KOMPETENZHEFT ZUR STOCHASTIK I

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1 KOMPETENZHEFT ZUR STOCHASTIK I Inhaltsverzeichnis. Aufgabenstellungen 2. Relative Häufikgeiten 3. Zufallsexperimente 7 4. Zufallsvariablen & Erwartungswert Baumdiagramme & Bedingte Wahrscheinlichkeit 29. Gegenwahrscheinlichkeit Irren ist menschlich 3. Aufgabenstellungen Aufgabe.. Nach Karl Landsteiner unterscheidet man vier Blutgruppen: 0, A, B und AB. Diese kommen in Österreich annähernd mit folgender relativer Häufigkeit vor: Zusätzlich wird je nach Vorliegen eines bestimmten Antigens noch zwischen Rhesus-positiv und Rhesus-negativ unterschieden. 5 % aller Personen in Österreich sind Rhesus-positiv, alle anderen Rhesus-negativ, wobei die Verteilung bei allen Blutgruppen gleich ist. Im nachstehenden Baumdiagramm sind alle möglichen Fälle für Blutgruppen mit ihrem Rhesusfaktor aufgelistet. Vervollständigen Sie das obige Baumdiagramm, indem Sie die Pfeile mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschriften. Datum: 4. März.

2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in Österreich die Blutgruppe B Rhesus-negativ hat. Beschreiben Sie, welches Ereignis durch die beiden fett gezeichneten (nicht strichlierten) Pfade angegeben wird. Aufgabe.2. Beim Würfeln mit einem fairen Spielwürfel treten die Augenzahlen bis jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Bei einem Brettspiel wird zu Beginn des Spiels mit einem fairen Spielwürfel gewürfelt. Um das Spiel beginnen zu können, muss man einen Sechser würfeln. In einem Durchgang hat man maximal 3 Versuche zur Verfügung. Sobald man einen Sechser gewürfelt hat, ist die nächste Spielerin / der nächste Spieler an der Reihe. Stellen Sie alle möglichen Ausgänge ( Sechser oder kein Sechser ) für einen Durchgang für eine Spielerin/einen Spieler in einem Baumdiagramm dar. Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Spielerin/ein Spieler in einem Durchgang das Spiel beginnen kann. Aufgabe.3. Die Österreichischen Lotterien bieten eine Onlineform des Briefloses an. Ein Online-Brieflos kostet e. Die Höhe und die Anzahl der Gewinne können der nachstehenden Tabelle entnommen werden. Insgesamt wurden, Millionen Online-Lose aufgelegt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Online-Kauf eines einzelnen Loses (i) genau seinen Spieleinsatz in Höhe von e zurückgewinnt, (ii) einen höheren Gewinn als den Lospreis erzielt. b) Herr P. möchte den Hauptpreis e gewinnen. Er glaubt, dass er dieses Ziel durch den Kauf von sehr vielen Losen realisieren kann. Argumentieren Sie dabei mithilfe der Anzahl der Lose, die Herr P. kaufen und prüfen müsste, um sicher einen Hauptpreis zu gewinnen. c) Bei der klassischen Variante des Briefloses ermöglicht ein Fünftel aller Lose, dass die Besitzerin/der Besitzer sich für die Teilnahme an der Brieflos-Show anmeldet. In jeder Brieflos-Show wird Los aus N Einsendungen für die darauf folgende Show gezogen. Die Besitzerin/der Besitzer dieses Loses kann in der nächsten Show ein Glücksrad mit 0 Gewinnfeldern drehen. Insgesamt 3 dieser Felder zeigen den Hauptgewinn an. 2

3 Dokumentieren Sie, wie sich für die Käuferin/den Käufer eines Briefloses die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn beim Glücksrad berechnen lässt. d) Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Glücksrad mindestens e gewinnt, beträgt ungefähr 7, %. Berechnen Sie, wie viele Personen das Glücksrad drehen müssen, damit mit mindestens 90 %iger Wahrscheinlichkeit mindestens -mal ein Betrag dieser Höhe ausbezahlt werden muss. Aufgabe.4. Ein Hotel kann 93 Zimmer vermieten. Die Hotelzimmer wurden teilweise renoviert. Bei einer Onlinebuchung wird einem Gast zufällig ein Zimmer zugewiesen. Das nachstehende Baumdiagramm zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit das zugeteilte Zimmer ein Raucher- bzw. Nichtraucherzimmer ist und mit welcher Wahrscheinlichkeit das Zimmer renoviert bzw. nicht renoviert wurde. Kreuzen Sie die richtige Aussage an. [ aus 5] Berechnen Sie mithilfe des Baumdiagramms die Anzahl der renovierten Zimmer. Aufgabe.5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motorradfahrer in einem bestimmten Streckenabschnitt zu schnell fährt, beträgt erfahrungsgemäß 2, %. Für eine statistische Auswertung wurde eine Zufallsstichprobe von 3 Geschwindigkeitsmessungen untersucht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Zufallsstichprobe mindestens Motorradfahrer zu schnell unterwegs war. Berechnen Sie, wie groß der Umfang der Zufallsstichprobe sein müsste, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens Motorradfahrer zu schnell unterwegs war. Aufgabe.. Die Scan-Methodik eines Virenscanners arbeitet mit 2 Scanner-Komponenten, den Engines A und B. Die Engines überprüfen Dateien in mehreren Scans immer abwechselnd. Der Prozess des abwechselnden Scannens kann beliebig lang fortgesetzt werden. Sobald in einer Datei ein 3

4 Virus von beiden Engines erkannt wurde, wird die Datei gelöscht. Die Engine A arbeitet mit der Erkennungswahrscheinlichkeit p A = 2 3 und die Engine B mit der Erkennungswahrscheinlichkeit p B = 5. Das nachstehende Baumdiagramm zeigt die Scan-Methodik beginnend mit der Engine A bei 3 aufeinanderfolgenden Scans. e... Virus wird erkannt, ne... Virus wird nicht erkannt Übertragen Sie die passenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es nach höchstens 3 Scans zum Löschen der Datei kommt. Aufgabe.7. Bei der Produktion von Rucksäcken treten erfahrungsgemäß 3 verschiedene Fehlerarten unabhängig voneinander auf. P ( Nahtfehler ) = 2 % P ( Reißverschlussdefekt ) = 3 % P ( Farbfehler ) = % a) Ein Rucksack wird zufällig ausgewählt und überprüft. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P (E) = 0,02 0,97 0,99 berechnet. Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit so berechnet wird. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Rucksack mindestens dieser 3 Fehlerarten aufweist. Aufgabe.. Würfelspiele sind seit Jahrtausenden auf der ganzen Welt bekannt und beliebt. Die im Folgenden beschriebenen Spiele werden mit herkömmlichen fairen Spielwürfeln gespielt, bei denen die Augenzahlen bis jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Würfelergebnis auftreten. a) Eines der beliebtesten Gesellschaftsspiele ist Mensch ärgere Dich nicht. Um eine Figur ins Spiel zu bringen, muss ein Sechser gewürfelt werden. In der. Runde darf jede Spielerin/jeder Spieler mit einem Würfel 3-mal würfeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3-maligem Würfeln mindestens Sechser auftritt. b) Beim Spiel Siedler von Catan wird mit 2 Würfeln gespielt. Wird die Augensumme 7 gewürfelt, tritt die Figur des Räubers in Aktion. 4

