Arbeitsblatt Woche 34

Transkript

1 1 Bevölkerungswachstum und -abnahme Die Entwicklung der Einwohnerzahl eines Landes kann näherungsweise durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. 1. Für Deutschland wird die Anzahl der Einwohner/innen näherungsweise durch die Funktion N modelliert: N(t) = 82, 5 e 0, t t... Anzahl der vergangenen Jahre seit 2005 N(t)... Einwohnerzahl nach t Jahren in Millionen Interpretieren Sie die Bedeutung des negativen Vorzeichens der Hochzahl in diesem Sachzusammenhang. 2. Mit Stand 1. Jänner 2011 lebten in Österreich 8,402 Millionen Menschen. Die Bevölkerung wächst jedes Jahr um jeweils 0,3% des Vorjahreswertes. - Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Bevölkerung in Österreich ab 1. Jänner 2011 modelliert. - Berechnen Sie, für welches Kalenderjahr das Modell erstmals eine Bevölkerungszahl von mehr als 10 Millionen vorhersagt. 3. Zwei verschiedene Modelle für die Bevölkerungsentwicklung einer Region sind im unteren Diagramm dargestellt. Diese beiden Modelle prognostizieren unterschiedliche Zeitpunkte, zu denen die Bevölkerung auf 50% des Ausgangswertes gesunken ist. - Kennzeichnen Sie im oberen Diagrammdie Zeitdierenz zwischen diesen beiden Zeitpunkten. 1

2 4. Beim Logarithmieren von Gleichung (1) ist ein Fehler passiert: - Stellen Sie die logarithmierte Gleichung (2) richtig. N = 8 1, 02 t (1) ln(n) = ln(8) t ln(1, 02) (2) 2 Die Streif Jedes Jahr ndet auf der Kitzbüheler Streif das weltberühmte Hahnenkammrennen statt. Die Veranstalter dieses Rennens veröentlichten die Daten welche in der unteren Abbildung zu sehen sind über eine Trainingsfahrt für den Abfahrtslauf. 1. Beschreiben Sie, was mit dem Quotienten 1292m 853m 49,2s 39,3s berechnet wird. in diesem Sachzusammenhang 2. Berechnen Sie den durchschnittlichen Neigungswinkel dieser Trainingsfahrt. 3. Die Geschwindigkeit einer anderen Trainingsfahrt in Abhängigkeit von der Zeit kann für einen Abschnitt durch folgende Funktion näherungsweise beschrieben werden: v(t) = 0, 045t 2 + 6, 594t 204, 571 mit 60 t 90 t... Zeit in Sekunden (s) v(t)... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s) - Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit in diesem Abschnitt maximal ist. - Stellen Sie eine Formel auf, mit der der Weg, der in diesem Abschnitt zurückgelegt wird, berechnet werden kann. 2

3 4. Der in einem Abschnitt zurückgelegte Weg s ist eine Funktion der Zeit t. - Beschreiben Sie, wie man - ausgehend von dieser Weg-Zeit-Funktion - die Momentangeschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt dieses Abschnitts ermitteln kann. 3 Planeten In der unteren Tabelle sehen Sie Daten zu den Planeten unseres Sonnensystems. 1. Für eine Astronomie-Ausstellung sollen die Planeten maÿstabgetreu verkleinert als Kugelmodelle aufgestellt werden. Die gröÿte vorhandene Kugel hat einen Radius von 42 cm und ist für den Planeten Jupiter reserviert. - Erklären Sie, warum eine Kugel mit einem Radius von ca. 2 cm für den Planeten Mars passt. 2. Das 3. Kepler'sche Gesetz lautet: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der groÿen Bahnhalbachsen. Daher gilt: a 3 1 : a 3 2 = u 2 1 : u 2 2 a 1... groÿe Bahnhalbachse des Planeten 1 a 2... groÿe Bahnhalbachse des Planeten 2 u 1... Umlaufzeit des Planeten 1 u 2... Umlaufzeit des Planeten 2 - Berechnen Sie die Umlaufzeit des Planeten Neptun. (Hinweis: Die Umlaufzeit der Erde beträgt 1 Jahr.) 3

4 3. Die groÿen Bahnhalbachsen zweier Planeten sollen auf einem Zahlenstrahl veranschaulicht werden. Dabei soll 1 cm auf dem Zahlenstrahl einer tatsächlichen Streckenlänge von 10 8 km entsprechen. - Veranschaulichen Sie auf einem solchen Zahlenstrahl jeweils ausgehend vom Nullpunkt die groÿen Bahnhalbachsen der Planeten Erde und Saturn. 4 Diabetes In Österreich leiden 4,6% der Bevölkerung an Diabetes (Zuckerkrankheit). 1. Im Jahr 2014 hatte Österreich 8,5 Millionen Einwohner/innen. - Berechnen Sie, wie viele Personen in Österreich im Jahr 2014 an Diabetes leiden. 2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 nach dem Zufallsprinzip ausgewählten Österreicherinnen/Österreichern mindestens 2 an Diabetes leiden. 3. Die Wirksamkeit eines neuen Medikaments soll an 120 Personen getestet werden. 70 Personen erhalten das Medikament, der Rest erhält ein Placebo (Medikament ohne Wirksto). Von den 120 Personen werden 2 nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine von ihnen ein Placebo erhält, kann man folgendermaÿen berechnen: Erklären Sie die Bedeutung der beiden Brüche in diesem Sachzusammenhang. - Erklären Sie die Bedeutung des Faktors 2 in diesem Sachzusammenhang. 5 Schwimmbad 1. Im Kinderbereich eines Schwimmbads soll eine Kinderrutsche errichtet werden. Die untere Abbildung veranschaulicht den Aufbau dieser Kinderrutsche (nicht maÿstabgetreu). Die Rutsche taucht unter einem Winkel von α = 20 bei Punkt B ins Wasser ein und ist 3 Meter lang (AB). Der Abstand zwischen den Punkten E und C beträgt 0,5 Meter. 4

