenn A eine Teilmenge von B ist Wir werden Mengen immer als Teilmengen einer Grundmenge G (eines Universums) betrachten G ist eine Menge aus allen in einem bestimmten Zusammenhang betrachteten Objekten Alle in diesem Zusammenhang betrachteten Mengen sind dann Teilmengen von G

3 GRUNDLAGEN Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M Beachten Sie aber, dass immer noch x G gelten muss (das Universum kann nicht verlassen werden)! Beispiele: G: Menge aller Früchte, B : Menge aller Apfelfrüchte, dann gilt für A : {Apfel, Birne, Quitte}: A B Es gelten auch die Aussagen Apfel A, Birne B, Vogelbeere B, Vogelbeere A Insbesondere gilt A B, denn wir haben ein Element von B gefunden, das kein Element von A ist G: Menge aller Musikinstrumente, Ω : Menge aller Streichinstrumente, dann gilt M : {Violine, Viola, Violoncello, Kontrabass} Ω Es gilt {Violine, Viola} M, Erhu Ω, Erhu M, Querflöte Ω Im Beispiel ist der Ausdruck Violine B unzulässig, weil die Violine kein Element der dort betrachteten Grundmenge aller Früchte ist Die Aussage Banane B ist hingegen zulässig, denn die Banane ist eine Frucht 4 {Violine, Violine, Kontrabass} ist keine Menge, weil die beiden Objekte Violine nicht unterscheidbar sind Dagegen ist {Violine, {Violine}, Kontrabass} eine Menge, denn das Element Violine ist verschieden von der Menge mit dem Element Violine 5 Die leere Menge, oder {}, ist eine Menge, die keine Elemente enthält In diesen Beispielen haben wir bereits zwei Darstellungsformen von Mengen kennen gelernt: die aufzählende Form, wie z B A {Apfel, Birne, Quitte} Hier werden die Elemente einer Menge explizit aufgezählt, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt die beschreibende Form, wie z B Ω ist die Menge aller Streichinstrumente Hier werden die Elemente einer Menge über ihre Eigenschaften beschrieben Formal schreiben wir auch M {x G x hat die Eigenschaft E}, d h M enthält sämtliche Elemente der Grundmenge G, die die Eigenschaft E haben Zum Beispiel lässt sich die Menge aller Streichinstrumente im Universum G aller Musikinstrumente schreiben als Ω {x G x ist ein Streichinstrument} Für die Definition der folgenden Mengenoperationen verwenden wir die folgenden Symbole aus der Aussagenlogik (s MAE): : Konjunktion (UND) : Disjunktion (ODER)

4 GRUNDLAGEN 4 Definition (Mengenoperationen) Seien A und B Mengen Dann definieren wir die folgenden Mengen über ihre Eigenschaften: Komplement von A: A c : {x G x A}, Schnittmenge (Durchschnitt) von A und B: A B : {x G x A x B}, Vereinigungsmenge (Vereinigung) von A und B: A B : {x G x A x B}, Differenz von A und B: A \ B : {x G x A x B} A B c Bemerkung: Mengenoperationen lassen sich mit Hilfe von Venn-Diagrammen (nach J Venn, 84 9) grafisch darstellen Definition 4 (Mengenprodukt) Für zwei Mengen A und B ist das Mengenprodukt definiert durch die Menge Bemerkungen: A B : {(a, b) a A, b B} () (a, b) bezeichnet ein geordnetes Paar Hier ist die Reihenfolge der Elemente wesentlich, und es gilt das Paaraxiom (G Peano, 897) (a, b) (c, d) a c b d () ( ist das Bikonditional aus der Aussagenlogik ( genau dann, wenn )) Die Definition des Mengenprodukts lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Mengen verallgemeinern: Für ein n N seien M, M,, M n Mengen, dann ist das Mengenprodukt gegeben durch M M M n : {(x, x,, x n ) x M, x M,, x n M n } Hierbei bezeichnet (x, x,, x n ) ein geordnetes n-tupel Für M M M n M schreiben wir auch Beispiele: M n : M M M () }{{} n-mal Das Mengenprodukt der dreielementigen Mengen A : {,, } und B : {x, y, z} ist gegeben durch die neunelementige Menge A B {(, x), (, y), (, z), (, x), (, y), (, z), (, x), (, y), (, z)} Später werden wir den Vektorraum R n antreffen, ein n-faches Mengenprodukt der Menge der reellen Zahlen Die Elemente von R n (geordnete n-tupel) werden (n-dimensionale) Vektoren genannt Ihre Einträge kann man als Koordinaten von Punkten in einem n-dimensionalen Raum auffassen

5 GRUNDLAGEN 5 Zahlen Was sind und was sollen die Zahlen? [ ] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen (Richard Dedekind, 89) Zahlenmengen und Operationen Die Menge R der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden Wichtige Teilmengen von R sind: die natürlichen Zahlen N : {,,, }, N : {,,, }, die ganzen Zahlen Z : {,,,,,, }, die rationalen Zahlen Q : { } m n m, n Z, n Es gibt auch Erweiterungen der reellen Zahlen, z B die komplexen Zahlen C : {a + ib a, b R}, mit der imaginären Einheit i C \ R, i Es gilt N Z Q R C Diese Zahlenmengen enthalten im Unterschied zu den in Kap betrachteten Mengen unendlich viele Elemente Bemerkung: Die fünf oben erwähnten Zahlenmengen N, Z, Q, R, C sind alle voneinander verschieden Dies kann man z B zeigen, indem man Elemente aus den paarweisen Differenzen angibt So gelten z B Z \ N, Q \ Z, und oben hatten wir bereits i C \ R gesehen Beispiele für sog irrationale Zahlen (Elemente von R \ Q) sind 44 (Irrationalität bewiesen von Euklid, Jh v Chr), e 78 (Irrationalität bewiesen von L Euler, 77), π 4 (Irrationalität bewiesen von J H Lambert, 76) Auf den Zahlen können wir die Verknüpfungen Addition und Multiplikation mit den bekannten Rechenregeln einführen Die rationalen und die reellen Zahlen bilden zusammen mit diesen Verknüpfungen jeweils einen Körper, wie wir später in dieser Vorlesung sehen werden

6 GRUNDLAGEN 6 Funktionen Definition 5 (Funktion, Abbildung) Eine Funktion (oder Abbildung) ordnet jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge Z zu: f : D Z, x y f(x) Bemerkungen: Wir nennen D die Definitionsmenge und Z die Zielmenge der Funktion f (manchmal schreibt man auch D f und Z f ) Das Element x D heisst Argument der Funktion oder unabhängige Variable, das Element y f(x) Z heisst Funktionswert oder abhängige Variable Wir sagen auch, x werde durch f auf y abgebildet Die Menge G f : {(x, f(x)) x D} D Z heisst der Graph der Funktion f Beispiele: D : {,, }, Z : {a, b, c}, f : D Z definiert durch f() : b, f() : c, f() : b, ist eine Funktion Beachten Sie, dass a Z kein Funktionswert von f ist und dass b Z der Funktionswert von mehreren Elementen aus D ist: f() f() b Der Graph von f ist gegeben durch G f {(, b), (, c), (, b)} D : {,, }, Z : {a, b, c}, f : D Z definiert durch f() : b, f() : c, f() : a ist keine Funktion, weil dem Element D kein Element in Z zugewiesen wird, und weil das Element D mehreren Elementen in Z zugewiesen wird Durch die Abbildungsvorschrift x y x wird eine Funktion f : R R definiert, deren Graph eine Parabel ist Einige Funktionswerte von f sind 4 x 7 π 6 f(x) π (Wertetabelle) f hat bei x eine sog Nullstelle: f() 4 D : {a, b} {,, } {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )}, Z : {x, y, z}, g : D Z definiert durch g(a, ) : x, g(a, ) : x, g(a, ) : z, g(b, ) : y, g(b, ) : z, g(b, ) : x ist eine Funktion, deren Argumente geordnete Paare sind Es ist üblich zu sagen, g sei eine Funktion von zwei Argumenten

