symbol. Verhalten Modell graph. Verhalten Modell System Verhalten Domäne Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen

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1 Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen über Informatik, Springer ag-kastens.upb.de/lehre/material/model/ Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf am einen Ufer eines Flusses, den er überqueren will. Er hat ein Boot, das groß genug ist, ihn und ein weiteres Objekt zu transportieren, so dass er immer nur eins der drei mit sich hinübernehmen kann. Falls der Mann allerdings den Wolf und die Ziege oder die Ziege und den Kohlkopf unbewacht an einem Ufer zurücklässt, so wird einer gefressen werden. Ist es möglich, den Fluss zu überqueren, ohne dass die Ziege oder der Kohlkopf gefressen werden? Wie viele Fahrten benötigt man mindestens? (Alkuin, Abt des Klosters St. Martin in Tours, Lehrer und Ratgeber Karls des Großen) Man fängt natürlich sofort an, im Kopf die verschiedenen Möglichkeiten zum Transport durchzuspielen und die sich ergebenden Verteilungen von Mann, Wolf, Ziege und Kohlkopf auf die beiden Ufer zu überprüfen. Wie kann man die Möglichkeiten systematisch durchsuchen? Modellierung der Situationen Modellierung der Übergänge von Situation zu Situation c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Eine Modellierung des Rätsels Modellierung mit Graphen Eine Situation ist eine mögliche Verteilung von Mann, Wolf, Ziege, Kohlkopf auf die beiden Flussufer. Situationen können modelliert werden durch Paare von Teilmengen von S := {M,W,Z,K}: symbol. Modell Simulation Verhalten Situationen := {(S,S ) S S = S, S S = } Abstraktion Transfer Durch Überqueren des Flusses ggf. mit einem Objekt kann der Mann die Situation verändern. Überquerungen können modelliert werden durch Verbindungen zwischen Zuständen. Die Verbindungen werden beschriftet mit den transportierten Elementen aus S. graph. Modell Simulation Verhalten ({M,W,Z,K},{}) Abstraktion Transfer ({W,Z,K},{M}) ({Z,K},{M,W}) ({W,K},{M,Z}) ({W,Z},{M,K}) ({M,W,K},{Z}) System Experiment Verhalten ({K},{M,W,Z}) ({W},{M,Z,K}) Domäne ({M,K},{W,Z}) ({M,Z,K},{W}) ({M,W,Z},{K}) ({M,W},{Z,K}) ({Z},{M,W,K}) ({M,Z},{W,K}) ({},{M,W,Z,K}) c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

2 Ungerichteter Graph Beispiele für Graphen Ein (ungerichteter) Graph G =(V,E) ist ein Paar bestehend aus V einer endlichen Menge von Knoten (vertices) und E P(V ) einer Menge von Kanten (edges), i.e. zweielementigen Teilmengen von V. Knoten modellieren Zustände, Situationen, Positionen,... Kanten modellieren Relationen zwischen den Knoten. Für eine Kante e = {v, w} E zwischen den Knoten v V und w V verwendet man folgende Bezeichnungen: v und w heißen inzident zu e, e heißt inzident zu v und w und v und w heißen adjazent. Knoten = Staat; Kante = gemeinsame Grenze Knoten = Bauteil oder Leitungsknoten; Kante = Leitung c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Verallgemeinerungsmöglichkeiten für ungerichtete Graphen Schlaufen oder Schlingen Eine Kante führt von einem Knoten zu diesem selbst zurück. Maximale Kantenanzahl ungerichteter Graphen Lemma Für jeden ungerichteten Graphen G =(V,E) gilt: E V ( V ) Die Kantenanzahl für Graphen ohne Schlingen ist höchstens V ( V ), da jeder Knoten von V als Anfangs- oder als Endpunkt auftreten kann, aber nicht gleichzeitig Anfangs- und Endpunkt sein darf. Mehrfachkanten Zu zwei Knoten gibt es (eventuell) mehrere Kanten, die sie miteinander verbinden. Die Kantenanzahl für Graphen mit Schlingen ist höchstens V,da jeder Knoten von V als Anfangs- und als Endpunkt auftreten kann. Die Kantenanzahl für Multigraphen ist nicht beschränkt, da zu zwei Knoten von V beliebig viele Kanten inzident sein können. Die Kantenanzahl für Hypergraphen ist höchstens V,dajede Teilmenge von V als Kante auftreten kann. Hypergraphen Kanten sind Mengen von Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8

