Polynomgleichungen. Auflösung der Polynomgleichungen von Grad 2 bis 4 durch Wurzeln. Studie

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1 Auflösung der Polynomgleichungen von Grad 2 bis 4 durch Wurzeln Studie Autor: Helmut Vetter Ort, Datum: Arlesheim,

2 Diese Arbeit wurde mit TexLive erstellt. Polynomgleichungen Auflösung der Polynomgleichungen von Grad 2 bis 4 durch Wurzeln Autor Vetter, Helmut Schillerweg 2 CH-4144 Arlesheim helmut.vetter@fhnw.ch Auftraggeberschaft Fachhochschule für Wirtschaft Tanner, Christian Arlesheim, Setember 2014 Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter i

3 Ehrenwörtliche Erklärung Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne Benutzung anderer als der im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe. Die wörtlich oder inhaltlich den im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen und Hilfsmitteln entnommenen Stellen sind in der Arbeit als Zitat bzw. Parahrase kenntlich gemacht. Diese Arbeit ist noch nicht veröffentlicht worden. Sie ist somit weder anderen Interessenten zugänglich gemacht noch einer anderen Prüfungsbehörde vorgelegt worden. Arlesheim, Helmut Vetter Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter ii

4 Management Summary Jede/r kennt die berühmte Lösungsformel für die quadratische Gleichung ax 2 + bx + x 0 x 1/2 b ± b 2 4ac. 2a Der eine oder die andere weiss auch, dass es Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt, dass aber die allgemeine Gleichung ab Grad 5 nicht mehr durch Wurzeln auflösbar ist. Die wenigsten aber haben je eine allgemeine Gleichung dritten oder gar vierten Grades von Hand gelöst. In diesem Paer werden Lösungsformeln für die Gleichungen 3. und 4. Grades hergeleitet und es wird nachgewiesen, dass durch diese jeweils alle Lösungen geliefert werden. Im Anschluss an die Herleitungen wird die Verwendung der Lösungsformeln an Beisielen vorgeführt. Um den Artikel zu verstehen, sollte man neben Schulalgebrakenntnissen auch Grundkenntnisse zum Thema Komlexe Zahlen haben. Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter iii

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Die Quadratische Gleichung 1 3 Die Kubische Gleichung 2 4 Die Quartische Gleichung 4 Literaturverzeichnis 6 Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter iv

6 1 Einleitung 1 Vor rund 180 Jahren legte Evariste Galois mit seiner Theorie über die Symmetrien der Nullstellen algebraischer Gleichungen die Grundlage, auf der gezeigt werden konnte, dass die allgemeine Polynomgleichung von Grad n 5 nicht auflösbar ist, das heisst nicht durch fortlaufende Adjunktion von Wurzeln gelöst werden kann. 2 Ich gebe hier eine Zusammenstellung von Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen von Grad 2, 3 und 4 im Körer der komlexen Zahlen C. 3 Die quadratische Gleichung wird in der gleichen Art reduziert, wie anschliessend die Gleichungen von Grad 3 und 4. Dies soll als Aufwärmen emfunden werden. Die Gleichung 3. Grades wird mit dem Ansatz von Cardano x u + v gelöst. Allerdings rechne ich das v folgerichtiger direkt aus dem u. Die Gleichung 4. Grades löse ich nach eigenem Ansatz als Produkt zweier quadratischer Funktionen. Ich weise für alle 3 Grade (2 bis 4) durch exlizite Rechnung nach, dass man jeweils genau alle Lösungen gefunden hat. Auch hier ist der quadratische Fall analog behandelt. 4 Bemerkung: Unter z wird diejenige der komlexen Wurzeln w mit w z verstanden, die kleinstes Argument arg(w) [0, 2π[ hat. Für z 0 ist Gleichungen der Form ab a b sind dann nur modulo Faktoren e 2πi gültig. Beisielsweise: ( 1) ( 1) 1 1 wohingegen 1 1 i i 1. Modulo Faktor e 2πi e 2πi 2 e πi 1 sind die beiden Resultate äquivalent. 2 Die Quadratische Gleichung 6 Die allgemeine quadratische Gleichung hat die Form ax 2 + bx + c 0, mit a 0. 7 Lösung (GL1): ax 2 + bx + c 0 Division durch a 8 x 2 + b a x + c a 0 Substitution x y b 2a (y b 2a )2 + b a (y b 2a ) + c a 0 y 2 b a y + b2 4a 2 + b a y b2 2a 2 + c a 0 y 2 b2 4a 2 + c a 0 9 Definiere : b2 4a 2 + c a (GL2): y ac b2 4a 2 10 Via Substitution x y b ergibt sich eine Bijektion zwischen den Lösungen x von (GL1) 2a und y von (GL2). 11 Umformen von (GL2): y y 2 12 Definiere: u : y 1 u, y 2 u Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 1 von 6

