Vorbereitung: Galvanometer

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1 Vorbereitung: alvanometer Marcel Köpke ruppe

2 Inhaltsverzeichnis 1 rundlagen Allgemein Theorie Versuche Vorexperimente statische Messungen Schaltung Schaltung Schaltung dynamische Messungen Stromstöÿe Stromstoÿempndlichkeit Theoretische Stromstoÿempndlichkeit Abhängigkeit von T Q Fragen Warum kann R nicht mit einem üblichen Ohmmeter gemessen werden? Wozu könnte wohl der in Schaltung 4 zum alvanometer parallelschaltbare 300Ω Widerstand dienen? Wie ergibt sich die statische Spannungsempndlichkeit des alvanometers? Wieso ergibt sich bei Aufgabe 2.2 R als Schnittpunkt-R? Welchen Sinn haben ballistsiche Messungen?

3 1 rundlagen 1.1 Allgemein Abbildung 1.1: alvanometer (Quelle: Abbildung 1.1 zeigt die schematische Skizze eines alvanometers. Ein alvanometer ist ein Drehspulmessinstrument zur Messung von Strömen. Es besteht, wie der Name schon sagt, aus einer drehbar gelagerten Spule, die bei Stromuss ein B-Feld hervorruft. Da sich die Spule innerhalb eines Permanentmagneten bendet kann so ein Drehmoment erzeugt werden. Die Lorentzkraft auf die einzelnen Leiterschleifen bewirkt die parallele Ausrichtung des Spulenfeldes zum Permamentfeld. Rückstellfedern (hier zwei) sorgen für ein rückstellendes Drehmoment an der Spule. So kann also die Auslenkung der Spule als Maÿ für die Stärke des durch sie ieÿenden Stroms angenommen werden. Die jeweilige Realisierung der Anzeige kann variieren. So wird hier eine Zeigerapparatur dargestellt. Im 3

4 Versuch allerdings wird die Auslenkung durch eine optische Vorrichtung angezeigt (Lichtpunkt auf Skala). Auch werden meist die Rückstellfedern direkt als Anschlussklemmen verwendet. 1.2 Theorie Die Rückstellfedern bewirken ein Drehmoment, welches proportional zur Auslenkung ϕ ist: M r = Dϕ Dabei ist D die Winkelrichtgröÿe bzw. das Richtmoment der Feder(n). Die Apparatur ist zwar frei gelagert erfährt aber dennoch eine gewisse Dämpfung durch Luftreibung oder mechanischem Wärmeverlust an den sich bewegenden Federn. Es ist praktikabel hier von Stokes'scher Dämpfung auszugehen. Damit wird ergibt sich ein Dämpfungsmoment proportional zur Winkelgeschwindigkeit ϕ: M d = ϱ ϕ Der Strom durch die Spule ruft ein B-Feld hervor, welches wiederrum aufgrund der Anwesenheit des Permanentmagneten ein auslenkendes Drehmoment verursacht: M a = nabi = I ist dabei die sogenannte dynamische alvanometerkonstante. Sie berechnet sich aus der Windungzahl n, dem Spulenquerschnitt A und dem anliegenden Magnetfeld B. Der Strom I ist dabei der esamtstrom durch die Spule. Er kommt durch die von auÿen angelegte Spannung U a und die durch die Drehung der Spule im Magnetfeld induzierte Spannung U i zustande: U a = (R + R a ) I a I a = Ua R +R a mit R dem Widerstand des alvanometers und R a dem Widerstand der angeschlossenen äuÿeren Apparatur. U i = n Φ = nab ϕ = ϕ I i = U i R +R a = R +R a ϕ I = I a + I i = Damit ergibts sich M a zu: Ua R +R a R +R a ϕ M a = I a 2 R + R a ϕ Mit diesen Drehmomenten kann nun die Dierentialgleichung des alvanometers aufgestellt werden: Θ ϕ = M ges = M r + M d + M a 4