3 Datenstrukturen zur Verarbeitung von Graphen Teilgraphen ungerichteter Graphen Für einen Graphen G =(V,E) sei eine lineare Sortierung der Knoten gegeben: V = {v,...,v n } Ein Graph G =(V,E ) ist ein Teilgraph eines Graphen G =(V,E), wenn gilt V V und E E mit E P(V ). Adjazenzmatrix: { falls {v i,v j } E mit a i,j = 0 sonst M G =(a i,j ) i,j {,...,n} Adjazenzliste: L G =((v,al ),...,(v n,al n )) mit al i sortierte Liste der zu v i adjazenten Knoten (bzgl. E) inv. Ein Teilgraph G =(V,E ) eines Graphen G =(V,E) mit V = V heißt erzeugender Teilgraph (spanning subgraph). Beispiel: G =({a, b, c, d}, {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {c, d}}) b M G = d Für einen Graphen G =(V,E) und V V heißt der Graph G =(V,E ) mit E := {{v,v } E v,v V } der von V induzierte Teilgraph von G. L G = ( a, (b, d) b, (a, c) c, (b, d) d, (a, c) ) a c c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0 Isomorphie von Graphen Knoten- und Kantenmarkierungen Für zwei Graphen G =(V,E ) und G =(V,E ) sei eine totale und bijektive Abbildung f : V V gegeben. f heißt Isomorphismus von V auf V genau dann, wenn für alle Knoten v, w V gilt: {v, w} E {f(v),f(w)} E Offenes Problem der Komplexitätstheorie Gibt es ein effizientes (d.h. polynomielles) Verfahren, um zu entscheiden, ob zwei Graphen G und G isomorph sind? Eine Knotenmarkierung eines Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : V M die jedem Knoten v eine Markierung m(v) M zuordnet. Eine Kantenmarkierung eines Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : E M die jeder Kante e eine Markierung m(e) M zuordnet. Dies Problem tritt meist in (vielleicht?) schärferer Form als Teilgraph-Isomorphismus-Problem auf: Gibt es einen Teilgraphen in G, der isomorph zu G ist? Durch Verwendung von Kantenmarkierungen lassen sich Multigraphen auf einfache Graphen zurückführen: Kantenmarkierung = Anzahl paralleler Kanten Identifiziere in einer hydraulischen Anlage die Linearachsen. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

4 Beispiel: Landkarte Knotengrade Für einen Graphen G =(V,E) und einen Knoten v V heißt der (Knoten-)Grad von v in G. grad(v) := {v V {v, v } E} Der Knotengrad von v in G ist die Anzahl der mit v inzidenten Kanten. Für einen Graphen G =(V,E) heißt der (Knoten-)Grad von G. grad(g) :=max v V grad(v) Knoten = Autobahnkreuze/-dreiecke, nächste Städte Kanten = Autobahnteilstücke Knotenmarkierungen: Name des Autobahnkreuzes/-dreiecks, Name der Stadt,... Kantenmarkierungen: Nummer der Autobahn, Entfernung in Straßenkilometern, Anzahl der parallelen Spuren,... Die Anzahl der Punkte mit ungeradem Grad in einem Graphen ist gerade. Die Summe der Knotengrade aller Knoten ist (Anzahl Kanten), also gerade. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Wege Wege und Adjazenzmatrix Induktive Sei G =(V,E) ein Graph. Für jeden Knoten v 0 V ist (v 0 ) ein Weg in G von v 0 nach v 0. Für Knoten v 0,...,v n,v n+ V, eine Kante e = {v n,v n+ } E ist mit einem Weg (v 0,...,v n ) von v 0 nach v n in G auch (v 0,...,v n,v n+ ) ein Weg in G und zwar von v 0 nach v n+. Ein Weg ist also eine nicht-leere Folge von Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. Beispiel: G =({a, b, c, d}, {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {c, d}}) 0 0 b 0 0 M G = MG = M 0 0 G M G = a d c Meistens findet man die folgende : Für einen Graphen G =(V,E), n N und Knoten v 0,...,v n V mit {v i,v i+ } E für 0 i<nist (v 0,...,v n ) ein Weg von v 0 nach v n in G. Die Induktion steckt hier in der Verwendung der (induktiv definierten) endlichen Folgen (v 0,...,v n ) von Knoten. Die Länge l eine Weges (v 0,...,v n ) in einem GraphenG ist die Anzahl der Kanten auf dem Weg: l((v 0,...,v n )) = n Sei G =(V,E) ein Graph mit V = n und Adjazenzmatrix M G. Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Für einen Graphen G =(V,E) mit Adjazenzmatrix M G gibt die Matrix MG k die Anzahl der Wege an zwischen Knoten aus V mit genau der Länge k. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

5 Königsberger Brückenproblem Spezielle Wege Königsberg liegt an den Ufern und zwei Inseln des Pregel. Inseln und Ufer sind mit sieben Brücken miteinander verbunden. Gibt es eine Rundweg in Köningsberg, auf dem man die sieben Brücken jeweils genau einmal überschreitet? Ein Eulerscher Weg in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg, der jede Kante von E genau einmal enthält. Ein Hamiltonscher Weg in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg, der jeden Knoten von V genau einmal enthält. Ein Kreis in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg (v,...,v) von v nach v der Länge l(v,...,v). Die Untersuchung dieser Frage durch Euler im Jahre 7 stellt den Anfangspunkt der modernen Graphentheorie dar. Ein Eulerscher Kreis in G =(V,E) ist ein Kreis, der jede Kante von E genau einmal enthält. Ein Hamiltonscher Kreis in G =(V,E) ist ein Kreis, der jeden Knoten von V genau einmal enthält (ausser Anfangspunkt). c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8 Beispiele für Wege Aussagen über Wege Kreis in einem Graphen: Lemma Die Länge jedes Weges in einem Graphen G =(V,E) ist beschränkt durch E. Lemma Jeder Weg w in einem Graphen G =(V,E) mit Länge l(w) V enthält einen Kreis. Eulerweg in einem Graphen: Jeder kreisfreie Graph mit n Knoten enthält höchstens n Kanten Ist in einem Graph mit mindestens drei Knoten der Grad jedes Knotens grösser gleich der halben Anzahl von Knoten, dann enthält der Graph einen Hamiltonschen Kreis. Hamiltonweg in einem Graphen: c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0