5 Zeigen Sie, dass beim Werfen mit 2 Würfeln die Augensumme 7 häufiger auftritt als jede andere Augensumme. c) Beim Paschen werden 3 Würfel geworfen und es wird die Augensumme ermittelt. Im folgenden Diagramm ist zu jeder beim Werfen mit 3 Würfeln möglichen Augensumme die entsprechende Wahrscheinlichkeit dargestellt: Ermitteln Sie aus dem Diagramm, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Augensumme größer als 0 auftritt. Aufgabe.9. In einer Kiste befinden sich 0 rote und 40 weiße Kugeln. Jedes Kind darf 3-mal blind hineingreifen und jeweils Kugel herausholen. Dann werden die Kugeln für das nächste Kind wieder hineingelegt. Das nachstehende Baumdiagramm stellt diesen Sachverhalt für ein Kind dar. Kennzeichnen Sie im Baumdiagramm alle Möglichkeiten, 2 rote Kugeln (R) und weiße Kugel (W ) zu ziehen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind 3 rote Kugeln zieht. Aufgabe.0. Als Werbestrategie wird den Besuchern ein Gewinnspiel angeboten. Jeder Besucher darf mit einem fairen Spielwürfel, bei dem die Augenzahlen bis mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, einmal würfeln. Zeigt der Würfel die Augenzahl, gewinnt man einen 0-Euro-Gutschein, bei der Augenzahl 5 gewinnt man einen 5-Euro-Gutschein. Bei jeder anderen Augenzahl gewinnt man nichts. 5

6 Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns eines Besuchers. Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswerts im gegebenen Sachzusammenhang. Aufgabe.. Legosteine sind Bausteine aus Kunststoff, die von einem dänischen Unternehmen produziert werden. Tobias spielt mit 5 Legosteinen: 2 Steine mit 3 Noppen in einer Reihe und 3 Steine mit 4 Noppen in einer Reihe (siehe nebenstehende Abbildung). Er zieht zufällig (also ohne die Anzahl der Noppen zu sehen oder zu ertasten) einen Legostein nach dem anderen und legt sie aneinander. Er zieht so lange, bis die entstehende Mauer mindestens 7 Noppen lang ist. Das nachstehende Baumdiagramm zeigt seine möglichen Züge und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Beschreiben Sie, welches Ereignis E durch den fett gezeichneten Pfad beschrieben wird. Die Zufallsvariable X beschreibt die gesamte Anzahl der Noppen in der Mauer. Bestimmen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Baumdiagramms und tragen Sie diese in der nachstehenden Tabelle ein. Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der Züge, die Tobias benötigt, um eine Mauer mit mindestens 7 Noppen zu erhalten. Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen Y.

7 Aufgabe.2. In einer Kiste sind genau 3 Bausteine: ein roter, ein blauer und ein grüner. Jemand nimmt ohne hinzusehen einen Baustein nach dem anderen aus der Kiste. Es wird nun so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis man den blauen Baustein gezogen hat. Veranschaulichen Sie die möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperiments in einem mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschrifteten Baumdiagramm. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Züge, die benötigt werden, bis der blaue Baustein gezogen worden ist. Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle. Berechnen Sie, mit wie vielen Zügen man erwartungsgemäß rechnen muss, bis der blaue Baustein gezogen worden ist. Aufgabe.3. Gummibärchen werden in unterschiedlichen Farben hergestellt. a) In einer Packung mit insgesamt 32 Gummibärchen sind 27 orangefärbige Gummibärchen. Carina nimmt ohne hinzusehen ein Gummibärchen aus der Packung. Ist dieses zufällig ausgewählte Gummibärchen orangefärbig, wird es sofort gegessen. Ein andersfärbiges Gummibärchen legt sie wieder in die Packung zurück. Das macht sie 2-mal hintereinander. Veranschaulichen Sie die möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperiments in einem mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten beschrifteten Baumdiagramm. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Carina 2 orangefärbige Gummibärchen zieht. b) Eine kleine Packung Gummibärchen enthält 5 rote Gummibärchen und je grünes, gelbes und weißes Gummibärchen. Es wird ein Gummibärchen nach dem anderen zufällig aus der Packung genommen und nicht wieder zurückgelegt. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis ein rotes Gummibärchen gezogen wird. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der benötigten Züge, bis ein rotes Gummibärchen gezogen wird. Erstellen Sie eine Tabelle, der man die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen X und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen kann. Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswertes im gegebenen Sachzusammenhang. 7

8 Aufgabe.4. Die angeführte Tabelle zeigt die durchschnittliche Anzahl der Regentage in Gmunden (Oberösterreich) für die Monate Juni bis September. In einem Hotel kostet eine bestimmte Zimmerkategorie 75 e pro Übernachtung. Der Hotelier hat für den Monat August nun folgende Idee: Hotelgäste sollen für jeden Regentag nur mehr die Hälfte bezahlen. Damit der durchschnittliche Zimmerpreis von 75 e erhalten bleibt, erhöht der Hotelier den offiziellen Zimmerpreis. Berechnen Sie, wie hoch er den neuen Zimmerpreis ansetzen muss. Aufgabe.5. In Urne A befinden sich 3 schwarze (S) und 5 weiße (W) Kugeln. In Urne B befinden sich 7 schwarze und 2 weiße Kugeln. Du wirfst einen fairen -seitigen Würfel. Wenn das Würfelergebnis mindestens 5 ist, dann ziehst du eine zufällige Kugel aus Urne A. Ansonsten ziehst du eine zufällige Kugel aus Urne B. Beschrifte beide Baumdiagramme mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. A B S W S W S W A B A B

9 .0 E( Gewinn ) = 2,50 e. Der Erwartungswert beschreibt den mittleren Gewinn pro Person unter der Annahme, dass eine große Anzahl an Personen an diesem Spiel teilnimmt.. E ist das Ereignis, dass 2 Steine mit 4 Noppen gezogen werden..2 E(Y ) = 2 0, , = 2,. E(X) = 2..3 a) P ( 2 orangefärbige Gummibärchen ) = 0, = 4,059...%. E(X) =,5. Der Erwartungswert gibt an, wie viele Züge man im Mittel benötigt, bis ein rotes Gummibärchen gezogen wird..4 Der Hotelier müsste einen Preis von 93,5 e pro Übernachtung veranschlagen, um mit einem durchschnittlichen Preis von 75 e pro Übernachtung auszusteigen A B S W S W S W A B A B 9

10 P ( Blutgruppe B Rhesus-negativ ) = 2,25 %. Es wird das Ereignis beschrieben, dass eine (zufällig ausgewählte) Person Blutgruppe A oder AB hat und Rhesuspositiv ist = 42,2...%.3 a) (i) = 2,2...% (ii) =,42...% b) Die Überlegung von Herrn P. ist nicht sinnvoll, da nur 3 der Lose Haupttreffer von sind. Erst der Kauf von Losen würde den sicheren Gewinn garantieren. Sein Einsatz müsste daher den möglichen Gewinn um ein Vielfaches übersteigen. c) Zum Beispiel mit Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeiten entlang des betreffenden Astes werden multipliziert. P ( Treffer bei Glücksrad ) = 5 N 3 0 d) n 2,35... Es müssen mindestens 29 Kandidatinnen/Kandidaten das Glücksrad drehen..4 Die.Antwort ist richtig. Es wurden 74 Zimmer renoviert..5,2...%, n 3,7... = Ab einem Stichprobenumfang von 4 befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein zu schnell fahrender Motorradfahrer in dieser Stichprobe.. P ( Löschen der Datei nach höchstens 3 Scans ) = 40 = 55,55...% 72.7 a) Es wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis berechnet, dass ein zufällig kontrollierter Rucksack Nahtfehler, aber keine der beiden anderen Fehlerarten aufweist. b) 5,9...%. a) 42,2...% b) Für die Augensumme 7 gibt es günstige Ausgänge (, ), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (, ). Für alle anderen Augensummen gibt es weniger günstige Ausgänge, z.b. für gibt es (2, ), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (, 2). c) 50 %.9 Es gibt 3 Möglichkeiten (Pfade), weiße Kugel und 2 rote Kugeln zu ziehen. (Alle haben Wahrscheinlichkeit ) Wahrscheinlichkeit 3 rote Kugeln ziehen: 0 9 = 0,2...%

