3.0 VU Formale Modellierung

Transkript

1 3.0 VU Formale Modellierung Gernot Salzer und Marion Scholz unter Mitwirkung von Ch. Fermüller, R. Freund, M. Kronegger, M. Oswald, J. Ötsch, A. Weinzierl sowie 14 TutorInnen AB Theoretische Informatik und Logik Institut für Computersprachen

2 Verortung in der Landschaft der Bachelorstudien Medieninformatik & Visual Computing Medizinische Informatik Software & Information Engineering Wirtschaftsinformatik Modul Modellierung : 3.0 VU Formale Modellierung 3.0 VU Datenmodellierung 3.0 VU Objektorientierte Mod. Technische Informatik Modul Gl. digitaler Systeme : 3.0 VU Formale Modellierung 3.0 VU Grundl. digitaler Systeme Ects = 75 Arbeitsstunden VU... Vorlesung mit Übung Formale Modellierung ist Teil der Studieneingangs- u. Orientierungsphase. Voraussetzung für alle Lehrveranstaltungen ab dem 3.Semester. Nur zwei Wiederholmöglichkeiten. 2

3 Ampeln und Automaten a... Schaltsignal für Autoampel f... Schaltsignal für Fußgängerampel a f a a f f f f a a a f 3

4 Ampeln und Automaten a f f a f a a f f a a f a f f a 4

5 Ampeln und Automaten a f f a a a 4

6 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

7 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

8 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

9 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

10 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

11 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

12 Petrinetze: Automaten mit mehreren Akteuren t 1 t 2 t 3 t 4 5

13 Sudoku und Logik Regel In jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem der markierten 3 3-Quadrate muss jede der Zahlen 1 bis 9 genau einmal vorkommen. F ij Z ik S jk Q lk A 149 A 153 A i,j 9 1 i,k 9 1 j,k 9 1 k,l 9 F ij = one(a ij1,..., A ij9 ) Z ik = one(a i1k,..., A i9k ) S jk = one(a 1jk,..., A 9jk ). one(x 1,..., X 9 ) = (X 1 X 2 X 3 ) ( X 1 X 2 X 3 ) ( X 1 X 2 X 3 ) 6

14 Lehrziele und Inhalt In dieser Lehrveranstaltung lernen Sie... die wichtigsten formalen Spezifikationsmethoden kennen.... Sachverhalte mit diesen Methoden zu modellieren.... formal-mathematische Beschreibungen zu lesen und zu verstehen, insbesondere die formale Definition der Methoden selbst, wie sie in der Fachliteratur üblich ist. Themengebiete: Aussagenlogik Prädikatenlogik als Spezifikationssprache Endliche Automaten und reguläre Ausdrücke Formale Grammatiken Petri-Netze 7

15 Was Sie heute erwartet 1. Organisatorisches 2. Was bedeutet Modellierung? 3. Aussagenlogik 8

16 Checkliste für die Teilnahme an der Lehrveranstaltung 1 Inskription in der Studienabteilung = Matrikelnummer 2 Studieneingangsgespräch (STEG) 3 TISS-Anmeldung zur Lehrveranstaltung bis (Matrikelnummer und STEG erforderlich) 4 1.Übungsblatt: Abgabefrist Do, TISS TU Wien Informationssysteme & Services (tiss.tuwien.ac.at) 9

17 Information und Kommunikation (1) TUWEL E-Learning-Plattform der TU Wien (tuwel.tuwien.ac.at) TUWEL-Forum: Diskussionen unter Ihnen und mit uns. (Wir verwenden weder TISS- noch Informatikforum.) Unterlagen: in TUWEL oder zumindest dort verlinkt. Vorlesungspräsentation Übungsblätter Videoaufzeichnung der Vorlesung weitere Materialen Abgabe der gelösten Übungsaufgaben Terminvereinbarung für Tutoren- und Abgabegespräche 10

18 Information und Kommunikation (2) Stellen Sie Fragen! Vor, während oder nach der Vorlesung, im TUWEL Diskussionsforum (Sie dürfen auch antworten!), per an in den Tutorensprechstunden, und in unseren Sprechstunden (siehe Webseiten). 11

19 Ablauf Vorlesung jeden Dienstag bis , 13:00 16:00, Audi Max 2 Übungsblätter Zeitgerecht abrufbar in TUWEL Abgabe der Lösungen in TUWEL bis bzw Textsystem oder leserliche (!) Handschrift gescannt im PDF-Format Korrigierte Lösungen eine Woche später retour per an Diskussion ist gut, Abschreiben ist schlecht. Keine Plagiate! Beurteilt werden vernünftige Lösungsversuche, Fehler sind erlaubt. Punkte werden erst nach dem Tutorengespräch gutgeschrieben. 12