7 GRUNDLAGEN 7 Für eine Menge M nennen wir jede Abbildung f : M M M eine innere zweistellige Verknüpfung Beispiele für solche Verknüpfungen sind die Addition und die Multiplikation von Zahlen: 5 (Addition von rationalen Zahlen) + : Q Q Q definiert durch (r, s) r + s ist eine innere zweistellige Verknüpfung Mini-Aufgabe: Diskutieren Sie, ob für zwei beliebige rationale Zahlen r, s Q tatsächlich r + s Q gilt 6 (Multiplikation von reellen Zahlen) : R R R definiert durch (x, y) x y ist eine innere zweistellige Verknüpfung Bemerkung: Bei der Multiplikation mit Buchstaben wird der Punkt oft weggelassen, d h wir schreiben z B xy anstatt x y Bemerkung: Beachten Sie, dass bei Anwendung einer inneren zweistelligen Verknüpfung die Menge M nicht verlassen wird So ist z B das Ergebnis der Addition von zwei natürlichen Zahlen (Elemente von N) wieder eine natürliche Zahl 4 Der Körper (R, +, ) Wir betrachten die Menge R der reellen Zahlen (die Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden) zusammen mit den bekannten Grundrechenarten Addition und Multiplikation Die Addition ist eine innere zweistellige Verknüpfung + : R R R, (x, y) x + y Sie hat die folgenden Eigenschaften: (A) Assoziativität: (x + y) + z x + (y + z), x, y, z R, (A) Existenz des neutralen Elements der Addition (Nullelement), R: x + + x x, x R, (A) Für jedes Element x R existiert das inverse Element der Addition (Gegenzahl), x R, mit x + ( x) ( x) + x, (A4) Kommutativität: x + y y + x, x, y R Die Multiplikation ist eine innere zweistellige Verknüpfung : R R R, (x, y) x y Sie hat die folgenden Eigenschaften: (M) Assoziativität: (x y) z x (y z), x, y, z R, (M) Existenz des neutralen Elements der Multiplikation (Einselement), R: x x x, x R,

8 GRUNDLAGEN 8 (M) Für jedes Element x R \ {} existiert das inverse Element der Multiplikation (Kehrwert), x R \ {}, mit x x x x, (M4) Kommutativität: x y y x, x, y R Im Zusammenspiel der Addition mit der Multiplikation gelten die (D) Distributivgesetze: x, y, z R x (y + z) x y + x z, (x + y) z x z + y z, Wenn eine Menge M mit einer Addition + und einer Multiplikation versehen wird, und wenn diese Verknüpfungen die Eigenschaften (A) (A4), (M) (M4), sowie (D) erfüllen (wobei natürlich überall R durch M ersetzt werden muss), dann nennen wir das Tripel (M, +, ) einen Körper Oft sagen wir auch einfach, M sei ein Körper, und nehmen dabei an, dass es klar ist, mit welchen Verknüpfungen + und die Menge M versehen ist Richard Dedekind schreibt über den Namen Körper (89): Dieser Name soll, ähnlich wie in den Naturwissenschaften, in der Geometrie und in der menschlichen Gesellschaft, auch hier ein System bezeichnen, das eine gewisse Vollständigkeit, Vollkommenheit, Abgeschlossenheit besitzt, wodurch es als ein organisches Ganzes, als eine natürliche Einheit erscheint Bemerkungen: Die neutralen Elemente aus (A) und (M) (Nullelement, Einselement) sind eindeutig bestimmt, d h es gibt keine weitere reelle Zahl mit diesen Eigenschaften Wir zeigen dies hier für das Nullelement R: Sei R ein weiteres Nullelement; es gelten also (A) Dann gilt (4) + (5) Für jedes x R gelten x x +, x R, (4) + x x, x R (5) x (A) x ( + ) (D) x + x, x (A) ( + ) x (D) x + x Wegen der Eindeutigkeit des Nullelements gilt also x x, x R (6)

9 GRUNDLAGEN 9 Die neutralen Elemente, R erfüllen Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, diese Aussage sei falsch, d h es gelte tatsächlich Dann gilt für jedes x R: x (M) x Annahme x (6) Wir können aber ein x R mit x wählen, also ist dies ein Widerspruch! Die Aussage muss also wahr sein Die inversen Elemente aus (A) und (M) (Gegenzahl, Kehrwert) sind eindeutig bestimmt, d h es gibt keine weitere reelle Zahl mit diesen Eigenschaften Mit Hilfe des (eindeutigen) inversen Elements der Addition (Gegenzahl) definieren wir die Subtraktion x y : x + ( y) (A4) ( y) + x, x, y R Mit Hilfe des (eindeutigen) inversen Elements der Multiplikation (Kehrwert) definieren wir die Division x (M4) y : x y y x, x, y R, y Im Fall x erhalten wir d h y Def Division (M) y y, (7) y ist der Kehrwert von y R \ {} Mit der Gegenzahl R des Einselements R erhalten wir x + ( ) x (M) x + ( ) x (D) ( + ( )) x (A) x (6), für alle x R Wegen der Eindeutigkeit der Gegenzahl gilt daher d h ( ) x ist die Gegenzahl von x R x ( ) x, x R, (8) In der folgenden Tabelle geben wir für verschiedene Zahlenmengen (Kap ), versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation, an, welche Körpereigenschaften erfüllt sind und welche nicht M (A) (A) (A) (A4) (M) (M) (M) (M4) (D) N N Z Q R C Gemäss dieser Tabelle sind die Tripel (Q, +, ), (R, +, ) und (C, +, ) Körper, die Tripel (N, +, ), (N, +, ) und (Z, +, ) hingegen nicht Bemerkung: Die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen (Elemente von C) führen wir in MLAE ein