5 ϕ + 1 Θ (ϱ + 2 ) ϕ + D R + R a Θ ϕ = I a Θ ϕ + 2γ ϕ + ω 2 0ϕ = c mit γ = ω 0 = c = I a Θ und 1 2Θ (ϱ + 2 ) der Dämpfungskonstante R + R a D der Eigenkreisfrequenz Θ der äuÿeren Anregung Θ ˆ= dem Trägheitsmoment der Spule Man sieht, dass die Dierentialgleichung der eines angeregten harmonischen Oszillators gleicht. Bei der homogenen Lösung müssen 3 Fälle unterschieden werden: Schwingfall (γ < ω 0 ): ϕ = e γt A cos (ωt + ψ) mit ω = ω0 2 γ2 Die Schwingung ist schwach gedämpft, sodass mehrmals die Ruhelage durchlaufen werden kann. Die Amplitude A nimmt dabei exponentiell mit der Zeit ab. Aperiodischer renzfall (γ = ω 0 ): ϕ = (A + Bt) e γt Es ndet keine Schwingung statt! Die Ruhelage wird nicht durchlaufen und das System ndet sich am schnellsten (im Vergleich zu den anderen beiden Fällen) in dieser ein. Kriechfall (γ > ω 0 ): ϕ = e γt A cosh (ωt) mit ω = γ 2 ω0 2 Der Verlauf ähnelt dem des Aperiodischen renzfalls, jedoch kann hier die Ruhelage noch einmal durchlaufen werden. Die partikuläre Lösung der DL ist gegeben durch: ϕ = c ω 2 0 = I a D 5

6 Die allgemeine Lösung der DL ist dann eine Superposition aus der partikulören und einer der 3 homogenen Lösungen! Wie man sieht ist das alvanometer schwingungsfähig. Durch anlegen eines äuÿeren Stroms I a 0A wird die Spule ausgelenkt (siehe partikuläre Lösung) und beginnt dann, z.b. im Fall von schwacher Dämpfung, eine Schwingung um die neue leichgewichtslage ϕ 0 = Ia D. Um den Strom I a zu bestimmen ist die Kenntnis dieser neuen leichgewichtslage nötig. Man wartet also bis die Schwingung durch Dämpfung ausgelaufen ist und mist dann ϕ 0. 6

7 2 Versuche 2.1 Vorexperimente Hier sollen bestimmte Fehlerquellen in der Messung und die Empndlichkeit des alvanometers verdeutlicht werden: Durch das Anfassen der alvanometer-anschlüsse sollte ein Strom messbar sein, der durch winzige elektrische Ströme im menschlichen Körper verursacht wird. Schlieÿt man einen Drahtdrehwiderstand an das alvanometer an, so sollte beim Drehen ein Strom messbar sein. Dieser kommt durch Reibung und damit verbundene Ladungstrennung zu stande. Vergleicht man die Ruhelagen bei oenem und (mit dem Drahtdrehwiderstand) kurzgeschlossenem alvanometer so sollte kein Unterschied feststellbar sein. Jedoch kann es beim An- und Abschlieÿen des Widerstands zu kurzzeiten Ladungsverschiebungen und damit zum Ausschlag des alvanometers kommen. 2.2 statische Messungen Schaltung 2 Abbildung 2.1: Schaltung 2 (Quelle: Aufgabenblatt) 7

8 In diesem Versuch soll der alvanometerausschlag α in Abhängigkeit vom Vorwiderstand R gemessen werden. Dafür wird die oben gezeigte Schaltung verwendet. Für den esamtwiderstand gilt dann: R ges = 1 R R 3 = R 4(R + R ) + R 3 = (R + R )(R 3 + R 4 ) + R 3 R 4 R R+R 4 + R + R R 4 + R + R Da R 4 R 3 gilt in guter Näherung: R ges R 3(R 4 + R + R ) R 4 + R + R Damit ergibt sich für den esamtstrom: I ges = I ges = I a + I R4 Nun gilt aber für die Spannung an R 4 : U = U(R 4 + R + R ) R ges R 3 (R 4 + R + R ) U R4 = R 4 I R4 = (R + R )I a = U R+R Damit folgt für den Strom durch das alvanometer: I a = UR 4 R 3 (R 4 + R + R ) Für groÿe Zeiten spielt der homogene Anteil der Lösung der DL keine Rolle. Es gilt also: ϕ = D I a Je nachdem wie das (optische) alvanometer realisiert ist (ohne oder mit Umlenkspiegel) gilt entweder α = ϕ oder α = 2ϕ. Wir nehmen nun allgmein α = zϕ mit z beliebig an. Dann folgt: α = z D I a Die statische Stromempndlichkeit ist damit: C I = z D Durch Einsetzen ergibt sich: 1 α 1 = = R 3(R 4 + R + R ) C I I a C I UR 4 R 3 = R + R 3(R 4 + R ) C I UR 4 C I UR 4 = a R + b mit a = R 3 C I UR 4 b = R 3(R 4 + R ) C I UR 4 8

