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2 Versuch P1-73 Halleffekt Raum F1-12 Dieser Versuch beschäftigt sich mit den Wirkungen des Magnetfeldes auf elektrische Ströme. Aus makroskopischen Beobachtungen, Messungen von Spannungen bzw. Strömen, soll versucht werden, einen Einblick in das mikroskopische Verhalten von Ladungsträgern im Inneren eines Leiters unter dem Einfluß eines Magnetfeldes zu gewinnen. In der Physik werden solche Versuche als Halleffektmessungen bezeichnet. Historisch halfen sie anfänglich (1879), die Stromleitung in Metallen zu verstehen. Später, nach der Entdeckung des Elektrons, verwarfen Halleffektsmessungen an Halbleitern die Theorie, daß ausschließlich Elektronen, und zwar genau eines pro Metallatom, für die Stromleitung zuständig sind. Auch heute dienen kombinierte Hallspannungs- und Leitfähigkeitsmessungen zur Ermittlung von Ladungsträgerkonzentrationen und Beweglichkeiten. Prinzipiell läßt sich der Halleffekt an jedem Leiterstück im Magnetfeld messen. Damit aber einigermaßen große Hallspannungen meßbar sind, müssen die Leiter extrem dünn sein, wie sich aus der Formel für die Hallspannung ablesen läßt. Solche speziell geformten und kontaktierten Leiter werden Hallsonden oder Hallgeneratoren genannt. Sie werden industriell gefertigt und haben viele Anwendungen, z.b. zur Messung der Stärke und Ausdehnung von Magnetfeldern, als berührungsloser Schalter (verschleißfreier Geber anstelle eines mechanischen Unterbrecherkontakts beim Ottomotor oder Kontakt einer Tastatur) oder zur analogen Multiplikation zweier elektrischer Größen. Zur Erzeugung des Magnetfeldes in den folgenden Aufgaben wird ein recht großer Elektromagnet verwendet. Er besteht aus einem Eisenkern mit einem 12 mm breiten Luftspalt, der von ebenen Polflächen begrenzt wird. Auf dem Eisenkern sitzen zwei Spulen mit je 2400 Windungen in Serie. Das maximale Magnetfeld von 1,4T wird erreicht, wenn durch die Spulen ein Erregerstrom I err von etwa 5A fließt. Die angelegte Spannung beträgt dann etwa 160V. Wichtige Hinweise zu diesem Magneten: Die hohe Versorgungsspannung beachten! Keine spannungsführenden Anschlüsse anfassen! Vor jeder Änderung der Schaltung erst die Stromversorgung herunterregeln und ausschalten! Wegen der großen Induktivität des Elektromagneten und der in ihm gespeicherten Energie darf der Erregerstrom nicht abrupt unterbrochen werden, weder durch Ziehen einer Versorgungsleitung noch durch Ausschalten des Netzteils mit dem Schalter. Also immer erst mit dem Regler den Strom auf Null drehen und dann mit dem Schalter ausschalten. Auch beim Einschalten muß der Regler auf Null gedreht sein. Ansonsten treten gefährlich hohe und zerstörerische Induktionsspannungen auf. Aufgaben: 1. Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte 1.1 Für die folgenden Aufgaben muß die Größe des Magnetfeldes B an der Stelle der Hallsonden, also im Luftspalt des Elektromagneten, bekannt sein. Prinzipiell könnte der Wert von B aus dem Aufbau des Elektromagneten und aus der Größe des Stromes I er durch seine Spulen ausgerechnet werden, doch wird hier die B(I er )-Abhängigkeit mit Hilfe einer Feldplatte bestimmt. Die Feldplatte ist ein Bauelement, dessen Widerstand R f vom Magnetfeld B abhängt. Fragen: Warum wird hier nicht der rechnerische Weg zur Bestimmung von B benutzt? Wie kommt die Feldabhängigkeit des Widerstands einer Feldplatte zustande? Im Versuch wird die Feldplatte mit praktisch konstantem Strom betrieben. Die Feldplatte liegt in Reihe mit einem Vorwiderstand R v an einer Spannungsquelle. R v ist etwa 40 mal so groß wie der größtmögliche Wert des Widerstandes der Feldplatte in diesem Versuch. Daher wird der Strom I f, der durch R v und die Feldplatte fließt, im wesentlichen von R v bestimmt. Die Spannung U f, die an der Feldplatte abfällt, ist daher ein direktes Maß für das Magnetfeld B. Die Eichkurve B(U f ) liegt am Versuchsplatz aus und ist auch am Ende dieses Aufgabenblattes aufgeführt. Bestimmen Sie über die Messung von U f, welchen Erregerstrom I er für die verschiedenen Werte von B, die in den folgenden Aufgaben gebraucht werden, Sie einstellen müssen. Tragen Sie B über I er auf, und deuten Sie qualitativ den Kurvenverlauf.