11 2. Relative Häufikgeiten Beispiel 2.. Ein Laplace-Würfel ist ein fairer -seitiger Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von bis durchnummeriert sind. Wir sagen auch: Der Würfel hat die Augenzahlen bis. Mit fair meinen wir, dass die Chancen für alle Seiten gleich gut stehen. Du wirfst einen Laplace-Würfel. Wie stehen die Chancen,... Warum stehen die Chancen bei normalen Würfeln vielleicht nicht genau gleich gut? günstig zu möglich... einen Sechser zu würfeln? zu = :... eine gerade Zahl zu würfeln? zu = : Du wirfst 2 Laplace-Würfel und berechnest die Augensumme. Welche Augensummen können dabei auftreten? Ergänze die jeweiligen Augensummen in der nebenstehenden Tabelle. Wir spielen ein Spiel, bei dem du gewinnst, wenn du auf die richtige Augensumme tippst. Auf welche Augensumme würdest du tippen? Wie stehen die Chancen, die Augensumme zu würfeln? zu = :... dass die Augensumme durch 3 teilbar ist? zu = :... die Augensumme 7 oder zu würfeln? zu = :... dass die Augensumme gerade ist? zu = :... dass die Augensumme durch 3 teilbar oder gerade ist? zu = : Ich würfle geheim mit zwei -seitigen Würfeln. Vom Würfelergebnis verrate ich dir nur so viel: Die Augensumme ist größer als. Mit diesem Wissen im Hinterkopf: Wie stehen die Chancen, dass die Augensumme 2 ist? zu = :... dass ein Würfel einen Dreier zeigt? zu = :

12 Verhältnisse wie z.b. : werden je nach Kontext auf 2 unterschiedliche Arten verwendet: ) Chance : ( günstig zu möglich ) Es gibt mögliche Würfelergebnisse, nur eines davon ist für mich günstig. Auf lange Sicht erwarte ich, dass durchschnittlich der Würfe Sechser sind. Maßstab : cm auf der Karte entspricht cm in der Realität. Auf der Karte ist jede Länge also ) Mischungsverhältnis : der tatsächlichen Länge. Verhältnisse ml Ethanol wird mit ml Wasser gemischt. Das Mischungsverhälntnis von Ethanol zu Wasser ist :. Der relative Anteil von Ethanol an der Mischung ist 7. Wasser Streckenteilung im Verhältnis : Eine Strecke von 7 cm Länge soll im Verhältnis : geteilt werden. Die kürzere Teilstrecke ist dann cm lang, die längere Teilstrecke ist cm lang. Der relative Anteil der kürzeren Strecke an der Gesamtstrecke ist. 7 Chance 50 : 50 ( günstig zu ungünstig ) Es gibt 2 mögliche Ergebnisse, die beide die gleichen Chancen haben. Umgangssprachlich sagt man: Die Chancen stehen 50:50. In der Wahrscheinlichkeitstheorie meinen wir bei Chancen immer ), also günstig zu möglich. Ethanol In einer Liste mit n Zahlen treten insgesamt k verschiedene Zahlen x, x 2,..., x k auf. Die absolute Häufigkeit H i gibt an, wie oft der Wert x i in der Liste vorkommt. Die relative Häufigkeit h i gibt an, welcher Anteil der Zahlen auf der Liste x i sind, also h i = H i n. Häufigkeiten Ist die relative Häufigkeit in Prozent angegeben, sprechen wir auch von prozentueller Häufigkeit. Beispiel 2.2. Die Liste 9, 2, 2, 7, 2, 9, 2, 9 mit n = Zahlen enthält k = 3 verschiedene Zahlen. Die absoluten und relativen Häufigkeiten von x = 2, x 2 = 7 und x 3 = 9 sind in der Tabelle rechts dargestellt. x i H i 4 3 h i 4 3 2

13 Eigenschaften relativer Häufigkeiten In einer Liste mit n Zahlen treten insgesamt k verschiedene Zahlen x, x 2,..., x k auf. Erkläre die folgenden beiden Eigenschaften der relativen Häufigkeiten h i : ) 0 h i und 2) h + h h k =. i =, 2,..., k Beispiel 2.3. In einer Liste mit n Zahlen treten insgesamt 4 verschiedene Zahlen auf. Die relative Häufigkeit der Zahlen 2, 5 und in der Liste sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Die Zahl 42 kommt auch in der Liste vor. a) Wie groß ist der relative Anteil von 42 in der Liste? b) Wie groß ist der relative Anteil gerader Zahlen in der Liste? x i h i Lösung. a) Die Summe der relativen Häufigkeiten ist. Die relative Häufigkeit von x 4 = 42 ist also h 4 = = 2 5. b) Auch die relative Häufigkeit gerader Zahlen in der Liste hängt nicht von der Gesamtanzahl n ab: H + H 3 + H 4 n = h + h 3 + h 4 = = 9 5. Relativer Anteil Wie rechnet man 3 von aus? Armin erinnert sich: Ein Achtel von ist = 5. Also sind drei Achtel von gleich 3 5 = Diese Abkürzung merken wir uns: von = 3. Beispiel 2.4. In einem Fußballstadion sehen sich 2 00 Personen ein Match zwischen Team A und Team B an. der Personen sind Fans von Team A, die anderen Personen sind Fans von Team B der Fans von Team A sind minderjährig. Unter den Fans von Team B befinden sich 740 volljährige Personen. a) Vervollständige die Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten. Im Folgenden sind mit Personen im Stadion immer ausschließlich die Fans gemeint. A B Summe volljährig minderjährig Summe 3

14 b) Beschrifte das dargestellte Baumdiagramm mit den relativen Häufigkeiten. A B volljährig minderjährig volljährig minderjährig c) Welcher relative Anteil der Personen im Stadion sind Fans von Team A und minderjährig? d) Welcher relative Anteil der Personen im Stadion ist volljährig? e) Welcher relative Anteil der volljährigen Personen im Stadion sind Fans von Team B? Lösung. a) = 3 0 der Personen im Stadion sind Fans von Team A Fans sind minderjährig. Die anderen = 0 90 Fans sind volljährig. = 230 dieser = 400 der Personen im Stadion sind Fans von Team B. Da 740 von ihnen volljährig sind, bleiben = dieser Fans, die minderjährig sind. Die absoluten Häufigkeiten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: volljährig minderjährig Summe A B Summe So eine Tabelle wird auch Vierfeldertafel genannt. b) Die zwei Entscheidungen Team A/Team B und volljährig/nicht volljährig stellen wir in einem zweistufigen Baumdiagramm dar. Von der ersten Stufe kennen wir die relative Häufigkeit von Team A. Die relative Häufigkeit von Team B ist also = 7. volljährig A B 3 minderjährig volljährig minderjährig Genauso können wir die relativen Häufigkeiten für die zweite Stufe von Team A berechnen. Für die zweite Stufe von Team B verwenden wir, dass 740 der 400 Fans von Team B volljährig sind. Die relative Häufigkeit ist also = 7. c) Wir haben zwei verschiedene Lösungswege: ) Lösung mit absoluten Häufigkeiten: Insgesamt sind 2 00 Personen im Stadion. Davon sind 230 Personen minderjährig und Fans von Team A. Der relative Anteil ist also =

15 2) Lösung mit relativen Häufigkeiten: Multiplikationssatz von allen Personen sind Fans von Team A. Davon sind 7 40 minderjährig. Der relative Anteil aller Personen, die Fans von Team A und nicht volljährig sind, beträgt also 7 40 = volljährig A B 3 minderjährig volljährig minderjährig d) ) Lösung mit absoluten Häufigkeiten: Von den 2 00 Personen im Stadion sind 030 Personen volljährig. Der gesuchte relative Anteil ist also = ) Lösung mit relativen Häufigkeiten: aller Personen im Stadion sind Fans von Team A 7 und volljährig. 7 aller Personen im Stadion sind Fans von Team B und volljährig. Der relative Anteil der volljährigen Personen im Stadion ist = 0 7. volljährig A 7 40 Additionssatz 7 7 B 3 minderjährig volljährig minderjährig e) ) Lösung mit absoluten Häufigkeiten: Diesmal ist nicht ein relativer Anteil an allen Personen im Stadion gesucht, sondern nur ein relativer Anteil an den volljährigen Personen. Unter den 030 volljährigen Personen befinden sich 740 Fans von Team B. Der gesuchte relative Anteil ist also = ) Lösung mit relativen Häufigkeiten: Einschränkung der Grundmenge Von d) wissen wir, dass 0 der Personen im Stadion volljährig 7 sind. Volljährig und Fan von Team B sind 7 7 der Personen im Stadion. Der gesuchte relative Anteil ist also = Team A Team B volljährig minderjährig 9 7 volljährig und Team A volljährig und Team B minderjährig und Team A minderjährig und Team B Wenn wir die absoluten Häufigkeiten kennen, sind wir mit Lösungsmethode ) schneller. Kennen wir nur die relativen Häufigkeiten, sind diese Aufgaben mit Methode 2) aber immer noch lösbar. 5

