Angewandte Mathematik für die Informatik

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1 Angewandte Mathematik für die Informatik PD Dr. Louchka Popova-Zeugmann PD Dr. Wolfgang Kössler 17. Mai

2 Lineare Optimierung Allgemeine LOA Ganzzahlige Optimierung Differentialgleichungen Differentialgleichungen 1.Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung Anhang 2

3 Lineare Optimierung 1. Das allgemeine lineare Optimierungsproblem (LOP) 2. Das ganzzahlige lineare Optimierungsproblem (ILP) 3

4 Motivation Optimales Verhalten ist oft gefragt auf den Gebieten der 1. Wirtschaft, 2. Technik, 3. Politik, 4. Alltag, (fast) überall... 4

5 Beispiel Ein Portfolio-Unternehmen verfügt über 15 Millionen Dollars für Investitionen und es plant diese vollständig zu investieren. Das Unternehmen untersucht vier verschiedene Vermögensanlagen. Diese sind zusammen mit deren erwarteten Jahresertägen und den maximalen Geldbeträgen, die man jeweils in jede Anlage investieren möchte, in der folgenden Tabelle angegeben: Investition Jahresertrag Maximaler Geldbetrag (in Dollars) Schatzbriefe 7% $5 Mio Stammaktie 9% $7 Mio Geldmarkt (Fonds) 6% $12 Mio Kommunalanleihen 8% $9 Mio Ausgehend von der Wirtschaftslage schätzt das Unternehmen, dass die Schatzbriefe und die Stammaktie sich gut im Laufe des Jahres entwickeln werden und entscheidet sich, mindestens 30% seines Investitionsvolumens dort einzusetzen. Die Investition im Geldmarkt und Kommunalanleihen wird dagegen auf höchstens 40% limitiert. Wie soll das Unternehmen seine Mittel einsetzen damit es einen maximalen Ertrag erzielt und dabei seine Bedingungen erfüllt? 5

6 Mathematisches Modell Dies führt zum folgenden mathemanischen Modell: x 1 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Schatzbriefe x 2 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Stammaktie x 3 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Fonds x 4 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Kommunalanleihen 30% von $15 Mio sind $4,5 Mio und 40% von $15 Mio sind $6 Mio. Damit erhalten wir folgendes Modell: Maximiere ( 0, 07 x 1 + 0, 09 x 2 + 0, 06 x 3 + 0, 08 x 4 ) so dass x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x 1 + x 2 4, 5 x 3 + x 4 6 x 1 5 x 2 7 x 3 12 x 4 9 x 1, x 2, x 3, x 4 0 6

7 Mathematisches Modell Dies führt zum folgenden mathemanischen Modell: x 1 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Schatzbriefe x 2 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Stammaktie x 3 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Fonds x 4 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Kommunalanleihen 30% von $15 Mio sind $4,5 Mio und 40% von $15 Mio sind $6 Mio. Damit erhalten wir folgendes Modell: Maximiere ( 0, 07 x 1 + 0, 09 x 2 + 0, 06 x 3 + 0, 08 x 4 ) so dass x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x 1 + x 2 4, 5 x 3 + x 4 6 x 1 5 x 2 7 x 3 12 x 4 9 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Und nun, wie findet man eine Lösung? 6

8 Mathematisches Modell Dies führt zum folgenden mathemanischen Modell: x 1 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Schatzbriefe x 2 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Stammaktie x 3 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Fonds x 4 : Investitionsbetrag (in Dollars) für die Kommunalanleihen 30% von $15 Mio sind $4,5 Mio und 40% von $15 Mio sind $6 Mio. Damit erhalten wir folgendes Modell: Maximiere ( 0, 07 x 1 + 0, 09 x 2 + 0, 06 x 3 + 0, 08 x 4 ) so dass x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x 1 + x 2 4, 5 x 3 + x 4 6 x 1 5 x 2 7 x 3 12 x 4 9 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Und nun, wie findet man eine Lösung? Mit Hilfe der Linearen Optimierung! 6

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15 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.1 (Skalarprodukt in dem VR (R n, +, ) über dem Körper (R, +, )). Die Abbildung.,. : R n R n R heißt Skalarprodukt, falls gilt: v, w = w, v für alle v, w R n, v 1 + v 2, w = v 1, w + v 2, w für alle v 1, v 2, w R n, λ v, w = λ v, w, für alle v, w R n, λ R, v, v 0 für alle v R n und v, v = 0 gdw v = 0. 13

16 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.1 (Skalarprodukt in dem VR (R n, +, ) über dem Körper (R, +, )). Die Abbildung.,. : R n R n R heißt Skalarprodukt, falls gilt: v, w = w, v für alle v, w R n, v 1 + v 2, w = v 1, w + v 2, w für alle v 1, v 2, w R n, λ v, w = λ v, w, für alle v, w R n, λ R, v, v 0 für alle v R n und v, v = 0 gdw v = 0. Bemerkung 1.1. Natürlich kann man den Begriff Skalarprodukt auch in einem beliebigen VR über einem beliebigen Körper definieren. Dies verlangt jedoch zusätzliche Definitionen. Für uns ist aber genau der VR (R n, +, ) über dem Körper (R, +, ) relevant. 13

17 Einige allgemeine Grundbegriffe Betrachten wir den VR (R n, +, ) über den Körper (R, +, ). Dann ist v, w := n v i w i ist ein SP. i=1 14

18 Einige allgemeine Grundbegriffe Betrachten wir den VR (R n, +, ) über den Körper (R, +, ). Dann ist v, w := n v i w i ist ein SP. i=1 Ab sofort bezeichnen wir den VR (R n, +, ) über den Körper (R, +, ) kurz nur R n. 14

19 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.2. Seien x 1,, x k Elemente (Punkte) aus R n. Das Element x heißt 1. eine lineare Kombination von x 1,, x k, wenn es k reele Zahlen λ 1,, λ k gibt, so dass gilt: k x = λ i x i, i=1 15

20 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.2. Seien x 1,, x k Elemente (Punkte) aus R n. Das Element x heißt 1. eine lineare Kombination von x 1,, x k, wenn es k reele Zahlen λ 1,, λ k gibt, so dass gilt: k x = λ i x i, i=1 2. eine affine Kombination von x 1,, x k, wenn 2.1 x ist eine lineare Kombination von x 1,, x k, etwa x = k λ i x i, und i=1 k 2.2 λ i = 1, i=1 15

21 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.2. Seien x 1,, x k Elemente (Punkte) aus R n. Das Element x heißt 1. eine lineare Kombination von x 1,, x k, wenn es k reele Zahlen λ 1,, λ k gibt, so dass gilt: k x = λ i x i, i=1 2. eine affine Kombination von x 1,, x k, wenn 2.1 x ist eine lineare Kombination von x 1,, x k, etwa x = k λ i x i, und i=1 k 2.2 λ i = 1, i=1 3. eine konvexe Kombination von x 1,, x k, wenn 3.1 x ist eine affine Kombination von x 1,, x k, etwa x = k λ i x i, und i=1 3.2 λ i 0 for all i {1,..., k}. 15

22 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.3 (konvexe Hülle). Sei M := {x 1,..., x k } R n eine endliche Menge von Punkten in R n. Die Menge aller konvexen Kombinationen von {x 1,..., x k } heißt die konvexe Hülle von M (Bez.: conv{x 1,..., x k }). 16