3 1.2 Um eine Vorstellung von der Größe des Widerstands R f der Feldplatte und ihrer Abhängigkeit vom Magnetfeld B zu bekommen, sollen jetzt diese Werte aus den Meßwerten von Aufgabe 1.1, dem Widerstandswert R v =25kΩ±1% und der Versorgungsspannung (6,35±0,05)V ausgerechnet werden. Tragen Sie den Widerstand R f (B) sowie die Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall: {[R f (B) R f (0)] / R f (0)}, gegen B auf. 2. Messungen an einer Metallhallsonde 2.1 Die Goldhallsonde, die hier als Beispiel für eine Hallsonde aus einem Metall dient, wurde selbst hergestellt, indem Gold durch eine Blende auf eine Unterlage aufgedampft wurde. Nur so konnte die geringe Dicke d = (61±3)nm erreicht werden. Die Breite der Hallsonde ist b = (9,0±0,1)mm. Damit die Hallspannung fehlerfrei meßbar ist, müssen die Anschlüsse, an denen die Hallspannung an der Hallsonde abgegriffen wird, sich exakt gegenüberstehen. Schon bei kleinen Abweichungen in Richtung des Steuerstromes würde der Strom I s zwischen den beiden Anschlüssen eine Spannung erzeugen, die sich der Hallspannung überlagert. Da bei der Herstellung solche Geometriefehler nicht zu vermeiden sind, muß diese Fehlerquelle auf andere Weise beseitigt werden: Auf einer Seite der Hallsonde befinden sich zwei Anschlüsse, die zu dem gegenüberliegenden symmetrisch angeordnet sind. Werden diese zwei Anschlüsse an ein Potentiometer (oder an zwei Potis für den Grob- und den Feinabgleich; siehe Schaltbild) gelegt, so kann ein 'elektrischer Geometrieabgleich' vorgenommen werden. Ohne Magnetfeld darf keine Hallspannung zu messen sein. Also muß bei jeder Änderung von I s die Hallspannung bei B = 0T mit den Potentiometern auf U h = 0V eingestellt werden. Messen Sie bei verschiedenen Werten des Stromes I s und des Magnetfeldes B die Hallspannung U h. Tragen Sie U h (B) mit I s als Parameter und U h (I s ) mit B als Parameter auf. Überlegen Sie sich, welche und wieviele Werte von I s und B innerhalb der erlaubten Bereiche (0A I s 0,15A) und (0T B 1,4T) am sinnvollsten sind, um die Linearität von U h (I s ) und U h (B) nachweisen zu können. Bestimmen Sie aus den Ausgleichsgeraden die Hallkonstante R h, die Konzentration freier Elektronen n Au von Gold und die mittlere Zahl freier Elektronen je Goldatom ξ Au. Überlegen Sie sich, wie die starken Ausschläge des Millivoltmeters für die Messung von U h beim Verändern des Magnetfeldes zustande kommen. 2.2 Auf einer Seite der Goldhallsonde sind zusätzlich zu den Anschlüssen für die Messung der Hallspannung zwei weitere Anschlüsse in einem Abstand l = (29,0±0,1) mm angebracht. Über die Messung der Spannung U r, die zwischen diesen Anschlüssen bei einem bekannten Steuerstrom I s abfällt, kann der Widerstand dieses Leiterstücks berechnet werden. Zusammen mit den Angaben über die Geometrie dieses Leiterstücks kann die elektrische Leitfähigkeit σ, und mit der Hallkonstanten die Elektronenbeweglichkeit µ berechnet werden. Messen Sie bei verschiedenen Steuerströmen I s die zwischen den beiden zusätzlichen Anschlüssen abfallende Spannung U r. Berechnen Sie die elektrische Leitfähigkeit σ Au und die Elektronenbeweglichkeit µ Au von Gold. Prüfen Sie bei einem Wert von I s, ob und ggf. wie stark der Widerstand der Goldschicht vom Magnetfeld abhängt. 3. Messungen an einer Halbleiterhallsonde Um einen Eindruck von dem Unterschied zwischen einem Halbleiter und einem Metall zu bekommen, sollen sämtliche Messungen und Berechnungen, die für das Metall Gold angestellt wurden, an dem Halbleiter Indiumarsenid wiederholt werden. Ein wesentlicher Unterschied des Halbleiters zu einem Metall ist das Vorhandensein zweier Arten von Ladungsträgern: Negative Elektronen und Löcher (fehlende Elektronen im Kristallgitter), die sich wie positive Ladungsträger benehmen. Wären ihre Konzentrationen und ihre Beweglichkeiten gleich groß, würde keine Hallspannung meßbar sein. Bei InAs ist das nicht der Fall. Die Beweglichkeit der Löcher ist hier vernachlässigbar gegenüber der der Elektronen. Die verwendete Halbleiterhallsonde ist aus industrieller Fertigung. Seitlich hat sie nur zwei Anschlüsse. Ein elektrischer Geometrieabgleich ist nicht möglich, aber auch nicht nötig, denn die Hallspannung ist in der Regel groß im Vergleich zur Fehlspannung. Die Abmessungen der InAs-Hallsonde sind d = (2,5±0,5)µm; b = (1,5±0,05)mm; l = (3,0±0,05)mm. 3.1 Messen Sie bei verschiedenen Werten des Steuerstromes I s und des Magnetfeldes B die Hallspannung U h. (Für die spätere Auswertung der Aufgabe 3.2 sollte die Spannung U s an den Anschlüssen für den Steuerstrom hier gleich mitgemessen werden.) Überprüfen Sie, ob die bei der Metallhallsonde gefundenen Proportionalitäten auch hier gelten. Bestimmen Sie aus einer möglichen Ausgleichsgeraden - 2 -