16 Eigenschaften von Baumdiagrammen Jede Verzweigung in einem Baumdiagramm zeigt eine Aufteilung in verschiedene Gruppen an. Weshalb können wir die Gruppen A = Jugendliche, die gerne Musik hören und B = Jugendliche, die gerne Sport machen wohl nicht als Verzweigung in einem Baumdiagramm darstellen? Wir beschriften die Kanten mit den relativen (oder prozentuellen) Anteilen der einzelnen Gruppen. Die Summe dieser Anteile ist bei jeder Verzweigung immer. Wie groß ist also c im Beispiel rechts? 0 % % c % 42 % A B C D Laplace-Würfel Wir werfen einen Laplace-Würfel n Mal, und zählen mit, welches Würfelergebnis wie oft auftritt. Die relativen Häufigkeiten stellen wir in einem Säulendiagramm dar: n = 0 Würfe n = 00 Würfe n = 000 Würfe Was passiert mit den relativen Häufigkeiten, wenn n? Wir wiederholen ein Experiment immer wieder unter denselben Bedingungen und notieren die Ergebnisse. Nach vielen Wiederholungen berechnen wir die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse. Zum Beispiel werfen wir einen fairen -seitigen Würfel und notieren die Ergebnisse. Wir erwarten, dass sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse stabilisieren, sich also auf auf einen bestimmten Wert einpendeln. Das ist das Empirische Gesetz der großen Zahlen. Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wenn wir z.b. Mal werfen, dann erwarten wir etwa Einser. Es kann uns freilich auch mit einem fairen Würfel geschehen, dass wir in einer nicht enden wollenden Glückssträhne einen Sechser nach dem anderen würfeln. Nach dem Empirischen Gesetz der Großen Zahlen ist eine solche Ergebnisfolge aber unwahrscheinlich. Wir sollten so etwas nicht erwarten.

17 Mathematik macht Freu(n)de 3. Zufallsexperimente Mit welchem Verlust sollte ich vernünftig rechnen, wenn ich regelmäßig Lotto aus 45 spiele? Wie zuverlässig sind Wahlumfragen, und wie können medizinische Tests effizient durchgeführt werde? Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde erst im. Jahrhundert auf ein rigoroses Fundament gestellt. Damit ist sie ein Jungspund innerhalb der Mathematik. Trotzdem ist sie aus modernen Anwendungsbereichen nicht mehr weg zu denken. Wir beginnen hier, Zufall mathematisch exakt anhand von drei konkreten Beispielen zu modellieren: a) Wurf einer fairen Münze b) Wurf eines fairen -seitigen Würfels c) Roulette Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment kann verschiedene Ergebnisse liefern. Die möglichen Ergebnisse sind uns vorab bekannt. Die Menge der möglichen Ergebnisse nennen wir Ergebnisraum. Wir bezeichnen den Ergebnisraum oft mit Ω. Denn Tradition verbindet. a) Beim Wurf einer fairen Münze gibt es 2 mögliche Ergebnisse: Ω = {Kopf, Zahl}. Sie bleibt nicht auf der Kante liegen. b) Beim Wurf eines fairen -seitigen Würfels, dessen Seiten von bis durchnummeriert sind, gibt es mögliche Ergebnisse: Ω={,,,,, }. c) Beim Roulette sind auf einer Scheibe 37 Felder mit den Zahlen von 0 bis 3 durchnummeriert. Davon sind Felder rot, Felder schwarz, und ein Feld ist grün. Mit einer Kugel wird ein Feld zufällig ausgewählt. Im Bild ist die Kugel auf dem Feld 24 gelandet. Ω = {0,, 2,..., 3}. 7

18 Ereignisse bei Zufallsexperimenten Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in A enthalten ist, dann sagen wir: Das Ereignis A ist eingetreten. Ein Elementarereignis besteht aus nur einem Ergebnis. a) A = Münze zeigt Kopf = {Kopf} ist ein Elementarereignis. b) G = Gerade Augenzahl = {,, }. D = 3 teilt die Augenzahl = {, }. c) U = Kugel auf ungerader Zahl = {, 3, 5,..., 33, 35}. B = Kugel irgendwo = Ω = {0,, 2,..., 35, 3}. Wahrscheinlichkeit nach A. Kolmogorow Jedem Ereignis A wird eine Zahl P (A) zugeordnet: P kommt von Probability. Wir sprechen: P von A. P (A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt. Diese Zuordnung muss die folgenden Eigenschaften haben: i) 0 P (A) Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kann nicht kleiner als 0 % oder größer als 00 % sein. ii) P (Ω) = Das Ergebnis des Zufallsexperiments ist mit 00 % Wahrscheinlichkeit in Ω. iii) P (A oder B) = P (A) + P (B), falls A und B kein gemeinsames Ergebnis enthalten. Beispiel 3.. Beim Wurf eines fairen -seitigen Würfels ist jedes Würfelergebnis von bis gleich wahrscheinlich. Ansonsten wäre der Würfel ja gezinkt. a) Wie wahrscheinlich ist es, einen Sechser zu würfeln? b) Schreibe die Ereignisse A, B und C als Mengen an, und berechne P (A), P (B) und P (C). A = Augenzahl gerade B = Augenzahl nicht größer als 2 C = Mehr als 5 Augen c) Berechne P (A oder B), P (A oder C) und P (B oder C). Lösung. a) Der Würfel fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 00 % = auf irgendeine der Seiten: = P ({,,,,, }) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) + P ({ }).

19 Jedes der Elementarereignisse ist gleich wahrscheinlich, also ist = P ({ }). Die Wahrscheinlichkeit, einen Sechser zu würfeln, ist somit P ({ }) = = 0,... =,...%. b) Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A = {,, }, B = {, } und C = { } sind P (A) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) = + + = 3 = 2, P (B) = P ({ }) + P ({ }) = + = 2 = 3, P (C) = P ({ }) =. c) Wir zerlegen die Ereignisse wieder in Elementarereignisse: P (A oder B) = P ({,,, }) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) = 4 = 2 3 P (A oder C) = P ({,, }) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) = 3 = 2 P (B oder C) = P ({,, }) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) = 3 = 2 Warum ist P (B oder C) = P (B) + P (C), aber P (A oder C) P (A) + P (C)? Disjunkte Mengen Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum Ein bestimmtes Zufallsexperiment hat n verschiedene Ergebnisse: Ω = {ω, ω 2,..., ω n }. Wir kürzen die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ab: p i = P ({ω i }). i =, 2,..., n. Dann gilt: ) 0 p i und 2) p + p p n =. Das ist so wie bei den relativen Häufigkeiten. Erkäre, wie du die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses berechnen kannst, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten p i = P ({ω i }) alle kennst. a) Beim Wurf mit einer fairen Münze sind beide Elementarereignisse gleich wahrscheinlich: Ergebnis ω i Kopf Zahl WS P ({ω i }) 2 2 Wir kürzen Wahrscheinlichkeit mit WS ab. 9

20 b) Beim Wurf eines fairen -seitigen Würfels sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich: Ergebnis ω i WS P ({ω i }) = p i Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade ist, beträgt P ({,, }) = P ({ }) + P ({ }) + P ({ }) = + + = 3 = 0,5 = 50 %. c) Beim Roulette ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Feld 37. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf einem Feld mit ungerader Zahl landet, ist also P ({, 3,..., 35}) = P ({}) + P ({3}) + + P ({35}) = = }{{ 37 } 37 Summanden = 0,44... = 4,4...%. Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn es ) nur endlich viele Ergebnisse gibt, also Ω = {ω, ω 2,..., ω n }, und 2) jedes der endlich vielen Elementarereignisse gleich wahrscheinlich ist, also Laplace-Experiment für alle i =, 2,..., n. P ({ω i }) = n Erkläre, warum die Zufallsexperimente a) Faire Münze werfen, b) Fairen Würfel werfen, c) Roulette jeweils Laplace-Experimente sind. Laplace-Experiment? Erkläre, warum die folgenden beiden Zufallsexperimente keine Laplace-Experimente sind: ) Eine Box enthält 3 schwarze und 2 weiße Kugeln. Eine Kugel wird blind gezogen. Das Ergebnis ist die Farbe der gezogenen Kugel. 2) So lange einen fairen -seitigen Würfel werfen, bis zum ersten Mal ein Sechser gewürfelt wird. Das Ergebnis ist die Anzahl der benötigten Würfe.