20 Ablauf 2 Tutorengespräche Besprechung der Fehler auf dem Übungsblatt Beantwortung von Fragen Anfang November bzw. Anfang Dezember Terminvereinbarung über TUWEL 2 Abgabegespräche mündlich, etwa eine Stunde Fragen zum Stoff der Übungsblätter Anfang November bzw. Anfang Dezember Terminvereinbarung über TUWEL 13

21 Ablauf Abschlusstest schriftlich, 90 Minuten Fragen zum gesamten Stoff 4 Termine: , , , September 2015 Antritt bei 2 Terminen möglich, das bessere Ergebnis zählt Nach dem 4.Termin verfallen die Übungsleistungen. Anmeldung über TISS Chronologie Abgabe 1. Übungsblatt ab Tutorengespräch ab Abgabegespräch Abgabe 2. Übungsblatt ab Tutorengespräch ab Abgabegespräch Termin Abschlusstest 14

22 Beurteilung max. 5 Punkte pro Übungsblatt max. 10 Punkte pro Abgabegespräch max. 50 Punkte beim Abschlusstest max. 80 Punkte insgesamt Für eine positive Note sind erforderlich: mind. 25 Punkte (von 50) beim Abschlusstest mind. 40 Punkte (von 80) insgesamt Notenschlüssel: Punkte: genügend Punkte: befriedigend Punkte: gut Punkte: sehr gut Gute Taktik: mind. 15 Übungspunkte, mind. 25 Punkte bei Abschlusstest Riskant: 0 Übungspunkte, 40 Punkte bei Abschlusstest 15

23 Aufwandsabschätzung 17.0 h Vorlesungsbesuch (5 Tage 3 h, 1 Tag 2 h) 10.5 h 1. Übungsblatt (15 Beispiele 0.7 h) 0.5 h 1. Tutorengespräch 8.0 h Vorbereitung auf 1. Abgabegespräch (1 Tag 8 h) 1.0 h 1. Abgabegespräch 10.5 h 2. Übungsblatt (15 Beispiele 0.7 h) 0.5 h 2. Tutorengespräch 8.0 h Vorbereitung auf 2. Abgabegespräch (1 Tag 8 h) 1.0 h 2. Abgabegespräch 16.0 h Vorbereitung auf Abschlusstest (2 Tage 8 h) 1.5 h Abschlusstest 74.5 h = ca. 3 Ects = ca. 2 Arbeitswochen 16

24 Verwenden Sie einen Terminkalender! Tragen Sie alle Termine ein, von allen Ihren Lehrveranstaltungen! Vorlesungs- und Übungstermine Anmelde- und Abgabetermine Gesprächs- und Prüfungstermine Warten Sie mit Ihren Auf- und Abgaben nicht bis zum letzten Augenblick! Probleme in letzter Sekunde: Wie erzeuge ich eine einzige Pdf-Datei aus meinen Blättern? Wie bekomme ich sie ins Tuwel? Wieso ist der Server nicht erreichbar? Ist die Datei vollständig angekommen? Hilfe, mein PC ist hin! 18

25 Ausreden, die uns nicht überzeugen Ich wollte mich eh anmelden, es war aber kein Termin mehr frei! Mein Abgabegespräch überschneidet sich mit der Mathematik-Übung!... und meines mit dem Programmiertest! Ich konnte den Termin nicht wahrnehmen, da ich beruflich zu tun hatte."... da ich einen Urlaub gebucht hatte. Der Computer/das Internet ist schuld: 1 Minute vor Abgabeschluss brach die Technik zusammen. Nutzen Sie Ihren Terminkalender und gönnen Sie sich eine Zeitreserve! 19

26 Abschreiben, Plagiate, Schwindeln, Betrug Plagiat: Übernahme von Absätzen, Abschnitten, Lösungen aus anderen Quellen ohne inhaltliche Notwendigkeit oder ohne Kennzeichnung. Kopieren aus dem Internet... aus Büchern Abschreiben von KollegInnen Diskutieren Sie die Aufgaben mit KollegInnen, aber lösen Sie sie eigenständig! Sie lernen nur, wenn Sie es selber versuchen. Unser Feedback hilft Ihnen nur, wenn es Ihre eigene Lösung war. Wir haben weder Zeit noch Lust, mehrfach identische Lösungen zu korrigieren. Identische Lösungen werden nicht gewertet. Im Zweifelsfall müssen Sie nachweisen, dass Sie nicht abgeschrieben haben bzw. jemanden abschreiben ließen. 20