4 einen Wert von R h und einen Wert der Ladungsträgerkonzentration n InAs und vergleichen Sie die Werte mit den Ergebnissen aus Aufgabe 2.1. Überlegen Sie sich, welche und wieviele Werte von I s und B innerhalb der erlaubten Bereiche (0mA I s 25mA) und (0T B 1,4T) für die Auswertung sinnvoll sind. 3.2 Wie schon bei den Aufgaben 1.2 und 2.2 soll auch hier wieder die Abhängigkeit des Widerstandes vom Magnetfeld B betrachtet werden. Tragen Sie den Widerstand R(B) und die relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall (vgl. Aufgabe 1.2) über B auf. Vergleichen Sie das Ergebnis mit denen aus den Aufgaben 1.2 und 2.2. Überlegen Sie sich Erklärungen. Bestimmen Sie die Beweglichkeit µ InAs der Elektronen in InAs, und vergleichen Sie sie mit µ Au. Vergessen Sie nicht, daß die Werte für R h, n InAs und µ InAs des Aufgabenteils 3 wegen des Vorhandenseins zweier Ladungsträgerarten (auch wenn sie sehr unterschiedliche Beiträge liefern) nur Näherungswerte sind. Hinweise zur Fehlerrechnung: Bei diesem Versuch ist eine ausführliche Fehlerrechnung möglich. Überlegen Sie sich generell bei allen Aufgaben die möglichen Quellen systematischer Fehler und ihren Einfluß auf die Ergebnisse. Bei den Aufgaben 2.1, 2.2, 3.1 und 3.2 werden die Ergebnisse durch die Berechnung von Ausgleichsgeraden bestimmt. Messen Sie dafür genügend viele Wertepaare, um eine sinnvolle Aussage über die Standardabweichung des aus der Steigung ausgerechneten Wertes zu ermöglichen. Stichworte: Elektromagnet; Induktion; Ferromagnetismus; Unterschied zwischen B-Feld und H-Feld; Meßverfahren für Magnetfelder; bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern; Elektronen- und Defektelektronen (Löcher)-Leitung; Beweglichkeit und Konzentration der Ladungsträger; Leitfähigkeit; Unterschiede und Charakteristika von Metall und Halbleiter; Halleffekt; Widerstandsabhängigkeit vom Magnetfeld; Feldplatte; Hallsonde. Zubehör: Elektromagnet mit Eisenkern und ebenen parallelen Polflächen (kreisförmig, Ø=85mm) in etwa 12mm Abstand. seitlich vom Luftspalt auf dem Eisenkern zwei Spulen mit je 2400 Windungen, in Serie zu schalten, max. 5A; Regelbares Netzgerät für den Elektromagneten (max. 160V; 6,3A) mit Amperemeter für den Magnetstrom; Plexiglasplatte zum Einschieben in den Luftspalt mit einer aufgedampften Goldhallsonde, einer InAs-Hallsonde und einer Ni+Sb-Feldplatte übereinander sowie Anschlußgerät dazu mit Umschalter zwischen den Sonden und Nullabgleichspotentiometern für die Au-Hallsonde; Netzgerät mit regelbarer Gleichspannung (0,2V - 2,4V) für den Hallsondensteuerstrom I s und fester Gleichspannung (6,35±0,05)V für den Feldplattenstrom I f ; 2 Universalmeßinstrumente mit mehreren Gleichstrom- und Gleichspannungs-Meßbereichen, Innenwiderstand 10MΩ/V in den Spannungsmeßbereichen, Genauigkeit ±1,5% SKE; Millivoltmeter mit mehreren Meßbereichen von 0,15mV bis 500 mv, ±0,5% SKE, dazu Spannungsteiler 2:1 zur Meßbereichserweiterung; 50Ω-Potentiometer zur Feineinstellung von I s. Literatur: Percell: Berkley Physik Kurs 2, Kapitel 6.6 Boeger et.al.: Bauelemente der Elektronik, 3.Aufl., Kapitel 13.6 Gerthsen: Physik, 12.Aufl., 6.3.3, 6.4.1/2, 7.2.8/9, 7.4.4, Bergmann, Schäfer: Experimentalphysik, Bd.2, 6.Aufl., 35, 36, 71, 72 Pohl: Elektrizitätslehre, 21.Aufl., Kapitel 14, 25 Walcher: Praktikum der Physik, 2.Aufl., Kapitel Justi: Leitungsmechanismus und Energieumwandlung in Festkörpern, 2.Aufl. Kittel: Festkörperphysik, 2.Aufl

5 Version: Okt

6 Halleekt - Vorbereitung Patrick Koschnick 20. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 1 Feldplatte Magnetfeld im Luftspalt Widerstand der Feldplatte Messungen an einer Metallhallsonde Bestimmung der Hallkonsante R H sowie von n Au und ξ Au Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit in Gold Messungen an einer Halbleiterhallsonde Messung der Hallspannung Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld Quellen 8

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8 Einleitung In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit der Wirkung von Magnetfeldern auf stromdurchossene Leiter, auch als Halleekt bekannt. Ganz allgemein sind über solche Halleekt-Messungen Rückschlüsse über die Leitfähigkeit des zu untersuchenden Materials zu ziehen. Auf jedes geladene Teilchen, das sich in einem Magnetfeld bewegt, wirkt die Lorentzkraft F = e( v B).Dabei ist e eine elektrische Ladung, v deren Geschwindigkeit und B die magnetische Flussdichte. Steht das Magnetfeld senkrecht auf der Stromrichtung, so wirkt die Lorentzkraft auf die Ladungsträger und bewirkt eine Ladungsverschiebung. Nach kurzer Zeit stellt sich ein Gleichgewicht aus der Lorentzkraft und der abstoÿenden Kraft zwischen den Ladungsträgern ein. Diese Ladungstrennung kann man am Leiter als Hall-Spannung messen. Sind elektrische und Lorentzkraft gleich groÿ, gilt: F L = F El ev D B = e U H d U H = dv D B Durch geometrische Umformung erhält man: U H = 1 IB ne d 1 Dabei ist n die Ladungsträgerdichte. ne kann auch als die Hall-Konstante R H bezeichnet werden. U H = R H IB d 3

9 Um genügend groÿe und vergleichbare Hallspannungen messen zu können, ist es nötig die Leiterstücke sehr dünn zu wählen, da sich der Durchmesser d des Leiters auf die Hallspannung auswirkt. d steht im Nenner der Formel für die Hallspannung. Wird der Durchmesser klein gewählt, steigt die Hallspannung. 1 Feldplatte Dieser Versuch dient als Vorbereitung für die folgenden, bei denen man die Magnetfeldstärke kennen muss um sie genau einzustellen. Welcher Spulenstrom für eine bestimmte Magnetfeldstärke nötig ist, lässt sich zwar berechnen, allerdings wäre die Berechnung zu kompliziert. Daher werden die nötigen Stromstärken experimentell über eine Feldplatte ermittelt. Eine Feldplatte hat die Eigenschaft, dass ihr Widerstand abhängig von einem angelegten Magnetfeld ist. Sie bestehen aus einem Halbleiter der quer zur Stromrichtung von metallischen Nadeln durchzogen ist. Wird ein Magnetfeld angelegt, erfahren die Elektronen die Lorentzkraft und werden um den sog. Hallwinkel abgelenkt. Dadurch wird ihr Weg länger, womit sich der Widerstand erhöht. 1.1 Magnetfeld im Luftspalt Schlieÿt man die Feldplatte direkt an die Spannungsquelle, würde der sich ändernde Widerstand der Feldplatte sowohl die Stromstärke als auch die Spannung im Stromkreis beeinussen. U = RI hätte dadurch zwei Unbekannte R und I und könnte nicht aufgelöst werden. Verwendet man jedoch einen relativ groÿen Vorwiderstand R v, welcher in Reihe zur Feldplatte geschaltet wird, ist der Strom nahezu unabhängig vom Widerstand der Feldplatte. Dazu sollte R v etwa das 40-fache des maximalen Widerstands der Feldplatte betragen. Somit würde die Schaltskizze so aussehen: 4