23 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.3 (konvexe Hülle). Sei M := {x 1,..., x k } R n eine endliche Menge von Punkten in R n. Die Menge aller konvexen Kombinationen von {x 1,..., x k } heißt die konvexe Hülle von M (Bez.: conv{x 1,..., x k }). Bezeichnung 1.2. Seien x 1, x 2 zwei Punkte aus R n. Die konvexe Hülle conv{x 1, x 2 } heißt auch Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x 2. 16

24 Einige allgemeine Grundbegriffe Definition 1.3 (konvexe Hülle). Sei M := {x 1,..., x k } R n eine endliche Menge von Punkten in R n. Die Menge aller konvexen Kombinationen von {x 1,..., x k } heißt die konvexe Hülle von M (Bez.: conv{x 1,..., x k }). Bezeichnung 1.2. Seien x 1, x 2 zwei Punkte aus R n. Die konvexe Hülle conv{x 1, x 2 } heißt auch Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x 2. Definition 1.4 (konvexe Menge). Die Menge M R n heißt konvex, wenn für beliebige x 1, x 2 M gilt auch conv{x 1, x 2 } M. 16

25 Beispiele konvexe Mengen 17

26 Beispiele konvexe Mengen nicht konvexe Mengen 17

27 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Definition 1.5 (Lineares Optimierungsproblem). Sei x, c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max / min{ c, x A x = b, x 0} heißt ein Lineares Optimierungsproblem (kurz: LOP). 18

28 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Definition 1.5 (Lineares Optimierungsproblem). Sei x, c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max / min{ c, x A x = b, x 0} heißt ein Lineares Optimierungsproblem (kurz: LOP). Ein LOP wird auch Lineare Optimierungsaufgabe (kurz: LOA) genannt. 18

29 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Definition 1.5 (Lineares Optimierungsproblem). Sei x, c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max / min{ c, x A x = b, x 0} heißt ein Lineares Optimierungsproblem (kurz: LOP). Ein LOP wird auch Lineare Optimierungsaufgabe (kurz: LOA) genannt. Sei in dem Weiteren, o.b.d.a., m n. 18

30 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Definition 1.5 (Lineares Optimierungsproblem). Sei x, c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max / min{ c, x A x = b, x 0} heißt ein Lineares Optimierungsproblem (kurz: LOP). Ein LOP wird auch Lineare Optimierungsaufgabe (kurz: LOA) genannt. Sei in dem Weiteren, o.b.d.a., m n. Bezeichnung 1.3. M := {x R n A x = b, x 0} heißt Restriktionsbereich oder Bedingungsmenge, c, x wird Zielfunktion genannt. 18

31 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Sei rg(a) = m. Dann existieren m linear unabhängige Spalten in der Matrix A. Seien diese, o.b.d.a., die ersten m. Sei A = (A B A N ), wobei A B aus den ersten m Spalten besteht. A B heißt dann eine Basismatrix von Matrix A. Daraus ergibt sich: ( ) cb c = c N und x = ( xb x N ). 19

32 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Sei rg(a) = m. Dann existieren m linear unabhängige Spalten in der Matrix A. Seien diese, o.b.d.a., die ersten m. Sei A = (A B A N ), wobei A B aus den ersten m Spalten besteht. A B heißt dann eine Basismatrix von Matrix A. Daraus ergibt sich: ( ) cb c = c N und x = ( xb x N ). B und N werden gleichzeitig auch als Bezeichnungen für Indexmengen (Nummer von Spalten in der Matrix A) verwendet: B steht für die Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten aus A, die die Matrix A B bilden. N bezeichnet die Indexmenge der restlichen Spalten. Somit, falls A B aus den ersten m Spallten besteht, dann ist B = {1,, m} und N = {m + 1,, n}. 19

33 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Sei rg(a) = m. Dann existieren m linear unabhängige Spalten in der Matrix A. Seien diese, o.b.d.a., die ersten m. Sei A = (A B A N ), wobei A B aus den ersten m Spalten besteht. A B heißt dann eine Basismatrix von Matrix A. Daraus ergibt sich: ( ) cb c = c N und x = ( xb x N ). Die Variablen x i, i B nennt man Basisvariablen (kurz: BV) und die Variablen x j, j N Nichtbasisvariablen (kurz: NBV). B und N werden gleichzeitig auch als Bezeichnungen für Indexmengen (Nummer von Spalten in der Matrix A) verwendet: B steht für die Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten aus A, die die Matrix A B bilden. N bezeichnet die Indexmenge der restlichen Spalten. Somit, falls A B aus den ersten m Spallten besteht, dann ist B = {1,, m} und N = {m + 1,, n}. 19

34 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Betrachten wir die LOA max{ c, x A x = b, x 0}. 20

35 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Betrachten wir die LOA max{ c, x A x = b, x 0}. Definition 1.6 (((zulässiger) ) ( ) Basispunkt). xb xb Der Punkt x = = mit A x = b heißt Basispunkt x N 0 von A zur Basismatrix A B. 20

36 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Betrachten wir die LOA max{ c, x A x = b, x 0}. Definition 1.6 (((zulässiger) ) ( ) Basispunkt). xb xb Der Punkt x = = mit A x = b heißt Basispunkt x N 0 von A zur Basismatrix A B. Wenn zusätzlich gilt, dass x B 0, dann heißt der Punkt x ein zulässiger Basispunkt von A zur Basismatrix A B. 20

37 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Betrachten wir die LOA max{ c, x A x = b, x 0}. Definition 1.6 (((zulässiger) ) ( Basispunkt). ) xb xb Der Punkt x = = mit A x = b heißt Basispunkt x N 0 n m von A zur Basismatrix A B. Wenn zusätzlich gilt, dass x B 0 m, dann heißt der Punkt x ein zulässiger Basispunkt von A zur Basismatrix A B. 0 bezeichnet hier ein Nullvektor entspr. Dimension, die manchmal als Index noch angegeben wird. 20

38 Grundbegriffe der Linearen Optimierung Betrachten wir die LOA max{ c, x A x = b, x 0}. Definition 1.6 (((zulässiger) ) ( ) Basispunkt). xb xb Der Punkt x = = mit A x = b heißt Basispunkt x N 0 von A zur Basismatrix A B. Wenn zusätzlich gilt, dass x B 0, dann heißt der Punkt x ein zulässiger Basispunkt von A zur Basismatrix A B. Bemerkung 1.4. Ein zulässiger Basispunkt gehöhrt zum Restriktionsbereich der betrachteten LOA. 0 bezeichnet hier ein Nullvektor entspr. Dimension, die manchmal als Index noch angegeben wird. 20

39 Simplexalgorithmus Wir betrachten erneut die LOA (P) max{ c, x A x = b, x 0}. Für den Restriktionsbereich gilt: (A B A N ) A ) x=b gdw =b gdw ( xb x N A B x B + A N x N =b. Folglich gilt für den Restriktionsbereich: x B = A 1 B b A 1 B A N x N. (S1) 21

40 Simplexalgorithmus Für die Zielfunktion gilt: c, x = c B, x B + c N, x N = c T B x B + c T N x N ( = cb T A 1 B b A 1 B A ) N x N + c T N x N = c T B A 1 B b ( c T B A 1 B A N c T N) xn. (S2) 22