27 Was Sie heute erwartet 1. Organisatorisches 2. Was bedeutet Modellierung? 3. Aussagenlogik 21

28 Was bedeutet Modellierung? Modell Abstrakte, vereinfachte Darstellung eines komplexen Sachverhalts der Realität die nur die für relevant erachteten Aspekte darstellt. Aspekte: Komponenten, Beziehungen zwischen Komponenten, Eigenschaften Zwei grundlegende Verwendungsmöglichkeiten: Analyse komplexer Systeme: Modell kommt nach der Realität. Modell wird angepasst und korrigiert, bis es die Realität wiedergibt. Kritischer Vergleich der Voraussagen des Modells mit der Realität. Plan für die Konstruktion von Systemen: Modell kommt vor dem realen System. System wird angepasst und korrigiert, bis es dem Modell entspricht. Kritischer Vergleich des Systemverhaltens mit dem Modell. Modellierungssprachen: dienen der Beschreibung und Kommunikation des Modells 22

29 Natürliche Sprachen Basis jeder Kommunikation bedeutenste Kulturleistung der Menschenheit universell, vielseitig, ausdruckstark wandlungsfähig Ein Albtraum für Modellierung und Spezifikation! komplex mehrdeutig unscharf Jeder Mann liebt eine Frau. Jeder Mann liebt mindestens eine Frau? Jeder Mann liebt genau eine Frau? Alle Männer lieben dieselbe Frau? Es gibt genau eine Frau, und alle Männer lieben sie? 23

30 Schimmel: Pilz oder Pferd? Hunde riechen gut. Guter Geruchssinn, oder duften sie? Wieviel Geld müssen wir noch nach Griechenland schicken? Das ist eine gute Gelegenheit, auch heute wieder klarzustellen, man soll da gar nichts schönreden. Der Euro ist geschaffen worden als gemeinsame Währung und [man] hat damals auch bereits bei der Einführung gewusst, es handelt sich um Länder mit ganz verschiedenen Volkswirtschaften, ganz unterschiedlichen Voraussetzungen in einer gemeinsamen Währungsunion. Und durch die Wirtschaftskrise einerseits, aber anderseits natürlich auch durch die Finanzmärkte, die Spekulation, die Globalisierung der Finanzmärkte hat sie ja verändert, die hat sie ja noch viel stärker gemacht, durch diese beiden Faktoren zeigen sich die Schwächen innerhalb dieses Euro... (Bundeskanzler Faymann auf die Frage eines Zusehers, , ORF2) Und was genau heißt das nun? 24

31 Formale Sprachen Beispiele: konstruiert, künstlich eingeschränkte Ausdrucksmöglichkeiten spezifische Anwendungsgebiete Bedeutung präzise festlegbar Mathematische Notationen Programmiersprachen logische Formelsprachen Formale Modellierung / Formalisierung / Formale Spezifikation Übersetzung unpräziser natürlichsprachiger Problemstellungen in unmissverständliche Beschreibungen in einer formalen Sprache 25

32 Formale Modellierungssprachen in dieser Lehrveranstaltung Textuelle Sprachen: Logische Sprachen: Aussagenlogik, Prädikatenlogik Reguläre Ausdrücke Formale Grammatiken Graphische Sprachen: Endliche Automaten Petri-Netze Kernaspekte: Syntax: Was ist eine zulässige Äußerung in dieser Sprache? Semantik: Was bedeutet jede der zulässigen Äußerungen? Ausdrucksstärke: Was kann ausgedrückt werden, was nicht? Verwendung: Wie setzt man die Sprache zur Modellierung ein? 26

33 Was Sie heute erwartet 1. Organisatorisches 2. Was bedeutet Modellierung? 3. Aussagenlogik 3.1. Was ist Logik? 3.2. Aussagenlogische Funktionen 3.3. Syntax und Semantik der Aussagenlogik 27

34 Was ist Logik? Neulich in der U-Bahn Stell dir vor, die Julia hat mit dem Mike Schluss gemacht! Logisch, er hat ja was mit der Laura angefangen. Was daran ist logisch? Es ist nicht logisch, dass Mike mit Laura anbandelt oder dass man bei Untreue Schluss machen muss oder dass sich Julia von Mike trennt. Diese Aussagen können zutreffen oder auch nicht, sie sind aber nicht logisch. 28

35 Falls man aber akzeptiert, dass Mike untreu war und dass Untreue zur Trennung führt dann ist es logisch schlüssig, dass sich Julia von Mike trennt. Mike ist Julia untreu. Wenn Untreue, dann Trennung. Julia trennt sich von Mike. x Wenn x, dann y. y Die Logik untersucht allgemeine Prinzipien korrekten Schließens. 29