10 Durch die Messung von U f nden wir heraus, welcher Erregerstrom I er für die später benötigten Magnetfelder eingestellt werden muss. Danach sollen wir ein B(I er )-Diagramm erstellen und die Kurve qualitativ deuten. Die magnetische Feldstärke B kann man dann aus der Eichkurve (siehe Aufgabenblatt) ablesen. 1.2 Widerstand der Feldplatte Hier sollen wir nun unter Bezugnahme auf die Werte der ersten Teilaufgabe explizit den Widerstand R f des Feldplättchens bestimmen. R ges = R v + R f U f = R f I U 0 = R ges I Daraus folgt: U 0 = R v I + R f I U 0 = R v U f R f + U f R f = U f U 0 U f R v mit U 0 = 6, 35V und R v = 25kΩ Über den Wert U f lässt sich der Widerstand des Feldplättchens dem B- Feld zuordnen. Gleichzeitig kann noch eine relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall angegeben werden: dr f (B) = R f (B) R f (0) R f (0) 5

11 2 Messungen an einer Metallhallsonde 2.1 Bestimmung der Hallkonsante R H sowie von n Au und ξ Au Als Metallsonde dient in diesem Versuchsteil eine sehr dünne Goldschicht, die auf eine Unterlage aufgedampft wurde. Eine fehlerfreie Messung der Hallspannung ist nur möglich, wenn sich die Kontakte an denen die Hallspannung abgegrien wird exakt gegenüber liegen, andernfalls würde bereits ohne Magnetfeld eine Hallspannung gemessen werden. Bei der Herstellung lassen sich Fehler jedoch nicht vermeiden. Um diese Fehler zu kompensieren, ersetzt man einen der beiden Kontakte durch zwei Kontakte, welche zum gegenüberligenden Kontakt symmetrisch angeordnet sind. Wird die Sonde nun ohne Magnetfeld betrieben, darf zwischen den Kontakten keine Spannung anliegen. Liegt doch eine Spannung an, kann ein Potentiometer zwischengeschalten und mit diesem die Fehlspannung kompensiert werden. Dadurch wird die Hallspannung auf Null gesetzt. Dies muss vor jeder Messung wiederholt werden. Die Hallspannung U H soll in dem erlaubten Bereich 0A I S 0, 15A und 0T B 1, 4T gemessen werden, um damit den linearen Zusammenhang von U H (I S ) und U H (B) zu bestätigen. Aus den Ausgleichsgeraden der Messreihen lassen sich die Hallkonstante R H, die Konzentration freier Elektronen n Au und die mittlere Zahl freier Elektronen ξ Au pro Goldatom bestimmen. Ausgleichsgeraden: U H (I S ) = m IS I S (1) U H (B) = m B B (2) Hallkonstante: IB U H = R H (3) d Mit (1), (2) und (3) lässt sich die Hallkonstante R H folgendermaÿen ausdrücken: R H = m I S d B R H = m Bd I S Aus R H = 1 ne folgt für die Konzentration freier Elektronen: n Au = 1 R H e 6

12 Die mittlere Anzahl freier Elektronen pro Goldatom ξ Au lässt sich folgendermaÿen bestimmen: ξ Au = n Au N Zunächst wird die Konzentration N der Goldatome benötigt. Diese errechnet sich aus der Stodichte ϱ, der molaren Masse M und der Avogadro-Konstante N A : N = ϱ M N A Setzt man die Werte für Gold ein, so erhält man N = 5, T eilchen. m 3 Die starken Ausschläge des Millivoltmeters beim Verändern des Magnetfeldes kommen daher zustande, dass ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld Spannungen induziert. Diese werden im Experiment zusätzlich zur Hallspannung gemessen. 2.2 Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit in Gold An der Goldhallsonde sind im Abstand l = 29mm zwei weitere Anschlüsse angebracht. Diese können dazu benutzt werden, um bei bekanntem Steuerstrom I S eine Spannung U r zu messen. Dadurch kann man den Widerstand dieses Leiterstücks bestimmen, mit dem dann die Elektronenbeweglichkeit µ Au und die Leitfähigkeit σ Au von Gold ermittelt werden soll. Die Stromdichte j und die elektrische Beweglichkeit µ Au sind so deniert: Daraus folgt: j = σe µ Au = v E j v = µ Au σ = µ AuI S σbd Zudem gilt U R = RI S. Aus den Wertepaaren (I S, U r ) lässt sich nun eine Ausgleichsgerade bestimmen, deren Steigung R ist. Dieses R kann man folgendermaÿen zur Berechnung von σ Au nutzen: R = U R I S = le σbde = l σbd σ Au = l Rbd Mit der Hallspannung erhält man die Elektronenbeweglichkeit: U H = µ Au BI S σ Au d = R HI S + b R H = µ Au σ Au µ Au = σ Au R H 7