9 Man erhält also einen linearen Zusammenhang zwischen 1 α und R. Durch die Messungen lassen sich a und b mit Hilfe von linearer Regression bestimmen. Damit erhält man schlussendlich: R = b a R 4 C I = R 3 aur Schaltung 3 Abbildung 2.2: Schaltung 3 (Quelle: Aufgabenblatt) Die Schaltung zeigt eine Wheatstone'sche Brückenschaltung. Mit ihr lassen sich Widerstände stromlos messen. Bei oener Brücke ergibt sich gerade Schaltung 2 wobei jetzt eben R 3 R 11 und R 4 R 12 + R 13 = 2R 12 gilt. Die eradengleichung lautet dann also: Bei geschlossener Brücke gilt: 1 α = R 11 C I U2R 12 R + R 11(2R 12 + R ) C I U2R 12 I ges = I R11 = U R 11 R 11 An R 12 und R liegt die gleiche Spannung an: = I R12 + I a U R12 = R 12 I R12 = R I a = U Nimmt man nun noch an, dass U R11 U gilt da R 11 R 12, R 13, R, dann folgt: I a = R 12 U R 11 (R + R 12 ) 9

10 1 α = R 11(R + R 12 ) R 12 UC I leichsetzen mit der oenen erade ergibt: R = R Der Schnittpunkt ergibt also gerade den alvanometerwiderstand. Auÿerdem ist die geschlossene Brücke an dieser Stelle abgeglichen Schaltung 4 Abbildung 2.3: Schaltung 4 Für diesen Versuch sei R a =, d.h. die Leitung von und nach R a sei nicht vorhanden. Wir messen nun die Spannungsabhänigkeit von α. Der Schalter T bei R 16 sein nicht geschlossen. Dann folgt: R ges = R 15 + R I ges = I a = U R 15 + R Bei der Näherung wurde ausgenutzt, dass R 15 R. Da α und I a linear über C I zusammenhängen, ergibt die Steigung der durch die Messung ermittelten eraden α (I a ) die Stromempndlichkeit C I. 2.3 dynamische Messungen In diesem Versuch sollen bestimmte röÿen des alvanometers bzw. der alvanometerschwingung ermittelt werden. Dafür wird Schaltung 4 (siehe oben) verwendet. Der Schalter T bleibt auch hier während der tatsächlichen Messung oen. Die Messungen werden jeweils für verschieden Widerstände R a (von 1kΩ bis ) durchgeführt. Tatsächlich gemessen wird nur die Periodendauer T und das Dämpfungsverhältnis k mit k = α n 1 α n = 1 N N i=1 α i 1 α i U R 15 10

11 wobei die α i die Amplituden der Auslenkung sind. Damit lassen sich nun folgende röÿen ermitteln: Abklingkonstante β Ra : Es gilt: k = e β Ra T β Ra = ln(k) T Auÿerdem gilt:β Ra = 1 2Θ (ϱ + 2 R +R a ) = β + 2 2Θ(R +R a) Damit folgt dann: (β Ra β ) 1 = 2Θ R 2 a + 2ΘR = ã R 2 a + b Es besteht also ein linearer Zusammenhang (erade) zwischen R a und (β Ra β ) 1. Eigenfrequenz ω 0 des alvanometers: Es gilt: ω 0 = ( 2π T ) 2 + β 2 = ω 2 + β 2 Auÿenwiderstand R a bei renzdämpfung: esucht ist also R a bei β Ra = ω 0. Man kann den Widerstand einfach durch ablesen an der oben ermittelten eraden bei y = (ω 0 β ) 1 bestimmen. alvanometer-kenngröÿen, Θ und D: Diese röÿen ermitteln sich durch: = Θ = D = 2 ãω0 2C I 2 ãω 4 0 C2 I 2 ãω 2 0 C2 I Dabei muss darauf geachtet werden, dass (falls nötig) C I von Metern/Amper in Bogenmaÿ/Amper umgerechnet wird. 2.4 Stromstöÿe Abbildung 2.4: Schaltung 5 11

