1 Herleitung der linearen Nachfragefunktion

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1 Technische Universität Berlin Prof. Dr. Christian Wey cweydiw.de Das lineare Cournot- und Bertrand-Modell mit di erenzierten Gütern (Handout zur Vorlesung Wettbewerbspolitik im SS 005) 5. Mai 005 In diesem Handout wird gezeigt, wie die Nachfragefunktion aus dem Nutzenmaximierungsproblem eines repräsentativen Konsumenten hergeleitet wird. Es werden die Nash-Gleichgewichtsergebnisse für Bertrand- und Cournot-Modell mit di erenzierten Gütern berechnet. Es wird insbesondere der Ein ußeiner Veränderung der Produktdi erenzierung auf die Gleichgewichtswerte und die soziale Wohlfahrt untersucht. Schließlich werden die Preise, die Ausbringungsmengen, die Gewinne, die Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt in Abhängigkeit von dem Grad der Produktdi erenzierung für beide Modelle verglichen. Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf die Beiträge von Singh und Vives [984] und Vives [985]. Herleitung der linearen Nachfragefunktion Wir betrachten eine Ökonomie mit einem monopolistischen Sektor, in dem zwei Unternehmen i ; jeweils ein di erenziertes Produkt anbieten. Des weiteren besitzt die Ökonomie einen Numeraire-Sektor z, in dem perfekte Konkurrenz besteht. Der Preis des Numeraire-Gutes sei auf eins normiert, so daßp z ist. Der Output des Unternehmens i ; sei q i. In der Ökonomie gibt es ein Kontinuum von Konsumenten des gleichen Typs mit einer Nutzenfunktion, die separierbar und linear im Numeraire- Gut ist. Des weiteren ist die Nutzenfunktion U des repräsentativen Konsumenten quadratisch und streng konkav in q i. Es sei U : R+ 3! R de niert durch U(q ; q ; q z ) q z + (q + q ) (q + q ) q q : () Die Budgetbeschränkung ist durch q z + p q + p q 6 I gegeben, wobei p i der Preis des Produktes i, und I das Einkommen des repräsentativen Konsumenten ist. Die Parameter und sind streng positiv und es gilt >. Strenge Konkavität erfordert,

2 daßder Grenznutzen der Güter und streng positiv ist. Außerdem mußdie erste Hauptdeterminante der Hesse-Matrix streng negativ und die zweite Hauptdeterminante streng positiv sein, was für > 0 und > 0 zutri t. Wir betrachten den Fall substitutiver Güter, so daß > 0 gilt. Aufstellung der Lagrangefunktion gibt max L(q ; q ; q z ) q z + (q + q ) q ;q ;q z0 (q + q) q q +(I q z p q p q ). () Wir erhalten die folgenden drei Bedingungen erster Ordnung für ein Nutzenmaximum, aus denen sich die Nachfragefunktionen für die di erenzierten Produkte des monopolistischen Sektors herleiten lassen: L q z 0 ) ; (3) L q q q p 0; (4) L q q q p 0: (5) Wir erhalten die inversen Nachfragefunktionen für die beiden Güter unmittelbar durch Einsetzen von in die Gleichungen 4 und 5 und Au ösen nach p und p : p q q (6) p q q. (7) Durch Au ösen dieses Gleichungssystems nach q und q erhalten wir die direkten Nachfragefunktionen q a bp + cp (8) ( ) q a bp + cp, (9) mit a, b und c. Die Nachfrage nach den Gütern und ist frei von Einkommense ekten. Wir kommen zu dem gleichen Ergebnis, wenn wir annehmen, daßder repräsentative Konsument seinen Überschuß(CS consumer surplus) auf dem monopolistischen Markt maximiert; i.e. max q ;q >0 CS U(q ; q ) p q p q, (0) mit U(q ; q ) (q + q ) (q + q) q q. In Anlehnung an die Produktionstheorie können wir dann sagen, daßder Konsument Nutzeneinheiten (utils) mit der Wir unterstellen, daßbeide Preise positiv sind. Wir unterstellen, daßdie Outputs positiv sind.