21 In einem Laplace-Experiment gibt es n mögliche Ergebnisse. Das Ereignis A besteht aus k Ergebnissen. Erkläre: P (A) = k n = Anzahl günstiger Ergebnisse Anzahl möglicher Ergebnisse. Diese Definition von Wahrscheinlichkeit passt also auch gut mit unserer Intuition zusammen: Günstig durch möglich Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Laplace-Würfel einen 5er oder er zu würfeln, ist 2 zu = 2 : = 2. Beispiel 3.2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse bei Roulette: a) A = Kugel auf einem grünen Feld b) B = Kugel auf einem roten Feld c) C = Feld mit Zahl größer als 2, aber nicht größer als 24 Lösung. Roulette ist ein Laplace-Experiment mit 37 möglichen Ergebnissen. a) Es gibt grünes Feld, also ist P (A) = 37 = 2,70...%. b) Es gibt rote Felder, also ist P (B) = 37 = 4,4...%. c) Es gibt 2 Zahlen, die größer als 2, aber nicht größer als 24 sind, also ist P (C) = 2 37 = 32,43...%. Auf die Frage Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass...? bekommt man nicht selten Folgendes zur Antwort: Die Wahrscheinlichkeit ist 50:50. Entweder es passiert, oder es passiert nicht. Die Ergebnisse... passiert beziehungsweise... passiert nicht werden dabei als gleich wahrscheinlich angenommen. Das ist natürlich wenn du z.b. an Lotto denkst in der Regel nicht der Fall. Überprüfe vor Verwendung der Formel P (E) = Anzahl günstiger Ergebnisse Anzahl möglicher Ergebnisse immer, ob das Zufallsexperiment auch wirklich ein Laplace-Experiment ist. 2

22 Beispiel 3.3. Bei einem gezinkten -seitigen Würfel ist nicht jede Seite gleich wahrscheinlich. Rechts sind die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse eines gezinkten -seitigen Würfels in einem Stabdiagramm dargestellt. a) Erstelle eine Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Augenzahl mindestens 5 ist. Lösung. a) Ergebnis ω i WS p i = P ({ω i }) 0,3 0,05 0,5 0,25 0, 0,5 b) P ({, }) = P ({ }) + P ({ }) = 0, + 0,5 = 0,25 = 25 %. Wurf mit 2 Münzen Wir werfen als Zufallsexperiment zwei nicht unterscheidbare faire Münzen. Wir können 3 verschiedene Ergebnisse beobachten: Ω = {2 Mal Kopf, Mal Kopf & Mal Zahl, 2 Mal Zahl}. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? n = 0 Würfe n = 00 Würfe n = 000 Würfe Die relativen Häufigkeiten deuten darauf hin, dass die 3 Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. Die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich anscheinend bei (25 %, 50 %, 25 %). 22

23 Wurf mit 2 Münzen Tatsächlich handelt es sich beim Wurf mit 2 Münzen erst um ein Laplace-Experiment, wenn wir die Ergebnisse der beiden Münzen unabhängig voneinander beobachten. Also zwei unterscheidbare Münzen werfen oder eine Münze zwei Mal hintereinander werfen. Dann gibt es die 4 möglichen Ergebnisse Ω = {(Kopf, Kopf), (Kopf, Zahl), (Zahl, Kopf), (Zahl, Zahl)}, die alle gleich wahrscheinlich sind. Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeiten für 2 Mal Kopf, Mal Kopf & Mal Zahl bzw. 2 Mal Zahl in diesem Modell wirklich (25 %, 50 %, 25 %) betragen. Beispiel 3.4. In der aktuellen Losauflage Schatztruhe gibt es 3 Mio. Rubbellose. Der Preis pro Rubbellos beträgt 2 e. Die absoluten Häufigkeiten der Gewinnlose sind in der nebenstehenden Tabelle dargestellt. a) Wie groß ist der Gewinn der Lotterie, wenn alle Lose der Auflage verkauft werden, und alle Gewinne abgeholt werden? Ohne Beachtung der Produktionskosten, Steuern, usw. b) Berechne die Auszahlung, die du durchschnittlich pro gekauftem Los erwarten kannst. Wie viel Euro verlierst du durchschnittlich pro gekauftem Los? c) Wie hoch muss der Preis pro Rubellos sein, damit der Gewinn der Lotterien bei Verkauf der gesamten Auflage mindestens e beträgt? Lösung. Anzahl Auszahlung e e e e e e e e e e a) Die Einnahmen sind E = 2 e 3 Mio. = 2 Mio. e. Die Auszahlungen betragen insgesamt A = = e. Wenn alle Lose verkauft werden, beträgt der Gewinn der Lotterie G = E A = e. A b) Die durchschnittliche Auszahlung pro Los beträgt =,5 e. Der durchschnittliche Verlust pro Los beträgt also 2 e,5 e = 0,5 e 3 0. c) Der gesuchte Preis p ist die Lösung der Gleichung p A A = p = =, e 3 0 Wenn alle Lose um,4 e verkauft werden, beträgt der Gewinn der Lotterie über e. 23

24 4. Zufallsvariablen & Erwartungswert Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω durch. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω R. Eine Zufallsvariable ordnet also jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu. Zufallsvariable Das Spiel Würfle mit einem fairen -seitigen Würfel und gewinne das 0-fache der gewürfelten Augenzahl in e modellieren wir mathematisch also folgendermaßen: Zufall Ω = {,,,,, } z. B. Zufallsvariable X X ( ) = 50 e mögliche Ergebnisse Ergebnis des Zufallsexperiments Mit X = x kürzen wir das Ereignis ab, dass die Zufallsvariable X den Wert x annimmt. Das Ereignis X = x enthält also genau jene Ergebnisse ω Ω, für die X(ω) = x gilt. Ganz analog deuten wir X x, X < x, usw. In unserem Spiel ist zum Beispiel P (X > 42 e ) = P ({, }) = 2. Beispiel 4.. Du wirfst einen fairen -seitigen Würfel mit den Augenzahlen bis. Wenn du eine gerade Augenzahl würfelst, dann gewinnst du die Hälfte der gewürfelten Augenzahl in Euro. Wenn du eine ungerade Augenzahl würfelst, dann verlierst du 2 Euro. a) Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. Ergebnis ω i WS P ({ω i }) = p i Wert X(ω i ) = x i b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten P (X = 2 e ), P (X 2 e ) und P (X,5 e ). Lösung. a) Ergebnis ω i WS P ({ω i }) = p i Wert X(ω i ) = x i 2 e e 2 e 2 e 2 e 3 e 24