36 Schlussfolgerungen (Inferenzen) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. } Prämissen, Annahmen Konklusion, Folgerung Clipart courtesy FCIT Die Prämissen sind durch und verbunden. Die Linie bedeutet daher. Wahre Prämissen, wahre Konklusion. Gültige Inferenz: Die Konklusion folgt logisch aus den Prämissen. Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. 4 ist eine gerade Zahl. 4 ist durch 2 teilbar. wahre Prämissen, wahre Konklusion gültige Inferenz Inferenzmuster identisch mit vorigem Beispiel 30

37 Alle US-Präsidenten sind in der USA geboren. Schwarzenegger ist US-Präsident. Schwarzenegger ist in der USA geboren. eine wahre und eine falsche Prämisse falsche Konklusion trotzdem korrekte Inferenz! Zugrundeliegende Inferenzregel Alle x sind y. z ist ein x. z ist y. x... Mensch, US-Präsident, gerade Zahl y... sterblich, in USA geboren, durch 2 teilbar z... Sokrates, Schwarzenegger, 4 x, y, z: Platzhalter (Variablen) für Eigenschaften, Individuen,... Die Logik befasst sich mit den Inferenzregeln. Das Anwendungsgebiet bestimmt den Wertebereich der Variablen und die Wahrheit der elementaren Aussagen. 31

38 Gültigkeit von Inferenzregeln Unzulässige Inferenzen Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. Alle Menschen sind sterblich. wahre Prämissen wahre Konklusionen aber trotzdem keine zulässigen Inferenzen! Kriterium für die Gültigkeit von Inferenzregeln Immer wenn alle Prämissen wahr sind, ist auch die Konklusion wahr. Äquivalentes Kriterium (Umkehrung) Immer wenn die Konklusion falsch ist, ist mindestens eine Prämisse falsch. 32

39 Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Inferenzregel: Alle x sind y. z ist y. z ist ein x. Diese Regel erfüllt nicht das Kriterium. Gegenbeispiel: x = Ball, y = rund, z = Sonne Alle Fußbälle sind rund. Die Sonne ist rund. Die Sonne ist ein Fußball. wahr wahr falsch Die Inferenzregel ist daher nicht gültig, obwohl sie gelegentlich zu wahren Konklusionen führt. Aber eben nicht immer! 33

40 Logische Junktoren (Operatoren, Konnektive, Funktionen)... ermöglichen die Bildung zusammengesetzter Aussagen, so wie Addition und Subtraktion bei arithmetischen Ausdrücken. Wenn Feiertag ist oder der Professor krank ist, findet die Vorlesung nicht statt. es ist Feiertag (x), Prof ist krank (y), VO findet statt (z)... elementare Aussagen aus dem Uni-Milieu Logische Struktur: Wenn x oder y, dann nicht z Junktoren: wenn-dann, oder, nicht Weitere Junktoren in... der Aussagenlogik: und, entweder-oder, genau dann-wenn,... Zeitlogiken: morgen, gestern, im nächsten Moment, bis,... Modallogiken: notwendigerweise, möglicherweise,

41 Quantoren... ermöglichen Aussagen über die Anzahl betroffener Individuen, Zeitpunkte etc. Jeder Mann liebt eine Frau. Wertebereiche: Männer (x), Frauen (y) Logische Struktur: Für alle x gibt es mindestens ein y, sodass x y liebt." Quantoren: für alle, mindestens ein Weitere Quantoren: einige, viele, mindestens fünf, höchstens drei, immer, manchmal, irgendwann später,... 35

42 Komponenten einer Logik logische Symbole, Variablen: notwendig für kompakte und unmissverständliche Schreibung Syntax: Regeln für Wohlgeformtheit Wann ist eine Folge logischer Symbole eine Formel? Semantik: Bedeutung von Formeln Welche Wahrheitswerte gibt es? Wann ist eine Formel wahr, wann falsch? Was bedeuten die Symbole? Konsequenzrelation: Wann folgt eine Formel logisch aus anderen Formeln? Inferenzregeln (logischer Kalkül) Wie lassen sich Formeln beweisen? 36