13 3 Messungen an einer Halbleiterhallsonde Hier sollen die gleichen Messungen und Rechnungen durchgeführt werden wie in Aufgabe 2. Die Hallsonde wird jedoch durch eine Halbleiterhallsonde ausgetauscht die, die Abmessungen d = 2, 5µm, b = 1, 5mm und l = 3mm hat. 3.1 Messung der Hallspannung Analog zu 2.1 werden U H (I S ), U H (B), R H, n InAs und die Spannung U S über den Anschlusskontakten gemessen. Zudem werden die gleichen Diagramme und Ausgleichsgeraden erstellt und Überlegungen angestellt, wieviele Werte für I S und B innerhalb der erlaubten Bereiche für die Auswertung sinnvoll sind. 3.2 Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld Diese Versuchsdurchführung erfolgt analog zu 2.2. Es werden der Widerstand R(B) und die relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall über B aufgetragen. Anschlieÿend wird noch µ InAs in der Halbleitersonde bestimmt und mit dem Ergebnis der Goldhallsonde verglichen. Dabei ist zu beachten, dass R H, µ InAs und σ InAs nur Näherungswerte sind. Quellen Literaturmappe Vorbereitung - Magnetfeldmessung 8

14 Versuchsvorbereitung P1-73 Halleffekt Yury Kaminarov 19. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte Bestimmung des Erregerstroms Abhängigkeit des Widerstandes vom Magnetfeld Messungen an einer Metallhallsonde Bestimmung der Hallkonstante, der Konzentration freier Elektronen und die mittlere Zahl freier Elektronen Bestimmung der Leitfähigkeit und die Elektronenbeweglichkeit 6 3 Messungen an einer Halbleiterhallsonde Messung der Hallspannung Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld Literatur 8 1

15 1 Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte 1.1 Bestimmung des Erregerstroms In diesem Versuch soll die Größe des Magnetfeldes B im Luftspalt des Elektromagneten in Abhängigkeit vom Erregerstrom I er bestimmt werden. Dies ist wichtig für die folgenden Aufgaben mit einer Hallsonde. Theoretisch kann die Feldstärke B des Elektromagneten folgendermaßen berechnet werden: B = µ 0NI er d + l/µ wobei: N die Windungszahl der Spule, l Feldlinienlänge im Eisenkern, d Breite des Luftspalts, mu Permeabilität des Eisenkerns, I er Erregerstrom. Das Problem ist aber, dass die Permeabilität µ die Abhängigkeit von der Stromstärke B aufweist, also gilt µ = µ(b). Dieser Zusammenhang kann mit Hilfe der Hystereseschleife bestimmt werden, was in diesem Versuch nicht gemacht wird. Stattdessen wird eine Feldplatte verwendet, deren Widerstand R f vom Magnetfeld B abhängt. Ihre Eichkurve B(U f ) ist bekannt, und die magnetische Feldstärke B kann dann aus dieser abgelesen werden. 1.2 Abhängigkeit des Widerstandes vom Magnetfeld Um die Abhängigkeit R f (B) zu verstehen wird zunächst das dünne Plättchen im elektromagnetischen Feld betrachtet. Hierbei sei B in Richtung der z- Achse, E in Richtung der x-achse und das Plättchen liege in der x y-ebene (also es ist dünn): Für die Stromdichte j und die Leitfähigkeit σ gilt das Ohmsche Gesetz: j = σe Die Leitfähigkeit σ kann wie folgt dargestellt werden: σ = qnµ = ρµ 2

16 wobei: q die Ladung der Teilchen, n die Teilchendichte, µ die Beweglichkeit der Teilchen, ρ die Ladungsdichte. Es gilt auch für die Stromdichte: j = ρ v, wobei v die Driftgeschwindigkeit der Teilchen ist. Damit kann man das Ohmsche Gesetz umformen: j ρ = µ E v = µ E Auf die Ladung wirkt die Kraft F = q E, dann wird die Driftgeschwindigkeit zu: v = µ F q Die Ladung bewegt sich in einem elektromagnetischen Feld, d.h. wirkt auf diese die Lorenzkraft: F L = q( E + v B) Berücksichtigt man nun die am Anfang erwähnten Feldrichtungen und die Plättchenposition und setzt die Lorenzkraft in der Gleichung für die Driftgeschwindigkeit so erhält man: v x = µe 1 + µ 2 B 2 Der Widerstand des Plättchens hängt nur von dem Strom in Richtung des E- Feldes ab, daher ist auch nur die Geschwindigkeit in dieser Richtung interessant. Also, die Driftgeschwindigkeit verkleinert mit dem steigenden Magnetfeld. D.h, dass sich der Stromfluss und dadurch die Leitfähigkeit verkleinert. Wegen R = σ 1 steigt der Widerstandan an: R f (B) = R f (0)(1 + µ 2 B 2 ) In diesem Versuch wird die folgende Schaltung verwendet: Damit wird der Strom I f, der durch R v und die Feldplatte fließt, im wesentlichen von R v bestimmt. Die Spannung U f, die an der Feldplatte abfällt, ist daher ein direktes Maß für das Magnetfeld B. Es gilt also wegen R v R f : I f = U R ges, R ges = R v + R f, U f = I f R f 3

