Lineare Differenzialgleichungssysteme

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1 16 Lineare Differenzialgleichungssysteme Eine lineare Differenzialgleichung auf dem R n ist von der Form ẋ = Ax mit einer reellen n n-matrix A. Ausgeschrieben handelt es sich um ein System von n gekoppelten linearen Differenzialgleichungen für die Koordianten x 1,.., x n von der Gestalt ẋ 1 = a 11 x a 1n x n : ẋ n = a n1 x a nn x n mit konstanten reellen Koeffizienten a ij. Unter einer Lösung dieser Gleichung versteht man jede Abbildung ϕ : I R n, ϕ(t) = (ϕ 1 (t),.., ϕ n (t)) eines Intervalls I in den R n mit differenzierbaren Komponenten ϕ j, so dass ϕ(t) = ( ϕ 1 (t),.., ϕ n (t)) = Aϕ(t), t I. Geometrisch betrachtet handelt es sich bei ϕ um eine differenzierbare Kurve im R n mit dem Geschwindigkeits- oder Tangentialvektor ϕ im jeweiligen Kurvenpunkt ϕ, zwischen denen der durch die Differenzialgleichung bestimmte lineare Zusammenhang besteht. Um das entsprechende Anfangswertproblem ẋ = Ax, x(0) = x 0 zu lösen, muss die Kurve außerdem zum Zeitpunkt t = 0 durch den Punkt x 0 verlaufen. (c)-machobs: 16.1

2 Lineare Differenzialgleichungssysteme Abb 1 ϕ(t) Eine Lösungskurve ϕ(t) ϕ(0) 16-a Fundamentalsatz Zunächst stellen wir fest, dass jedes solche Awp immer eine für alle Zeiten definierte Lösung besitzt, die sich im Prinzip auch vollständig angeben lässt. 1 Fundamentalsatz Das Anfangswertproblem ẋ = Ax, x(0) = x 0 besitzt für jedes x 0 die eindeutige Lösung ϕ : R R n, ϕ(t) = e At x 0, wobei e At = k 0 (At) k k! = E + At A2 t (1) Beweisskizze Zunächst bemerken wir, dass die Exponenzialreihe (1) wohldefiniert ist. Für n n-matrizen sind Summen und Produkte wohldefiniert, also auch das k-fache Produkt, welches wie im Reellen erklärt ist durch A 0 = E, A k = AA k 1, k 1. Man kann dann zeigen, dass diese Reihe auf jedem beschränkten t-intervall gleichmäßig konvergiert. Sie ist daher differenzierbar in t, und man erhält ihre Ableitung durch gliedweises Differenzieren. Somit gilt ( (At) k ). = ( A k ). k! k! tk = A k (k 1)! tk 1 k 0 k 1 k 0 = A k 1 ( = A k 0 A k 1 (k 1)! tk 1 (At) k k! ) (c)-machobs: ~15:49