41 Simplexalgorithmus Jetzt schreiben wir (S1) und (S2) komponentenweise auf: x k = d k0 j B d kj x j k B und c, x = d 00 j N d 0j x j wobei ( d k0 = ( d kj = A 1 B A 1 B ) b, k ) ) (A N k d 00 = c T B A 1 B b. j und 23

42 Simplexalgorithmus Damit ergeben sich für das LOP (P) folgende drei Schreibformen: (P) = max{ c, x A x = b, x 0} (A) = max{c T B A 1 B b ( c T B A 1 B A N c T N ) xn ( x B = ) A 1 B b A 1 B A N x N 0, x N 0} (B) = max{d 00 j N d 0j x j ( x k = ) d k0 j B d kj x j k B, x j 0 j N}. (C) 24

43 Simplexalgorithmus Damit ergeben sich für das LOP (P) folgende drei Schreibformen: (P) = max{ c, x A x = b, x 0} (A) = max{c T B A 1 B b ( c T B A 1 B A N c T N ) xn ( x B = ) A 1 B b A 1 B A N x N 0, x N 0} (B) = max{d 00 j N d 0j x j ( x k = ) d k0 j B d kj x j k B, x j 0 j N}. (C) Aus (C) läßt sich das erste Simplextableau aufstellen: 24

44 Simplexalgorithmus Definition 1.7 (1. Simplextableau:). NBV (N) x m+1... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,j... d 0,n x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,j... d 1,n x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,j... d 2,n BV..... (B) x i d i,0 d i,m+1... d i,j... d i,n..... x m d m,0 d m,m+1... d m,j... d m,n 25

45 Simplexalgorithmus Definition 1.7 (1. Simplextableau:). charakteristische Zeile NBV (N) x m+1... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,j... d 0,n x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,j... d 1,n x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,j... d 2,n BV..... (B) x i d i,0 d i,m+1... d i,j... d i,n..... x m d m,0 d }{{} m,m+1 d m,j d m,n }{{} A 1 B b A 1 A N B 25

46 Simplexalgorithmus Definition 1.7 (1. Simplextableau:). charakteristische Zeile NBV (N) x m+1... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,j... d 0,n x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,j... d 1,n x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,j... d 2,n BV..... (B) x i d i,0 d i,m+1... d i,j... d i,n..... x m d m,0 d }{{} m,m+1 d m,j d m,n }{{} A 1 B b A 1 A N Wenn A B = E m, so ist dann A 1 B = E m, A 1 B B b = b und A 1 B A N = A N. 25

47 Simplexalgorithmus Fragen: 26

48 Simplexalgorithmus Fragen: Was mache ich, wenn nicht alle Variablen nichtnegativ sind? 26

49 Simplexalgorithmus Fragen: Was mache ich, wenn nicht alle Variablen nichtnegativ sind? Wie erhalte ich aus einem Ungleichungssystem ein Gleichungssystem? 26

50 Simplexalgorithmus Fragen: Was mache ich, wenn nicht alle Variablen nichtnegativ sind? Wie erhalte ich aus einem Ungleichungssystem ein Gleichungssystem? Wie finde ich leicht einen zulässigen Basispunkt? 26

51 Simplexalgorithmus Fragen: Antworten: Was mache ich, wenn nicht alle Variablen nichtnegativ sind? Transformation Wie erhalte ich aus einem Ungleichungssystem ein Gleichungssystem? Transformation Wie finde ich leicht einen zulässigen Basispunkt? Ein Hilfsproblem lösen 26

52 Beispiel: 1. Simplextableau Beispiel 1.5. Maximiere 5 x 1 x 2, so dass 4 x x 2 17, 5 x x 2 9 und x

53 Beispiel: 1. Simplextableau Beispiel 1.5. (P) 5 x 1 x 2 max 4 x x x x 2 9 x

54 Simplexalgorithmus Frage: Wie stelle ich fest, dass ein Punkt optimal ist? 28

55 Simplexalgorithmus Frage: Wie stelle ich fest, dass ein Punkt optimal ist? Antwort: Satz 1.8. Wenn (( d 0j ) 0 für ) alle j N, so ist dann der Punkt di0 x = optimal für die LOA. i=1...m 0 n m Beweis: an der Tafel. Bemerkung 1.6. Offensichtlich ist der Punkt x ein zulässiger Basispunkt. 28

56 Simplexalgorithmus Frage: Wenn ein betrachteter Punkt nicht optimal ist, wie finde ich einen besseren? 29

57 Simplexalgorithmus Frage: Wenn ein betrachteter Punkt nicht optimal ist, wie finde ich einen besseren? Antwort: Satz 1.9. Wenn ein l N mit d 0l < 0 existiert, so kann durch eine Basiswechsel der Wert der Zielfunktion erhöht werden. Beweis: an der Tafel. 29

58 Simplexalgorithmus BV NBV x m+1... x l... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,l... d 0,j... d 0,m x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,l... d 1,j... d 1,m x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,l... d 2,j... d 2,m x k d k,0 d k,m+1... d k,l... d k,j... d k,m Pivotzeile... x i d i,0 d i,m+1... d i,l... d i,j... d i,m x m d m,0 d m,m+1... d m,l... d m,j... d m,m... Pivotspalte d k,l heißt Pivot-Element 30

59 Berechnung des nachfolgenden Tableaus Es bleibt noch anzugeben, wie die zur neuen Basis B gehörenden d lj aussehen, d.h. wie das neue Simplextableau aus dem alten zu berechnen ist. Wir wissen: x i = d i0 d ij x j, i B. j N Diese Gleichung gilt auch für i = 0, wobei x 0 = ZF(x) und x ist der BP bei B. Für i = k gilt dann: x k = d k0 d kj x j = j N Damit ergibt sich für x l : = d k0 x l = 1 d kl (d k0 j l j N j l j N d kj x j d kl x l d kj x j ) 1 d kl x k = = d k0 ( 1 x k + d kl d kl }{{}}{{} d l0 d lk j l j N d kj x j ) d kl }{{} d lj d l0, d lk, d lj sind die Elemente der l-ten Zeile in dem neuen Simplextableau, d.h. die Pivotzeile sieht wie folgt aus: d lk = 1 d kl, dlj = d kj d kl. 31

60 Berechnung des nachfolgenden Tableaus (Fortsetzung) Für beliebige Basisvariablen x i (i l) gilt nach dem Simplexschritt: x i = d i0 d ij x j d il x l = j N j l = d i0 j N j l d ij x j d il ( d k0 d kl 1 d kl x k j N j l d kj d kl x j ) = = d i0 d ild k0 d kl j N j l d ij x j + d il j N j l d kj d kl x j + d il d kl x k = = d i0 d il d k0 d kl }{{} = d i0 j N j l ( d ij d ) ild kj x j + d il x k. d kl d kl }{{}}{{} = d ij (Kreuzregel) = d ik 32

61 Simplexalgorithmus Anwendung der Kreuzregel auf das Simplextableau BV NBV x m+1... x l... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,l... d 0,j... d 0,m x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,l... d 1,j... d 1,m x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,l... d 2,j... d 2,m x k d k,0 d k,m+1... d k,l... d k,j... d k,m Pivotzeile... x i d i,0 d i,m+1... d i,l... d i,j... d i,m x m d m,0 d m,m+1... d m,l... d m,j... d m,m... Pivotspalte d k,l heißt Pivot-Element 33