3 Nutzentechnologie U(q ; q ) maximiert. Hierbei ist der Preis einer Nutzeneinheit auf eins normiert. Diese Spezi kation erlaubt eine partielle Wohlfahrtsanalyse, in der wir ausschließlich die Konsumentenrente und die Produzentenrente des monopolistischen Sektors betrachten. Für eine partielle Wohlfahrtsanalyse verwenden wir die Konsumentenrente, wie sie in Gleichung 0 dargestellt ist. Des weiteren machen wir folgende Beobachtungen. Die Güter sind Substitute für > 0, unabhängig für 0 und Komplemente für < 0: Für sind die Güter perfekte Substitute. Die Nachfrage nach dem Gut i ist immer fallend im eigenen Preis und steigt (fällt) mit zunehmenden Preisen für das andere Produkt, wenn die Güter Substitute (Komplemente) sind. Der Grad der Produktdi erenzierung wird durch de niert. Wenn gegen eins geht, dann sind die Güter perfekt homogen, und wenn gegen null geht, dann sind die Güter unabhängig. Aus der Nutzenfunktion sehen wir, daßeine Erhöhung von die Nutzenfunktion nach unten verschiebt ( U q q < 0) und die inversen Nachfragefunktionen 6 und 7 nach innen um den Punkt p i rotiert. Der direkte E ekte von auf p i ist p i q < 0. Wenn wir unterstellen, daßp p p gilt, so sieht man, daßsich auch die direkten Nachfragefunktionen 8 und 9 nach innen verschieben, wenn die Güter homogener werden (i.e. steigt).: q ) [(( ) ( )p + ( )p] p < 0, () ( + ) weil annahmegemäß > p gilt. Wir halten also fest, daßeine Erhöhung von c.p. die Nachfrage nach beiden Gütern vermindert. Gleichgewichtswerte und Produktdi erenzierung. Das Cournot-Duopolmodell Wir betrachten zunächst das Cournot-Duopolmodell. Die inversen Nachfragefunktionen sind durch 6 und 7 gegeben. Die marginalen Kosten der Unternehmen seien null. Das Nash-Gleichgewicht für das Cournot-Modell (q C ; q C ) mit q C i arg max qi >0 ( q i q C j )q i, für i ; und i 6 j, ist dann 3 q C und wir erhalten als Gleichgewichtspreis p C q C +, () + 3 Im folgenden unterdrücken wir den Index i ;, weil die Lösungen symmetrisch sind. (3) 3

4 und als Gleichgewichtsgewinn C (q C ) Veränderungen von wirken sich wie folgt aus: q C ( + ) ( + ). (4) < 0, (5) ( + ) p C ( + ) < 0, (6) ( + ) C ( ( + ) ) 3 < 0. (7) ( + ) Die Ausbringungsmenge und die Gewinne der Unternehmen sinken, wenn die Produkte homogener werden. Ebenso fällt der Marktpreis mit steigendem. Die Mengenreaktion läßt sich unmittelbar aus den Reaktionsfunktionen R i (q j ) der Unternehmen ablesen: R i (q j ) q j. Wir sehen, daßeine Erhöhung von eine Rotation der Reaktionsfunktionen um den Punkt q i nach innen bewirkt, so daßsich die Gleichgewichtsout- puts für beide Unternehmen gleichermaßen verringern. Es folgt, daßsich der Gewinn der Unternehmen, der durch C (q C ) gegeben ist, und der Marktpreis, der als p C q C geschrieben werden kann, ebenfalls verringern, wenn sich erhöht.. Das Bertrand-Duopolmodell Wir betrachten jetzt das Bertrand-Duopolmodell. Das Nash-Gleichgewicht (p B ; p B ) mit p B i arg max pi >0 (a bp i + cp B j )p i, für i ; und i 6 j ist p B a b c und wir erhalten 4 q B bp B B b(p B ) ( ), (8) ( + ) ( ), (9) ( ) ( ) ( + ). (0) Es ergeben sich dann die folgenden Wirkungen einer Veränderung von auf die Gleichgewichtswerte p B, q B und B : p B ) (( ) < 0, () ( ) 4 Der Gewinn für den Bertrand-Fall ist im Buch von Oz Shy [996] auf Seite 40 falsch dargestellt. 4