5 - Berechnen Sie die Länge der Leiter AE, die für diese Kinderrutsche benötigt wird. 2. In der Abbildung sind die Abmessungen eines Schwimmbeckens eingezeichnet (nicht maÿstabgetreu). Dieses Schwimmbecken soll vollständig befüllt werden. Die Hygienevorschriften sehen vor, dass pro Liter Wasser 0,3 Milligramm eines bestimmten Desinfektionsmittels zugefügt werden müssen. - Berechnen Sie, wie viel Kilogramm dieses Desinfektionsmittels zugefügt werden müssen. 3. Zur Reinigung eines Schwimmbeckens muss das Wasser abgelassen werden. Zu Beginn sind 2 Millionen Liter Wasser im Becken. Mithilfe von Pumpen werden gleichmäÿig Liter pro Minute abgesaugt. - Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die die noch im Becken vorhandene Wassermenge in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. - Berechnen Sie, wie lange das Abpumpen der gesamten Wassermenge dauert. 5

6 6 Salmonellen Bei einer Feier wird Kartoelsalat angeboten. Um 15 Uhr sind in 100 g bereits Salmonellen vorhanden. Bis zur Verwendung wird der Salat so gelagert, dass sich unter diesen Bedingungen die Anzahl der Salmonellen in 2 Stunden 36 Minuten verdoppelt. 1. Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, welche den Wachstumsprozess in Abhängigkeit von der Zeit t in Minuten beschreibt! 2. Berechnen Sie die prozentuelle Zunahme pro Stunde. 3. Die Anzahl der Salmonellen um 18:30 Uhr und 21:06 Uhr erlauben die Ermittlung der Verdopplungszeit. Begründen Sie, warum dies möglich ist und geben Sie die Verdopplungszeit an Millionen Salmonellen können zu ernsthafter Erkrankung führen. Die Graphik zeigt den Verlauf der Wachstumsfunktion. Interpretieren Sie anhand der Grak, wann dieser Wert überschritten wird! 6

7 7 Senkrechter Wurf nach oben Die folgende Abbildung zeigt den Funktionsgrafen der Funktion h(t) = 5t t + 15 Wenn man die Variable t als Zeit in Sekunden und den Funktionswert h(t) als Höhe in Metern betrachtet, dann kann durch diese Funktion die Höhe eines senkrecht nach oben geschossenen Körpers nach t Sekunden beschrieben werden Geben Sie einen sinnvollen Denitionsbereich der Funktion an, wenn nur jener Teil der Kurve dargestellt werden soll, der den Flug des Gegenstandes beschreibt Lesen Sie aus der Grak ab, nach wie vielen Sekunden der Gegenstand den höchsten Punkt erreicht. - Lesen Sie aus der Grak ab, nach wie vielen Sekunden der Gegenstand auf dem Boden aufprallt. - Dokumentieren Sie, wie man den Zeitpunkt, an dem der Gegenstand auf dem Boden aufkommt, berechnen kann Aus welcher Höhe wird der Gegenstand abgeschossen? 4. - Wie könnte eine Fragestellung lauten, deren Beantwortung das Lösen der Gleichung 5t t + 15 = 10 erfordert? 7

8 5. - Wie müsste der Koezient b in der Gleichung h 1 (t) = 5t 2 + bt + 15 gewählt werden, damit der Gegenstand nach genau vier Sekunden auf dem Boden aufprallt? - Wie verändert sich die Kurve durch die Veränderung dieses Parameters b? 8 Autofahrt Frau Maier ist beruich sehr viel mit dem Auto unterwegs und benutzt ihren Bordcomputer, um zurückgelegte Strecken, die mittlere Geschwindigkeit und den mittleren Kraftstoverbrauch zu ermitteln. 1. Im Folgenden sehen Sie ein Weg-Zeit-Diagramm, das näherungsweise Frau Maiers Fahrverhalten an einem ihrer Arbeitstage beschreibt: - Bestimmen Sie, in welchem Zeitintervall Frau Maier mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30 km/h unterwegs ist. 2. Frau Maiers Bordcomputer kann die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge anzeigen. Intern berechnet der Computer für eine der Fahrten von Frau Maier die verbrauchte Benzinmenge in Abhängigkeit vom bisher zurückgelegten Weg mithilfe folgender Funktion: f(x) = 0, x 3 + 0, 0002x 2 + 0, 08x 8