10 GRUNDLAGEN 4 Auflösen von linearen Gleichungen Mit Hilfe der Körpereigenschaften (A) (A4), (M) (M4) und (D) können wir lineare Gleichungen lösen In Ihrer Schulzeit haben Sie schon oft Gleichungen gelöst, aber vielleicht ohne genauer über die dabei verwendeten Rechenregeln nachzudenken Dies wollen wir hier nachholen Seien z B drei reelle Zahlen a, b, c R gegeben, dann können wir die lineare Gleichung (a x) + b c (9) betrachten Wir nennen a, b, c die Koeffizienten der Gleichung und wollen diese nach der Unbekannten x R auflösen Wir betrachten zunächst die linke Seite der Gleichung (9): gemäss der Klammersetzung werden zuerst die reellen Zahlen a und x miteinander multipliziert dies ergibt die (unbekannte) reelle Zahl a x Zu dieser reellen Zahl wird die reelle Zahl b addiert, und das (unbekannte) Ergebnis (a x)+b ist wieder eine reelle Zahl Gesucht sind jetzt Werte von x, so dass diese reelle Zahl gleich c ist Jede derartige Zahl x R ist eine Lösung der Gleichung (9) Die Lösungsmenge der Gleichung (9) enthält sämtliche Lösungen: L {x R x ist Lösung von (9)} {x R (a x) + b c} R Mit der üblichen Konvention Punkt vor Strich können wir die Klammer auf der linken Seite auch weglassen: a x + b bedeutet (a x) + b und nicht etwa a (x + b)! Durch Anwenden der Subtraktion (Addition der Gegenzahl) formen wir die Gleichung (9) um zu a x (A) a x + (A) a x + (b + ( b)) (A) (a x + b) + ( b) (9) Def Subtraktion c + ( b) c b Weil c b für reelle Zahlen b, c wieder eine reelle Zahl ist, genügt es, wenn wir die lineare Gleichung a x b () für gegebene reelle Zahlen a, b R nach x auflösen können (wobei i A die Werte von b in (9) und () verschieden sind!): in einer Lösung von () muss lediglich b durch c b ersetzt werden, um eine Lösung von (9) zu erhalten Beispiel: Die Gleichung x 4 () ist von der Form (9) mit a, b und c 4 (wobei wir den Punkt für die Multiplikation weggelassen haben) Durch Subtraktion von (Addition der Gegenzahl ) auf beiden Seiten bringen wir () zuerst in die Form (): x x + () () Die Gleichung () ist von der Form () mit a und b 5 Sie hat genau eine Lösung, nämlich x 5 Q R Derselbe Wert von x ist natürlich auch die (einzige) Lösung der Gleichung ()

11 GRUNDLAGEN Wir betrachten jetzt die allgemeine Lösung der linearen Gleichung (), d h für beliebig vorgegebene reelle Zahlen a, b R Wir unterscheiden dabei zwei Fälle: a : In diesem Fall hat die Gleichung () genau eine Lösung, die wir durch Division durch a auf beiden Seiten (Multiplikation mit dem Kehrwert von a) bestimmen: x (M) x (M) (a a) x (M) a (a x) () a Def Division b b a a : In diesem Fall lautet die Gleichung (): (6) x b Die Lösungsmenge der Gleichung hängt jetzt vom Wert des Koeffizienten b ab: b : In diesem Fall hat die Gleichung () unendlich viele Lösungen; die Gleichung b ist nämlich erfüllt für jede beliebige reelle Zahl x b : In diesem Fall hat die Gleichung () keine Lösung; es gibt keinen Wert x R, für den die Gleichung b erfüllt ist Wir fassen diese Erkenntnisse im folgenden Satz zusammen: Satz Für gegebene Koeffizienten a, b R ist die Lösungsmenge der linearen Gleichung a x b gegeben durch { b } a, a (genau eine Lösung) L R, a, b (unendlich viele Lösungen), a, b (keine Lösung) () Später werden wir sehen, dass die drei Fälle genau eine Lösung, unendliche viele Lösungen und keine Lösung auch bei linearen Gleichungssystemen wieder auftreten Dazu müssen wir zuerst Vektorräume und Matrizen definieren 5 Der Vektorraum (R n, +, ) Sei (K, +, ) ein Körper (Kap 4) und n N eine natürliche Zahl, dann betrachten wir das n-fache Mengenprodukt K n K K K {(v }{{}, v,, v n ) v K, v K,, v n K} n-mal der geordneten n-tupel von Elementen in K Die Elemente von K n heissen Vektoren (daher auch der Buchstabe v) Versehen wir K n mit den zweistelligen Verknüpfungen Vektoraddition + und

12 GRUNDLAGEN Skalarmultiplikation (nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt, das erst später eingeführt wird!) (die natürlich gewisse Eigenschaften erfüllen müssen), so erhalten wir einen Koordinatenraum der Dimension n Dieser Koordinatenraum ist ein Spezialfall eines Vektorraumes, und seine Elemente heissen Koordinatenvektoren In diesem Kapitel wollen wir uns auf den vermutlich aus der Mittelschule bekannten Fall K R (mit der bekannten Addition und Multiplikation) beschränken Die Vektoren des R (n ) lassen sich besonders leicht grafisch darstellen Für eine natürliche Zahl n N betrachten wir also das Mengenprodukt (Def 4) R n R R R {(v }{{}, v,, v n ) v R, v R,, v n R} n-mal der geordneten n-tupel (Vektoren) von reellen Zahlen In der Regel verwenden wir Spaltenvektoren, d h wir schreiben die Einträge (oder Komponenten) der Vektoren untereinander: v R n v v v v n, v, v,, v n R ( bezeichnet die Implikation/das Konditional aus der Aussagenlogik ( wenn, dann )) Für den i-ten Eintrag des Vektors v schreiben wir manchmal auch (v) i Für zwei Vektoren v, w R n gilt v w v i w i, i {,,, n} v w v w v n w n (4) Beispiel: Im Fall n gilt , aber Auf R n führen wir jetzt zwei Verknüpfungen ein: Die Vektoraddition ist eine innere zweistellige Verknüpfung + : R n R n R n, v + w v + w (v, w) v+w :, also (v+w) i v i + w i, (5) v n + w n für i,,, n Dabei bezeichnen v, v,, v n R die Einträge des Vektors v R n und w, w,, w n R die Einträge des Vektors w R n

13 GRUNDLAGEN Beachten Sie, dass wir auf beiden Seiten von (5) dasselbe Symbol + verwenden; auf der linken Seite haben wir jedoch eine Vektoraddition, hingegen auf der rechten Seite eine Addition reeller Zahlen (Kap 4) Zur Unterscheidung verwenden wir in diesem Kapitel (!) unterschiedliche Farben für die beiden Additionen Die Vektoraddition hat die folgenden Eigenschaften: (V) Assoziativität: (u+v)+w u+(v+w), u, v, w R n, (V) Existenz des neutralen Elements der Vektoraddition (Nullvektor), R n : v+ +v v, v R n, (V) Für jedes Element v R n existiert das inverse Element der Vektoraddition, v R n, mit v+( v) v+v, (V4) Kommutativität: v+w w+v, v, w R n Die Skalarmultiplikation ist eine äussere zweistellige Verknüpfung (d h eines der beiden Argumente kommt von ausserhalb, nämlich in diesem Fall aus R und nicht aus R n ) : R R n R n, (α, v) α v : α v α v α v n, also (α v) i α v i, (6) für i,,, n, wobei v, v,, v n R die Einträge des Vektors v R n bezeichnen Wieder verwenden wir auf beiden Seiten von (6) dasselbe Symbol ; auf der linken Seite haben wir jedoch eine Skalarmultiplikation, hingegen auf der rechten Seite eine Multiplikation reeller Zahlen (Kap 4) Zur Unterscheidung verwenden wir in diesem Kapitel (!) unterschiedliche Farben für die beiden Multiplikationen Wie bei der Multiplikation reeller Zahlen wird auch bei der Skalarmultiplikation der Punkt oft weggelassen, man schreibt also αv anstatt α v Die Skalarmultiplikation hat die folgenden Eigenschaften: (S) Kompatibilität der Skalarmultiplikation und der Multiplikation (auch gemischtes Assoziativgesetz genannt): α (β v) (α β) v, α, β R, v R n, (S) Das neutrale Element der Multiplikation (Einselement) R ist auch das neutrale Element der Skalarmultiplikation: v v, v R n, (S) Distributivität der Skalarmultiplikation bzgl der Vektoraddition: α (v+w) (α v)+(α w), α R, v, w R n, (S4) Distributivität der Skalarmultiplikation bzgl der Addition: (α + β) v (α v)+(β v), α, β R, v R n Das Tripel (R n, +, ) erfüllt also die Eigenschaften (V) (V4) und (S) (S4), und wir nennen es daher einen Vektorraum