6 Traveling Salesman Problem Zusammenhang Optimierungsproblem Gegeben ist ein Menge von Städten, die durch Straßen bekannter Längen verbunden sind. Gesucht ist ein kürzester Rundweg durch alle Städte. Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Menge von Städten, die durch Straßen bekannter Längen verbunden sind. Gesucht ist ein Rundweg durch alle Städte, der höchstens eine vorgegebene Länge B hat. Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Gitter von n n Prozessoren. Eine Nachricht soll eine sequentiell von Prozessor zu Prozessor weitergegeben werden. Sie soll jeden Prozessor erreichen und zum Initiator zurückkehren. Für welche n ist das möglich? Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Graph G =(V,E). Enthält G einen Hamiltonschen Kreis? Ein Knoten w V eines Graphen G =(V,E) ist erreichbar vom Knoten v V aus genau dann, wenn es einen Weg (v,...,w) in G gibt. Ein Graph G =(V,E) heißt zusammenhängend, wenn für alle v, w V gilt, w ist von v aus erreichbar. Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen G =(V,E) ist der von einer maximalen Knotenmenge V V induzierte Teilgraph von G, so dass G zusammenhängend ist, d.h. der durch Hinzufügen eines weiteren Knotens v V \ V von V {v } induzierte Teilgraph von G ist nicht zusammenhängend. Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen, die nur aus einem Knoten besteht, heißt auch isolierter Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Existenz von Eulerwegen Sätze zum Zusammenhang Beispiel: Das Haus vom Nikolaus Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten enthält mindestens n Kanten. Ein Graph G =(V,E) enthält genau dann einen Eulerschen Weg, wenn G zusammenhängend ist und höchstens zwei Knoten mit ungeradem Grad enthält. Nicht nur ein Eulerweg existiert, sondern sogar mehrere. Was ist, wenn das Haus vom Nikolaus einen Anbau erhält? Für einen zusammenhängenden Graphen G =(V,E) sind folgende Aussagen äquivalent: G enthält einen Eulerschen Kreis. Jeder Knoten in G hat einen geraden Grad. Die Kantenmenge von G kann in Kreise zerlegt werden. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

7 Verbindungen und Zusammenhang Bäume Ein Knoten v V eines zusammenhängenden Graphen G =(V,E) heißt Schnittknoten in G, falls der von V \{v} induzierte Teilgraph nicht zusammenhängend ist. Eine Kante e E eines zusammenhängenden Graphen G =(V,E) heißt Brückenkante in G, falls der Graph (V,E \{e}) nicht zusammenhängend ist. Schnittknoten und Brückenkanten sind also kritische Knoten bzw. Kanten, da der Graph durch ihre Entfernung in verschiedene Zusammenhangskomponenten zerfällt. Schnittkanten spielen bei der Orientierung von Graphen eine Rolle. Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph G =(V,E). Die Klassenhierarchie des Pakets java.lang in Java bildet einen Baum mit Wurzelklasse Object. Ein Wald ist ein kreisfreier Graph G =(V,E), d.h.die Zusammenhangskomponenten von G sind Bäume. Ein erzeugender Baum (spanning tree) für einen Graphen G =(V,E) ist ein Teilgraph G =(V,E ), der ein Baum ist, d.h. ein Baum, der alle Knoten von G enthält. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Beispiele für Bäume Sätze über Bäume Vollständiger binärer Baum der Tiefe Wald von vollständigen binären Bäumen Für einen Graphen G =(V,E) sind folgende Aussagen äquivalent: G ist eine Baum. G ist zusammenhängend und für jede Kante e E ist der Teilgraph G =(V,E \{e}) nicht zusammenhängend. G ist kreisfrei und für zwei Knoten v, w V mit {v, w} E ist der Graph G =(V,E {{v, w}}) nicht kreisfrei. Zwischen je zwei Knoten aus V gibt es genau einen Weg. Korollar Für einen Baum G =(V,E) mit V gilt: Erzeugender Baum für das Nikolaushaus mit Anbau V = E + G hat mindestens einen Knoten v V mit Grad grad(v) <. Vom Wurzelknoten des Spannbaumes aus erreicht man jeden Knoten des Graphen über Kanten des Spannbaumes! Meist werden Spannbäume mit zusätzlichen Eigenschaften gesucht, beispielsweise minimales Gesamtgewicht aller Kanten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8