5 q B ( ( + ) ( ) ) ( ) ( + ) ( ) () ) qb < 0 für < und qb > 0 für >, B ( ( ) ( ) ( + ) ) [( ) + ) ( + ) 3 < 0. (3) ( + ) Für den Marktpreis und den Unternehmensgewinn erhalten wir im Cournot- und im Bertrand-Duopolmodell das gleiche Ergebnis. Für die Gleichgewichtsmengen ist die Richtung der Wirkung einer Erhöhung von nur dann gleich in beiden Modellen, wenn < gilt. Dieses Ergebnis kann man sich folgendermaßen erklären. Wir betrachten die Gleichgewichtsoutputs entlang der Gleichgewichtspreise (p B p B p B ) in Abhängigkeit von und erhalten q B (; p B ()) a() [(b() c())p B ()]. Das totale Di erential nach ist dann dq B d da ( db dc d d dy )pb {z } direkter E ekt (b c) dpb. (4) d {z } indirekter E ekt Für den direkten E ekt da ( db dc d d dy )pb erhalten wir (wie schon in Gleichung gezeigt wurde) einen negativen Zusammenhang ) [(( ) (( ) ( ))pb ] p < 0. (5) ( + ) Der indirekte E ekt leitet sich aus dem Ein ußvon auf die Gleichgewichtspreise ab. Wir wissen bereits aus Gleichung, daßdie Gleichgewichtspreise im Bertrand- Duopolmodell mit abnehmender Produktdi erenzierung fallen. Weil ( )(b c) immer negativ ist, gilt dann, daßder indirekte E ekt positiv sein muß. In der Tat erhalten wir ( )(b c) d ) (( d ) ( ) (b c) ( ) > 0. (6) Wir halten fest: Mit zunehmendem sinkt einerseits die Nachfrage nach den Produkten (direkter E ekt) und anderseits steigt die Nachfrage, weil die Preise sinken (indirekter E ekt). Der Gesamte ekt ist in der Gleichung berechnet. Man sieht, daßfür eine relativ große Produktdi erenzierung, so daß < gilt, der direkte Effekt den indirekten E ekt dominiert. Sind die Produkte jedoch relativ homogen, so daß > gilt, so überwiegt der indirekte E ekt, und die Gleichgewichtsoutputs der Unternehmen steigen. Wenn die Produkte sehr homogen werden, dann wächst die Konkurrenz (gemessen in niedrigeren Gleichgewichtspreisen) stark an, so daßdie Konsumenten trotz geringerer Wertschätzung für die Produkte mehr konsumieren. 5

6 .3 Die soziale Wohlfahrt Die soziale Wohlfahrt, SW, ist die Summe aus Konsumentenrente, CS, und Produzentenrente, P R +. Wir wenden uns zunächst dem Cournot-Modell zu. Durch Einsetzen der Gleichgewichtswerte q C und p C in den Ausdruck für die Konsumentenrente aus 0 erhalten wir Ableiten nach gibt CS C (p C ; q C ) q C (q C ) (q C ) p C q C (7) ( + ) ( + ). (8) CS C ( + ) ( ( + ) ) 3 < 0. (9) ( + ) Die Konsumentenrente fällt also, wenn die Produkte homogener werden. Aus 7 wissen wir bereits, daßdie Gewinne ebenfalls negativ mit korreliert sind. Aus diesem Grunde sinkt die soziale Wohlfahrt mit geringerer Produktdi erenzierung; es gilt damit dsw C < d 0. Dieses Ergebnis erhalten wir auch durch direktes Einsetzen von q C in SW C : und wir erhalten SW C U(q C ; q C ) p C q C p C q C + C + C (30) U(q C ; q C ) (3) q C (q C ) (q C ) (3) (3 + ) ( + ), (33) SW C ( (3 + ) ( + ) ) (4 + ) ( + ) 3 < 0. (34) Wir betrachten jetzt den Bertrand-Fall. Einsetzen der Gleichgewichtswerte aus den Gleichungen 8 und 9 in den Ausdruck für die Konsumentenrente 0 ergibt und wir erhalten durch Ableitung nach CS B q B (q B ) (q B ) p B q B (35) ( ) ( + ), (36) CS B 3 ( ) 3 > 0. (37) ( + ) 6

7 Im Gegensatz zum Cournot-Modell steigt im Bertrand-Modell die Konsumentenrente, wenn die Güter homogener werden. Sowohl die Gewinne (siehe Ausdruck 3) als auch die Konsumentenrente sinken, wenn die Produkte homogener werden. Für die soziale Wohlfahrt erhalten wir dann Ableiten nach gibt SW SW B CS B + B U(q B ; q B ) (38) q B (q B ) (q B ) (39) (3 ) ( ) ( + ). (40) ( (3 ) ( ) ( + ) ) 4 ( 7 8 ) ( ) 3 ( + ) < 0 (4) Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie im Cournot-Modell. Die soziale Wohlfahrt sinkt, wenn die Produkte homogener werden. Die insgesamt erzielbare Tauschrente, die durch die Nutzenfunktion U(q ; q ) wiedergegeben ist, fällt mit einer geringeren Produktdifferenzierung kontinuierlich. Dieser negative Nachfragee ekt homogenerer Güter wird im Bertrand-Modell nicht durch die schärfer werdende Konkurrenz kompensiert werden..4 Cournot- versus Bertrand-Duopolmodell Wir vergleichen die Preise, die Ausbringungsmengen, die Gewinne, die Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt, die sich im Nash-Gleichgewicht des Cournot- und des Bertrand-Modells einstellen. Für die Preise erhalten wir p C p B ( + ) ( ) > 0. (4) 4 Vergleichen der Mengen ergibt q C q B und für die Gewinne erhalten wir C B ( + ) ( ) ( + ) < 0 (43) 3 ( + ) ( ) ( + ) Schließlich ergibt sich für die Konsumentenrente CS C CS B ( + ) ( + ) ( ) ( + ) > 0. (44) (45) (4 + ) ( ) ( + ) ( + ) < 0 (46) 7