14 GRUNDLAGEN 4 Bemerkungen: Im Fall n sind die Vektoren des R reelle Zahlen In diesem Fall sind die Vektoraddition + und die Addition reeller Zahlen + identisch Genauso sind in diesem Fall die Skalarmultiplikation und die Multiplikation reeller Zahlen identisch Daher unterscheiden wir in der Regel nicht zwischen dem Vektorraum (R, +, ) und dem Körper (R, +, ) Im Fall n > sind die folgenden Operationen nicht definiert im Vektorraum (R n, +, ): Die Addition einer Zahl und eines Vektors sowie die Multiplikation von Vektoren Im Fall n lassen sich die Vektoren des R als Ortsvektoren in der euklidischen Ebene darstellen Beachten Sie, dass die Einträge der Vektoren von der Wahl des Koordinatensystems abhängen! Auch die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation lassen sich in diesem Fall grafisch in der Ebene darstellen In der analytischen Geometrie werden wir auf diese Dinge genauer eingehen Zuerst machen wir hier aber mit der Algebra weiter Das neutrale Element aus (V) (Nullvektor) ist eindeutig bestimmt, d h es gibt keinen weiteren Vektor mit dieser Eigenschaft: Sei R ein weiterer Nullvektor; es gelten also (V) Dann gilt (7) + (8) v v+, v R n, (7) +v v, v R n (8) Mit der Aussage (4) über die Gleichheit von Vektoren gilt v + v v + v v n + n (5) v n + n v+ (V) v genau dann, wenn v i + i v i, i {,,, n} Daraus folgt wegen der Eindeutigkeit des Nullelements R: i, i,,, n Die Einträge des Nullvektors R n sind also die Nullelemente R: v v v n (9)

15 GRUNDLAGEN 5 Auf die gleiche Weise berechnen wir die Einträge von v R n für einen gegebenen Vektor v R n : Es gilt v + ( v) v ( v) v + ( v) v ( v) v n + ( v) n (5) v n + ( v) n (V) v+( v) (9) genau dann, wenn v i + ( v) i, i {,,, n} Daraus folgt wegen der Eindeutigkeit der Gegenzahl: ( v) i v i, i,,, n Die Einträge von v R n sind also die Gegenzahlen der Einträge von v R n : v v v v n (8) ( ) v ( ) v ( ) v n (6) ( ) v () Wir definieren die Subtraktion von Vektoren mit Hilfe der Vektoraddition und des inversen Elements der Vektoraddition als v w : v+( w) (V4) ( w)+v, v, w R n Wir definieren die Division eines Vektors durch eine reelle Zahl mit Hilfe der Skalarmultiplikation und des Kehrwerts als v α : α v, α R \ {}, v R n Beispiel: (n ) Es seien α, β und u π 7, v 5, w e 4 R Gesucht seien die Einträge des Vektors x : α (u+β v) w α R Zur Berechnung gehen wir schrittweise vor (wenn Sie die einzelnen Schritte in einer solchen Berechnung verstanden haben, dann müssen Sie natürlich nicht mehr jeden einzelnen Schritt aufschreiben): β v u+β v π (6) (5) ( 5) + ( ) π + 5 ( 7 + ) 6 5 6, π ,

16 GRUNDLAGEN 6 α (u+β v) π (6) ( ) (π + 5 ( ) 7 ) 6 π + 4 6, 4 w α α w e 4 (7) e 4 (6) e 4 4 e 8, 5 w α e 8 () e 8, 6 α (u+β v) w α ( α (u+β v) + w ) α (5) + ( ) e π + + ( ) ( ) π e π e 8 Alternativ können wir auch alle Rechnungen für den i-ten Eintrag machen und am Schluss einsetzen: ( x i α (u+β v) w ) ( ( α (u+β v) + w )) ( (5) (α (u+β v)) α i α i + w ) i α i (6), () α (u+β v) i ( α w ) ( ) (5), (7) α (u i i + (β v) i ) α w (6) α (u i + β v i ) α w (D) i α u i + α β v i α w i, i,, Erst jetzt setzen wir Zahlen ein: i : x αu + αβv w α + ( ) e e, i : x αu + αβv w α π + ( ) ( 5) 4 π + 8, i : x αu + αβv w α 7 + ( ) Wie erwartet erhalten wir also dieselben Einträge wie oben i

17 GRUNDLAGEN 7 6 Matrizen Definition 6 (Matrix) Sei (K, +, ) ein Körper, und seien m, n N natürliche Zahlen Eine (m n)-matrix über K ist eine rechteckige Anordnung (Schema, Tabelle) von Elementen aus K mit m Zeilen und n Spalten Die Menge aller (m n)-matrizen über K bezeichnen wir mit K m n Bemerkungen: Es gilt A K m n A a a a n a a a n, a m a m a mn mit mn Einträgen a, a,, a n,, a m, a m,, a mn K Für den ij-ten Eintrag der Matrix A schreiben wir a ij oder (A) ij Wir werden vor allem den Fall K R (reelle (m n)-matrizen) betrachten Im Fall n erhalten wir (m )-Matrizen Für m sind dies reelle Zahlen, für m > Spaltenvektoren der Länge m Zum Beispiel ist eine reelle ( )-Matrix oder ein Spaltenvektor der Länge (Kap 5) Zwei Matrizen A, B K m n sind gleich, wenn alle ihre Einträge gleich sind: A B a ij b ij, i {,,, m}, j {,,, n} () a b a b a n b n a mn b mn wobei a ij die Einträge der Matrix A bezeichnen und b ij die Einträge der Matrix B, i,,, m, j,,, n Zwei Matrizen mit unterschiedlicher Zeilen- oder Spaltenzahl können niemals gleich sein Beispiel: Es gelten und ( ) ( ) ( ) Auf K m n führen wir jetzt zwei Verknüpfungen ein:

18 GRUNDLAGEN 8 Die Matrizenaddition ist eine innere zweistellige Verknüpfung + : K m n K m n K m n, a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n (A, B) A+B :, a m + b m a m + b m a mn + b mn () also (A+B) ij : a ij + b ij, für i,,, m, j,,, n Dabei bezeichnen die Elemente a ij K die Einträge der Matrix A und die Elemente b ij K die Einträge der Matrix B Auf der rechten Seite wird die Addition + aus dem Körper (K, +, ) verwendet Die Matrizenaddition hat die folgenden Eigenschaften: Assoziativität: (A+B) +C A+ (B+C), A, B, C K m n, Existenz des neutralen Elements der Matrizenaddition (Nullmatrix), K m n : A+ +A A, A K m n, Für jedes Element A K m n existiert das inverse Element der Matrizenaddition, A K m n, mit A+ ( A) ( A) +A, Kommutativität: A+B B+A, A, B K m n Die Skalarmultiplikation (für Matrizen) ist eine äussere zweistellige Verknüpfung : K K m n K m n, α a α a α a n α a α a α a n (α, A) α A :, () α a m α a m α a mn also (α A) ij α a ij, für i,,, m, j,,, n Dabei bezeichnen die Elemente a ij K die Einträge der Matrix A Auf der rechten Seite wird die Multiplikation aus dem Körper (K, +, ) verwendet Die Skalarmultiplikation hat die folgenden Eigenschaften: Kompatibilität der Skalarmultiplikation und der Multiplikation (gemischtes Assoziativgesetz): α (β A) (α β) A, α, β K, A K m n, Das neutrale Element der Multiplikation (Einselement) K ist auch das neutrale Element der Skalarmultiplikation: A A, A K m n, Distributivität der Skalarmultiplikation bzgl der Matrizenaddition: α (A+B) (α A) + (α B), α K, A, B K m n, Distributivität der Skalarmultiplikation bzgl der Addition: (α + β) A (α A) + (β A), α, β K, A K m n

19 GRUNDLAGEN 9 Bemerkungen: Durch einen Vergleich mit Kap 5 stellen wir fest, dass die oben erwähnten Eigenschaften der Matrizenaddition + ähnlich sind wie jene der Vektoraddition, (V) (V4) Genauso sind die oben erwähnten Eigenschaften der Skalarmultiplikation (für Matrizen) ähnlich wie jene der Skalarmultiplikation (für Vektoren), (S) (S4) Daher haben wir hier auch dieselben Symbole verwendet Ausserdem nennen wir daher das Tripel (K m n, +, ) ebenfalls einen Vektorraum Um Verwirrung zu vermeiden, nennen wir seine Elemente aber nicht Vektoren, sondern eben Matrizen Im Fall n sind die (m )-Matrizen in K m Spaltenvektoren der Länge m In diesem Fall ist die Matrizenaddition () identisch mit der Vektoraddition (5), und die Skalarmultiplikation (für Matrizen) () ist identisch mit der Skalarmultiplikation (für Vektoren) (6) Wir unterscheiden daher in der Regel nicht zwischen dem Vektorraum (K m, +, ) der (m )-Matrizen und dem Vektorraum (K m, +, ) der Spaltenvektoren der Länge m (Kap 5) Gilt ausserdem m, so unterscheiden wir nicht zwischen den Vektorräumen (K, +, ), (K, +, ) und dem Körper (K, +, ) Im Fall n > lassen sich (m n)-matrizen nicht wie Vektoren als Pfeile im Raum darstellen Wir verwenden Matrizen jedoch zur Darstellung von sog linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen Solche Abbildungen, z B Spiegelungen, Drehungen und Streckungen, lassen sich geometrisch darstellen Wir berechnen die Einträge der Nullmatrix (neutrales Element der Matrizenaddition) mit Hilfe der Gleichung a + a + a n + n a + a + a n + n a m + m a m + m a mn + mn a a a n n () a a a n + n a m a m a mn m m mn a a a n a a a n A+ A a m a m a mn Sie gilt gemäss () genau dann, wenn a ij + ij a ij, i,,, m, i,,, n Daraus folgt wegen der Eindeutigkeit des Nullelements

20 GRUNDLAGEN K: ij, i,,, m, j,,, n Die Einträge der Nullmatrix K m n sind also die Nullelemente K: (4) Auf die gleiche Weise berechnen wir die Einträge von A K m n für eine gegebene Matrix A K m n : Es gilt a + ( A) a + ( A) a n + ( A) n a + ( A) a + ( A) a n + ( A) n a m + ( A) m a m + ( A) m a mn + ( A) mn a a a n ( A) ( A) ( A) n () a a a n + ( A) ( A) ( A) n a m a m a mn ( A) m ( A) m ( A) mn A+ ( A) genau dann, wenn a ij +( A) ij, i {,,, m}, j {,,, n} Daraus folgt wegen der Eindeutigkeit der Gegenzahl: ( A) ij a ij, i,,, m, j,,, n Die Einträge von A K m n sind also die Gegenzahlen der Einträge von A K m n : a a a n a a a n A (5) a m a m a mn ( ) a ( ) a ( ) a n (8) () ( ) A ( ) a ( ) a ( ) a n ( ) a m ( ) a m ( ) a mn Wir definieren die Subtraktion von Matrizen mit Hilfe der Matrizenaddition und des inversen Elements der Matrizenaddition als A B : A+ ( B) ( B) +A, A, B K m n

21 GRUNDLAGEN Wir definieren die Division einer Matrix durch ein Körperelement mit Hilfe der Skalarmultiplikation (für Matrizen) und des Kehrwerts als A α : α A, α K \ {}, A K m n Beispiel: (K R) Seien α, β 4 und ( e ) ( 5 A, B 7 π 4 7 ) R Wir wollen die Matrix (α A) + B β R berechnen Wir berechnen die Matrix α A ( e ) ( () 7 e ( ) ( ) 7 ( e ) 7 R ) Wir berechnen die Matrix B β (7) β B β B 4 ( 5 7 π 4 (6) ( ( π) 4 4 ) ( ) 4π 4 6 ) R Wir berechnen die Summe ( (α A) + B e ) ( 7 β 4 + 4π ( () + e + 4 ) ( ) 4π + 6 ( e + 4 ) R 7 +4π 9 6 ) Im Kap 5 hatten wir bereits bemerkt, dass wir zwei Vektoren nicht miteinander multiplizieren können Genauso können wir bisher auch zwei Matrizen nicht miteinander multiplizieren Wir führen jetzt eine neue Operation ein, um dies zu ermöglichen Definition 7 (Matrizenmultiplikation) Für l, m, n N ist die Matrizenmultiplikation eine zweistellige Verknüpfung : K l m K m n K l n, (A, B) A B Die Einträge des Matrizenprodukts A B K l n sind dabei definiert als (A B) ik : m a ij b jk, i,,, l, k,,, n, (6) j