9 x... Strecke in Kilometern (km), die seit Fahrtbeginn zurückgelegt wurde f(x)... verbrauchte Benzinmenge in Litern (L) nach x zurückgelegten Kilometern - Stellen Sie eine Formel auf, mit der man den mittleren Benzinverbrauch pro Kilometer für ein beliebiges Wegintervall [x 1 ; x 2 ] berechnen kann. - Berechnen Sie den mittleren Benzinverbrauch pro Kilometer im Wegintervall [50 km; 100 km]. 3. Die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben: f(x) = 0, x 3 + 0, 0002x 2 + 0, 08x x... Strecke in km, die seit Fahrtbeginn zurückgelegt wurde f(x)... die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge in Litern nach x zurückgelegten Kilometern - Geben Sie an, mit welcher Rechenoperation man den momentanen Benzinverbrauch bei x Kilometern berechnen kann. - Berechnen Sie den momentanen Benzinverbrauch bei 50 Kilometern in Litern pro Kilometer (L/km) Erklären Sie anhand der unten stehenden Grak, welche Gröÿe man mithilfe des Steigungsdreiecks berechnet. - Erläutern Sie, welche Gröÿe man erhält, wenn x gegen null geht. 9

10 9 Schwimmbecken Ein Becken hat den in der Abbildung dargestellten Grundriss und ist mit Wasser bis zum Rand gefüllt. Der Bereich zwischen den Funktionen f und g hat eine Tiefe von 1,20 m. Die Abteilung zwischen g und h ist 2,50 m tief. Die Funktionen sind folgendermaÿen gegeben (x in Meter): f(x) = 0, 04x g(x) = 0, 005x h(x) = Stellen Sie eine allgemeine Formel auf, wie man die gesamte Wasseroberäche berechnen kann. 2. Berechnen Sie den Wasserbedarf in m 3, der zur Füllung des Beckens notwendig ist. 10 Körpergröÿe von Kindergartenkindern Bei den Vorsorgeuntersuchungen von Kindern wird auch die Körpergröÿe überprüft, um bei Auälligkeiten rechtzeitig Therapiemaÿnahmen setzen zu können. 1. Die untenstehende Glockenkurve nach Gauÿ schematisiert die Gröÿenverteilung von 4- jährigen Kindern. Die 3 % am oberen und am unteren Ende weisen auf die auällig groÿen bzw. die auällig kleinen Kinder hin. 10

11 - Interpretieren Sie die Kurve in Bezug auf die Verteilung der Körpergröÿe von 4-jährigen Kindern und den Erwartungswert µ. - Berechnen Sie die Standardabweichung σ. 2. Als Ergebnis der Messung der Körpergröÿe von 5-jährigen Kindern wurde folgender Boxplot erstellt: - Interpretieren Sie das Diagramm im Hinblick auf die Bedeutung der 5 Kennzahlen Minimum, Maximum, Median, 1. und 3. Quartil im Sachzusammenhang. 3. Die gemessenen Körpergröÿen der 4-jährigen Buben haben folgende Kennzahlen geliefert: Minimum (Min): 96 cm Maximum (Max): Median (Med): 112 cm 103 cm 1. Quartil (Q 1 ): 100,5 cm 3. Quartil (Q 3 ): 108 cm - Erstellen Sie mit diesen Kennzahlen einen Boxplot. 11

12 11 Kraftstoverbrauch Der Kraftstoverbrauch eines Kraftfahrzeugs ist unter anderem abhängig von der gefahrenen Geschwindigkeit. v... Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde (km/h) K(v)... Kraftstoverbrauch bei einer konstanten Geschwindigkeit v in Litern pro 100 Kilometer (L/100 km) 1. Die nachstehende Tabelle zeigt den bei einer Testfahrt festgestellten Kraftstoverbrauch eines LKWs bei verschiedenen Geschwindigkeiten. Der Kraftstoverbrauch bei dieser Testfahrt kann in einem Bereich von 30 km/h bis 70 km/h annähernd durch eine quadratische Funktion der Form K(v) = av 2 + bv + c beschrieben werden. - Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Berechnung der Koezienten a, b und c auf. - Ermitteln Sie die Funktionsgleichung K(v). 2. Der Kraftstoverbrauch eines Kleinlastwagens lässt sich im Intervall [30 km/h; 70 km/h] näherungsweise durch folgende Funktion K beschreiben: K(v) = 0, 005v 2 0, 4v + 14, 3 - Berechnen Sie diejenige Geschwindigkeit, bei der der Kraftstoverbrauch minimal ist. 3. Die nachstehende Grak zeigt den Kraftstoverbrauch eines Kleintransporters in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beim Fahren mit gleichbleibendem Gang. 12

13 - Veranschaulichen Sie in der Grak die momentane Änderungsrate des Kraftstoverbrauchs bei einer Geschwindigkeit von 60 km/h. - Lesen Sie die momentane Änderungsrate des Kraftstoverbrauchs bei 60 km/h ab. 13