62 Simplexalgorithmus Anwendung der Kreuzregel auf das Simplextableau BV NBV x m+1... x l... x j... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,l... d 0,j... d 0,m x 1 d 1,0 d 1,m+1... d 1,l... d 1,j... d 1,m x 2 d 2,0 d 2,m+1... d 2,l... d 2,j... d 2,m x k d k,0 d k,m+1... d k,l... d k,j... d k,m Pivotzeile... x i d i,0 d i,m+1... d i,l... d i,j... d i,m x m d m,0 d m,m+1... d m,l... d m,j... d m,m... Pivotspalte d k,l heißt Pivot-Element Beispiel: an der Tafel. 33

63 Simplexalgorithmus Fragen: 34

64 Simplexalgorithmus Fragen: Kann ich bei der Berechnung eines besseren Punktes in einen Zyklus geraten? 34

65 Simplexalgorithmus Fragen: Antworten: Kann ich bei der Berechnung eines besseren Punktes in einen Zyklus geraten? Ja, aber... nicht, wenn man die lexikographische Simplexmethode verwendet. 34

66 Simplexalgorithmus Fragen: Antworten: Kann ich bei der Berechnung eines besseren Punktes in einen Zyklus geraten? Ja, aber... nicht, wenn man die lexikographische Simplexmethode verwendet. Kann ich in endlich vielen Schritten einen optimalen Punkt finden? 34

67 Simplexalgorithmus Fragen: Antworten: Kann ich bei der Berechnung eines besseren Punktes in einen Zyklus geraten? Ja, aber... nicht, wenn man die lexikographische Simplexmethode verwendet. Kann ich in endlich vielen Schritten einen optimalen Punkt finden? Ja, weil... 34

68 Simplexalgorithmus Lexikographische Simplexmethode (wenn man in einen Zyklus gerät) 35

69 Simplexalgorithmus Lexikographische Simplexmethode (wenn man in einen Zyklus gerät) Beispiel x 1 + 2x 2 8x 3 2x 4 max 2x 1 + x 2 3x 3 x 4 0 7x 1 3x 2 + 7x 3 + 2x 4 0 x i 0, i =

70 Simplexalgorithmus Lexikographische Simplexmethode (wenn man in einen Zyklus gerät) Beispiel x 1 + 2x 2 8x 3 2x 4 max 2x 1 + x 2 3x 3 x 4 0 7x 1 3x 2 + 7x 3 + 2x 4 0 x i 0, i = Die Nebenbedingungen werden umgeformt zu { 2x 1 + x 2 3x 3 x 4 + u 1 = 0 7x 1 3x 2 + 7x 3 + 2x 4 + u 2 = 0 und wir rechnen weiter mit dem Simplexalgorithmus 35

71 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u

72 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 36

73 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x

74 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x u 1 u 2 x 1 x x 3 0-3/2-1/2 1/2 1/2 x 2 0-7/2-3/2 7/2 1/2 36

75 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x u 1 u 2 x 1 x x 3 0-3/2-1/2 1/2 1/2 x 2 0-7/2-3/2 7/2 1/2 u 1 u 2 x 1 x x x

76 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x u 1 u 2 x 1 x x 3 0-3/2-1/2 1/2 1/2 x 2 0-7/2-3/2 7/2 1/2 u 1 u 2 x 1 x x x x 3 u 2 x 1 x u 1 0 1/2 1/2-3/2 1/2 x 4 0 1/2 1/2-7/2-3/2 36

77 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x u 1 u 2 x 1 x x 3 0-3/2-1/2 1/2 1/2 x 2 0-7/2-3/2 7/2 1/2 u 1 u 2 x 1 x x x x 3 u 2 x 1 x u 1 0 1/2 1/2-3/2 1/2 x 4 0 1/2 1/2-7/2-3/2 x 3 x 4 x 1 x u u

78 Lösen ohne lexikographiches Vorgehen: x 1 x 2 x 3 x u u u 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/2 1/2-3/2-1/2 u 2 0 7/2 1/2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 3 x x x u 1 u 2 x 1 x x 3 0-3/2-1/2 1/2 1/2 x 2 0-7/2-3/2 7/2 1/2 u 1 u 2 x 1 x x x x 3 u 2 x 1 x u 1 0 1/2 1/2-3/2 1/2 x 4 0 1/2 1/2-7/2-3/2 x 3 x 4 x 1 x u u = erstes Tableau! 36

79 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: 37

80 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, 37

81 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, 37

82 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, 37

83 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, sei l-te Spalte die Pivot-Spalte, d.h. das Element d k,l ist das Pivot-Element in einem Simplextableau. 37

84 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, sei l-te Spalte die Pivot-Spalte, d.h. das Element d k,l ist das Pivot-Element in einem Simplextableau. Wir haben bereits berechnet, dass in dem Nachfolgertableau 37

85 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, sei l-te Spalte die Pivot-Spalte, d.h. das Element d k,l ist das Pivot-Element in einem Simplextableau. Wir haben bereits berechnet, dass in dem Nachfolgertableau 1 alle Elemente der Pivotzeile des vorhergehenden Tableaus mit multipliziert d kl werden, d.h. an Stelle der alten Pivot-Zeile z k steht in dem Nachfolgetableau die Zeile z l mit z l = 1 z k, d kl 37

86 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, sei l-te Spalte die Pivot-Spalte, d.h. das Element d k,l ist das Pivot-Element in einem Simplextableau. Wir haben bereits berechnet, dass in dem Nachfolgertableau 1 alle Elemente der Pivotzeile des vorhergehenden Tableaus mit multipliziert d kl werden, d.h. an Stelle der alten Pivot-Zeile z k steht in dem Nachfolgetableau die Zeile z l mit z l = 1 z k, d kl für jede weitere Zeilen z i, i B gilt, dass sie aus der alten Zeile z i nach der Kreutzregel entsteht, d.h. z i = z i d il d kl z k. 37

87 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Betrachten wir erneut die Berechnung eines Nachfolger-Simplestableaus: Seien B die Menge der BV-Indizes, sei N die Menge der NBV-Indizes, sei k-te Zeile die Pivot-Zeile, sei l-te Spalte die Pivot-Spalte, d.h. das Element d k,l ist das Pivot-Element in einem Simplextableau. Wir haben bereits berechnet, dass in dem Nachfolgertableau 1 alle Elemente der Pivotzeile des vorhergehenden Tableaus mit multipliziert d kl werden, d.h. an Stelle der alten Pivot-Zeile z k steht in dem Nachfolgetableau die Zeile z l mit z l = 1 z k, d kl für jede weitere Zeilen z i, i B gilt, dass sie aus der alten Zeile z i nach der Kreutzregel entsteht, d.h. z i = z i d il d kl z k. Schließlich betrachten wir die erweiterten Form des Simplextableaus: 37

88 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Lange Form des Simplextableaus: BV NBV x 1... x p... x m x m+1... x q... x n d 0,0 d 0,m+1... d 0,q... d 0,m x 1 d 1, d 1,m+1... d 1,q... d 1,m x 2 d 2, d 2,m+1... d 2,q... d 2,m BV x p d p, d p,m+1... d p,q... d p,m x m d m, d m,m+1... d m,q... d m,m 38

89 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Definition Ein Element x R heißt lexikographisch positiv (x 0), falls die erste von Null verschiedene Komponente von x positiv ist. Definition Ein Element x R heißt lexikographisch negativ (x 0), falls x 0. Definition Sei die Relation (gesprochen: lexikographisch größer) definiert, wie folgt: : R n R n mit x y x y 0. 39