22 GRUNDLAGEN wobei a ij K, i,,, l, j,,, m, die Einträge der Matrix A K l m bezeichnen und b jk K, j,,, m, k,,, n, die Einträge der Matrix B K m n Bemerkungen: Wir verwenden in diesem Kapitel (!) drei verschiedene Farben für die Matrizenmultiplikation, die Skalarmultiplikation (für Matrizen) und für die Multiplikation im Körper K Auch der Punkt für die Matrizenmultiplikation wird oft weggelassen, man schreibt also AB anstatt A B Das Matrizenprodukt A B ist genau dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist Die Anzahl der Zeilen von A B ist dann gleich der Anzahl der Zeilen von A, und die Anzahl der Spalten von A B ist gleich der Anzahl der Spalten von B Das Symbol m bezeichnet eine Summe der nachfolgenden Grössen mit j einem Summationsindex j, dessen Wert alle natürlichen Zahlen von bis m annimmt Der Ausdruck in (6) ist daher eine Abkürzung: m a ij b jk (a i b k ) + (a i b k ) + (a i b k ) + + (b im b mk ), j für i,,, l, k,,, n Beispiele: (K R) (l, m n ) Wir betrachten die reellen Matrizen ( ) π A 4 R 5, B 4 R Das Matrizenprodukt A B R ist eine reelle ( )-Matrix Das Produkt B A hingegen ist nicht definiert, denn die Anzahl der Spalten von B ist nicht gleich der Anzahl der Zeilen von A! Wir berechnen exemplarisch zwei Einträge des Matrizenprodukts A B R gemäss Def 7 (6): (A B) (π ) + (( ) ) + ( ) π, ( 4 (A B) ( 5) + ) + ( ) Nachdem wir alle sechs Einträge des Matrizenprodukts A B berechnet haben, erhalten wir ( ) π 5π A B R 4 8

23 GRUNDLAGEN (l, m n ) Wir betrachten die reellen Matrizen A ( ) ( ) R, B 4 R Das Matrizenprodukt A B R ist eine reelle ( )-Matrix: A B ( ) ( ) 4 ( + ( ) 4 + ) ( ) R Das Matrizenprodukt B A ist nicht definiert, denn die Anzahl der Spalten von B ist nicht gleich der Anzahl der Zeilen von A Die Matrizenmultiplikation hat die folgenden Eigenschaften: Assoziativität: (A B) C A (B C), A K l m, B K m n, C K n p Kompatibilität der Matrizenmultiplikation und der Skalarmultiplikation für Matrizen (gemischtes Assoziativgesetz): α (A B) (α A) B, α K, A K l m, B K m n, Distributivität der Matrizenmultiplikation bzgl der Matrizenaddition: A (B+C) (A B) + (A C), A K l m, B, C K m n, (A+B) C (A C) + (B C), A, B K l m, C K m n Im Fall l m n ist das Matrizenprodukt : K n n K n n K n n eine innere zweistellige Verknüpfung, d h das Matrizenprodukt von zwei (sog quadratischen) (n n)-matrizen ist wieder eine (n n)-matrix In diesem Fall gilt zusätzlich die Existenz des neutralen Elements der Matrizenmultiplikation (Einheitsmatrix), I K n n : I A A I A, A K n n Wir berechnen die Einträge der Einheitsmatrix aus den Gleichungen ((I) i a k ) + ((I) i a k ) + + ((I) ii a ik ) + + ((I) in a nk ) (I) ij a jk (I A) ik (A) ik a ik, i, k {,,, n} j Daher muss gelten: (I) ii und (I) ij, falls j i Dies schreiben wir mit dem Kronecker-Delta δ ij (nach L Kronecker, 8 89) als (I) ij δ ij : {, i j, i j, i, j,,, n

24 GRUNDLAGEN 4 Die Einheitsmatrix ist also eine sog Diagonalmatrix, die auf der Hauptdiagonalen das Einselement und sonst überall das Nullelement des Körpers (K, +, ) enthält: I Kn n (7) Bemerkung: Für quadratische Matrizen A, B K n n sind immer beide Matrizenprodukte A B K n n und B A K n n definiert Diese sind jedoch im Allgemeinen nicht gleich, A B B A (s z B Serie, Aufg c, d), d h das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ Wir wollen jetzt einige Spezialfälle von Matrizenmultiplikationen betrachten Dazu führen wir noch den Begriff der transponierten Matrix ein: Definition 8 (Transposition) Die Transposition ist eine Funktion : K m n K n m, A A (8) Die Einträge der transponierten Matrix A K n m sind gegeben durch ( A ) : (A) ji, i,,, n, j,,, m (9) ij Bemerkungen: Die i-te Zeile von A ist die i-te Spalte von A, und die j-te Spalte von A ist die j-te Zeile von A, d h a a a n a a a n A Km n a m a m a mn a a a m A a a a m Kn m a n a n a mn Im Fall n wird aus dem Spaltenvektor der Länge m, v K m, durch Transposition der Zeilenvektor der Länge m, v K m : v v v Km v ( v v v m ) K m v m

25 GRUNDLAGEN 5 Beispiel: Aus der reellen ( )-Matrix ( ) π A 5 R erhalten wir durch Transposition die reelle ( )-Matrix 5 A R π Zeilenvektor mal Spaltenvektor Im Fall l n ist das Matrizenprodukt eines Zeilenvektors der Länge m, v K m, und eines Spaltenvektors der Länge m, w K m, gegeben durch das Körperelement v w K K, v w ( v w ) m v j w j (v w ) + (v w ) + + (v m w m ) j Daher können wir im allgemeinen Fall den Eintrag (A B) ik auch auffassen als das Produkt der i-ten Zeile von A (Zeilenvektor der Länge m) und der k-ten Spalte von B (Spaltenvektor der Länge m) Spaltenvektor mal Zeilenvektor Im Fall m ist das Matrizenprodukt eines Spaltenvektors der Länge l, v K l, und eines Zeilenvektors der Länge n, w K n, gegeben durch die (l n)-matrix v w K l n, ( v w ) v ik ij w jk v i w k v i w k, i,,, l, k,,, n j Der ik-te Eintrag des Matrizenprodukts v w K l n ist also gegeben durch das Produkt des i-ten Eintrags des Spaltenvektors v K l und des k-ten Eintrags des Zeilenvektors w K n Matrix mal Spaltenvektor Im Fall l, m >, n, ist das Produkt der (l m)-matrix A K l m und des Spaltenvektors der Länge m, v K m, gegeben durch den Spaltenvektor der Länge l, A v K l Die Einträge dieses Vektors sind gegeben durch m m (A v) i (A v) i a ij v j a ij v j, i,,, l Wir schreiben manchmal auch A v j j m v j (A) j K l, wobei (A) j : j die j-te Spalte der Matrix A bezeichnet, j,,, m a j a j a lj Kl