8 Induktive Gewurzelte Bäume () Wurzel Beispiele für Bäume Für jeden Knoten v ist der Graph G =({v}, {}) ein Baum mit Wurzel v. Für ein k N seinen G =(V,E ),..., G k =(V k,e k ) Bäume mit Wurzeln v,..., v k und paarweise disjunkten Knotenmengen V,..., V k und sei v V... V k. Dann ist G =({v} V... V k, {{v, v i } i k} E... E k ) ein Baum mit Wurzel v. Nur so gebildete Graphen sind Bäume. Schränkt man in der die Wahl für k weiter ein, so erhält man spezielle Bäume: innere Knoten Blätter Mit einer anderen Wurzel ergibt sich der folgende Baum: Für k erhält man die Menge der binären Bäume. Für k erhält man die Menge der ternären Bäume. Für festes k N erhält man die Menge der k-ären Bäume. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0 Gewurzelte Bäume () Kantorowitsch-Baum Beobachtung Für einen Baum G =(V,E) kann man jeden Knoten w V als Wurzel von G festlegen. In einen Baum G =(V,E) mit Wurzel w heißen für einen Knoten v V sind alle die Knoten v V Nachfolger von v, für die v im kürzesten Weg von w nach v enthalten ist. Knoten ohne Nachfolger heißen Blätter, Knoten mit Nachfolgern heißen innere Knoten. Die Nachfolger v von v mit {v, v } E heißen unmittelbare oder direkte Nachfolger von v. Ein Kantorowitsch-Baum ist ein Baum G =(V,E) mit Wurzel w V sowie einer Knotenmarkierung m : V F V, so dass jeder innere Knoten als Markierung einen Operator hat mit einer Stelligkeit k>0, sowie genau k unmittelbare Nachfolgerknoten hat und jeder Blattknoten als Markierung eine Variabe hat oder einen nullstelligen Operator. Kantorowitsch-Baum für die Formel x( yp(x, f(y, a)) P (x, a)) Für einen Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und einen Knoten v V heißt die Länge eines kürzesten Weges von w nach v die Tiefe von v in G. Die Tiefe des Baumes G mit Wurzel w ist die maximale Tiefe eines Knotens in G. Die Tiefe eines Baumes richtet sich also danach, welcher Knoten im Baum als Wurzel festgelegt worden ist. Die Tiefe ist die maximale Länge eines kürzesten Weges von der Wurzel zu einem Knoten. Für n-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V heißt vollständiger n-ärer Baum genau dann, wenn jeder innere Knoten genau n unmittelbare Nachfolger besitzt und alle Blätter die gleiche Tiefe haben. E x A y P x f y a x P a c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

9 Sätze über k-äre Bäume Ein vollständiger k-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, k, n N,k >0 hat genau k n Blätter und genau n i=0 ki innere Knoten. Die Gesamtzahl der Knoten ist also für k N,k > n n k i + k n = k i = kn+ k i=0 i=0 Der Beweis des es wird durch eine Induktion über den Aufbau k-ärer Bäume geführt. Korollar Ein k-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, k, n N,k >0 hat höchstens kn+ Knoten. k Induktive Beweise mit k-ären Bäume Ein vollständiger k-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, k, n N,k >0 hat genau k n Blätter und genau n i=0 ki innere Knoten. Beweis Beweise über Knotenanzahlen k-ärer Bäume werden durch Induktion über die Tiefe n der Bäume und ihren Aufbau geführt. I.A.: n =0 Der einzige k-äre Baum der Tiefe 0 ist der Baum der nur aus einem Wurzelknoten besteht. Dieser Baum ist auch vollständig. Er hat genau k 0 =Blätter und 0 i=0 ki =0innere Knoten. I.V.: n 0 Jeder vollständige k-äre Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n hat genau k n Blätter und genau n i=0 ki innere Knoten. I.S.: n n + Sei G =(V,E) ein vollständiger k-ärer Baum mit Wurzel w V und Tiefe n +.Alsohatw genau k unmittelbare Nachfolger v,...,v k V. Der Graph (V \{w},e\{{w, v },...,{w, v k }}) besteht dann aus genau k Zusammenhangskomponenten, die jeweils vollständige k-äre Bäume mit Wurzeln v,...,v k sind. Diese Zusammenhangskomponenten haben also jeweils genau k n Blätter und n i=0 ki innere Knoten. Insgesamt ergibt sich damit für G =(V,E) k k n = k n+ als Gesamtzahl der Blätter und +k n i=0 ki + n i=0 ki+ =+ (n+) i= k i = (n+) i=0 k i als Gesamtzahl der inneren Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Bipartite Graphen Beispiele für bipartite Graphen Ein Graph G =(V,E) heißt bipartit, wenn es zwei disjunkte Knotenmengen V,V V (also V V = gibt, so dass E {{v,v } v V,v V } gilt. Die Knotenmenge von G kann also in zwei disjunkte Mengen aufgeteilt werden, so dass Kanten immer mit je einem Knoten aus jeder dieser Mengen inzident sind. Ein bipartiter Graph wird auch mit (V V,E) beschrieben, wenn gilt E {{v,v } v V,v V } und zusätzlich V V. Ein Matching (Korrespondenz) in einem bipartiten Graph G =(V V,E) ist eine Menge von Kanten, die paarweise keine gemeinsamen Knoten haben. nicht bipartit Für jeden Knoten aus v i V i gehört also maximal eine mit v i inzidente Kante zu einem Matching (i =, ). Ein Matching in einem bipartiten Graph G =(V V,E) heißt vollständig, wenn jeder Knoten aus V mit einer Kante des Matching inzident ist. (Beachte hierbei V V.) Ein Matching heißt perfekt, wenn alle Knoten aus V V mit einer Kante des Matchings inzident sind. bipartit c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