3 Fundamentalsatz 16-a 331 Damit gilt auch ( (At) k ). ϕ(t) = x 0 = Ae At x 0 = Aϕ(t), t R. k! k 0 Außerdem ist ϕ(0) = e 0 x 0 = Ex 0 = x 0. Bemerkung Die entsprechende Lösung zum Anfangswert x(t 0 ) = x 0 ist ψ(t) = e A(t t0) x 0 = ϕ(t t 0 ). Es genügt daher, den Fall t 0 = 0 zu betrachten. Wichtig Für die Matrizen-Exponenzialfunktion gilt die Funktionalgleichung e A+B = e A e B nur, wenn A und B kommutieren, also AB = BA gilt. Nur in diesem Fall gilt für alle n 1 die binomische Formel n n (A + B) n = A n k B k, k k=0 aus der diese Funktionalgleichung folgt. Dies ist zunächst einmal eine mathematische Lösung, denn für eine allgemeine Matrix A ist die Exponenzialreihe nicht leicht zu berechnen. In einigen Fällen ist dies jedoch kein Problem. Beispiele a. Jede lineare Differenzialgleichung besitzt die triviale Lösung ϕ 0. Dies ist somit die eindeutige Lösung zum Anfangswert x 0 = 0. Interpretiert man die Koordinaten x als Beschreibung einer Konfiguration aus Massepunkten oder ähnlichem, so beschreibt diese Lösung eine für alle Zeiten gleichbleibende Konfiguration. Man spricht daher auch von einer Gleichgewichtslösung. Aus dem Fundamentalsatz folgt übrigens, dass jede andere Lösung nicht durch den Nullpunkt verlaufen kann. Denn in diesem Fall wäre sie eine Lösung zum Anfangswert 0 und müsste demnach konstant 0 sein. Sie kann aber dem Nullpunkt beliebig nahe kommen, wie wir noch sehen werden. b. Für eine Diagonalmatrix A = diag(λ 1,.., λ n ) gilt e At = diag(e λ1t,.., e λnt ). Also beispielsweise ( 1 e A =, e At t = 2 e 2t ). (c)-machobs: ~15:

4 Lineare Differenzialgleichungssysteme Denn es ist ja A k = diag(λ 1,.., λ n ) k = diag(λ k 1,.., λk n), also (At) k = diag(λ k 1 tk,.., λ k nt k ). Somit ist die Exponenzialreihe e At wieder eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen k 0 λ k i tk k! = e λ it, 1 i n. Noch ein Beispiel Betrachte den Differenzialoperator D : P d P d, p Dp = p auf dem Raum P d der reellen Polynome vom Grad kleiner als d. Dies ist eine lineare Abbildung auf einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum. Das Exponenzial hiervon ist der Translationsoperator e Dt = H t : P d P d, H t p = p( + t). Denn nach der Formel von Taylor gilt ja (H t p)(x) = p(x + t) = k 0 und es ist ferner Also ist p (k) (x) t k, k! p (k) (x)t k = D k p(x)t k = (Dt) k p(x). (H t p)(x) = (Dt) k p(x) = (e Dt p)(x). k! k 0 Diese Rechnung benötigt keine Matrixdarstellung für D. Wählt man aber e k = xk, 0 k < d, k! als Basis von P d, so wird De k = e k 1 für k 1 und De 0 = 0. Damit erhält D die Matrixdarstellung D = (c)-machobs:

5 Fundamentallösung 16-b b Fundamentallösung Wie löst man eine lineare Differenzialgleichung nun konkret? Dazu zwei einfache Beobachtungen. 2 Lemma Es gilt das Superpositionsprinzip: Sind ϕ und ψ Lösungen von ẋ = Ax, so ist auch jede Linearkombination aus ϕ und ψ eine Lösung. Das folgt aus der Linearität der Differenzialgleichung, also (αϕ + βψ). = α ϕ + β ψ = αaϕ + βaψ = A(αψ + βψ). 3 Lemma Sind die Lösungen ϕ 1,.., ϕ m von ẋ = Ax zu irgendeinem Zeitpunkt t 0 linear unabhängig, so sind sie es auch zu jedem anderen Zeitpunkt t. Sind ϕ 1,.., ϕ m zu einem Zeitpunkt t 0 linear abhängig, so verschwindet dort eine nichttriviale Linearkombination aus ihnen. Aufgrund des Superpositionsprinzips ist dies eine Lösung von ẋ = Ax mit Anfangswert 0 bei t 0. Aus Eindeutigkeitsgründen muss dies die Nulllösung sein. Das bedeutet aber, das ϕ 1,.., ϕ m für jedes t linear abhängig sind. Definition und Satz Jedes System ϕ 1,.., ϕ n von n linear unabhängigen Lösungen von ẋ = Ax heißt eine Fundamentallösung dieser Differenzialgleichung. Jede Lösung von ẋ = Ax ist dann eine Linearkombination aus dieser Fundamentallösung. Jede Lösung ϕ ist eindeutig surch ihren Anfangswert bei t = 0 bestimmt. Dieser lässt sich als Linearkombination aus ϕ 1 (0),.., ϕ n (0) darstellen: ϕ(0) = c 1 ϕ 1 (0) c n ϕ n (0). Aus Eindeutigkeitsgründen gilt dann auch ϕ(t) = c 1 ϕ 1 (t) c n ϕ n (t) zu jedem anderen Zeitpunkt. Wie findet man nun solche Lösungen? Auch hier spielen wieder Eigenvektoren und deren Eigenwerte die zentrale Rolle. 4 Lemma Ist v ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ, so ist ϕ(t) = e λt v eine Lösung von ẋ = Ax. (c)-machobs: 16.5