25 b) Wir müssen genau zwischen dem Würfelergebnis zum Beispiel ω 4 = 4 und dem zugehörigen Wert der Zufallsvariable X(ω 4 ) = 2 e unterscheiden. P (X = 2 e ) = P ({, 3, }) = 3. P (X 2 e ) = P ({4, }) = 2. P (X,5 e ) = P ({, 2, 3, 5}) = 4. Beispiel 4.2. Du wirfst einen fairen -seitigen Würfel mit den Augenzahlen bis. Du gewinnst das Zehnfache der gewürfelten Augenzahl in Euro. Wie hoch ist der Gewinn, den du durchschnittlich erwartest? Lösung. Jeder Wurf ist ein Laplace-Experiment mit möglichen Ergebnissen. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn abhängig vom gewürfelten Ergebnis an. X kann also verschiedene Werte annehmen: x = 0 e, x 2 = e, x 3 = 30 e, x 4 = 40 e, x 5 = 50 e, x = 0 e. Erwartungswert Eine Zufallsvariable X kann die Werte x, x 2,..., x n annehmen. Der Erwartungswert von X ist dann E(X) = x P (X = x ) + x 2 P (X = x 2 ) + + x n P (X = x n ). Wir fassen die möglichen Werte von X und ihre Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle zusammen. x i 0 e e 30 e 40 e 50 e 0 e P (X = x i ) Der erwartete Gewinn ist also E(X) = = = 35 e. Beispiel 4.3. Der Kauf einer Schatztruhe (siehe Beispiel 3.4) ist ein Laplace-Experiment mit 3 Millionen möglichen Ergebnissen. Wie groß ist die erwartete Auszahlung pro Los? In diesem Modell ist also jedes einzelne Los ein mögliches Ergebnis. Lösung. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gekauften Los an. Die möglichen Werte von X sind also x = 0 e, x 2 = 2 e, x 3 = 4 e,..., x = e. 25

26 Den Erwartungswert der Auszahlung X berechnen wir also folgendermaßen: E(X) = = = =,5 e. 3 0 Vergleiche mit Beispiel 3.4. Bei einem Laplace-Experiment mit n möglichen Ergebnissen ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable X genau der arithmetische Mittelwert der n Werte x, x 2,..., x n von X: Gleiche Werte zählen wir entsprechend mehrfach. E(X) = x P (X = x ) + x 2 P (X = x 2 ) + + x n P (X = x n ) = x + x x n. n Wenn das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist, dann sind die Wahrscheinlichkeiten wie unterschiedliche Gewichte. Je wahrscheinlicher ein Ergebnis, desto höher gewichtet ist der zugehörige Wert x i bei der Berechnung des Erwartungswerts. Gewichtung Wir wiederholen ein Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Bedingungen. Nach jeder Wiederholung werten wir das Ergebnis mit der Zufallsvariable X aus und notieren es. Schließlich bilden wir nach vielen Wiederholungen den Mittelwert der notierten Werte. Dieser Mittelwert liegt mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am Erwartungswert E(X). Mathematisch exakt gilt für alle ε > 0: Interpretation des Erwartungswerts lim P ( Mittelwert ist nach n Wiederholungen mindestens ε von E(X) entfernt ) = 0. n Das ist das (schwache) Gesetz der großen Zahlen. Beispiel 4.4. In einem Casino gibt es bei einem Glücksrad drei mögliche Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Elementarereignisse sind P ( Rot ) = 2, P ( Blau ) = 3 und P ( Grün ) =. Abhängig vom Ergebnis zahlt das Casino den rechts angegebenen Betrag aus. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gedrehten Ergebnis an. Wie viel Geld sollte das Casino pro Drehung verlangen, damit es auf lange Sicht Gewinn erzielt? Lösung. Wir fassen die möglichen Werte der Zufallsvariable X und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle zusammen. x i e 2 e 0 e P (X = x i ) 4 = 2 2 3

27 Die erwartete Auszahlung pro Drehung beträgt E(X) = e P (X = e ) + 2 e P (X = 2 e ) + 0 e P (X = 0 e ) = = 2,50 e. Das Casino sollte also mehr als 2,50 e pro Drehung verlangen, um langfristig einen Gewinn erwarten zu können. Beispiel 4.5. Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlen 0 bis 3. Davon sind Felder rot, Felder schwarz, und ein Feld ist grün. Das Casino bietet folgendes Spiel an: Man setzt einen Einsatz auf Rot oder Schwarz. Wenn die Kugel auf einem Feld mit der getippten Farbe landet, erhält man das Doppelte des Einsatzes zurück. Andernfalls verliert man den Einsatz. Lukas setzt e auf Rot. Die Zufallsvariable X ist der Gewinn von Lukas. Berechne den Erwartungswert E(X) und interpretiere seine Bedeutung im gegebenen Sachzusammenhang. Lösung. Bei der 37 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse gewinnt Lukas e. Bei den anderen 9 Ergebnissen verliert er e. Der erwartete Gewinn ist also E(X) = P (X = ) P (X = ) = = 37 = 0,54... e. Wenn Lukas immer wieder e auf Rot setzt, dann verliert er aller Wahrscheinlichkeit nach auf lange Sicht durchschnittlich 0,54... e pro Spiel. Beispiel 4.. Martina bietet folgendes Spiel an: Nach einem Einsatz von A e wirft man einen fairen -seitigen Würfel. Würfelt man einen Sechser erhält man G e zurück. In allen anderen Fällen ist der Einsatz verloren. Wie groß muss G sein, damit das Spiel fair ist? Martina soll also auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust erwarten. Lösung. X... Gewinn von Martina bei einer Spielrunde. A e, wenn kein Sechser gewürfelt wird. X = A G e, wenn ein Sechser gewürfelt wird. Der Erwartungswert von X ist E(X) = A P (X = A) + (A G) P (X = A G) = A 5 + (A G) = A G. 27

28 Damit das Spiel fair ist, muss E(X) = 0 sein, also 0 = A G G = A. Für ein faires Spiel muss Martina bei einem Sechser den sechsfachen Einsatz auszahlen. 2

29 5. Baumdiagramme & Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 5.. Eine Urne enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Wir ziehen zweimal blind hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,... a)... zwei rote Kugeln zu ziehen? b)... zwei blaue Kugeln zu ziehen? c)... eine rote und eine blaue Kugel (in beliebiger Reihenfolge) zu ziehen? Die Antwort hängt davon ab, ob wir die erste gezogene Kugel vor der zweiten Ziehung in die Urne zurücklegen, oder nicht. ) Wir legen die erste Kugel zurück. Die möglichen Abläufe sind rechts dargestellt. Es gibt 5 5 = 25 mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. a) Von den 25 möglichen Ergebnissen sind 2 2 = 4 günstig. Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt also = b) Von den 25 möglichen Ergebnissen sind 3 3 = 9 günstig. Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, beträgt also = c) Von den 25 möglichen Ergebnissen sind = 2 günstig. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt also = ) Wir legen die erste Kugel nicht zurück. Die möglichen Abläufe sind rechts dargestellt. Es gibt 5 4 = mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. a) Von den möglichen Ergebnissen sind 2 = 2 günstig. Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt also = 2. b) Von den möglichen Ergebnissen sind 3 2 = günstig. Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, beträgt also =. 29

30 c) Von den möglichen Ergebnissen sind = 2 günstig. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt also = 2. Baumdiagramme Wir verwenden Baumdiagramme, um mehrstufige Zufallsexperimente zu modellieren. Rechts siehst du die möglichen Ablaufe beim 2-maligen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 2 roten Kugeln und 3 blauen Kugeln. Jede Verzweigung ist ein Laplace-Experiment. Bei den Ereignissen, für die wir uns interessieren, unterscheiden wir die Kugeln nur nach Farbe. Deshalb fassen wir bei jeder Verzweigung die Kanten derselben Farbe zusammen und beschriften das Kantenbündel mit seiner Laplace-Wahrscheinlichkeit. Das Ergebnis siehst du rechts Jeder Pfad (ohne Zurücklaufen) durch so ein Baumdiagramm, der oben beginnt, stellt ein Ereignis des Zufallsexperiments dar Der einstufige Pfad, den wir links hervorheben, stellt das Ereignis Zuerst rot ziehen dar Der rechts hervorgehobene, zweistufige Pfad steht für das Ereignis Zuerst rot ziehen, dann blau ziehen Pfade disjunkter Ereignisse Jedem der 3 Ereignisse A = Zuerst blau ziehen, B = 2 Mal rot ziehen und C = Zuerst blau, dann rot ziehen entspricht jeweils genau ein Pfad im Baumdiagramm. Zeichne ihn ein: Es gilt P (A oder B) = P (A) + P (B), aber P (A oder C) P (A) + P (C). Die Ereignisse A und C schließen einander nämlich nicht aus. Wie kannst du das auch an den Pfaden erkennen? 30