10 Beispiele für bipartite Graphen Modellierung mit bipartiten Graphen bipartit (P. Hall 9) In einem bipartiten Graph G =(V V,E) mit V V gibt es genau dann ein vollständiges Matching, wenn es für jede Menge J V gilt {v V v J : {v,v } E} J also mindestens J Knoten aus V zu den Knoten aus J adjazent sind. Falls V = V gilt, dann ist ein vollständiges Matching auch ein perfektes Matching und umgekehrt. vollständiges Matching maximales Matching Beispiel: Heiratsproblem Es sei eine endliche Menge V von Damen und eine endliche Menge V von Herren gegeben. Die Funktion pref : V Pgibt zu jedem Herren die Menge der Damen an, die zu ehelichen er bereit ist. Außerdem sei V V. Nach dem von Hall gibt es ein vollständiges Matching, wenn für jede Teilmenge J von Herren die Menge v J pref(v) mindestens J Elemente enthält. Wenn die Herren nicht zu wählerisch sind, bekommt jeder eine Dame ab. maximal maximale Mächtigkeit c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8 Färbung von Graphen Vierfarbenproblem Eine Färbung eines Graphen G =(V,E) ist eine Knotenmarkierung m : V M, die jedem Knoten eine Farbe aus M zuordnet, so dass für adjazente Knoten v, w V gilt m(v) m(w). Ist jede Landkarte mit maximal vier Farben färbbar? (Länder = Knoten, Kante = gemeinsame Grenze) Ein Graph heißt k-färbbar, falls eine Färbung des Graphen mit k Farben existiert, d.h. mit M = k. Eine Färbung eines Graphen mit einer beschränkten Anzahl Farben nennt man auch eine konfliktfreie Knotenmarkierung. Anwendungen sind: Knoten Kante Farbe / Marke Staat auf gemeinsame Grenze Farbe Partygast verfeindet Zuordnung auf Tisch Kursus haben gemeinsame Teilnehmer Termin Prozess benötigen gleiche Ressource Ausführungszeitpunkt Variable im Programm gleichzeitig lebendig Registerspeicher Die chromatische Zahl χ(g) ist die minimale Anzahl von Farben, mit der eine Färbung des Graphen G möglich ist. Ja! (Appel & Haken 977) Für jeden Graphen G gilt χ(g) +Grad(G). c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0

11 Kantendisjunkte Wege Gerichteter Graph In einem Computernetzwerk bilden die Computer und Netzwerk-Komponenten die Knoten und die Netzwerk-Kabelverbindungen die Kanten. Ein (gerichteter) Graph G =(V,E) ist ein Paar bestehend aus V einer endlichen Menge von Knoten (vertices) und E V V einer Menge von Kanten (edges, arcs), i.e. Paaren von Knoten aus V. Knoten modellieren Zustände, Situationen, Positionen,... Kanten modellieren gerichtete Übergänge zwischen den Knoten. Für eine Kante e =(v, w) E zwischen den Knoten v V und w V verwendet man folgende Bezeichnungen: Typische Fragen: v und w heißen inzident zu e, e heißt inzident zu v und w und v und w heißen adjazent. v heißt Startknoten und w Endknoten von e. Wie viele Netzwerkverbindungen können ausfallen, ohne dass die Verbindung von Computer A zu Computer B unterbrochen wird? Auf wie vielen komplett verschiedenen Wegen können Nachrichten von Computer A an Computer B übermittelt werden? c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Verallgemeinerungsmöglichkeiten für gerichtete Graphen Schlaufen oder Schlingen Beachte: Schlaufen oder Schlingen, d.h. eine Kante von einem Knoten aus zu diesem selbst zurück, sind nach der gerichteten Graphen ERLAUBT. Maximale Kantenanzahl gerichteter Graphen Lemma Für jeden gerichteten Graphen G =(V,E) gilt: E V Die Kantenanzahl für gerichtete Graphen kann den Wert V erreichen, da jeder Knoten von V als Start- und als Endpunkt auftreten kann. Mehrfachkanten Beachte: Zwischen zwei Knoten können nach bereits bis zu zwei Kanten existieren, eine hin und eine zurück. Die Kantenanzahl für Multigraphen ist nicht beschränkt, da zu zwei Knoten von V beliebig viele Kanten inzident sein können. Die Kantenanzahl für Hypergraphen ist höchstens ( V ) = V,da jede Teilmenge von V als Kante auftreten kann. Hypergraphen Kanten sind Paare von Mengen von Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

12 Datenstrukturen zur Verarbeitung von Graphen Teilgraphen gerichteter Graphen Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) sei eine lineare Sortierung der Knoten gegeben: V = {v,...,v n } Ein gerichteter Graph G =(V,E ) ist ein Teilgraph eines gerichteten Graphen G =(V,E), wenn gilt V V und E E mit E V V. Adjazenzmatrix: { falls (v mit a i,j = i,v j ) E 0 sonst M G =(a i,j ) i,j {,...,n} Adjazenzliste: L G =((v,al ),...,(v n,al n )) mit al i sortierte Liste der Endknoten in V von Kanten in E mit Startknoten v i. Ein Teilgraph G =(V,E ) eines gerichteter Graphen G =(V,E) mit V = V heißt erzeugender Teilgraph (spanning subgraph). Beispiel: G =({a, b, c, d}, {(a, b), (d, a), (c, b), (c, d)}) b M G = d Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) und V V heißt der gerichtete Graph G =(V,E ) mit E := {(v,v ) E v,v V } der von V induzierte Teilgraph von G. L G = ( a, (b) b, () c, (b, d) d, (a) ) a c c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Isomorphie von gerichteten Graphen Knoten- und Kantenmarkierungen Für zwei Graphen G =(V,E ) und G =(V,E ) sei eine totale und bijektive Abbildung f : V V gegeben. f heißt Isomorphismus von V auf V genau dann, wenn für alle Knoten v, w V gilt: (v, w) E (f(v),f(w)) E Offenes Problem der Komplexitätstheorie Gibt es ein effizientes (d.h. polynomielles) Verfahren, um zu entscheiden, ob zwei gerichtete Graphen G und G isomorph sind? Eine Knotenmarkierung eines gerichteten Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : V M die jedem Knoten v eine Markierung m(v) M zuordnet. Eine Kantenmarkierung eines gerichteten Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : E M die jeder Kante e eine Markierung m(e) M zuordnet. Dies Problem tritt meist in (vielleicht?) schärferer Form als Teilgraph-Isomorphismus-Problem auf: Gibt es einen Teilgraphen in G, der isomorph zu G ist? Durch Verwendung von Kantenmarkierungen lassen sich gerichtete Multigraphen auf einfache gerichtete Graphen zurückführen: Kantenmarkierung = Anzahl paralleler Kanten mit gleicher Kantenrichtung c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8