6 Lineare Differenzialgleichungssysteme Abb 2 Eigenvektor-Lösung mit λ < 0 e λt v v sowie Da die Skalare λ und e λt v mit A und v vertauschen, gilt ϕ(t) = (e λt ). v = e λt λv Aϕ(t) = Ae λt v = e λt Av = e λt λv. Also ist ϕ(t) = Aϕ(t). Der Eigenvektor v wird also lediglich mit dem positiven Skalar e λt multipliziert. Für λ 0 ist die gesamte Lösung eine Halbgerade, die für λt gegen den Nullpunkt konvergiert siehe Abbildung 2. Besitzt eine Matrix A also n linear unabhängige Eigenvektoren b 1,.., b n mit Eigenwerten λ 1,.., λ n, so bilden die jeweiligen Lösungen ϕ i (t) = e λ it b i, 1 i n, zusammen ein Fundamentalsystem von ẋ = Ax. Jede beliebige Lösung ist eine Linearkombination aus diesen, es gilt also ϕ(t) = n c i e λit b i. (2) i=1 Die Koeffizienten c i werden dabei durch einen allfälligen Anfangswert bestimmt. 5 Beispiel Betrachte das lineare Differenzialgleichungssystem ẋ 1 = 3x 1 + 2x 2, ẋ 2 = 3x 1 2x 2, ẋ 3 = 3x 1 3x 2 + x 3. Dies ist von der Form ẋ = Ax mit x R 3 und A = (c)-machobs:

7 Koordinatentransformationen 16-c 335 Diese Matrix hat die Eigenwerte 0, 1, 1 mit den respektiven Eigenvektoren b 1 = 3, b 2 = 1, b 3 = 0, (3) wie man sofort verifiziert. Die allgemeine Lösung hat daher die Gestalt x(t) = c 1 b 1 + c 2 e t b 2 + c 3 e t b 3, (4) denn e 0t = 1. In Koordinaten: x 1 (t) = 2c 1 c 2 e t, x 2 (t) = 3c 1 + c 2 e t, x 3 (t) = 3c 1 + c 3 e t. Ist noch ein Anfangswert x(0) = x vorgegeben, ist das entsprechende Lgs für die Koeffizienten c 1,.., c 3 zu lösen, also 2c 1 c 2 = x 1, 3c 1 + c 2 = x 2, 3c 1 + c 3 = x 3. Man erhält 16-c Koordinatentransformationen Gegeben sei ẋ = Ax. Führen wir neue Koordinaten y ein, indem wir x = By mit einer invertierbaren Matrix B schreiben, so gilt einerseits ẋ = Ax = ABy und andererseits ẋ = Bẏ. Multiplizieren wir von links mit B 1, so erhalten wir folgendes Ergebnis. 6 Satz Die lineare Differenzialgleichung ẋ = Ax geht unter der linearen Koordinatentransformation x = By über in ẏ = A y, A = B 1 AB. (c)-machobs: 16.7