26 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 Zeilenvektor mal Matrix Im Fall l, m, n >, ist das Produkt des Zeilenvektors der Länge m, v K m, und der (m n)-matrix A K m n gegeben durch den Zeilenvektor der Länge n, v A K n Die Einträge dieses Vektors sind gegeben durch ( ) v A k ( v A ) m k m v j a jk v j a jk, k,,, n j Wir schreiben manchmal auch v A m v j (A) j, wobei (A) j : ( ) a j a j a jn K n j j die j-te Zeile der Matrix A bezeichnet, j,,, m Lineare Gleichungssysteme Einführung Wir beginnen mit einer typischen Textaufgabe, die auf ein lineares Gleichungssystem führt: Ein Hotel verfügt über eine Kapazität von 4 Betten in insgesamt 6 Zimmern, darunter Ein- und Zweibettzimmer Wieviele Zimmer von jeder Kategorie gibt es in diesem Hotel? Wir definieren als Unbekannte die Zahlen x : Anzahl der Einbettzimmer, x : Anzahl der Zweibettzimmer Jetzt stellen wir aus den Informationen im Text zwei lineare Gleichungen auf: (I) x + x 4 (Anzahl der Betten), (II) x + x 6 (Anzahl der Zimmer) Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten erhalten wir eine neue zweite Gleichung (symbolisch II I II), in der x nicht mehr vorkommt: x + x 4, x 84 Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht Dieses können wir durch Rückwärtseinsetzen lösen: wir setzen den Wert x 84 in die erste Gleichung ein und erhalten x + 84 x x 4 68 Die Lösung der Textaufgabe von oben lautet also: In dem Hotel gibt es Einbettzimmer und 84 Zweibettzimmer

27 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Allgemeine Form und Matrixform Sei (K, +, ) ein Körper, und seien m, n N Jedes lineare Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten kann in die allgemeine Form a x + a x + + a n x n b, a x + a x + + a n x n b, a m x + a m x + + a mn x n b m, gebracht werden mit a ij, b i, x j K, i,,, m, j,,, n Beispiel: (K R, m, n ) Das lineare Gleichungssystem (x x ) + 4 x x + 5, 4x + x 4 4(x ) x, () ist nicht in der allgemeinen Form (), kann aber durch elementare Umformungen auf diese gebracht werden: Wir bringen alle Terme, die Unbekannte enthalten, auf die linke Seite und alle Terme ohne Unbekannte auf die rechte Seite Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem in der allgemeinen Form (), x x + 4 x 5, x + x 4 Im Folgenden nehmen wir an, dass unser lineares Gleichungssystem bereits in der allgemeinen Form () vorliegt Für ein gegebenes lineares Gleichungssystem in allgemeiner Form () fassen wir die Koeffizienten a ij K, i,,, m, j,,, n, in der Koeffizientenmatrix zusammen: a a a n a a a n A : Km n a m a m a mn Ausserdem fassen wir die Unbekannten x, x,, x n sowie die Einträge der rechten Seite b, b,, b m in den Vektoren x b x x : b Kn, b : Km x n zusammen Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem in der Matrixform, b m Ax b ()

28 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 8 Auf der linken Seite von () steht das Matrizenprodukt (Matrix mal Spaltenvektor) Ax a a a n x a x + a x + + a n x n a a a n x Def 7 a x + a x + + a n x n, } a m a m {{ a mn }} x n {{ } } a m x + a m x + + a mn x n {{ } m n n m und dies sind genau die Ausdrücke auf der linken Seite des linearen Gleichungssystems in der allgemeinen Form () Aus der Definition der Gleichheit von Vektoren (4) wissen wir, dass Ax b a i x + a i x + a in x n b i, i {,,, m}, und daher sind die allgemeine Form () und die Matrixform () eines linearen Gleichungssystems tatsächlich äquivalent Später werden wir oft mit der erweiterten Koeffizientenmatrix arbeiten, die entsteht, indem man zur Koeffizientenmatrix A die rechte Seite b als Spalte hinzufügt: a a a n b a a a n b (A b) Km (n+) a m a m a mn b m Lineare Gleichungssysteme in Zeilenstufenform In diesem Kapitel sei (K, +, ) ein Körper, und m, n N Die folgenden Definitionen gelten zunächst für beliebige Matrizen A K m n Erst später nehmen wir an, dass es sich dabei um die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten (Kap ) handelt Definition 9 (Nullzeile, Leitkoeffizient) Seien A K m n und i {,,, m} Die i-te Zeile der Matrix A ist eine Nullzeile, falls a ij, j {,,, n} Ist die i-te Zeile der Matrix A keine Nullzeile (also eine Nichtnullzeile), so heisst der Eintrag a iji mit j i : min{j {,,, n} a ij } der Leitkoeffizient dieser Zeile Beispiel: Wir betrachten die Matrix A : π R4

29 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 9 Offensichtlich ist die dritte Zeile dieser Matrix eine Nullzeile Die übrigen Zeilen sind Nichtnullzeilen, und wir finden die Leitkoeffizienten i : (j ), i : π (j ), i 4 : (j 4 ) Definition (Matrix in Zeilenstufenform, Rang) Die Matrix A ist in Zeilenstufenform, falls sie die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt: Alle Nichtnullzeilen liegen oberhalb aller Nullzeilen und der Leitkoeffizient jeder Nichtnullzeile liegt weiter rechts als der Leitkoeffizient der darüberliegenden Zeile Der Rang einer Matrix in Zeilenstufenform (!) ist die Anzahl ihrer Nichtnullzeilen (oder ihrer Leitkoeffizienten) Bemerkungen: Den Rang einer Matrix A K m n in Zeilenstufenform bezeichnen wir mit rang(a) Es gilt rang(a) {,,,, min{m, n}} und rang(a) A (die Nullmatrix ist die einzige Matrix mit Rang ) Wir werden später in dieser Vorlesung den Rang einer Matrix für beliebige Matrizen definieren Die obige Definition des Rangs gilt nur für Matrizen in Zeilenstufenform! Beispiele: Die Matrix A : R 5 ist in Zeilenstufenform mit j, j 4 und rang(a) Die Matrix π A : R5 ist in Zeilenstufenform mit j, j, j und rang(a) Die Matrizen A : 4 R 4 und B : π R

30 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME sind nicht in Zeilenstufenform: In der Matrix A liegt eine Nichtnullzeile unterhalb einer Nullzeile, und in der Matrix B liegt der Leitkoeffizient der dritten Zeile nicht weiter rechts als der Leitkoeffizient der zweiten Zeile (j, j, j < j ) Definition (lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform) Das lineare Gleichungssystem Ax b mit m Gleichungen und n Unbekannten ist in Zeilenstufenform, falls seine erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) K m (n+) in Zeilenstufenform ist Bemerkung: Ist die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) in Zeilenstufenform, so ist auch die Koeffizientenmatrix A in Zeilenstufenform, und es gilt rang(a) rang(a b) Dies lesen wir aus der grafisch aus der Gestalt der erweiterten Koeffizientenmatrix ab (mit r rang(a)): (A b) a j a n b a j a n b a rjr a rn b r b r+ b r+ b m Es gilt r rang(a) rang(a b) b r+ b r+ b m Falls b i für ein i {r +, r +,, m}, so gilt r rang(a) < rang(a b) Beispiele: Die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems aus Serie 5, Aufg 5, ist gegeben durch (A b) : R (+) () 7 Sie ist in Zeilenstufenform, also ist auch das zugehörige lineare Gleichungssystem in Zeilenstufenform Es gilt rang(a) rang(a b) Die erweiterte Koeffizientenmatrix 4 (A b) : R (5+) () ist in Zeilenstufenform mit rang(a) rang(a b)