13 Knotengrade in gerichteten Graphen Wege Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) und einen Knoten v V heißt ingrad(v) := {v V (v, v ) E} der Eingangsgrad von v in G, outgrad(v) := {v V (v,v) E} der Ausgangsgrad von v in G und grad(v) :=ingrad(v)+outgrad(v) der Grad von v in G. Knoten mit Eingangsgrad 0 heißen auch Quellen und Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen auch Senken. Der Knotengrad von v in G ist die Anzahl der mit v inzidenten Kanten, außer eine Schleife führt von v zu v. Für einen Graphen G =(V,E) heißt der (Knoten-)Grad von G. grad(g) :=max v V grad(v) Die Summe der Eingangsgrade aller Knoten ist gleich der Summe der Ausgangsgrade aller Knoten eines gerichteten Graphen. Die Anzahl der Punkte mit ungeradem Grad in einem gerichteten Graphen ist gerade. Für einen gerichteten Graphen G =(V,E), n N und Knoten v 0,...,v n V mit (v i,v i+ ) E oder (v i+,v i ) E für 0 i<nist (v 0,...,v n ) ein Kantenzug von v 0 nach v n in G. Für einen gerichteten Graphen G =(V,E), n N und Knoten v 0,...,v n V mit (v i,v i+ ) E für 0 i<nist (v 0,...,v n ) ein Weg von v 0 nach v n in G. v n ist dann von v 0 aus erreichbar. Die Kantenrichtung aller Kanten auf dem Weg führt also vom Startknoten v 0 des Weges zu seinem Endknoten v n.einwegist also eine nicht-leere Folge von Knoten, die durch Kanten passender Richtung miteinander verbunden sind. In der Literatur findet man hierfür auch den Begriff des gerichteten Weges. Die Länge l eine Weges (v 0,...,v n ) in einem gerichteten GraphenG ist die Anzahl der Kanten auf dem Weg: l((v 0,...,v n )) = n Ein Zyklus in einem gerichteten Graphen G =(V,E) ist ein Weg (v,...,v) von v nach v der Länge l(v,...,v). c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0 Wege und Adjazenzmatrix Beispiele für Wege M G = Beispiel: G =({a, b, c, d}, {(a, b), (d, a), (c, b), (c, d)}) Zyklus in einem Graphen: M G = MG = M G M G = Sei G =(V,E) ein gerichteter Graph mit V = n und Adjazenzmatrix M G. b a d c Gerichteter Eulerweg in einem Graphen: Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) mit Adjazenzmatrix M G gibt die Matrix MG k die Anzahl der Wege an zwischen Knoten aus V mit genau der Länge k. Nach der hier vorgestellten für Wege dürfen auch Kanten mehrfach in Wegen benutzt werden. In der Literatur findet man für diese allgemeine Variante auch den Begriff Kantenzug (walk). Bei Kantenzügen und Wegen (trail) ist dabei oft auch die Kantenrichtung irrelevant, man unterscheidet z.b. Wege und gerichtete Wege. Außerdem dürfen Wege meist keine Kante mehrfach nutzen und einfache Wege oder Pfade (path) keinen Knoten mehrfach nutzen. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