43 Unterscheidung von Logiken... nach Wahrheitswerten: Zweiwertige Logik: wahr/falsch Mehrwertige Logiken: wahr/falsch/unbekannt/widersprüchlich,... Fuzzy logic: [0,1] (alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1)... nach Quantoren: Aussagenlogik: keine Quantoren Quantifizierte Aussagenlogik: Quantoren über Aussagenvariablen Prädikatenlogik: Quantoren über Individuenvariablen Logiken höherer Stufen: Quantoren über Funktionen und Prädikate... nach den Ausdrucksmöglichkeiten: Elementare Logik: und, oder, nicht, für alle,... Zeitlogiken: im nächsten Moment, für immer, irgendwann später,... Modallogiken: ich glaube/weiß, dass, es ist möglich/notwendig, dass, nach wahren/beweisbaren Formeln, nach Kalkülen,... 37

44 Klassische Aussagenlogik (Propositionallogik) zwei Wahrheitswerte: wahr/falsch, true/false, verum/falsum, 1/0, ein/aus,... Aussagenvariablen, die wahr oder falsch sein können elementare Operatoren wie und, oder, nicht,... keine Quantoren Geht zurück auf die Antike Grundlegend für Philosophie Mathematik Informatik Clipart courtesy FCIT Aristoteles v.chr. 38

45 Was Sie heute erwartet 1. Organisatorisches 2. Was bedeutet Modellierung? 3. Aussagenlogik 3.1. Was ist Logik? 3.2. Aussagenlogische Funktionen 3.3. Syntax und Semantik der Aussagenlogik 39

46 Negation Ich gehe nicht ins Kino. Ist falsch, wenn ich ins Kino gehe, und wahr andernfalls. x not x Andere Bezeichnung: non Symbole: x, x, x, x,!x, x, Nx,... Logikgatter: 1 40

47 Konjunktion Der Himmel ist blau und die Sonne scheint. Trifft nur zu, wenn jede der beiden Teilaussagen wahr ist. x y x and y Andere Bezeichnung: et Symbole: x y, x y, xy, x&y, Kxy,... Logikgatter: & 41

48 Disjunktion, Alternative Ich trinke zum Essen Wein oder Bier (oder auch beides). Nur falsch, wenn ich weder Wein noch Bier trinke. x y x or y Andere Bezeichnung: vel Symbole: x y, x + y, x y, Axy Logikgatter: 1 42

49 Ausschließende Disjunktion (Antivalenz) Ich bin entweder gut drauf oder saugrantig, etwas anderes gibt es bei mir nicht. Trifft zu, wenn ich in genau einer der Stimmungslagen bin (die sich ausschließen). x y x xor y Andere Formulierungen: x oder y Andere Bezeichnungen: exor, aut Symbole: x y, x y, x y, x y, Jxy,... Logikgatter: =1 43

50 Äquivalenz Ich springe dann (und nur dann), wenn du es auch tust. Trifft zu, wenn beide springen oder keiner. x y x iff y Andere Formulierungen: x genau dann wenn y, x if and only if y, x ist notwendig und hinreichend für y, x ist äquivalent zu y Andere Bezeichnungen: eq, äq, xnor, nxor,... Symbole: x y, x y, x y, Exy,... Logikgatter: =1 44

51 Implikation Wenn/Falls ich ins Kino gehe, (dann) esse ich dort Popcorn. Ich gehe nur dann ins Kino, wenn ich dort Popcorn esse. Falsch, wenn ich im Kino kein Popcorn esse, und wahr, wenn doch. Keine Festlegung betreffend Popcorn außerhalb des Kinos, daher wahr. x y x implies y Verum ex quodlibet : x implies 1 = 1 Ex falso quodlibet : 0 implies y = 1 Andere Formulierungen: aus x folgt y, x impliziert y, x hinreichend für y Andere Bezeichnung: seq (sequi) Symbole: x y, x y, x y, Cxy,... Logikgatter: x y x 1 y 45

52 Implikation (Umkehrung) Ich esse (dann) Popcorn, wenn/falls ich ins Kino gehe. x y x if y Andere Formulierungen: x folgt aus y, x wird von y impliziert, x ist notwendig für y Symbole: x y, x y, x y,... Logikgatter: x y x y 1 46

53 Negierte Konjunktion x y x and y x nand y Andere Bezeichnungen: Sheffer-Strich, nd (J.Nicod) Symbole: x y, x y, x/y, Dxy,... Logikgatter: & Negierte Disjunktion x y x or y x nor y Andere Bezeichnungen: Peirce-Pfeil, sh (H.M.Sheffer) Symbole: x y, Xxy,... Logikgatter: 1 47

54 Wenn Feiertag ist oder der Professor krank ist, findet die Vorlesung nicht statt. Logische Struktur: Wenn x oder y, dann nicht z. Logische Funktion: (x or y) implies not z Logische Formel: (x y) z Prefix-Notation: C A x y N z Algebraische Notation: (x + y) z implies (or (x, y), not(z)) x y + z Logischer Schaltkreis: x y z x y z