7 13 Den Nachweis, dass man mit u und u alle Lösungen von (GL2) gefunden hat, liefert die Identität (y u)(y + u) y 2 u 2 y 2 ( ) 2 y 2 ( ) y 2 + qed. Dabei wurde die Identität ( T ) 2 T benutzt. Beachte: Im Gegensatz dazu gilt T 2 T nur modulo Faktor Beisiel x 2 + 2x a 1, b 2, c 6 4ac b2 4a 2 5 u i y 1 u i, y 2 u i x 1 y 1 b 2a i, x 2 y 2 b i 2a 3 Die Kubische Gleichung 15 Die allgemeine kubische Gleichung hat die Form ax 3 + bx 2 + cx + d 0, mit a Lösung (GL1): ax 3 + bx 2 + cx + d 0 Division durch a 17 x 3 + b a x2 + c a x + d a 0 Substitution x y b 3a (y b 3a )3 + b a (y b 3a )2 + c a (y b 3a ) + d a 0 y 3 3 b 3a y2 + 3 b2 9a 2 y y 3 + b3 27a 3 + b a y2 2 b2 3a 2 y + b3 9a 3 + c a y bc 3a 2 + d a 0 3ac b2 3a 2 y + 27a2 d 9abc + 2b 3 27a 3 0 3ac b2 18 Definiere : 3a 2, q : 27a2 d 9abc + 2b 3 27a 3 (GL2): y 3 + y + q 0 19 Via Substitution x y b ergibt sich eine Bijektion zwischen den Lösungen x von (GL1) 3a und y von (GL2). 20 Setze y u + v (u + v) 3 + (u + v) + q 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 + u + v + q (u 3 + v 3 + q) + (u + v)(3uv + ) 0 21 Die Gleichung ist sicher erfüllt, wenn gilt: (I) u 3 + v 3 + q 0 und (II) 3uv (II) 3uv + 0 v 3u, falls u 0 Eingesetzt in (I): u u 3 + q 0 u6 + qu Substitution: z : u 3 z 2 + qz z q Lösung 1 der quadratischen Gleichung. q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 gemäss 23 Definiere u : 3 z 3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 24 Bezeichne j : e 2πi/3 die dritte Einheitswurzel im 2. Quadranten der komlexen Zahlebene. Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 2 von 6