90 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Definition Ein Element x R heißt lexikographisch positiv (x 0), falls die erste von Null verschiedene Komponente von x positiv ist. Definition Ein Element x R heißt lexikographisch negativ (x 0), falls x 0. Definition Sei die Relation (gesprochen: lexikographisch größer) definiert, wie folgt: : R n R n mit x y x y 0. Berechnung des Nachfolgertableaus mittel der lexikographischen Simplexmethode (lexikographische Simplextransformation): an der Tafel 39

91 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Deshalb funkioniert es... 40

92 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Deshalb funkioniert es... Satz Seien alle Zeilen z i (i B) in der erweiterten Form eines (beliebigen) Simplextableaus lexikographisch positiv. Dann sind nach der Simplextransformation alle Zeilen z i, i B ebenfalls lexikographisch positiv. Beweis: an der Tafel. 40

93 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Deshalb funkioniert es... Satz Seien alle Zeilen z i (i B) in der erweiterten Form eines (beliebigen) Simplextableaus lexikographisch positiv. Dann sind nach der Simplextransformation alle Zeilen z i, i B ebenfalls lexikographisch positiv. Beweis: an der Tafel. Satz Die charakteristische Zeile im langen Tableau wächst lexikographisch. Beweis: an der Tafel. 40

94 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Beispiel 1.8. Betrachten wir wieder das letzte Beispiel. Jetzt verwenden wir die lexikographische Simplexmethode: u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x u u u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/ /2-3/2-1/2 u 2 0 7/ /2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x x u Somit finden wir nach drei Schritten (mit der lexikographischen Simplexmethode) einen optimalen Punkt: x = (0, 0, 0, 0, 0, 0) T und der Wert der Zielfunktion ist 0. 41

95 Simplexalgorithmus (lexikographiche Simplexmethode) Beispiel 1.8. Betrachten wir wieder das letzte Beispiel. Jetzt verwenden wir die lexikographische Simplexmethode: u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x u u u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x x 1 0 1/ /2-3/2-1/2 u 2 0 7/ /2-7/2-3/2 u 1 u 2 x 1 x 2 x 3 x x u Somit finden wir nach drei Schritten (mit der lexikographischen Simplexmethode) einen optimalen Punkt: x = (0, 0, 0, 0, 0, 0) T und der Wert der Zielfunktion ist 0. Dabei wächst die charakteristische Zeile monoton! 41

96 Simplexalgorithmus (Die Hilfsaufgabe) Sei x, c R n, b R m, b 0, A R m n und (P) max{ c, x A x = b, x 0} eine LOA. Dann nennt man die LOA m (H P ) min{ y i Ax + E m y = b, x 0, y 0} i=1 die zu (P) gehörige Hilfsaufgabe. 42

97 Simplexalgorithmus (Die Hilfsaufgabe) Ein Start-Basispunkt für (H P ) ist immer leicht zu finden: x = 0 n, y = b( 0 m). Nach der Simplexmethode erhalten wir eine Lösung oder stellen die Unlösbarkeit fest. (Unlösbarkeit würde heißen v =, und das kann wegen v 0 nicht sein). 43

98 Simplexalgorithmus (Die Hilfsaufgabe) Ein Start-Basispunkt für (H P ) ist immer leicht zu finden: x = 0 n, y = b( 0 m). Nach der Simplexmethode erhalten wir eine Lösung oder stellen die Unlösbarkeit fest. (Unlösbarkeit würde heißen v =, und das kann wegen v 0 nicht sein). Sei also v der Extremalwert der Hilfsaufgabe (H P ) im Basispunkt (x, y). 1. Fall: v = 0. Dann gilt y 1 = = y m = 0 (da y i 0) und folglich ist x in M. 2. Fall: v > 0. Dann gilt für jedes x R n, dass A x < b und damit M =! 43

99 Simplexalgorithmus (Die Hilfsaufgabe) Ein Start-Basispunkt für (H P ) ist immer leicht zu finden: x = 0 n, y = b( 0 m). Nach der Simplexmethode erhalten wir eine Lösung oder stellen die Unlösbarkeit fest. (Unlösbarkeit würde heißen v =, und das kann wegen v 0 nicht sein). Sei also v der Extremalwert der Hilfsaufgabe (H P ) im Basispunkt (x, y). 1. Fall: v = 0. Dann gilt y 1 = = y m = 0 (da y i 0) und folglich ist x in M. 2. Fall: v > 0. Dann gilt für jedes x R n, dass A x < b und damit M =! d.h., dass es mindestens ein x i existiert, so dass A i x < 0 43

100 Simplexalgorithmus (Die Hilfsaufgabe) Ein Start-Basispunkt für (H P ) ist immer leicht zu finden: x = 0 n, y = b( 0 m). Nach der Simplexmethode erhalten wir eine Lösung oder stellen die Unlösbarkeit fest. (Unlösbarkeit würde heißen v =, und das kann wegen v 0 nicht sein). Sei also v der Extremalwert der Hilfsaufgabe (H P ) im Basispunkt (x, y). 1. Fall: v = 0. Dann gilt y 1 = = y m = 0 (da y i 0) und folglich ist x in M. 2. Fall: v > 0. Dann gilt für jedes x R n, dass A x < b und damit M =! d.h., dass es mindestens ein x i existiert, so dass A i x < 0 Beispiel: an der Tafel. 43

101 Simplexalgorithmus Zusammenfassung Für jede LOA (P) max{ c, x A x = b, x 0} gilt: (eventuell mittels Hilfsaufgabe) kann man leicht einen Start-Basispunkt finden oder man stellt fest, dass der Restriktionsbereich der LOA leer ist. Ist der Restriktionsbereich nicht leer, so kann nur einer der beiden Fälle eintretten: entweder existiert eine Lösung der Aufgabe, oder der Extremalwert ist + (bei Maximierung) bzw. (bei Minimierung). 44

102 Simplexalgorithmus Zusammenfassung Für jede LOA (P) max{ c, x A x = b, x 0} gilt: (eventuell mittels Hilfsaufgabe) kann man leicht einen Start-Basispunkt finden oder man stellt fest, dass der Restriktionsbereich der LOA leer ist. Ist der Restriktionsbereich nicht leer, so kann nur einer der beiden Fälle eintretten: entweder existiert eine Lösung der Aufgabe, oder der Extremalwert ist + (bei Maximierung) bzw. (bei Minimierung). Alle Fälle werden in endlich viel Schritten mit Hilfe des (lexikographischen) Simplexalgorithmus entschieden (worste-case: in exponentiell - zu der Dimension der Aufgabe - vielen Schritten). 44

103 Dualität Definition Betrachten wir die LOA (P) max{< c, x > A x b, x 0}. Die LOA (D) min{< b, y > A T y c, y 0} heißt die zu (P) duale Aufgabe. 45

104 Dualität Definition Betrachten wir die LOA (P) max{< c, x > A x b, x 0}. Die LOA (D) min{< b, y > A T y c, y 0} heißt die zu (P) duale Aufgabe. 45

105 Dualität Definition Betrachten wir die LOA (P) max{< c, x > A x b, x 0}. Die LOA (D) min{< b, y > A T y c, y 0} heißt die zu (P) duale Aufgabe. Beispiel: an der Tafel. 45