55 Implikation oder Äquivalenz? Natürlichsprachliche Implikationen sind oft logische Äquivalenzen. Wenn du mein Auto wäscht, bekommst du 10 Euro. Und was, wenn ich es nicht tue? Nur ein Logiker hält in diesem Fall 10 Euro für möglich. Alle anderen interpretieren den Satz als: Du bekommst 10 Euro dann und nur dann, wenn du das Auto wäscht. Der positive Erfolg bei allen Lehrveranstaltungen und Prüfungen der Studieneingangs- und Orientierungsphase berechtigt zur Absolvierung der weiteren Lehrveranstaltungen und Prüfungen sowie zum Verfassen der im Curriculum vorgesehenen Bachelor- oder Diplomarbeiten. Universitätsgesetz 2002, Stand Bgbl I Nr. 13/2011, 66(1a) Logiker: Keine Einschränkung bei nicht bestandener STEOP. Ministerium: Restliches Studium dann und nur dann, wenn STEOP. 49

56 Der Besitz eines Führerscheins berechtigt zum Lenken eines Autos. Ohne Führerschein keine Berechtigung? (Äquivalenz) Auch nicht auf Privatgelände? (Doch nur Implikation?) In formalen Kontexten wird strikt zwischen Implikation und Äquivalenz unterschieden. Implikation = halbe Äquivalenz Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie gerade. 4-Teilbarkeit ist eine hinreichende Bedingung für Geradheit, aber keine notwendige. Äquivalenz führt zu einer falschen Aussage: Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn sie gerade ist. 2 ist eine gerade Zahl, aber nicht durch 4 teilbar. 50

57 Inklusive oder exklusive Disjunktion? Natürlichsprachliche Disjunktionen sind meist ausschließend gemeint. Falls du mich suchst: Ich bin zu Hause oder in der Arbeit. Physikalisch kann ein Körper nicht an zwei Orten gleichzeitig sein. Andererseits: Das Büro kann Teil der Wohnung sein. Tee oder Kaffee? Beides, bitte! Eher unüblich. Aber: Der Gast ist König. Ich besuche dich morgen oder übermorgen. Ein Besuch an beiden Tagen wäre unerwartet. 51

58 Ich fahre entweder Auto oder höre Musik. (Auf beides gleichzeitig kann ich mich nicht konzentrieren.) Wirklich ein Beispiel für ausschließende Disjunktion? Habe ich außerhalb des Autos tatsächlich keine ruhige Minute? Die exklusive Disjunktion ist hier als Implikation gemeint (und wird auch so verstanden): Wenn ich Auto fahre, höre ich nicht Musik. Legt nicht fest, was ich außerhalb des Autos mache. 52

59 Rezept für Zweifelsfälle der aussagenlogischen Modellierung 1 Identifiziere die elementaren Aussagen. 2 Analysiere alle Wahrheitsbelegungen. 3 Wähle geeignete logische Funktionen (unbeirrt von Intuition und natürlicher Sprache). z = Entweder ich fahre Auto (x) oder ich höre Musik (y). x y z x or y x xor y x implies not y x nand y x implies not y: Wenn ich Auto fahre, dann höre ich nicht Musik. x nand y: Es kommt nicht vor, dass ich Auto fahre und Musik höre. 53

60 Aussagenlogische Funktionen Überblick true false 1 0 x not and nand x y or nor iff xor implies if 2 nullstellige Funktionen (= Konstanten): true, false 4 einstellige Funktionen: not, zweistellige Funktionen: and, nand, or,... Es gibt 2 2n verschiedene n-stellige logische (Boolesche) Funktionen. 2 n verschiedene Argumentkombinationen ( Zeilen ) 2 Ergebnismöglichkeiten für jede Argumentkombination 54

61 Funktionale Vollständigkeit Eine Menge von Funktionen heißt vollständig (für eine Funktionsklasse), wenn damit alle Funktionen (der Klasse) ausgedrückt werden können. {not, and, or} ist funktional vollständig. Begründung siehe später. {not, and} ist funktional vollständig. {not, and, or} ist vollständig (siehe oben). or kann durch {not, and} ausgedrückt werden kann: x or y = not(not x and not y) x y not x not y not x and not y not(not x and not y)

62 {nand} ist funktional vollständig. {not, and} ist funktional vollständig (siehe oben). not x = x nand x x and y = not(x nand y) = (x nand y) nand (x nand y) Praktisch relevant: nand ist einfach als Halbleiter-Schaltkreis realisierbar. Somit ist jede logische Funktion als Schaltkreis realisierbar. Die Mengen {nor}, {not, or}, {not, implies} und {implies, false} sind ebenfalls funktional vollständig. 56