14 Aussagen über Wege Zusammenhang Lemma Die Länge jedes Weges in einem gerichteten Graphen G =(V,E) ist beschränkt durch E. Lemma Jeder Weg w in einem gerichteten Graphen G =(V,E) mit Länge l(w) V enthält einen Zyklus. Bemerkung Es gibt zyklenfreie gerichtete Graphen mit n Knoten und mehr als n Kanten. Zwei Knoten v, w V eines gerichteten Graphen G =(V,E) heißen zusammenhängend genau dann, wenn es einen Kantenzug (v,...,w) in G gibt. Ein gerichteter Graph G =(V,E) heißt zusammenhängend, wenn für alle v, w V gilt, v und w sind zusammenhängend. Eine Zusammenhangskomponente eines gerichteten Graphen G =(V,E) ist der von einer maximalen Knotenmenge V V induzierte Teilgraph von G, sodassg zusammenhängend ist, d.h. der durch Hinzufügen eines weiteren Knotens v V \ V von V {v } induzierte Teilgraph von G ist nicht zusammenhängend. Jeder zusammenhängende gerichtete Graph mit n Knoten enthält mindestens n Kanten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Starker Zusammenhang Beispiele zum Zusammenhang Ein gerichteter Graph G =(V,E) heißt stark zusammenhängend, wenn für alle v, w V gilt, dass ein Weg von v nach w in G existiert. Eine starke Zusammenhangskomponente eines gerichteten Graphen G =(V,E) ist der von einer maximalen Knotenmenge V V induzierte Teilgraph G von G, so dass G stark zusammenhängend ist, d.h. der durch Hinzufügen eines weiteren Knotens v V \ V von V {v } induzierte Teilgraph von G ist nicht mehr stark zusammenhängend. Beispiel : Einbahnstraßenregelung zu Libori Aufgrund des hohen Verkehrsaufkommens bei Volksfesten überlegt der Stadtrat, ob nicht sämtliche Straßen für diese Zeit zu Einbahnstraßen gemacht werden. Können Sie den Stadtrat davon überzeugen, dass alle Stellen im Stadtgebiet erreichbar bleiben? Eine starke Zusammenhangskomponente S in G kann man folgendermaßen ermitteln:. Setzte S := {v} für einen Knoten v V.. Solange ein Knoten w V \ S existiert mit (a) Es gibt einen Weg von einem Knoten v S nach w und (b) es gibt einen Weg von w zu einem Knoten v S. füge w zu S hinzu.. Kann kein Knoten aus V \ S mehr zu S hinzugefügt werden, so ist S eine starke Zusammenhangskomponente. Beispiel : Baustelle auf dem Rathausvorplatz Der schlechte Zustand des Pflasters vor dem Rathaus macht eine Erneuerung nötig. Können Fußgänger noch alle Bereiche der Fußgängerzone erreichen, wenn der Rathausvorplatz komplett gesperrt wird, ohne dass sie den Fußgängerbereich verlassen müssen? Ein gerichteter Graph G =(V,E) kann in starke Zusammenhangskomponenten S,..., S k zerlegt werden, so dass für die S,..., S k definierenden Knotenmengen V,..., V k gilt V = V... V k c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

15 Orientierung Vollständige Orientierung Ein gerichteter Graphen G g =(V g,e g ) heißt Orientierung eines ungerichteten Graphen G u =(V u,e u ), falls gilt. V g = V u und. für jede Kante {v, w} E u gilt (v, w) E g oder (w, v) E g und. E u = E g. Eine Orientierung eines ungerichteten Graphen G =(V,E) kann man als Abbildung auffassen: o : E V V mit f({v, w}) {(v, w), (w, v)} für {v, w} E Der gerichtete Graph ergibt sich dann als G o =(V,{f(e) e E}). Ein ungerichteter Graph G =(V,E) heißt orientierbar, falls eine Orientierung von G existiert, die stark zusammenhängend ist. Ein gerichteter Graph G g =(V g,e g ) heißt vollständige Orientierung eines ungerichteten Graphen G u =(V u,e u ), falls gilt. V g = V u und. für jede Kante {v, w} E u gilt (v, w) E g und (w, v) E g. Die vollständige Orientierung eines ungerichteten Graphen G =(V,E) erhält man also, in dem man jede Kante durch die beiden entgegengesetzt gerichteten Kanten ersetzt. co : E V V mit f({v, w}) ={(v, w), (w, v)} für {v, w} E und damit G co =(V, e E f(e)). Für einen gerichteten Graphen G =(V,E) ohne Schleifen heißt der ungerichtete Graph G =(V,{{v, w} (v, w) E}) der zughörige (ungerichtete) Graph (underlying graph) zu G. Ein zusammenhängender ungerichteter Graph G =(V,E) ist orientierbar genau dann, wenn G keine Brückenkante enthält. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8 Gerichtete Bäume Beispiel für Bäume Ein gerichteter Baum mit Wurzel w ist ein gerichteter Graph G =(V,E) mit w V, so dass G ein Baum ist und so dass von w zu jedem Knoten v V genau ein Weg existiert. Ein gerichteter Baum ist also ebenso Zusammenhängend und zyklenfrei und besitzt genau V Kanten, analog zum ungerichteten Baum. Für einen ungerichteten Baum G =(V,E) gibt es also für jeden Knoten w V genau eine Orientierung von G, die ein gerichteter Baum mit Wurzel w ist. Für einen gerichteten Baum gilt: Vollständige binäre Bäume Induktive Für jeden Knoten v ist der Graph G =({v}, {}) ein vollständiger binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe 0. Seien G =(V,E ),G =(V,E ) vollständige binäre Bäume der Tiefe n mit Wurzeln v,v und disjunkten Knotenmengen V,V und sei v V V.Dannist G =({v} V V, {v, v ), (v, v )} E E ) ein vollständiger binärer gerichteter Baum mit Wurzel v der Tiefe n +. Nur so gebildete Graphen sind vollständige binäre gerichtete Bäume. Es existiert genau ein Knoten mit Eingangsgrad 0, nämlich die Wurzel. Jeder Knoten außer der Wurzel hat den Eingangsgrad. Blätter sind genau die Knoten mit Ausgangsgrad 0. Für einen gerichteten Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und einen Knoten v V heißt die Länge eines kürzesten Weges von w nach v die Tiefe von v in G. Die Tiefe des Baumes G mit Wurzel w ist die maximale Tiefe eines Knotens in G. Ein vollständiger binärer gerichteter Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, n N hat genau n Blätter und genau n i=0 i = n innere Knoten. Ein binärer gerichteter Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, n N hat b Blätter mit b n und genau b innere Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0