106 Dualität Bemerkung 1.9. Sei (P) eine LOA in Gleichungsform, d.h. (P) max{< c, x > A x = b, x 0}. Dann ist die zu (P) duale Aufgabe die LOA (D) mit (D) min{< b, u > A T u c}. 46

107 Dualität Satz 1.16 (Dualitätssatz der linearen Optimierung). Es seien (P): max{< c, x > A x b, x 0} und (D): min{< b, y > A T y c, y 0} mit c, x R n, b, y R m, A R m n. Dann gilt: (P) ist lösbar genau dann, wenn (D) lösbar ist. Im Falle der Lösbarkeit sind die Extremalwerte gleich. 47

108 Dualität Satz 1.16 (Dualitätssatz der linearen Optimierung). Es seien (P): max{< c, x > A x b, x 0} und (D): min{< b, y > A T y c, y 0} mit c, x R n, b, y R m, A R m n. Dann gilt: (P) ist lösbar genau dann, wenn (D) lösbar ist. Im Falle der Lösbarkeit sind die Extremalwerte gleich. Beweis: ohne Beweis. 47

109 Duale Simplexmethode Betrachten wir ein erstes Simplextableau: x N d 00 d 0N x B d B0 d BN 48

110 Duale Simplexmethode Betrachten wir ein erstes Simplextableau: d 00 x N d 0N x B d B0 d BN Simplexmethode: Start: d B0 0, d 0N - beliebig. Ziel: d 0N 0 zu konstruieren unter Beibehaltung d B

111 Duale Simplexmethode Betrachten wir ein erstes Simplextableau: d 00 x N d 0N x B d B0 d BN Simplexmethode: Start: d B0 0, d 0N - beliebig. Ziel: d 0N 0 zu konstruieren unter Beibehaltung d B0 0. Duale Simplexmethode: Start: d 0N 0, d B0 - beliebig. Ziel: d B0 0 zu konstruieren unter Beibehaltung d 0N 0. 48

112 Duale Simplexmethode Berechnung des Nachfolgertableaus mittel der dualen Simplexmethode: an der Tafel 49

113 Duale Simplexmethode Berechnung des Nachfolgertableaus mittel der dualen Simplexmethode: an der Tafel Beispiel 1.10 (Vergessene Nebenbedingungen). Sei folgendes Simplextableau gegeben: NB x 2 x B x x Offensichtlich ist das Tableau optimal und der Optimale Punkt ist (x 1, x 2, x 3, x 4 ) T = (1, 0, 2, 0) T. Sei x 1 + x 2 x 3 + x 4 0 eine vergessene Nebenbedingung. Was tun? 49

114 Duale Simplexmethode Berechnung des Nachfolgertableaus mittel der dualen Simplexmethode: an der Tafel Beispiel 1.10 (Vergessene Nebenbedingungen). Sei folgendes Simplextableau gegeben: NB x 2 x B x x Offensichtlich ist das Tableau optimal und der Optimale Punkt ist (x 1, x 2, x 3, x 4 ) T = (1, 0, 2, 0) T. Sei x 1 + x 2 x 3 + x 4 0 eine vergessene Nebenbedingung. Was tun? Nachoptimieren mit der dualen Simplexmethode! 49

115 Duale Simplexmethode Beispiel 1.11 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). BV durch NBV ausdrücken: x 1 = 1 ( x 2 + x 4 ) x 3 = 2 (2x 2 2x 4 ). 50

116 Duale Simplexmethode Beispiel 1.11 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). BV durch NBV ausdrücken: x 1 = 1 ( x 2 + x 4 ) x 3 = 2 (2x 2 2x 4 ). Einsetzen in die vergessene Nebenbedingung (VNB) x 1 + x 2 x 3 + x 4 0: Die VNB gilt gdw 1 + x 2 x 4 + x x 2 2x 4 + x 4 0 gdw 1 + 4x 2 2x 4 0 gdw 1 + 4x 2 2x 4 u = 0 u = 1 ( 4x 2 + 2x 4 ). 50

117 Duale Simplexmethode Beispiel 1.11 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). BV durch NBV ausdrücken: x 1 = 1 ( x 2 + x 4 ) x 3 = 2 (2x 2 2x 4 ). Einsetzen in die vergessene Nebenbedingung (VNB) x 1 + x 2 x 3 + x 4 0: Die VNB gilt gdw 1 + x 2 x 4 + x x 2 2x 4 + x 4 0 gdw 1 + 4x 2 2x 4 0 gdw 1 + 4x 2 2x 4 u = 0 u = 1 ( 4x 2 + 2x 4 ). Damit läßt sich das Simplextableau, wie folgt ergänzen: : 50

118 Duale Simplexmethode Beispiel 1.12 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). NB x 2 x x BV x u

119 Duale Simplexmethode den wir jetzt die duale Simplex- Beispiel 1.12 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). NB. x 2 x x BV x u methode: Dieses Tableau ist nicht zulässig, aber dual zulässig, also verwen- 51

120 Duale Simplexmethode den wir jetzt die duale Simplex- Beispiel 1.12 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). NB. x 2 x x BV x u methode: NB u x 4 15/4 1/4 3/2 x 1 5/4-1/4 1/2 BV x 3 3/2 1/2-1 x 2 1/4-1/4-1/2 Dieses Tableau ist nicht zulässig, aber dual zulässig, also verwen- 51

121 Duale Simplexmethode den wir jetzt die duale Simplex- Beispiel 1.12 (Vergessene Nebenbedingungen - Fortsetzung). NB. x 2 x x BV x u methode: Dieses Tableau ist nicht zulässig, aber dual zulässig, also verwen- NB u x 4 15/4 1/4 3/2 x 1 5/4-1/4 1/2 BV x 3 3/2 1/2-1 x 2 1/4-1/4-1/2.. Dieses Tableau ist optimal! 51

122 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.17 (ILP/MILP). Sei c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max { c, x A x = b, x 0}, wobei x 1,..., x k Z, x k+1,..., x n R heißt ein ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: ILP), wenn k = n und ein gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: MILP), wenn 1 k n 1 und 52

123 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.17 (ILP/MILP). Sei c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max { c, x A x = b, x 0}, wobei x 1,..., x k Z, x k+1,..., x n R heißt ein ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: ILP), wenn k = n und ein gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: MILP), wenn 1 k n 1 und ein LOP, wenn k = 0 (wie bereits definiert). 52

124 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.17 (ILP/MILP). Sei c R n, b R m, A R mxn. Das Problem (P) max { c, x A x = b, x 0}, wobei x 1,..., x k Z, x k+1,..., x n R heißt ein ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: ILP), wenn k = n und ein gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem (kurz: MILP), wenn 1 k n 1 und ein LOP, wenn k = 0 (wie bereits definiert). Wir betrachten hier, o.b.d.a., das ILP. 52

125 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.18 (Relaxation). Sei (P) max { c, x A x = b, x 0, x Z n } ein ILP und (P 0 ) max { c, x A x = b, x 0, x R n } ein LOP. Dann heißt (P 0 ) eine Relaxation von (P). 53

126 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.18 (Relaxation). Sei (P) max { c, x A x = b, x 0, x Z n } ein ILP und (P 0 ) max { c, x A x = b, x 0, x R n } ein LOP. Dann heißt (P 0 ) eine Relaxation von (P). Seien M 0 := {x R n Ax = b, x 0} und G := {x Z n Ax = b, x 0}. 53