63 Was Sie heute erwartet 1. Organisatorisches 2. Was bedeutet Modellierung? 3. Aussagenlogik 3.1. Was ist Logik? 3.2. Aussagenlogische Funktionen 3.3. Syntax und Semantik der Aussagenlogik 57

64 Syntax versus Semantik Syntax: Zeichenfolge, mit der etwas notiert wird Regeln dafür, welche Zeichenfolgen zulässig sind Semantik: Bedeutung einer Zeichenfolge Funktion, die jeder zulässigen Zeichenfolge eine Bedeutung zuordnet Syntax und Semantik sind grundsätzlich voneinander unabhängig. Die Bedeutung von Zeichen muss explizit vereinbart werden. Syntax Semantik eins (deutsch) one (englisch) das abstrakte Konzept der Zahl 1 1 (mathematisch) Ort in Oberösterreich (deutsch) körperliche Betätigung (englisch) 58

65 and, nand... mathematische Funktionen x and y (x nand y) nand (x nand y) }... ununterscheidbar, identische Funktion: x y x and y (x nand y) nand (x nand y) Für Aussagen über die Form der Ausdrücke brauchen wir eine Formelsprache. x y (x y) (x y) }... unterschiedliche Zeichenketten mit 3 11 Symbolen 59

66 Induktive Definition unendlicher Mengen Stufenweise Konstruktion der geraden Zahlen: 0 ist eine gerade Zahl: G 0 = {0} Addiert man zu geraden Zahlen 2, erhält man wieder gerade Zahlen: G 1 = G 0 { n + 2 n G 0 } = {0, 2} G 2 = G 1 { n + 2 n G 1 } = {0, 2, 4} G i+1 = G i { n + 2 n G i } = {0, 2, 4,..., 2(i + 1)} Die geraden Zahlen sind alle so konstruierten Zahlen: G = lim i G i = i 0 G i Umständlich, aber konstruktiv: Beginnend mit G 0 lassen sich systematisch alle geraden Zahlen berechnen. Beobachtung: G 0 G Wenn n G, dann auch n + 2 G. G ist die kleinste Menge mit diesen beiden Eigenschaften. 60

67 Induktive Definition der geraden Zahlen G ist die kleinste Menge, für die gilt: 0 G Wenn n G, dann auch n + 2 G. Kompakte Definition, aber nicht konstruktiv: In den Bedingungen kommt die zu definierende Menge G selbst vor. Beiden Methoden definieren dieselbe Menge. (Nicht offensichtlich, Beweis erforderlich!). Daher: Use the best of both worlds. Definiere die Menge induktiv. Konstruiere benötigte Elemente stufenweise. Anmerkung: Der Zusatz ist kleinste Menge ist wesentlich. Die natürlichen Zahlen erfüllen ebenfalls beide Bedingungen, sind aber nicht die kleinste derartige Menge. 61

68 Induktive Definition allgemeine Situation U... Universum, Menge aller relevanten Elemente M 0 U... Menge von Grundelementen f 1 : U n 1 U, f 2 : U n 2 U,... Konstruktionsfunktionen Stufenweise Konstruktion der Menge M M i+1 = M i { f 1 (x 1,..., x n1 ) x 1,..., x n1 M i } { f 2 (x 1,..., x n2 ) x 1,..., x n2 M i } M = lim i M i = i 0 M i Induktive Definition der Menge M M ist die kleinste Menge, für die gilt: M 0 M Wenn x 1,..., x n1 M, dann f 1 (x 1,..., x n1 ) M. Wenn x 1,..., x n2 M, dann f 2 (x 1,..., x n2 ) M

69 Aussagenlogik Syntax Ausdrücke wie x and y und (x nand y) nand (x nand y) sind ununterscheidbar (gleiche Funktion!). Um Aussagen über ihre Form treffen zu können, benötigen wir eine Formelsprache. V = {A, B, C,..., A 0, A 1,... } aussagenlogische Variablen Syntax aussagenlogischer Formeln Die Menge A der aussagenlogischen Formeln ist die kleinste Menge, für die gilt: (a1) V A (a2) {, } A (a3) F A, wenn F A. Variablen sind Formeln. und sind Formeln. F ist eine Formel, falls F eine ist. (a4) (F G) A, wenn F, G A und {,,,,,,, }. (F G) ist eine Formel, falls F und G welche sind und ein binäres Op.symbol ist. 63