8 25 Definiere: Fall 1: u 0: y 1 u 3u, y 2 ju ju j2 3ju 3u, y 3 j 2 u 3j 2 u j2 u j 3u Fall 2: u 0 via Gleichung (II) 0. Dies ergibt die reinkubische Gleichung: y 3 + q 0 mit den drei Lösungen y 1 3 q, y 2 j 3 q, y 3 j 2 3 q 26 Den Nachweis, dass man mit y 1, y 2 und y 3 alle Lösungen von (GL2) gefunden hat, liefern die Identitäten: Fall 1: (y u + )(y ju + j2 3u 3u )(y j2 u + j 3u ) y 3 + y 2 ( j 2 u + j ju + j2 3u 3u u + 3u )+ y(j 3 u 2 j 2 3 j4 2 + j3 3 9u 2 + j2 u 2 j 3 j2 3 + j 2 9u 2 + ju2 j 2 3 j 3 ( j 3 u 3 + j 2 u 3 + u j4 2 j3 3 9u + u j3 2 2 j2 j4 3 9u 9u + j3 3 27u 3 ) y 3 + y 2 (1 + j + j 2 )( u + }{{} 3u ) + y((u2 2 9u 2 ) (1 + j + j2 ) +3 ( j j 2 ) }{{}}{{} ( u 3 + ( u 3 2 9u ) (1 + j + j2 ) + 3 }{{} 27u 3 ) y3 + y u6 ( 3 )3 u )+ + j2 2 9u 2 )+ y 3 + y + q qed. Fall 2: (y 3 q)(y j 3 q)(y j 2 3 q) y 3 y 2 (j 2 3 q + j 3 q + 3 q) + y(j 3 ( 3 q) 2 + j 2 ( 3 q) 2 + j( 3 q) 2 ) j 3 ( 3 q) 3 y 3 y 2 3 q (j 2 + j + 1) +y( 3 q) 2 (1 + j 2 + j) ( q) y 3 + q qed. }{{}}{{} Dabei wurden folgende Identitäten benutzt: 1) ( T ) 2 T 2) ( 3 T ) 3 T 3) j 3 1 und j 4 j 4) 1 + j + j 2 j3 1 j j 1 0 und j j2 1 5) u6 ( 3 )3 u 3 ( ( ) 6 ( 3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ( 3 )3 3 ( ) 3 3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ( ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 )2 ( 3 )3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 2( q 2 )2 2 q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 ) 3 ) 2 ( 3 )3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 + ( q 2 )2 ( 3 )3 ( q 2 )2 + ( 3 )3 2 q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 q( q 2 ( q 2 )2 + ( 3 )3 ) q ( q 2 )2 + ( 3 )3 q 2 Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 3 von 6

9 28 Beisiel x 3 + 4x 2 + 5x 2 0 a 1, b 4, c 5, d 2 3ac b2 3a , q 27a2 d 9abc + 2b 3 27a u 3 ( 3 )3 + ( q 2 )2 q j i, j i y 1 u 3u , y 2 ju j i 3u y 3 j 2 u j i 3u x 1 y 1 b 3a , x 2 y 2 b i 3a x 3 y 3 b i 3a 4 Die Quartische Gleichung 29 Die allgemeine quartische Gleichung hat die Form ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e 0, mit a Lösung (GL1): ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e 0 Division durch a 31 x 4 + b a x3 + c a x2 + d a x + e a 0 Substitution x y b 4a (y b 4a )4 + b a (y b 4a )3 + c a (y b 4a )2 + d a (y b 4a ) + e a 0 y 4 4 b 4a y3 + 6 b2 16a 2 y2 4 b3 64a 3 y + d a y bd 4a 2 + e a 0 y 4 + b4 256a 4 + b a y3 3 b2 4a 2 y2 + 3 b3 16a 3 y 8ac 3b2 8a 2 y 2 + 8a2 d 4abc + b 3 8a 3 y + 256a3 e 64a 2 bd + 16ab 2 c 3b 4 256a 4 0 8ac 3b2 8a 2, q : 8a2 d 4abc + b 3 256a 4 32 Definiere : (GL2): y 4 + y 2 + qy + r 0 8a 3, r : 256a3 e 64a 2 bd + 16ab 2 c 3b 4 b4 64a 4 + c a y2 2 bc 4a 2 y + b2 c 16a Via Substitution x y b ergibt sich eine Bijektion zwischen den Lösungen x von (GL1) 4a und y von (GL2). 34 Im Fall q 0 ergibt sich die Faktorisierung y 4 + y 2 + r (y 2 z 1 )(y 2 z 2 ) (y z 1 )(y + z 1 )(y z 2 )(y + z 2 ), wo z 1 und z 2 die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung z 2 + z + r 0 sind. Im Fall r 0 ergibt sich die Faktorisierung y 4 + y 2 + qy y (y 3 + y + q) was auf die Lösung y 0 und die drei Lösungen der kubischen Gleichung y 3 + y + q 0 hinausläuft. Im Fall q 0 und r 0 führt der Ansatz (GL3): y 4 + y 2 + qy + r (y 2 + sy + t)(y 2 sy + r t ) via Koeffizientenvergleich bei y2 und y auf die beiden Gleichungen: (I) r t s2 + t und (II) rs t st q 35 Gelingt es ein Lösungsaar (s, t 0) dieses Gleichungssystems zu finden so gelingt es (GL2) gemäss Gleichung (GL3) auf die Lösung zweier quadratischer Gleichungen y 2 + sy + t 0 bzw. y 2 sy + r t 0 zu reduzieren. Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 4 von 6

