Flächeninhalt und Teilungsverhältnis oder...: Eine Dreiecksfläche kommt selten allein!
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- Jasmin Kaufman
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck und finde Punkte D, E, F auf den Dreiecksseiten CA, AB und BC so, dass gilt: DA AE EB BF FC Zeichne die trecken AF, BD und CE ein. Diese trecken schneiden sich paarweise in den Punkten G, H und I (siehe kizze). ) Untersuche die Figur auf Besonderheiten. Bestimme dabei insbesondere die Flächeninhalte des Ausgangsdreiecks und von Teilfiguren. - Vergleiche mit Ergebnissen deiner Nachbarn. - Habt ihr gemeinsam schon etwas entdeckt? ABC: A. GHI: A. ) Beweise: Die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und GHI stehen im Verhältnis 7 :. - Verfahre im inne von René Descartes so, dass du das Problem analytisch-algebraisch löst. innvollerweise legt man den Ursprung nach A und die eite AB auf die x-achse. Den Flächeninhalt des Dreiecks HIG bestimmt man durch das umbeschriebene Rechteck, vermindert um die 3 rechtwinkligen Dreiecke.
2 Lösungsskizze: Es gilt für ABC: C Die Punktkoordinaten der Teilungspunkte sind: D C * C ; E B *0 ; F B % C * C Die Geradengleichungen lauten: g(a;f) : y y B % x x g(e;c) : y 3@y C 3@x C & x x & x C 3@x C & x B g(b;d) : y &@y C 3@x B x C 3@x B C Über die Geradengleichungen errechnen sich deren chnittpunkte H, I, G zu: B %xc / C ; B %xc / C ; G x B %4@xC / 7 C Mit der trategie: Umbeschriebenes Rechteck - 3 rechtwinklige Dreiecke erhält man relativ leicht für das kleine, innere Dreieck 7 C
3 Übung (und für Interessierte): Wählt man auf den Dreiecksseiten ein anderes Teilungsverhältnis für die Teilungspunkte E, F und D, so ändert sich natürlich das Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke ABC und GHI zueinander. Im nebenstehend skizzierten Fall gilt: DA 3 AE EB 3 BF FC 3 3) Untersuche zunächst durch exemplarische Konstruktion, welchen Anteil die Fläche des Dreiecks GHI an der Fläche des Ausgangsdreiecks ABC nun einnimmt. Bestätige: Die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und GHI stehen im Verhältnis 3 : 4. 4) a) Ist für die Untersuchung von Bedeutung, dass das Dreieck ABC spitzwinklig ist? b) Was erwartet man für den Fall:? DA AE EB BF FC Für eine Gruppe von pezialisten: 5) Untersucht arbeitsteilig durch unterschiedliche Wahl von Teilungsverhältnissen für die Teilungspunkte E, F und D auf den Dreiecksseiten, wie sich das Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke ABC und GHI zueinander verändert. - Kann man eine Gesetzmäßigkeit entdecken? Allgemein gilt: Wenn, dann stehen die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und DA n AE EB n BF FC n GHI im Verhältnis n % (n%) : (n&).
4 Eine rein geometrische Lösung zu ): Begründe die folgenden Aussagen: Flächeninhalt und Teilungsverhältnis Das Dreieck ABF besitzt ein Drittel des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC. Die Dreiecke: B und AEC besitzen ein Drittel des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC. Wir definieren den Flächeninhalt des Dreiecks AEH als eine Flächeneinheit. Verlängert man die trecke AF über F hinaus und zieht dann eine Parallele zu EC durch B, so schneidet diese Parallele die Gerade g(a;f) in K. Das Dreieck ABK besteht aus 9 Flächeneinheiten. Das Dreieck HBK besteht aus 6 Flächeneinheiten. Das Dreieck FBK besitzt ein Viertel des Flächeninhaltes des Dreiecks FCH und damit die Hälfte des Flächeninhaltes des Dreiecks FHB. FBK besteht aus Flächeneinheiten, HBF aus 4 Flächeneinheiten und FCH aus 8 Flächeneinheiten. EBC besteht aus 4 Flächeneinheiten und damit ABC aus Flächeneinheiten, d.h. der Flächeninhalt des Dreiecks AEH ist des Flächeninhaltes des Ausgangsdreiecks ABC. Die Flächeninhalte der Dreiecke BFI und G sind jeweils des Flächeninhaltes des Ausgangs- dreiecks ABC. 3 Der Flächeninhalt des Dreiecks HIG ist des Flächeninhaltes des Ausgangsdreiecks ABC. Nebenprodukt: Der Flächeninhalt der Vierecke ~EBFH, ~FCGI und ~DAHG ist jeweils inhaltes des Ausgangsdreiecks ABC. 5 des Flächen- Mit hilfreicher Unterstützung von Prof. Dr. Wolfgang chulz
5 Eine verallgemeinerte Lösung zu ): Wenn, DA n AE EB n BF FC n dann stehen die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und GHI im Verhältnis Es gilt: n % (n%) : (n&). a) A ABF n% b) A B n% A CAE n% Flächeninhalt und Teilungsverhältnis Wir definieren den Flächeninhalt des Dreiecks AEH als eine Flächeneinheit ( FE). Verlängert man die trecke AF über F hinaus und zieht dann eine Parallele zu EC durch B, so schneidet diese Parallele die Gerade g(a;f) in K. c) A ABK (n%) FE d) A HBK [(n%) & (n%)] FE n@(n%) FE e) A FCH A FBK A HBF A FBK f) A EBC A n% ABC nfe% (n A FBK nfe% (n nfe (n 3 %n %n) FE g) A AEH h) A BFI A G (n%)@(n %n%) (n%)@(n %n%) (n%)@(n %n%) i) A HIG & 3 n% % 3 (n%)@(n %n%) (n&) n %n%
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