17 Damit kann der Widerstand R f bestimmt werden: U = R v I f + R f I f, U = R v U f R f + U f, R f = U f U U f R v Weiter sollen der berechnete Widerstant R f sowie die Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall (R f (B) R f (0))/R f (0) gegen B aufgetragen werden. Laut früher erhaltener Formel wird der quadratische Zusammenhang R f B 2 erwartet. 2 Messungen an einer Metallhallsonde 2.1 Bestimmung der Hallkonstante, der Konzentration freier Elektronen und die mittlere Zahl freier Elektronen In diesem Versuch soll die Hallspannung U h bei verschiedenen Werten des Steuerstromes I s und des Magnetfeldes B gemessen werden. Weiter soll die gemessene Spannung U h (B) mit I s als Parameter und U h (I s ) mit B als Parameter aufgetragen werden, um den Linearen Zusammenhang von U h (B) bzw. U h (I s ) zu bestätigen. Eine Hallsonde wird verwendet, umd das Magnetfeld zu messen. Die Sonde nutzt das so-genannte Halleffekt für Messung der Magnetfelder aus. Auf jedes sich in einem Magnetfeld bewegende Teilchen wirkt die Lorenzkraft: F L = q( v B) Steht das Magnetfeld senkrecht auf der Stromrichtung, so entsteht wegen der Lorenzkraft eine Ladungsverschiebung. Diese Verschiebung verursacht eine Ladungstrennung, bei der das E-Feld entsteht. Dieses Feld übt auf die Ladungen eine Kraft entgegen F L aus: F E = q E Nach einer bestimmten Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein: FL = F E Die nun vorhandene Potenzialdifferenz zwischen dem oberen und unteren Rand des Leiters wird Hall-Spannung genannt. Diese wird durch die folgende Formel berechnet: U h = 1 q BI d = R BI h d wobei: n die Anzahldichte, d Breite der Sonde, R h = 1/nq die Hallkonstante, I der Strom durch das Messplättchen in der Hallsonde. 4

18 Als Metallsonde dient in diesem Versuch eine sehr dünne (d = 61 ± 3nm) Goldschicht, die auf eine Glasplatte aufgedampft wurde. Eine fehlerfreie Messung der Hallspannung ist mit dieser Goldhallsonde nur möglich, wenn sich die Kontakte für die Hallspannung I s exakt gegenüber liegen. Andernfalls würde durch das nicht kantenparallele E-Feld bereits ohne Magnetfeld fälschlicherweies eine Hallspannung gemessen werden. So genaue Fertigung ist aber kaum möglich. Dieser Fehler wird wie folgt vermieden. Auf einer Seite der Hallsonde werden zwei zusätzlichen Kontakte angebracht. Die Sonde wird vor jeder Änderung von I s wird aus dem Magnetfeld herausgenommen und die Hallspannung mit Hilfe eines Potentiometers auf Null eingestellt. Um die Hallkonstante aud den Messwerten zu erhalten können folgende Ausgleichsgeraden aufgebaut werden: U h (I s ) = m Is I s U h (B) = m B B Wird hier nun die Gleichung fur die Hallspannung eingesetzt, so kann die Hallkonstante wie folgt durch die Parameter der Ausgleichgeraden bestimmt werden: R h = d B m I s R h = d I s m B Die Konzentration freier Elektronen in Gold beträgt dann: n Au = 1 R h e Für die Bestimmung der mittleren Anzahl freier Elektronen pro Goldatom ξ Au braucht man die Konzentration N der Goldatome (Anz. / Volumen). Diese wird nach der folgenden Formel berechnet: N = ρ Au M Au N A 5

19 wobei: ρ Au = 19, 32 g die Stoffdichte, M cm 3 Au = 197 g mol die molare Masse, N A = 6, mol die Avogadro-Konstante. Die mittlere Anzahl freier Elektronen ergibt sich denn aus: ξ Au = n Au N Die starken Ausschläge des Millivoltmeters beim Verändern des Magnetfeldes kommt dadurch zustande, dass ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld Spannungen induziert, die im Experiment zusätzlich zur Hallspannung gemessen werden. 2.2 Bestimmung der Leitfähigkeit und die Elektronenbeweglichkeit Auf der Goldhallsonde gibt es zwei weitere Anschlüsse mit dem Abstand l = 29, 0±0, 1mm. Diese werden verwendet, um bei bekanntem Steuerstrom I s eine Spannung U r zu messen. Damit lässt sich der Widerstand dieses Leiterstücks bestimmen, und dadurch dann die Elektronenbeweglichkeit µ Au und die Leitfähigkeit σ Au. Es gilt: U r = RI s, also durch Wertepaare (U r, I s ) lässt sich eine Ausgleichgerade bestimmen. Ihre Steigung ergibt R. Andererseit gilt für U r und I s (A ist dabei der Querschnitt der Sonde): Weiter gilt: U r = El I s = ja = jbd = Eσbd, R = U r = El I s Eσ Au bd = Daraus wird die Leitfähigkeit σ Au erhalten: σ Au = l Rbd j = σe l σ Au bd Andererseits: σ Au = neµ Au = µ Au R h Dann gilt für die Elektronenbeweglichkeit µ Au : µ Au = σ Au R h 3 Messungen an einer Halbleiterhallsonde Hier wird Die Metallhallsonde durch eine Halbleitersonde ersetzt und die sämtlichen Messungen durchgeführt. Die verwendete Halbleitersonde stammt aus industrieller Fertigung. Die Geometrieabgleich mittels Potentiometer wird also nicht benötigt, denn die Fehlspannungen sind klein gegenüber der Hallspannung. Die Abmessungen der im Versuch verwendeten InAs- Hallsonde sind: d = (2, 5±0, 5)µm; b = (1, 5±0, 05)mm; l = (3, 0±0, 05)mm. 6

20 3.1 Messung der Hallspannung Hierbei werden alle Messungen analog zu den Messungen mit der Goldhallsonde durchgeführt und die Hallspannung, die Hallkonstante, die Ladungsträgerkonzentrazion werden bestimmt. Zusätzlich für die spätere Auswertung der Aufgabe 3.2 soll die Spannung U s an den Anschlüssen für den Steuerstrom hier gleich mitgemessen werden. 3.2 Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld Die Versuchsdurchführung erfolgt hier analog zu Aufgabe 2.2. Anschließend wird der Widerstand R(B) über B aufgetragen und die relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall ebenfalls über B. Die Beweglichkeit µ InAs der Elektronen in der Halbleitersonde soll bestimmt und mit der Goldhallsonde verglichen werden. 7