10 36 Multiliziert man Gleichung (I) mit ( s) und addiert das Produkt zu Gleichung (II), so erhält man: s 3 t s + q, was für s 0 t s3 +s q zur Folge hat. 37 Eingesetzt in Gleichung (I) ergibt sich: s 3 + s q s 2 2rs + s 3 + s q multiliziert mit (s3 + s q): s 6 + s q 2 + 2s 4 2qs 3 2qs 6 2s 4 + 2qs 3 + 4rs 2 2s s 2 2qs s s 4 2s 4 2s 4 2qs 3 + 2qs s 2 + 4rs s 2 2qs + 2qs + q 2 0 s 6 2s 4 + ( 2 + 4r)s 2 + q 2 0 multiliziert mit 1 also: (GL4): s 6 + 2s 4 + ( 2 4r)s 2 q Substitution z s 2 führt auf die Kubische Gleichung: z 3 + 2z 2 + ( 2 4r)z q 2 0 davon ermittelt man eine Lösung z. 39 q 0 z 0 s z 0 r 0 und s 0 t s3 +s q s 3 + s q 0, weil (s 3 + s + q) s6 +2s s 2 q 2 GL4 {}}{ s 6 + 2s 4 + ( 2 4r)s 2 q 2 +4rs 2 4rs2 2rs 0 40 Jetzt wird exlizit nachgewiesen, dass das Paar (s, t s3 + s q ) die Gleichungen I und II erfüllt: (I) r t 2rs s2 + t s 3 + s q s2 + s3 + s q 4rs2 3 (s 3 + s q) + (s 3 + s q) 2 (s 3 + s q) 4rs 2 6 2s 4 + 2qs 3 + s s 2 + q 2 + 2s 4 2qs 3 2qs (s 3 s6 + (4r + 2 )s 2 2qs + q 2 + s q) (s 3 + s q) 0, gemäss GL4 {}}{ (s 6 + 2s 4 + ( 2 4r)s 2 q 2 ) +2s(s 3 + s q) (s 3 + s q) (II) rs t st 2rs 2 s 3 + s q 2 s(s3 + s q) 0, gemäss GL4 qed. {}}{ (s 6 + 2s 4 + ( 2 4r)s 2 q 2 ) +2q(s 3 + s q) 2(s 3 q qed. + s q) 41 Beisiel x 4 + 4x 3 + 5x 2 2x rs2 s 6 2 s 2 q 2 2s 4 + 2qs 3 + 2qs 2(s 3 + s q) x 4 + 4x 3 + 5x 2 2x a 1, b 4, c 5, d 2, e 8 8ac 3b2 8a 2 1, q 8a2 d 4abc + b 3 8a 3 4, r 256a3 e 64a 2 bd + 16ab 2 c 3b 4 256a 4 12 s s z 3 2z 2 47z 16 0 z s z , t s3 + s q Faktorisiert als (x x )(x x ) y i, y i y i, y i x 1 y 1 b 4a i, x 2 y 2 b i 4a x 3 y 3 b 4a i, x 4 y 4 b i 4a Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 5 von 6

11 Literaturverzeichnis Gellert, W. / Küstner, H. / Hellwich, M. / Kästner, H. / Reichardt H. (1977): Kleine Enzykloädie Mathematik. 10., völlig überarbeitete Auflage. Leizig: VEB Verlag Enzykloädie Polynomgleichungen [Version 2.1] Helmut Vetter 6 von 6