31 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Die erweiterte Koeffizientenmatrix π A : R5 (+) (4) ist in Zeilenstufenform mit rang(a) < rang(a b) 4 Lösbarkeitskriterium Der folgende Satz über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen in Zeilenstufenform geht auf die drei Mathematiker G Fontené (848 9), E Rouché (8 9) und F G Frobenius (849 97) zurück: Satz (Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform) Ein lineares Gleichungssystem Ax b mit m Gleichungen und n Unbekannten in Zeilenstufenform (!) ist genau dann lösbar, wenn rang(a) rang(a b) Gilt zusätzlich rang(a b) n, so hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung Bemerkung: Für ein lineares Gleichungssystem Ax b mit m Gleichungen und n Unbekannten in Zeilenstufenform erkennen wir dieselben drei Fälle wie für lineare Gleichungen ax b, a, b K (Satz im Kap 4): genau eine Lösung, falls rang(a) rang(a b) n unendlich viele Lösungen, falls rang(a) rang(a b) < n keine Lösung, falls rang(a) < rang(a b) Für m n erhalten wir in der Tat genau die Fälle aus Satz, denn in diesem Fall ist die Koeffizientenmatrix gegeben durch A (a) K und die rechte Seite durch b (b) K Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist daher gegeben durch (A b) (a b) K (+) Es gelten { {, a, a b rang(a), a, rang(a b), a b Damit erhalten wir die drei Fälle rang(a) rang(a b), falls a (genau eine Lösung), rang(a) rang(a b) <, falls a b (unendlich viele Lösungen), rang(a) < rang(a b), falls a b (keine Lösung)

32 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiele: Für die erweiterte Koeffizientenmatrix () gilt rang(a) rang(a b) n, also hat das zugehörige lineare Gleichungssystem Ax b genau eine Lösung Für die erweiterte Koeffizientenmatrix () gilt rang(a) rang(a b) < 5 n, also hat das zugehörige lineare Gleichungssystem Ax b unendlich viele Lösungen Für die erweiterte Koeffizientenmatrix (4) gilt rang(a) < rang(a b) 4, also hat das zugehörige lineare Gleichungssystem Ax b keine Lösung In der vorletzten Zeile steht nämlich x +x +x, und diese Gleichung kann für kein x (x, x, x ) R erfüllt sein Lösung durch Rückwärtseinsetzen Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b mit m Gleichungen und n Unbekannten ist gegeben durch L {x K n Ax b} K n Ist das Gleichungssystem in Zeilenstufenform, so gilt gemäss Satz : L, falls rang(a) < rang(a b) In diesem Fall ist nichts mehr zu tun Wir nehmen deshalb im Folgenden an, dass rang(a) rang(a b); in diesem Fall gilt L, d h das lineare Gleichungssystem Ax b hat mindestens eine Lösung Wir definieren wieder r rang(a) {,,,, min{m, n}}, und wir betrachten die Menge J : {j, j,, j r } der Spaltenindizes der Leitkoeffizienten in jeder Nichtnullzeile Es gibt k : n r Variablen x j mit j J Diesen ordnen wir beliebige Werte λ, λ,, λ k K zu Bemerkung: Die Zahl k n r heisst der Defekt der Koeffizientenmatrix A Die Werte der restlichen Variablen x j mit j J können jetzt durch Rückwärtseinsetzen eindeutig als Funktionen von λ, λ,, λ k angegeben werden Wir geben hier einen Algorithmus (in Pseudocode) zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten in Zeilenstufenform an: Bestimme die Menge J : {j, j,, j r } der Spaltenindizes der Leitkoeffizienten jeder Nichtnullzeile der erweiterten Koeffizientenmatrix if k : n r > l (Zähler für die Spaltenindizes, die nicht in J liegen)

33 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME end for j,,, n end if j J l l + x j λ l K end (am Ende dieser Schleife gilt l k) for i r, r,, end Beispiele: x ji a ij i b i jj i+ a ij x j Für die erweiterte Koeffizientenmatrix aus (), (A b) R (+), 7 gilt m n und J {,, }, also r und damit k : n r Wir können also den ersten Teil des obigen Pseudocodes überspringen und direkt zum zweiten Teil gehen: i : (j ) x a (b ) 7 7 i : (j ) x a b a j x j a (b a x ) j ( ( ) ) 7 7 b a j x j i : (j ) x a ( 4 ( 5) 7 j ( 6) 7 ) a (b a x a x ) Die Lösungsmenge des zu dieser erweiterten Koeffizientenmatrix gehörigen Gleichungssystems ist also gegeben durch L R

34 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 4 Für die erweiterte Koeffizientenmatrix aus (), 4 (A b) R (5+), gilt m, n 5 und J {, 4}, also r und damit k : n r > Wir müssen also beide Teile des obigen Pseudocodes durchführen Der erste Teil verläuft wie folgt: l j : J l x λ R j : J j : J l x λ R j 4: 4 J j 5: 5 J l x 5 λ R Im zweiten Teil folgt das Rückwärtseinsetzen: 5 i : (j 4) x 4 a 4 b a j x j a 4 (b a 5 x 5 ) j5 ( ( )λ ) λ i : (j ) x a b 5 a j x j j ( 4 λ ) λ λ a (b a x a 4 x 4 a 5 x 5 ) ( 4 ) λ 8 λ Die Lösungsmenge des zu dieser erweiterten Koeffizientenmatrix gehörigen Gleichungssystems ist also gegeben durch λ 8 L λ λ λ λ, λ, λ R R 5 λ

35 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 Mit Hilfe der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation (für Vektoren) können wir die Lösungsmenge auch in der folgenden Form schreiben: L 8 + λ + λ 4 Gausssches Eliminationsverfahren + λ λ, λ, λ R Im Kap haben wir gesehen, dass wir für ein lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform leicht entscheiden können, ob es mindestens eine Lösung hat Ist dies der Fall, so können wir sämtliche Lösungen durch Rückwärtseinsetzen bestimmen In diesem Kapitel lernen wir nun das Gausssche Eliminationsverfahren (nach C F Gauss, ) kennen, mit dem wir jedes beliebige lineare Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringen können Eine Kombination dieses Verfahrens mit dem Rückwärtseinsetzen erlaubt uns schliesslich die Lösung jedes beliebigen linearen Gleichungssystems (sofern es eine Lösung hat) Bemerkung: Oft wird diese Kombination der beiden Verfahren (nicht nur das hier vorgestellte Verfahren zum Erreichen der Zeilenstufenform) als Gausssches Eliminationsverfahren bezeichnet Wir nehmen im Folgenden an, dass ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten bereits in der Matrixform Ax b vorliegt (Kap ), und wir arbeiten mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) K m (n+) Das Verfahren verwendet die folgenden elementaren Zeilenumformungen, um die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform zu bringen: Vertauschen zweier Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Wie im Kap 6 bezeichnen wir die i-te Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix mit (A b) i : ( a i a i a in b i ) K (n+), i {,,, m} Die dazugehörige lineare Gleichung lautet a i x + a i x + a in x n b i Die elementaren Zeilenumformungen lassen sich damit auch schreiben als (A b) i (A b) i, i, i {,,, m}, i i, (A b) i α(a b) i, i {,,, m}, α K \ {}, (A b) i (A b) i + α(a b) i, i, i {,,, m}, i i, α K