127 Ganzzahlige Optimierung Definition 1.18 (Relaxation). Sei (P) max { c, x A x = b, x 0, x Z n } ein ILP und (P 0 ) max { c, x A x = b, x 0, x R n } ein LOP. Dann heißt (P 0 ) eine Relaxation von (P). Seien M 0 := {x R n Ax = b, x 0} und G := {x Z n Ax = b, x 0}. Offenbar gilt, dass G M 0 und folglich gilt dann auch, dass der optimale (maximale) Wert der ZF der Relaxation (P 0 ) eine obere Schranke des optimalen Wertes der Zielfunktion des ILP (P) ist. 53

128 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls ein x Z n existiert, sodass x optimal für (P 0 ) ist, so ist x auch für (P) optimal. Im Allgemeinen ist x R n ; man darf nicht runden, denn: Offensichtlich kann x sowohl aufgerundet als auch abgerundet nicht zulässig! 54

129 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls ein x Z n existiert, sodass x optimal für (P 0 ) ist, so ist x auch für (P) optimal. Im Allgemeinen ist x R n ; man darf nicht runden, denn: Offensichtlich kann x sowohl aufgerundet als auch abgerundet nicht zulässig! Es kann auch sein, dass der Restriktionsbereich G leer ist, obwohl der Restriktionsbereich M 0 der Relaxation nicht leer ist! 54

130 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls x / Z n, fügen wir eine Restriktion a, x a 0 hinzu, die x abschneidet, also x k / M 1 := M 0 {x R n a, x a 0 }. Durch diese Restriktion soll aber kein ganzzahliger Punkt von M 0 abgeschnitten werden, d.h. es soll gelten: G M 1. 55

131 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls x / Z n, fügen wir eine Restriktion a, x a 0 hinzu, die x abschneidet, also x k / M 1 := M 0 {x R n a, x a 0 }. Durch diese Restriktion soll aber kein ganzzahliger Punkt von M 0 abgeschnitten werden, d.h. es soll gelten: G M 1. Löse (P 1 ) = max{ c, x x M 1 }. 55

132 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls x / Z n, fügen wir eine Restriktion a, x a 0 hinzu, die x abschneidet, also x k / M 1 := M 0 {x R n a, x a 0 }. Durch diese Restriktion soll aber kein ganzzahliger Punkt von M 0 abgeschnitten werden, d.h. es soll gelten: G M 1. Löse (P 1 ) = max{ c, x x M 1 }. Definition 1.19 (Schnitt). Die Hyperebene a, x = a 0 heißt Schnittebene für das Problem (P), bzw. die Restriktion a, x a 0 heißt Schnitt für (P). 55

133 Ganzzahlige Optimierung (Schnitt-Verfahren) Falls x / Z n, fügen wir eine Restriktion a, x a 0 hinzu, die x abschneidet, also x k / M 1 := M 0 {x R n a, x a 0 }. Durch diese Restriktion soll aber kein ganzzahliger Punkt von M 0 abgeschnitten werden, d.h. es soll gelten: G M 1. Löse (P 1 ) = max{ c, x x M 1 }. Definition 1.19 (Schnitt). Die Hyperebene a, x = a 0 heißt Schnittebene für das Problem (P), bzw. die Restriktion a, x a 0 heißt Schnitt für (P). Wie findet man solche Schnitte? 55

134 Gomory-Schnitte Wir betrachten ILP s mit A Q m n und b Q m! Ableitung der Gomory-Schnitte: an der Tafel. 56

135 Gomory-Schnitte Wir betrachten ILP s mit A Q m n und b Q m! Ableitung der Gomory-Schnitte: an der Tafel. Beispiel Löse die ILP (P) max{x 2 3x 1 + 2x 2 6, 3x 1 + 2x 2 0, x 0, x Z}. 56

136 Gomory-Schnitte Wir betrachten ILP s mit A Q m n und b Q m! Ableitung der Gomory-Schnitte: an der Tafel. Beispiel Löse die ILP (P) max{x 2 3x 1 + 2x 2 6, 3x 1 + 2x 2 0, x 0, x Z}. Lösung Wir lösen zuerst die Relaxation (P 0 ) max{x 2 3x 1 + 2x 2 6, 3x 1 + 2x 2 0, x 0, x R} : 56

137 Gomory-Schnitte z / Z Gomory-Schnitt für z: ( ) ( ) u u }{{}}{{}}{{} =0 =0 =1 1 4 u u u 1 + u 2 2 u 1 + u 2 u 3 = 2 u 1 u 2 + u 3 = 2 57

138 Gomory-Schnitte z / Z Gomory-Schnitt für z: ( ) ( ) u u }{{}}{{}}{{} =0 =0 =1 1 4 u u u 1 + u 2 2 u 1 + u 2 u 3 = 2 Nachoptimieren: u 1 u 2 + u 3 = 2 57

139 Gomory-Schnitte z / Z Gomory-Schnitt für z: ( ) ( ) u u }{{}}{{}}{{} =0 =0 =1 1 4 u u u 1 + u 2 2 u 1 + u 2 u 3 = 2 Nachoptimieren: u 1 u 2 + u 3 = 2 57

140 Gomory-Schnitte z / Z Gomory-Schnitt für z: ( ) ( ) u u }{{}}{{}}{{} =0 =0 =1 1 4 u u u 1 + u 2 2 u 1 + u 2 u 3 = 2 Nachoptimieren: u 1 u 2 + u 3 = 2 x 1 / Z Gomory-Schnitt für x 1 : 57

141 Gomory-Schnitte Gomory-Schnitt für x 1 : ( ) u }{{} =0 ( }{{} = 1 ) u }{{} =0 1 6 u u u 3 + 4u 2 4 4u 2 u 3 + u 4 = 4. 58

142 Gomory-Schnitte Gomory-Schnitt für x 1 : ( ) u }{{} =0 ( }{{} = 1 ) u }{{} =0 1 6 u u u 3 + 4u 2 4 Nachoptimieren: 4u 2 u 3 + u 4 = 4. 58

143 Gomory-Schnitte Gomory-Schnitt für x 1 : ( ) u }{{} =0 ( }{{} = 1 ) u }{{} =0 1 6 u u u 3 + 4u 2 4 Nachoptimieren: 4u 2 u 3 + u 4 = 4. 58

144 Gomory-Schnitte Gomory-Schnitt für x 1 : ( ) u }{{} =0 ( }{{} = 1 ) u }{{} =0 1 6 u u u 3 + 4u 2 4 Nachoptimieren: 4u 2 u 3 + u 4 = 4. ( 1 x = ist optimal für das ILP, ZF(x 1) ) = 1. 58

145 Gomory-Schnitte Graphische Darstellung der Lösungsfindung x 1 ist optimal für (P 0 ) x 2 ist optimal nach der ersten Nachoptimierung x 3 ist optimal nach der zweiten Nachoptimierung, und ist ganzzahlig, d.h., x 3 = x und damit optimal für (P). 59

146 Gomory-Schnitte Satz 1.20 (Endlichkeit des Algorithmus). Wenn man bei der dualen Simplex-Methode folgendermaßen vorgeht: (a) Wähle die erste Zeile mit nicht-ganzzahigem di0 aus und (b) Benutze ggf. die lexikographische Version der DSM, und das ILP zulässig, d.h. nach unten beschränkt ist, so berechnet die DSM in endlich vielen Schritten eine ganzzahlige Lösung oder stellt die Unlösbarkeit des ILP fest. 60