16 Modellierung mit gerichteten Graphen Programmaufrufgraph: Aufrufbeziehung zwischen Funktionen in einem Programm Knoten f: Funktion f im Programm Kante f g: Funktion f enthält Aufruf der Funktion g rekursive Funktion Schleife im Aufrufgraph wechselweise rekursive Aufrufe Zyklus der Länge nicht rekursive Funktion Knoten nicht in Zyklus nicht erreichbare Funktionen Eingangsgrad 0 g Modellierung mit gerichteten Graphen Abhängigkeitsgraph: Abhängigkeiten zwischen Aktionen oder Ereignissen Knoten e: Aktion, Ereignis Knotenmarkierung: Dauer der Aktion Kante e e : Aktion e ist Vorbedingung für e Der Graph muss zyklenfrei sein! Scheduling: sequentielle bzw. parallele Anordnung von Aktion/Operationen, z.b. von Transaktionen auf einer Datenbank Gesucht ist die kürzestmögliche Gesamtdauer für die Ausführung aller Aktionen unter Berücksichtigung der Abhängigkeiten. Kritischer Pfad: Weg von einem Anfangsknoten (Wurzel, Knoten mit Eingangsgrad 0) zu einem Endknoten (Blatt, Knoten mit Ausgangsgrad 0) mit maximaler Dauer (Summe der Knotenmarkierungen) f h h k Innerhalb eines Plans von kürzestmöglicher Gesamtdauer gibt es für jede Operation einen frühesten Zeitpunkt für den Beginn der Ausführung und einen spätesten Zeitpunkt hierfür, ohne die Gesamtdauer zu erhöhen. Ist der Pufferzeitraum 0, so spricht man von einer kritischen Operation. Ein kritischer Pfad enthält nur kritische Operationen. A B C D c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- Modellierung mit gerichteten Graphen Zustandsgraph: Übergänge zwischen Situationen oder Zuständen Knoten s: Situation, Zustand Kante s s : Aktion überführt Zustand s in Zustand s Kantenmarkierung: Dauer der Operation, Art der Aktion Beispiel: Rätsel des Alkuin (Mann, Wolf, Ziege, Kohlkopf), allgemein Suchräume, Spielbäume, Syntaxdiagramm, Entscheidungsbäume Nimm-Spiel: Gegeben ist ein Stapel mit s Streichhölzern, von dem Spieler abwechselnd mindestens und höchstens n Streichhölzer wegnehmen. Wer das letzte Streichholz nimmt, hat gewonnen. 7 B: B: B: B: B: B: B: B: B: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: A: B: B: B: B: B: B: B: B: B: B: B: B: A: A: A: 8 A: A: A: Gewinnstrategie: Wenn möglich, entferne k der s Streichhölzer mit k n, so dass (s k) mod (n +)=0gilt. Ansonsten nimm eine beliebige Anzahl und warte auf einen Fehler des Gegenspielers. Modellierung mit gerichteten Graphen Fluss-Netzwerke: Transport von Punkt zu Punkt über Wege mit beschränkter Kapazität Knoten s: Stationen Kante s s : Weg führt von Station s zu Station s Kantenmarkierung: Kapazität der Verbindung Beispiel: Netzwerk von Kanälen, über die in jeweils eine Richtung Daten übertragen werden können. Jeder Kanal hat eine feste Bandbreite. Wie viele Daten können maximal parallel von einem Knoten s zu einem Knoten t übertragen werden? s 8 a 0 8 b c f 8 7 d 7 e 7 t c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-

17 Flüsse und Schnitte () Sei G =(V,E) ein gerichteter Graph und c : E R + 0 eine Kantenmarkierung, die Kapazität der Kanten. t V sei von s V aus erreichbar. Es gelte ingrad(s) =0und outgrad(t) =0. Dann heißt N =(G, c, s, t) ein Fluss-Netzwerk mit Quelle s und Senke t. Ein Fluss auf N ist eine Abbildung f : E R + 0, die die folgenden Bedingungen erfüllt:. 0 f(e) c(e) für alle e E.. f((v,v)) = f((v, v )) für alle v V mit s v t. (v,v) E (v,v ) E Flüsse und Schnitte () Ein Schnitt (S, T ) von N ist eine disjunkte Aufteilung der Knoten, also S T = V, so dass s S und t T gilt. c(s, T ):= c((v,v )) v S,v T,(v,v ) E ist die Kapazität des Schnittes (S, T ). Ein Schnitt heißt minimal, wenn seine Kapazität minimal unter allen Schnitten ist. (Ford & Fulkerson 9) In einem Fluss-Netzwerk N ist der maximale Wert eines Flusses auf N gleich der minimalen Kapazität eines Schnittes in N. Es gilt dann (s,v) E f((s, v)) = (v,t) E f((v, t)), also liegt ein Fluss von s nach t vor mit dem Wert w(f) = f((s, v)) (s,v) E Ein Fluss heißt maximal, wenn sein Wert maximal unter allen Flüssen ist. s 8 8 (Fluss Kapazität) 0 a b c f 8 d e 7 7 t s a b c f 8 d e 7 7 t c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-