70 (a1) V A (a2) {, } A (a3) F A, wenn F A. (a4) (F G) A, wenn F, G A und {,,,,,,, }. ((A B) (A B)) ist eine aussagenlogische Formel, weil: 1 A und B sind Formeln. (a1) 2 (A B) ist eine Formel, (a4) da A und B Formeln sind (Punkt 1) und ein binäres Operatorsymbol ist. 3 ((A B) (A B)) ist eine Formel, (a4) da (A B) und (A B) Formeln sind (Punkt 2) und ein binäres Operatorsymbol ist. 64

71 (a1) V A (a2) {, } A (a3) F A, wenn F A. (a4) (F G) A, wenn F, G A und {,,,,,,, }. A B ist keine aussagenlogische Formel. A ist die kleinste Menge mit den Eigenschaften (a1) (a4), daher kann nur aufgrund von (a4) in einer Formel vorkommen. Dann muss es aber auch ein Klammernpaar geben. A B enthält, aber keine Klammern Widerspruch. 65

72 Formelsyntax: Beispiel einer induktiven Definition A ist die kleinste Menge, für die gilt: (a1) V A (a2) {, } A (a3) F A, wenn F A. (a4) (F G) A, wenn F, G A und {,,,,,,, }. U... Menge aller Zeichenketten bestehend aus Variablen, Operatorsymbolen und Klammern V {, }... Grundelemente f (F ) = F f (F, G) = (F G) f (F, G) = (F G)... Konstruktionsfunktionen... f (F, G) = (F G) 66

73 Aussagenlogik Semantik ((A B) ) wahr oder falsch? Hängt ab vom Wert der Variablen A und B und von der Bedeutung der Symbole,, und. Interpretationen B = {1, 0}... Wahrheitswerte I : V B... Wahrheitsbelegung, Interpretation I = { I I : V B }... Menge aller Interpretationen I(A) = I(C) = 1 und I(v) = 0 sonst Die elementaren Aussagen A und C sind wahr, die übrigen sind falsch. 67

74 Semantik aussagenlogischer Formeln Der Wert einer Formel in einer Interpretation I wird festgelegt durch die Funktion val: I A B: (v1) val I (A) = I(A) für A V; (v2) val I ( ) = 1 und val I ( ) = 0; (v3) val I ( F ) = not val I (F ); (v4) val I ( (F G) ) = val I (F ) val I (G), wobei die logische Funktion zum Operator ist. (v4) ist eine Abkürzung für: val I ( (F G) ) = val I (F ) and val I (G) val I ( (F G) ) = val I (F ) or val I (G) val I ( (F G) ) = val I (F ) iff val I (G) val I ( (F G) ) = val I (F ) implies val I (G). 68

75 (v1) val I (A) = I(A) für A V; (v2) val I ( ) = 1 und val I ( ) = 0; (v3) val I ( F ) = not val I (F ); (v4) val I ( (F G) ) = val I (F ) val I (G), wobei die logische Funktion zum Operator ist. Wert von ((A B) ) für I(A) = 1 und I(B) = 0 val I (((A B) )) = val I ((A B)) implies val I ( ) = (val I (A) and val I ( B)) implies 0 = (1 and not val I (B)) implies 0 = (1 and not 0) implies 0 = (1 and 1) implies 0 = 1 implies 0 = 0 69

76 Wahrheitstafel Kompakte Berechnung der Formelwerte für alle Interpretationen Unter jedem Operator steht der Wert der entsprechenden Teilformel. A B ((A B) ) bedeutet: I(A) = 1, I(B) = 1: val I ( ) = = 1 I(A) = 1, I(B) = 0: val I ( ) = = 0 I(A) = 0, I(B) = 1: val I ( ) = = 1 I(A) = 0, I(B) = 0: val I ( ) = = 1 false 0 x not x y and implies

77 Eine Formel F heißt gültig, wenn val I (F ) = 1 für alle I I; erfüllbar, wenn val I (F ) = 1 für mindestens ein I I; widerlegbar, wenn val I (F ) = 0 für mindestens ein I I; unerfüllbar, wenn val I (F ) = 0 für alle I I. Folgerungen: Eine gültige Formel ist erfüllbar, aber weder widerlegbar noch unerfüllbar. Tautologie Kontradiktion Eine erfüllbare Formel kann gültig oder widerlegbar sein, aber nicht unerfüllbar. Eine widerlegbare Formel kann erfüllbar oder unerfüllbar sein, aber nicht gültig. Eine unerfüllbare Formel ist widerlegbar, aber weder gültig noch erfüllbar. F ist gültig/erfüllbar/widerlegbar/unerfüllbar genau dann, wenn F unerfüllbar/widerlegbar/erfüllbar/gültig ist. 71