8 und für die soziale Wohlfahrt erhalten wir SW C SW B ( (3 + ) ( + ) ) (3 ) ( ) ( + ) (( + ) 5 ) ( + ) ( + ) ( + ) (47) < 0. (48) Der Vergleich des Cournot- mit dem Bertrand-Modell ergibt also folgende Resultate für den Fall di erenzierter Produkte (i.e. 0 < < ):. Der Marktpreis ist bei Cournot-Konkurrenz immer größer als bei Bertrand-Konkurrenz.. Die Ausbringungsmengen der Unternehmen sind bei Bertrand-Konkurrenz immer größer als bei Cournot-Konkurrenz. 3. Die Unternehmensgewinne sind im Cournot-Modell immer größer als im Bertrand- Modell. 4. Die Konsumentenrente ist bei Bertrand-Konkurrenz immer größer als bei Cournot- Konkurrenz. 5. Die soziale Wohlfahrt ist im Bertrand-Modell immer größer als im Cournot- Modell. Bertrand-Konkurrenz ist schärfer als Cournot-Konkurrenz, weil die Preise im Bertrand- Modell bei Produktdi erenzierung immer größer sind als im Cournot-Modell. Oder anders ausgedrückt: Cournot-Konkurrenz ist monopolistischer als Bertrand-Konkurrenz. Singh und Vives [984, S. 549] führen folgende Begründung für dieses Ergebnis an: Die Unternehmen haben im Bertrand-Modell einen kleineren Spielraum, den Preis zu erhöhen, weil die erachtete Preiselatizität der Nachfrage eines Unternehmens größer ist, wenn der Preis des Konkurrenzunternehmens als gegeben angenommen wird, als wenn die Menge des Konkurrenzunternehmens als gegeben angenommen wird.im ersten [Bertrand-] Fall ist der absolute Wert der Steigung der erachteten Nachfragefunktion eines Unternehmens [ ] und im zweiten [Cournot-] Fall ist er [ ]. Das Ergebnis ist, daßdie Unternehmen bei Bertrand-Konkurrenz niedrigere Preise setzen als bei Cournot- Konkurrenz. (Singh und Vives [984, S. 549], Übersetzung und Hinzufügungen C.W.) Der Vergleich der Gleichgewichtswerte zeigt auch, daßbei maximaler Produktdi erenzierung, mit 0, die Unterschiede zwischen beiden Modellen verschwinden. Wir be nden uns dann im Monopolfall. Der Konkurrenztyp wird damit immer unwichtiger, je di erenzierter die Produkte sind. 8

9 3 Ein Beispiel Wir setzen 0 und in die Gleichgewichtswerte ein und stellen alle endogenen Variablen als Funktion von dar. Die Gleichgewichtswerte sind in der nachfolgenden Tabelle angeführt. Cournot Bertrand Preis Menge Gewinn CS SW + ( ) + (+)( ) (+) ( ) ( ) (+) (+) (+) ( ) (+) (3+) (+) (3 ) ( ) (+) Einsetzen der Werte 0 und ergibt die folgenden Ausdrücke. Cournot Bertrand Preis Menge Gewinn CS CW ( ) (+)(4 ) 00 (4+) 00( ) (4 ) (+) 00(+) (4+) 400 (4 ) (+) 00(6+) (4+) 00(6 ) (4 ) (+) In den nachstehenden Abbildungen sind die Preise, die Mengen, die Gewinne, die Konsumentenrente und die soziale Wohlfahrt in Abhängigkeit von dargestellt. Die fett gezeichneten Kurven geben den Cournot-Fall an <--- hoch Produktdiff. niedrig ---> Preise (fettc) <--- hoch Produktdiff. niedrig ---> Outputs (Cfett) 9

10 <--- hoch Produktdiff. niedrig ---> Gewinne (Cfett) <--- hoch Produktdiff. niedrig ---> Konsumentenrente (Cfett) <--- hoch Produktdiff. niedrig ---> Soziale Wohlfahrt (Cfett).5 Literatur Singh, N. und Vives, X. [984], Price and Quantity Competition in a Di erentiated Duopoly, Rand Journal of Economics, 5, Vives, X. [985], On the E ciency of Bertrand and Cournot Equilibria with Product Di erentiation, Journal of Economic Theory, 36,