31 Multiplikationssatz. Pfadregel (Multiplikationssatz): Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das von einem Pfad in einem Baumdiagramm dargestellt wird, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Das Ereignis Zuerst rot, dann blau ziehen ist im Baumdiagramm rechts als Pfad dargestellt: Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote Kugel und danach eine blaue Kugel zu ziehen, ist also = =. Additionssatz 2. Pfadregel (Additionssatz): In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der für dieses Ereignis günstigen Pfade. Dem Ereignis Eine rote und eine blaue Kugel (in beliebiger Reihenfolge) ziehen entsprechen zum Beispiel 2 Pfade im Baumdiagramm rechts: Die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist = = 2. Beispiel 5.2. In einer Urne befinden sich rote Kugeln, 5 blaue Kugeln und 7 grüne Kugeln. Wenn du eine rote oder blaue Kugel ziehst, legst du sie wieder zurück. Wenn du eine grüne Kugel ziehst, legst du sie nicht zurück. Du ziehst 2 Mal hintereinander eine Kugel aus der Urne. a) Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm. b) Wie groß ist die WS, dass unter den beiden gezogenen Kugeln keine blaue Kugel ist? c) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an. Berechne den Erwartungswert von X. d) Die erste gezogene Kugel ist grün. Wie groß ist die WS, dass dann die zweite Kugel rot ist? 3

32 Lösung. a) 5 7. Ziehung: Ziehung: b) Es gibt 4 zweistufige Pfade im Baumdiagramm, bei denen keine blaue Kugel gezogen wird: 5 7. Ziehung: Ziehung: Die WS, dass keine blaue Kugel unter den 2 gezogenen Kugeln ist, beträgt also = 55,7...%. c) Die Zufallsvariable X kann die drei Werte 0, oder 2 annehmen. P (X = 0) = = 42,25 %. P (X = ) = = 4,49 %. 9 P (X = 2) = 7 =,05... %. 9 = E(X) = 0 P (X = 0) + P (X = ) + 2 P (X = 2) = 0,... grüne Kugeln. d) Wenn die erste Kugel grün ist, dann bleiben 9 Kugeln in der Urne. Davon sind Kugeln rot. Die WS, dass die zweite Kugel dann rot ist, beträgt also 9 = 42,0...%. Bedingte Wahrscheinlichkeit Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass C eintritt, wenn wir bereits wissen, dass A eintritt? Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass C unter der Bedingung A eintritt, kürzen wir mit P (C A) ab. A P (A) P (B) B Rechts siehst du, dass im Baumdiagramm ab der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten auftreten. P (C A) C P (D A) P (C B) P (D B) D C D 32

33 Die Wahrscheinlichkeit, dass C unter der Bedingung A eintritt, ist P (C A) = P (C und A), P (A) > 0. Diese Formel solltest du dir einprägen. P (A) Wir erklären mit der. Pfadregel, warum diese Formel für zweistufige Laplace-Experimente gilt: P (C und A) = P (A) P (C A) = P (C A) = Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (C und A). P (A) Damit können wir in Beispiel 5.2 auch die umgekehrte Frage beantworten: Angenommen wir wissen, dass die 2. Kugel rot ist. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die. Kugel grün war? P (. Kugel grün 2. Kugel rot) = = P (. Kugel grün und 2. Kugel rot) P (2. Kugel rot) = 3,7...% Die bedingte WS P (. Kugel grün 2. Kugel rot) ist etwas größer als P (. Kugel grün) = 35 %. Das Ereignis 2. Kugel rot begünstigt also das Ereignis. Kugel grün. Satz von Bayes Der Satz von Bayes stellt einen Zusammenhang zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P (C A) und P (A C) her. Was passiert also, wenn die beiden Stufen im Zufallsexperiment vertauscht werden? P (A) P (B) P (C) P (D) A B C D P (C A) P (D A) P (C B) P (D B) P (A C) P (B C) P (A D) P (B D) C D C D Erkläre mit der. Pfadregel: P (C A) = A B A B P (A C) P (C), P (A) > 0. P (A) Dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A B) und P (B A) nicht gleich groß sein müssen, wird beim folgenden Beispiel besonders deutlich. Wir lassen uns hier leicht von unserer Intuition täuschen. Beispiel 5.3. Unter allen 55-jährigen Frauen sind etwa 0, % an Brustkrebs erkrankt. Bei einem Mammographie-Screening wird untersucht, ob eine Brustkrebserkrankung vorliegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Vorliegen einer Brustkrebserkrankung das Untersuchungsergebnis positiv ist, also die Erkrankung erkannt wird, beträgt 3 %. Richtig-Positiv-Rate / Sensitivität des Tests 33

34 Wenn keine Brustkrebserkrankung vorliegt, ist das Ergebnis der Untersuchung mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % negativ (also korrekt). Richtig-Negativ-Rate / Spezifität des Tests Eine zufällig gewählte 55-jährige Frau führt ein Mammographie-Screening durch und erhält ein positives Untersuchungsergebnis. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich Brustkrebs hat? Was schätzt du? Lösung. Wir stellen die Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm dar. 0, % 99,4 % B kein B 3 % 7 % 3 % 97 % Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, also P (B ) = P (B und ). P ( ) Mit den Pfadregeln berechnen wir P (B und ) = 0,00 0,3 = 0,004 9 und P ( ) = 0,00 0,3 + 0,994 0,03 = 0,034. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte 55-jährige Frau mit positivem Untersuchungsergebnis tatsächlich Brustkrebs hat, beträgt also P (B ) = P (B und ) P ( ) = 0, ,034 = 0,43... = 4,3...%. Da das Ergebnis auf den ersten Blick derartig überraschend ist, überprüfen wir, welches Ergebnis wir bei einer großen Stichprobe von zufällig gewählten 55-jährigen Frauen erwarten würden. Die (erwarteten) absoluten Häufigkeiten sind rechts im Baumdiagramm dargestellt. Es wären also = 340 positive Ergebnisse zu erwarten, aber nur 49 richtigpositive Ergebnisse. Wir erwarten also tatsächlich, dass nur = 4,3...% der positiven Ergebnisse auch richtig-positiv sind B kein B Das überraschende Ergebnis liegt an der geringen Wahrscheinlichkeit, dass eine ohne Vorwissen ( a priori ) zufällig gewählte Frau Brustkrebs hat. Bei einem positiven Ergebnis sind also jedenfalls weitere Untersuchungen notwendig, bevor eine (wahrscheinlich) richtige Diagnose gestellt werden kann. 34

35 . Gegenwahrscheinlichkeit Gegenereignis Ist A ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment, dann bezeichnen wir mit Ā das Gegenereignis von A. Das Gegenereignis Ā tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt. Ω = {, 2, 3, 4, 5, }, A = {, 3, 5}, Ā = {2, 4, }. Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von A P (Ā) = P (A) beträgt. P (Ā) nennen wir auch die Gegenwahrscheinlichkeit von A. Gegenwahrscheinlichkeit Beispiel.. Wie oft muss man einen -seitigen Würfel mindestens werfen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Sechser mindestens 99 % beträgt? Lösung. Es ist einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Würfen kein Sechser ist. Das (abgeschnittene) Baumdiagramm ist rechts dargestellt. Nur ein einziger Pfad beschreibt das Ereignis, keinen Sechser zu würfeln. Seine Wahrscheinlichkeit ist: P (kein Sechser unter n Würfen) = ( ) 5 n =. }{{ } n Faktoren Die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Würfen mindestens ein Sechser ist, beträgt also ( ) 5 n P (mindestens ein Sechser unter n Würfen) =. Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit über 99 %? ( ) 5 n ( ) 5 n ( 5 0,99 0,0 ln(0,0) n ln ) ln(0,0) ln ( ) n n ln(0,0) 5 ln ( ) = 25, Das Ungleichheitszeichen dreht sich wegen ln ( 5 ) < 0 um. Man muss mindestens 2 Mal werfen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Sechser über 99 % liegt. 35