21 Literatur [1] Wolfgang Demtröder. Experimentalphysik, volume 2: Elektrizität und Optik : mit 19 Tabellen, zahlreichen durchgerechneten Beispielen und 145 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. Springer, Berlin, 5., überarb. u. erw. aufl. edition, [2] Christian Gerthsen. Gerthsen Physik. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, 24., überarb. aufl. edition, [3] Wilhelm Walcher. Praktikum der Physik. Teubner Studienbücher Physik- Lehrbuch Physik. Teubner, Wiesbaden, 9., überarb. aufl. edition,

22 a,4 4. tt\ I f.,g) UF ('^ V 8(T,j! j,,tilu,; lü,or o,ff lj?ri I c ii* rj1 üi,71 ;t,, i ;."I - ; i - -r-- ', ü i ü,4,ü,2 iü,1 iorr, I i?!'-.r/ I I.)lJ, r f.i, i u, (,!"71 i.. t.-. i t,.! ü,i,7 l,.t a: "-,-,*,-",?,r5!t' g,ut, j i C * {,f',t/ u,,": t {ụ t : t't s/,,f 7ür t" a fr/b,iu' ') t I I.l,\i \l! 1 a I,4 (, \J f fq: I rrr,rju-,t fit,t ltr,j ü,ü za io,* ;rj q ü+ V r,-t b ri : 3L f l"rr,f,,j l,sgd üzr f (r*,r'r,t, t,6g l l*,o U *{ *U'} l*,oö i;,c tt- 4? 2) 1, Z ürl I I 1, 3 I r,\ I t i -*"i ISlo& i.),t Ib : u;, q {ü 8ü,7 r 35 i'f I IEÜ Y*,a züg Lo t u* A) L{* { ""u) Ä* (t3) {? ß [r) \ cp,r L,{o L'*v} j ; qü f;*q;rü:i trä17 lgüz t\ü lfü. 1 2?t lift t7* ir3 3Yp f u-1 lrü,7,r*{,d rf

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24 Versuchsauswertung P1-73 Halleffekt Patrick Koschnick, Yury Kaminarov 19. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Feldplatte Messungen mit einer Feldplatte Widerstand einer Feldplatte im Magnetfeld Messung an einer Metallhallsonde Bestimmung der Hallkonstante R H sowie von n Au und ξ Au Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit Messungen mit einer InAs-Hallsonde Messung der Hallspannung Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld

25 1 Feldplatte 1.1 Messungen mit einer Feldplatte Für die folgenden Versuche war es wichtig, die Stärke des Magnetfeldes zu kennen. Da diese jedoch ungeschickt zu berechnen ist sollte das Magnetfeld in Abhängigkeit der Stromstärke mit Hilfe einer Feldplatte vermessen werden. Der Widerstand einer solchen Feldplatte ändert sich mit der Stärke des angelegten Magnetfeldes. Für diesen Versuch wählten wir die Magnetfeldstärken, die wir im Folgenden verwenden wollten und bestimmten zu diesen anhand der Eichkurve die an der Feldplatte abfallenden Spannungswerte. Bei der Durchführung erhöhten wir den Spulenstrom immer so weit, bis an der Feldplatte genau diese Spannungen anlagen. Wir haben mit dieser Methode folgende später einzustellende Stromstärken gefunden Trägt man das Magnetfeld über dem Strom auf, so zeigt sich ein logarithmischer Zusammenhang: 2

26 1.2 Widerstand einer Feldplatte im Magnetfeld In diesem Aufgabenteil sollten wir den in der Feldplatte herrschende Widerstand R f bestimmen. Dazu verwenden wir in den vorherigen Aufgabenteil ermittelte Werte für die Spannung an der Feldplatte U f und die gegebenen Werte für R V = 25kΩ und U 0 = 6, 35V. Die benötigte Formel wurde schon während der Vorbereitung hergeleitet und lautet: R f = U f U 0 U f R V Diese Widerstände lassen sich über die einzelnen Spannungswerte U f dem angelegten Magnetfeld in zuordnen, so dass man R f (B) angeben kann. Danach berechnen wir die relative Widerstandsänderung R f (B) gegenüber dem feldfreien Fall: R f (B) = R f (B) R f (0) R f (0) Wir haben also die folgenden Werte erhalten: Trägt man diese Wete gegen das Magnetfeld auf, so ergeben sich folgende Schaubilder: 3

27 Wie erwartet sind beide Kurven parabellförmig. 2 Messung an einer Metallhallsonde 2.1 Bestimmung der Hallkonstante R H sowie von n Au und ξ Au In diesem Versuch arbeiten wir mit der Goldhallsonde. Da wir vorher bestimmten, welche Stromstärken für bestimmte Magnetfelder nötig sind, konnten wir die richtigen Magnetfelstärken einstellen. Vor jeder Steuerstromstärkeänderung führten wir den Geometrieabgleich durch und haben die Hallspannung gemessen. Für einem konstanten B-Feld B = 0, 7T haben wir zunächst verschiedene Steuerströme im Bereich 20mA I S 150mA eingestellt und danach für einen konstanen Wert I S = 100mA verschiedene B-Feldstärke im Bereich 0T B 1, 4T eingestellt. Wir erhielten dadurch folgende Messwerte der Hallspannung U H : 4

28 Wir können nun die Hallspannung in Abhängigkeit vom Steuerstrom U H (I S ) mit der Magnetfeldstärke als Parameter auftragen: Analog lässt sich auch ein Schaubild der Hallspannung in Abhängigkeit des Magnetfeldes U H (B) mit dem Steuerstrom als Parameter erstellen: Aus der Steigung der beiden Regressionsgeraden und der Formel für die Hallspannung lässt sich die Hallkonstante berechnen (Herleitung siehe Vor- 5