12 In diesem Versuch wird das Verhalten des alvanometers bei kurzen (starken) Stromstöÿen untersucht. Dazu wird Schaltung 5 verwendet, in welcher der Stromstoÿ durch die Entladung eines Kondensators realisiert wird. Da ein Kondensator sich jedoch (idealisiert) nie vollständig entlädt wird als Stromstoÿdauer die Zeit T Q = 3RC verwendet, bei der 95% der Ladung vom Kondensator abgeossen ist Stromstoÿempndlichkeit Die Messung wird für verschiedene Widerstände R a durchgeführt. Dadruch können verschiedene Bereiche der Dämfung erfasst werden: R a = : ballistische Empndlichkeit bei minimaler Dämpfung R a = 1kΩ: ballistische Empndlichkeit im Schwingfall R a = 330Ω: ballistsiche Empndlichkeit nahe der renzdämpfung R a = 33Ω: uxmetrische Empndlichkeit im Kriechfall Die Stromstoÿempndlichkeit ist deniert als das Verhältnis zwischen der Auslenkung der alvanometers und die durch das alvanometer geossene Stoÿ-Ladung. Dabei muss beachtet werden, dass nicht die komplette Ladung durch das alvanometer abieÿt. Ein Teil kann nämlich durch den Widerstand R a abieÿen! Es folgt damit also: C b = α Q = α CU = R a + R R Theoretische Stromstoÿempndlichkeit α CU Integriert man die DL des alvanometers nach der Zeit so folgt: ϕ + 2γϕ + ω 2 0 ˆ TQ 0 Für einen Stromstoÿ gilt zum Zeitpunkt t = 0: ϕ(0) = 0 ϕ(0) = 0 ϕ (t) dt = Θ Q Damit wird die DL zu: ˆ TQ ω0 2 0 ϕ (t) dt = Θ Q Dies liefert die Maximale Auslenkung ϕ max = αmax z für die verschiedenen Dämpfungsarten: 12

13 Schwingfall: α max z Q Θω 0 C b = z Θω 0 aperiodischer renzfall: Kriechfall: α max = z Q Θω 0 e C b = z Θω 0 e α max z Q Θ2γ z R + R a Q C b = z R + R a Abhängigkeit von T Q In den Formeln für die Stoÿempndleichkeit tritt keine Abhängigkeit von T Q auf. Dies ist nur dann der Fall, wenn T Q T angenommen werden darf. Durch erhöhen der Stromstoÿ-Zeit (T Q = 3RC) kann die Abhängigkeit von T Q jedoch experimentell nachgewiesen werden. Dies kann zum Beispiel durch erhöhen des Widerstandes geschehen. 2.5 Fragen Warum kann R nicht mit einem üblichen Ohmmeter gemessen werden? Antwort: Das alvanometer ist äuÿerst empndich gegenüber zu hohen Stromstärken und kann dadurch leicht beschädigt werden. Ein normales Ohmmeter legt eine Spannung an den Widerstand an und mist den Strom, der dadurch entsteht. Es kann also nicht gewährleistet werden, dass das alvanometer dadurch unbeschädigt bliebe Wozu könnte wohl der in Schaltung 4 zum alvanometer parallelschaltbare 300Ω Widerstand dienen? Antwort: Wird R a = gewählt so ist die Dämpfung am alvanometer minimal. Der Schwingvorgang würde sehr lange andauern. Durch zuschalten des Widertands kann R a = 330Ω gesetzt werden. Dadurch stellt sich eine Dämpfung ein, die nahe am aperiodischen renzfall liegt. Das alvanometer kehrt so also am schnellsten in die leichgewichtslage zurück! 13

14 2.5.3 Wie ergibt sich die statische Spannungsempndlichkeit des alvanometers? Antwort: Über das Ohm'sche esetz. Es gilt I a = Ua R. Damit folgt: α = zdr U a = C U U a. Also ist C U = = C I R. zdr zd I a = Wieso ergibt sich bei Aufgabe 2.2 R als Schnittpunkt-R? Antwort: siehe Abschnitt auf Seite Welchen Sinn haben ballistsiche Messungen? Bei mechanischen ballistischen Messungen kann man anhand der Auslenkung Rückschlüsse auf Eigenschaften des eschosses, wie zum Beispiel seine kinetische Energie und bei bekannter Masse seine eschwindigkeit, machen. Ähnlich kann dies auch hier durchgeführt werden. Ein Stromstoÿ ist verantwortlich für eine gewissen Auslenkung des alvanometers. Aus dieser kann man Rückschlüsse auf die esamtladung des Stromstoÿes ziehen. 14