36 7. Irren ist menschlich Manchmal lassen wir uns im ersten Moment von Aufgabenstellungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung täuschen. Selbst Gottfried Wilhelm Leibniz ein Mitentdecker der Differentialrechnung irrte sich als er behauptete, dass beim Würfeln mit 2 Würfeln die Augensummen und 2 gleich wahrscheinlich wären (da jeweils nur ein Ergebnis 5 + bzw. + zu dieser Augensumme führe). Würfelsumme Zwei -seitige faire Würfel werden geworfen. Das Ergebnis des Zufallsexperiments ist die Augensumme der beiden Würfel, also Ω = {2, 3, 4,..., 2}. Argumentiere, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stellen wir uns die Würfel unterscheidbar vor. Zum Beispiel einen roten und einen blauen Würfel werfen. Dann gibt es = 3 verschiedene Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Die entsprechenden Augensummen sind rechts dargestellt Die wahrscheinlichste Augensumme ist also 7 mit 5, gefolgt von und mit, gefolgt von und 9 mit 4 3, gefolgt von 4 und 0 mit 3 3, gefolgt von 3 und mit 2 3 und 2 und 2 mit 3. Worin liegt also der Fehler im Argument von Leibniz, dass = 5 + und 2 = + gleich wahrscheinlich sein müssen? Aber jetzt! Martin beobachtet gespannt den Roulette-Tisch und meint: Jetzt ist 7 Mal hintereinander Rot gekommen. Jetzt muss doch zum Ausgleich bald Schwarz kommen. Es gilt ja das Gesetz der großen Zahlen! Erkläre, warum dieses Argument falsch ist. Oder: Wo in der Roulette-Kugel befindet sich ihr Gedächtnis? Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf ein rotes Feld fällt, ist immer, unabhängig von 37 allen bisherigen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette gleich Mal in Folge Rot kommt, ist mit ( ) 37 = 0, % allerdings verschwindend klein. 3

37 Beispiel 7.. Bei einer Tombola gibt es 42 Lose, wovon 4 Lose Nieten sind, und ein Los der Hauptpreis ist. 42 Personen spielen mit und ziehen nacheinander jeweils ein Los (ohne Zurücklegen). Sobald eine Person den Hauptpreis zieht, endet die Tombola. Welche Person (in Bezug auf die Reihenfolge) erhält mit der höchsten Wahrscheinlichkeit den Hauptpreis? Lösung. Intuitiv möchte man vielleicht nicht als letzte Person ziehen. Rechts ist das zugehörige Baumdiagramm dargestellt. P (. Person zieht Hauptpreis) = 42 P (2. Person zieht Hauptpreis) = 4 42 Dann haben ja schon 4 Personen die Möglichkeit gehabt, den Hauptpreis wegzuschnappen. 4 = 42 P (3. Person zieht Hauptpreis) = = 42 P (42. Person zieht Hauptpreis) = = Hauptpreis Niete 4 Hauptpreis Niete Hauptpreis Niete 2 2 Hauptpreis Niete Hauptpreis Tatsächlich erhalten alle Personen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 42 den Hauptpreis. Die 42 Lose werden ja ganz zufällig auf die 42 Personen verteilt. Alle 42! möglichen Aufteilungen der Lose sind gleichwahrscheinlich. 37

38 Martina bietet folgendes Spiel an: Nach einem Einsatz von A e wird eine (faire) Münze geworfen. Bei Kopf verliert man den Einsatz, bei Zahl erhält man den doppelten Einsatz zurück. Erkläre, warum das Spiel fair ist. Verdopplungsstrategie Martina erwartet also auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust. Dagobert behauptet, mit der folgenden Verdopplungsstrategie sicher einen Euro zu gewinnen: Zuerst setze ich einen Euro. Entweder es kommt Zahl, dann habe ich gleich den Euro gewonnen. Oder es kommt Kopf, dann spiele ich nochmal mit 2 e Einsatz. Entweder es kommt beim 2.Versuch Zahl, dann bekomme ich 4 e und habe also insgesamt einen Gewinn von 4 2 = e. Oder es kommt Kopf, dann spiele ich nochmal mit dem doppelten Einsatz 4 e. Entweder es kommt beim 3.Versuch Zahl, dann gewinne ich insgesamt 4 2 = e. Oder es kommt Kopf, dann verdopple ich wieder den Einsatz. Das mache ich so lange weiter, bis irgendwann Zahl kommt. Egal, wie lange es dauert, ich steige jedenfalls mit einem Gewinn von e aus. Erkläre, warum Dagobert tatsächlich e gewinnt, wenn beim n-ten Versuch Zahl kommt. Warum trickst die Verdopplungsstrategie aber das faire Spiel nicht aus? Erinnere dich: n = 2n 2 = 2n. Damit bestimmt nichts schief läuft, hat Dagobert sein ganzes Vermögen von e mitgenommen. Sollte 5 Mal hintereinander Kopf kommen, geht Dagobert das Geld aus: = 25 2 = e. Mit einer Wahrscheinlichkeit von verliert Dagobert also sein ganzes Vermögen von e. 2 5 Mit der (Gegen-)Wahrscheinlichkeit von gewinnt Dagobert einen Euro. 2 5 Sein erwarteter Gewinn ist also e ( 2 5 ) + ( e ) = 0 e. Fair bleibt fair. 25 Dagobert gewinnt also sehr wahrscheinlich einen Euro. Er kann andererseits e verlieren, wenn auch sehr unwahrscheinlich. Oft hört man dazu Aussagen wie: Casinos geben einen maximalen Einsatz an, um sich gegen die Verdopplungsstrategie abzusichern. Das ist aber Unfug! Bei einem Spiel mit negativem Erwartungswert so wie Roulette, steigt das Casino erwartungsgemäß immer besser aus, egal wie oft und mit welchem Einsatz gespielt wird. Das Casino muss sicherstellen, hohe Gewinne ausbezahlen zu können. Sie wollen auch mit entsetzten Spielern umgehen können, die 5 Mal hintereinander Rot für Betrug halten. Denn das passiert mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit täglich irgendwo. 3

39 In einem Raum befinden sich zwei zufällig ausgewählte Personen. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie am gleichen Tag Geburtstag haben? Geburtstagsparadoxon Wir lassen den aus dem Spiel. In einem Raum befinden sich 400 Personen. Wie wahrscheinlich ist es, dass zumindest zwei dieser Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? In einem Raum befinden sich n Personen. Die Wahrscheinlichkeit p n, dass 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, soll mindestens 50 % sein. Wie groß, schätzt du, muss n sein? Vergleiche deine Schätzung mit den Werten in der Tabelle. n p n 0,27...%,9...% 47,5...% 50,72...% 97,03...% 99,9...% 00 % Beispiel 7.2. Wir rechnen nach, dass das Geburtstagsparadoxon tatsächlich nur ein scheinbarer Widerspruch ist. Warum ist es also bereits bei 23 Personen in einem Raum wahrscheinlicher, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, als dass alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben? Schaltjahre berücksichtigen wir der Einfachheit halber nicht. Wir rechnen unter der (Laplace-)Annahme, dass der Geburtstag einer Person mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf einen von 35 Tage fällt. Wir bitten die Personen eine nach der anderen zu uns in den Raum und notieren ihre Geburtstage. Die WS, dass die zweite Person nicht am gleichen Tag Geburtstag hat wie die erste Person, ist Wir nehmen an, dass die ersten 2 Personen an 2 verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die WS, dass die 3. Person nicht an einem dieser 2 Tage Geburtstag hat, ist Gleicher Tag Neuer Tag Gleicher Tag Neuer Tag Gleicher Tag Neuer Tag Wir nehmen an, dass die ersten 3 Personen an 3 verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die WS, dass die 4. Person nicht an einem dieser 3 Tage Geburtstag hat, ist Gleicher Tag Neuer Tag Wir nehmen an, dass die ersten 22 Personen an 22 verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die WS, dass die 23. Person nicht an einem dieser 22 Tagen Geburtstag hat, ist Die WS, dass die 23 Personen an 23 verschiedenen Tagen Geburtstag haben, beträgt also = 34! = 0, = 49,27...%. 342!

40 Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, beträgt 00 % 49,27...% = 50,72...%. Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.