29 bereitung): R H = m I S d B m3 = 5, C R H = m Bd I S 11 m3 = 5, 2 10 C mit m IS = 0, 00058V/A, m B = 0, 00009V/T, d = 61nm, I S = 100mA und B = 0, 7T. Gemittelter Wert für die Hallkonstante ist dann: R H = 5, m3 C. Aus R H = 1/ne lässt sich die Konzentration freier Elektronen n Au berechnen als n Au = 1/R H e mit e = 1, C. Dadurch erhalten wir: n Au = 1, m 3 Aus der Gesamtkonzentration freier Ladungsträger lässt sich die Zahl der freien Ladungsträger pro Goldatom berechnen als: ξ Au = n Au N mit N = 5, T eilchen. Damit ergibt sich: ξ m 3 Au = 2, 08. Da Gold bekanntlich zweifach geladene Ionen bildet, liegt dieser Wert sehr nahe am Literaturwert. 2.2 Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit In diesem Versuch sollten wir die Leitfähigkeit σ Au und die Elektronenbeweglichkeit µ Au bestimmen. Um den Widerstand der Sonde zu erhalten haben wir über zwei zusätzliche Anschlüsse die an der Sonde abfallende Spannung U r in Abhängigkeit des Steuerstroms gemessen. Dabei haben wir folgende Messwerte erhalten: Um zu bestätigen, dass der Sondenwiderstand nicht vom Magnetfeld abhängt, haben wir die Spannung U r bei verschiedenen Felstärken gemessen. Dabe stellten wir fest, dass sich die Spannung nicht verändert, und somit auch der Widerstand unabhängig vom Magnetfeld ist. Danach haben wir U r über I S aufgetragen: 6

30 Aus der Steigung der Regressionsgerade erhalten wir den Widerstand, da U r = RI S gilt: R = 2, 25Ω Kennt man den Widerstand der Sonde, so lässt sich auch ihre elektrische Leitfähigkeit berechnen als: σ Au = l Rbd wobei: l = 29mm, b = 9mm, d = 61nm. Somit ist σ Au = 2, Ωm. Da die Elektronenbeweglichkeit µ über die Hallkonstante R H eng mit der elektrischen Leitfähigkeit verknüpft ist, gilt: µ Au = σ Au R H Mit der vorher bestimmten Hallkonstanten ergibt sich dann: µ Au = 1, m2 V s 3 Messungen mit einer InAs-Hallsonde 3.1 Messung der Hallspannung Analog zu Messungen mit der Goldhallsonde haben wir R H und n InAs berechnet. Dazu haben wir die Hallspannung U H in Abhängigkeit von I S bei konstantem Magnetfeld B = 0, 7T bzw. in Abhängigkeit von B bei konstanter Stromstärke I S = 15mA gemessen. Der elektrische Geometrieabgleich war hierbei nicht nötig, da die Sonde aus industrieller Fertigung stammt 7

31 und die Hallspannung bei der Halbleitersonde wesentlich größer ist als die bei der Goldhallsonde. Die Fehlspannung der Sonde war deswegen sehr klein im Vergleich zur gemessenen Hallspannung. Dabei haben wir diese Werte gemessen: Dabei ist zu beachten, dass der Steuerstrom I S im Laufe des Versuches bei steigender Magnetfeldstärke abnahm und daher nach jeder Änderung des Magnetfeldes durch Nachreglung konstant gehalten werden musste. Analog zu 2.1 können wir nun die Hallspannung in Abhängigkeit vom Steuerstrom U H (I S ) mit der Magnetfeldstärke als Parameter bzw. in Abhängigkeit des Magnetfeldes U H (B) mit dem Steuerstrom als Parameter auftragen: 8

32 Aus der Steigung der beiden Regressionsgeraden und der Formel für die Hallspannung lässt sich die Hallkonstante berechnen: R H = m I S d B m3 = 2, C R H = m Bd I S 5 m3 = 2, C mit m IS = 5, 99V/A, m B = 0, 12V/T, d = 2, 5µm, I S = 15mA und B = 0, 7T. Gemittelter Wert für die Hallkonstante ist dann: R H = 2, m3 C. Wir ermittelten die Konzentration freier Ladungsträger exemplarisch für eine Magnetfeldstärke von 0, 7T. Aus R H = 1/ne lässt sich die Konzentration freier Elektronen n InAs berechnen als n InAs = 1/R H e mit e = 1, C. Dadurch erhalten wir für: n InAs = 2, m 3 Entscheidend ist, dass die Zahl freier Ladungsträger im Halbleiter um sechs Größenordnungen geringer ist als bei der Metallsonde. 3.2 Abhängigkeit des Hallwiderstandes vom Magnetfeld Um die Abhängigkeit des Widerstandes vom Magnetfeld zu bestimmen haben wir schon bei der Messung von der Hallspannung auch die Steuerspannung U S an den Anschlüssen für den Steuerstrom mitgemessen. Für I S = 15mA haben wir das Folgende erhalten: 9

33 Dabei wurde R nach dem Ohmschen Gesetz berechnet, die relative Änderung R wurde analog zu Aufgabe 1.2 berechnet. Trägt man nun R und R über B auf, so ergeben sich folgende Schaubilder: 10

34 Man erkennt deutlich, dass der Widerstand vom angelegten Magnetfeld abhängt, wie dies auch in Aufgabe 1.2 bei der Feldplatte der Fall war. Bei der Metallhallsonde in Aufgabe 2.2 hingegen war der Widerstand vom Magnetfeld unabhängig. Anhand der Geometrie der Sonde l = 3mm, b = 1, 5mm, d = 2, 5µm ermittelten wir exemplarisch für die Magnetfeldstärke von B = 0, 7T die elektrische Leitfähigkeit und die Beweglichkeit analog zu Aufgabe 2.2: σ InAs = 2, Ωm µ InAs = 0, 469 m2 V s Wie bei der Konzentration freier Ladungsträger ist die elektrische Leitfähigkeit im Halbleiter um drei Größenordnungen geringer als in Metall. Die Elektronenbeweglichkeit im Halbleiter ist zwei Größenordnungen größer als im Metall. Dadurch, dass die Zahl der Ladungsträger im Halbleiter geringer ist und es zu weniger Stößen zwischen den Ladungsträgern kommt, kann der einzelne Ladungsträger sich somit besser bewegen. 11