147 Gomory-Schnitte Satz 1.20 (Endlichkeit des Algorithmus). Wenn man bei der dualen Simplex-Methode folgendermaßen vorgeht: (a) Wähle die erste Zeile mit nicht-ganzzahigem di0 aus und (b) Benutze ggf. die lexikographische Version der DSM, und das ILP zulässig, d.h. nach unten beschränkt ist, so berechnet die DSM in endlich vielen Schritten eine ganzzahlige Lösung oder stellt die Unlösbarkeit des ILP fest. Beweis: ohne Beweis. 60

148 Ganzzahlige Optimierung (Branch and Bound-Verfahren: Idee) Gegeben: (P) max { c, x A x = b, x 0, x Z n } ein ILP, (P 0 ) max { c, x A x = b, x 0, x R n } eine Relaxation von (P), x / Z n eine Lösung seiner Relaxation (P 0 ), d.h., gibt es ein x i / Z. Gesucht: x Z n eine Lösung für (P) 61

149 Ganzzahlige Optimierung (Branch and Bound-Verfahren: Idee) Betrachte die zwei LOAs (P a ) und (P B ) mit (P A ) max { c, x A x = b, x 0, x i x i, x Rn }, (P B ) max { c, x A x = b, x 0, x i x i, x Rn } und löse deren Relaxationen in R n. Schranken berücksichtigen und Teil-LOAs eliminieren. 62

150 Differentialgleichungen In der Natur treten oft und viele Probleme auf, bei denen sich um Zusammenhänge zwischen den untersuchten Größen und der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung (zeitliche Ableitungen) und/oder der räumlichen Ableitungen, z.b. in der Feldtheorie, handelt. 63

151 Differentialgleichungen In der Natur treten oft und viele Probleme auf, bei denen sich um Zusammenhänge zwischen den untersuchten Größen und der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung (zeitliche Ableitungen) und/oder der räumlichen Ableitungen, z.b. in der Feldtheorie, handelt. Mit solchen Problemen beschäftigt man sich in der Pysik, Chemie, Biologie, Technik, Wirtschaft, u.v.m. 63

152 Differentialgleichungen In der Natur treten oft und viele Probleme auf, bei denen sich um Zusammenhänge zwischen den untersuchten Größen und der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung (zeitliche Ableitungen) und/oder der räumlichen Ableitungen, z.b. in der Feldtheorie, handelt. Mit solchen Problemen beschäftigt man sich in der Pysik, Chemie, Biologie, Technik, Wirtschaft, u.v.m. Hierbei geht es die Modellierung mittels Differentialgleichungen und die Lösung von Differentialgleichungen. 63

153 Differentialgleichungen In der Natur treten oft und viele Probleme auf, bei denen sich um Zusammenhänge zwischen den untersuchten Größen und der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung (zeitliche Ableitungen) und/oder der räumlichen Ableitungen, z.b. in der Feldtheorie, handelt. Mit solchen Problemen beschäftigt man sich in der Pysik, Chemie, Biologie, Technik, Wirtschaft, u.v.m. Hierbei geht es die Modellierung mittels Differentialgleichungen und die Lösung von Differentialgleichungen. Die Theorie der Lösung von Differentialgleichungen stellt ein wesentliches Gebiet der angewandten Mathematik dar. 63

154 Differentialgleichungen Beispiel 2.1 (Radioaktiver Zerfall: Beweismethode in der Kriminalistik). Beispiel 2.2 (Gleich den Zucker oder lieber später?). Beispiel 2.3 (Auslenkung eines Pendels). 64

155 Differentialgleichungen Eine Gleichung, in der eine Variable x und eine gesuchte Funktion y = y(x), sowie deren Ableitungen y (x),... y (n) (x) bis zur Ordnung n vorkommen, heißt gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. 65

156 Differentialgleichungen Eine Gleichung, in der eine Variable x und eine gesuchte Funktion y = y(x), sowie deren Ableitungen y (x),... y (n) (x) bis zur Ordnung n vorkommen, heißt gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Formal: 65

157 Differentialgleichungen Definition 2.1. Sei I R ein Intervall, D F R n+2, n 1, bzw. D G R n+1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (kurz: DGL) ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion y(x) der Form F (x, y, y (x),..., y (n) (x)) = 0 (implizite Form), bzw. y (n) (x) = G(x, y, y (x),..., y (n 1) (x)) (explizite Form), wobei F : D F R, bzw. G : D G R Funktionen sind. 66

158 Differentialgleichungen Definition 2.1. Sei I R ein Intervall, D F R n+2, n 1, bzw. D G R n+1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (kurz: DGL) ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion y(x) der Form F (x, y, y (x),..., y (n) (x)) = 0 (implizite Form), bzw. y (n) (x) = G(x, y, y (x),..., y (n 1) (x)) (explizite Form), wobei F : D F R, bzw. G : D G R Funktionen sind. Wenn für ein x 0 Def (y) gelten muss, dass y 0 = y(x 0 ), y = y (x 0 ),..., y (n 1) 0 = y (n 1) 0 (x 0 ), so nennt man diese (n + 1) Gleichungen Anfangsbedingungen. 66

159 Differentialgleichungen Definition 2.1. Sei I R ein Intervall, D F R n+2, n 1, bzw. D G R n+1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (kurz: DGL) ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion y(x) der Form F (x, y, y (x),..., y (n) (x)) = 0 (implizite Form), bzw. y (n) (x) = G(x, y, y (x),..., y (n 1) (x)) (explizite Form), wobei F : D F R, bzw. G : D G R Funktionen sind. Wenn für ein x 0 Def (y) gelten muss, dass y 0 = y(x 0 ), y = y (x 0 ),..., y (n 1) 0 = y (n 1) 0 (x 0 ), so nennt man diese (n + 1) Gleichungen Anfangsbedingungen. Eine Differentialgleichung mit ihren Anfangsbedingungen nennt man Anfangswertproblem. 66

160 Differentialgleichungen Definition 2.1. Sei I R ein Intervall, D F R n+2, n 1, bzw. D G R n+1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung (kurz: DGL) ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion y(x) der Form F (x, y, y (x),..., y (n) (x)) = 0 (implizite Form), bzw. y (n) (x) = G(x, y, y (x),..., y (n 1) (x)) (explizite Form), wobei F : D F R, bzw. G : D G R Funktionen sind. Wenn für ein x 0 Def (y) gelten muss, dass y 0 = y(x 0 ), y = y (x 0 ),..., y (n 1) 0 = y (n 1) 0 (x 0 ), so nennt man diese (n + 1) Gleichungen Anfangsbedingungen. Eine Differentialgleichung mit ihren Anfangsbedingungen nennt man Anfangswertproblem. Anstatt y(x) bzw. y (i) (x) schreiben wir oft nur y bzw. y (i). 66

161 Differentialgleichungen Beispiel F (x, y, y ) = y + 2xy 2x = 0, 2. y = x y 1, 3. y + ( 2 x 2x 1 x 2 )y = 0, 4. y = λy 67

162 Differentialgleichungen Die Lösung einer DGL n-ter Ordnung nennt man allgemein, falls sie n unabhängige Parameter enthält. Die Lösung nennt man vollständig, falls durch die Parameter alle mögliche Lösungen erfasst werden. Die Lösung nennt maan speziell oder partikulär, falls sie keine Parameter enthält. 68