8 Lineare Differenzialgleichungssysteme Die allgemeine Lösung der transformierten Gleichung ist aufgrund des Fundamentalsatzes y(t) = e A t y 0. Somit ist x(t) = By(t) = Be A t y 0 die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Schreibt man jetzt noch y 0 = B 1 x 0 und bemerkt mithilfe der Exponenzialreihe, dass Be A t B 1 = e BA B 1t = e At, so erhält man wieder x(t) = e At x 0. Nützlich sind natürlich solche Koordinatentransformationen, die die Matrix A vereinfachen. Angenommen, A = B 1 AB = diag(λ 1,.., λ n ) = D hat Diagonalgestalt. Aus AB = BD folgt dann einerseits, dass die Spalten von B = (b 1,.., b n ) Eigenvektoren von A mit Eigenwerten λ 1,.., λ n respektive sind. Andererseits erhalten wir damit die allgemeine Lösung x(t) = Be Dt c, c R 3 (5) von ẋ = Ax. Hierbei ist e λ1t Be Dt. = (b 1,.., b n ).. e λnt = (e λ1t b 1,.., e λnt b n ). Somit stellt (5) genau dieselbe Lösung dar wie (3). 7 Satz Besitzt die Matrix A genau n linear unabhängige Eigenvektoren b 1,.., b n mit Eigenwerten λ 1,.., λ n, so hat die allgemeine Lösung von ẋ = Ax die Gestalt ϕ(t) = n c j e λjt b j j=1 mit reellen Koeffizienten c 1,.., c n. Beispiel Mit den Eigenvektoren (3) aus Beispiel 5 wird B = (b 1,.., b 3 ) = (c)-machobs:

9 Zweidimensionale lineare Systeme 16-d 337 und 0 D = B 1 AB = diag(λ 1,.., λ 3 ) = 1 = D. 1 Es ist e Dt = diag(1, e t, e t ) und Be Dt = (b 1,.., b 3 ) diag(1, e t, e t ) = (b 1, e t b 2, e t b 3 ). Die allgemeine Lößung lautet damit x(t) = Be Dt c = c 1 b 1 + c 2 e t b 2 + c 3 e t b 3 genau wie in (4). Der letzte Satz gilt auch für komplexe Eigenwerte mit komplexen Eigenvektoren. Wie man hieraus reelle Lösungen gewinnt, zeigen wie im folgenden Abschnitt anhand zweidimensionaler Systeme. 16-d Zweidimensionale lineare Systeme Die Struktur der Lösungen eines linearen Differenzialgleichungssystems ẋ = Ax wird fast ausschließlich durch die Eigenwerte von A bestimmt. Im Fall eines zweidimensionalen Systems gibt es dabei für die beiden Eigenwerte folgende Möglichkeiten: (i) reell und einfach, (ii) reell und doppelt, oder (iii) komplex konjugiert. Im Fall doppelter Eigenwerte ist noch zu unterscheiden, ob A diagonalisierbar ist oder nicht. Der Nullpunkt ist immer ein Gleichgewichtspunkt jeder linearen Differenzialgleichung. Uns interessiert außerdem noch die Frage, welche anderen Lösungen für t oder t gegen diesen Gleichgewichtspunkt konvergieren. Einfache reelle Eigenwerte In diesem Fall ist A diagonalisierbar. In geeigneten Koordinaten ist somit λ 0 A = 0 µ (c)-machobs: 16.9

10 Lineare Differenzialgleichungssysteme Abb 3 Sattelpunkt in angepassten und allgemeinen Koordinaten Abb 4 Stabiler Knoten in angepassten und allgemeinen Koordinaten mit den beiden Eigenwerten λ und µ. Die allgemeine Lösung von ẋ = Ax lautet e λt 0 a ae λt 0 x(t) = 0 e µt = b 0 be µt, a, b R. (6) Das Phasenportrait also die Gesamtheit aller Lösungen hängt nun von der Lage der Eigenwerte auf der reellen Achse ab. Gilt λµ < 0, so spricht man von einem Sattel. Es gibt je eine Richtung, die Abszisse und die Ordinate, in denen die Lösungen für t respektive t gegen den Gleichgewichtspunkt 0 konvergieren. Alle anderen Lösungen sind unbeschränkt. Gehen wir durch eine lineare Transformation zu beliebigen Koordinaten über, so lässt sich das resultierende Phasenportrait wie folgt beschreiben. 8 Sattel Hat A die reellen Eigenwerte µ < 0 < λ, so konvergieren die Lösungen im µ-eigenraum für t und im λ-eigenraum für t gegen den Gleichgewichtspunkt 0. Alle anderen Lösungen sind für t ± unbeschränkt (c)-machobs:

11 Zweidimensionale lineare Systeme 16-d 339 Abb 5 Eigenwerte µ < 0 = λ Sind beide Eigenwerte negativ, so spricht man von einem stabilen Knoten. Alle Lösungen konvergieren für t + gegen den Gleichgewichtspunkt 0, wobei für µ < λ < 0 alle Lösungen außerhalb des µ-eigenraumes tangential zum λ-eigenraum gegen den Gleichgewichtspunkt konvergieren. Dies ist auch das Bild in allgemeinen Koordinaten. 9 Stabiler Knoten Hat A die reellen Eigenwerte µ < λ < 0, so konvergieren alle Lösungen für t gegen den Gleichgewichtspunkt 0, wobei außerhalb des µ-eigenraumes alle Lösungen tangential zum λ-eigenraum konvergieren. Sind beide Eigenwerte positiv, so spricht man von einem instabilen Knoten. Es gelten analoge Konvergenzaussagen, wenn man t statt t betrachtet. Der Fall µ < 0 = λ ist in Abbildung 5 skizziert. Doppelte Eigenwerte Diesen Fall nennt man entartet. Man sieht dem Operator sofort an, ob er diagonalisierbar ist oder nicht. 10 Lemma Sei A ein zweidimensionaler Operator mit doppelten Eigenwert. Ist A diagonalisierbar, so hat A in jeder Basis Diagonalgestalt. In diesem Fall existiert ein B mit B 1 AB = diag(λ, λ) = λi. Dann ist aber auch A = BλIB 1 = λbb 1 = λi. Mit anderen Worten, A ist ein Vielfaches der Identität, und diese hat Diagonalgestalt in jeder Basis. A ist diagonalisierbar Für λ < 0 spricht man von einem entarteten stabilen Knoten. Alle Lösungen konvergieren gegen den Gleichgewichtspunkt 0, und sämtliche Lösungskurven sind Geraden siehe Abbildung 6. Entsprechendes gilt für λ > 0, dem entarteten instabilen Knoten. (c)-machobs: 16.11

12 Lineare Differenzialgleichungssysteme A ist nicht diagonalisierbar Dreiecksgestalt λ A = = λi + N, N =, 0 λ 0 0 Dann kann man A lediglich auf die obere bringen, die man auch einen Jordanblock nennt. Da I und N kommutieren und N 2 verschwindet, erhält man 1 t e At = e λit e Nt = e λt (I + Nt) = e λt. 0 1 Die allgemeine Lösung ist damit a + bt x(t) = e λt, b a, b R. (7) Alle Lösungskurven sind dabei im Gleichgewichtspunkt tangential an die Abszisse, also den eindimensionalen Eigenraum des doppelten Eigenwerts λ. Man spricht ebenfalls von einem entarteten Knoten siehe Abbildung Entarteter stabiler Knoten Hat A den doppelten reellen Eigenwerte λ < 0 und Diagonalgestalt, so konvergieren alle Lösungen für t aus allen Richtungen geradlinig gegen den Gleichgewichtspunkt 0. Hat A dagegen keine Diagonalgestalt, so konvergieren diese tangential zum eindimensionalen λ-eigenraum gegen den Gleichgewichtspunkt 0. Für λ > 0 gilt Entsprechendes für t. Der Fall eines nichtdiagonalisierbaren Operators mit doppeltem Eigenwert 0 ist in Abbildung 8 skizziert. Die verschiedenen Knoten kann man somit geometrisch anhand der Anzahl der asymptotischen Richtungen ihrer Lösungskurven unterscheiden. Diese ist Abb 6 Entarteter stabiler Knoten, diagonalisierbar (c)-machobs:

13 Zweidimensionale lineare Systeme 16-d 341 Abb 7 Entarteter stabiler Knoten, nicht diagonalisierbar Abb 8 Entarteter Knoten mit Eigenwert 0 2 für λ µ, für λ = µ, A = λi, 1 für λ = µ, A λi. Die Anzahl 2 gilt im Prinzip auch für den Sattel, nur dass hier fast alle Lösungen weder für t noch für t konvergieren. Komplexe Eigenwerte Ein zweidimensionaler reeller Operator mit nicht-reellen Eigenwerten kann in folgende reelle Normalform gebracht werden. 12 Lemma Hat der zweidimensionale Operator A komplexe Eigenwerte α ± iω mit ω 0, so ist in geeigneten Koordinaten α ω 0 1 A = = αi + ωj, J =. ω α 1 0 (c)-machobs: 16.13

14 Lineare Differenzialgleichungssysteme Abb 9 Stabiler Strudel in angepassten und allgemeinen Koordinaten Zum Eigenwert α + iω existiert ein komplexer Eigenvektor u + iv. Es gilt also A(u + iv) = (α + iω)(u + iv) = (αu ωv) + i(ωu + αv). Somit gilt Av = αv + ωu, Au = ωv + αu. In der reellen Basis (v, u) in dieser Reihenfolge erhält A damit die angegebene Gestalt. Da I und J kommutieren, gilt in diesen Koordinaten e At = e αit+ωjt = e αit e ωjt. Eine kleine Auswertung der Exponenzialreihe zusammen mit J 2 = I, und J 4 = I ergibt cos t sin t e Jt =. sin t cos t J 3 = J Also gilt insgesamt ( cos ωt e At = e αt sin ωt ) sin ωt. cos ωt Diese Abbildung beschreibt eine Streckung um den Faktor e αt und eine Drehung um den Winkel ωt im mathematischen Sinn also gegen den Uhrzeigersinn für ωt > 0. Es handelt sich also um eine Drehstreckung. Da diese beiden Operationen kommutieren, kommt es auf deren Reihenfolge nicht an. 13 Strudel und Zentrum Hat A die nichtreellen Eigenwerte α ± iω, so bildet e At eine Familie von Drehstreckungen mit dem Faktor e αt und dem Winkel ωt. Man spricht von einem Zentrum, falls α = 0, einem stabilen Strudel, falls α < 0, und einem instabilen Strudel sonst (c)-machobs:

15 Beispiele 16-e 343 Abb 10 Zentrum in angepassten und allgemeinen Koordinaten In einem stabilen Strudel konvergieren alle Lösungen gegen den Gleichgewichtspunkt, ohne eine asymptotische Richtung anzustreben. Dies unterscheidet ihn vom stabilen Knoten. Das Zentrum ist unter den zweidimensionalen linearen Systemen das einzige mit nichttrivialen periodischen Lösungen. Außerdem haben alle Lösungen dieselbe Periode T = 2π ω. Dies ist charakteristisch für lineare Systeme. In nichtlinearen Systemen wie dem mathematischen Pendel variiert dagegen in einer Familie periodischer Lösungen die Periode mit deren Amplitude. 16-e Beispiele Harmonischer Oszillator mit Dämpfung Der harmonische Oszillator mit Dämpfung wird beschrieben durch die skalare Differenzialgleichung ü = ω 2 u ρ u. Hierbei ist u die Auslenkung aus der Ruhelage, ω > 0 die Frequenz des ungedämpften Oszillators und ρ 0 der Reibungskoeffizient der Dämpfung. Diese ist proportional zur Geschwindigkeit u und wirkt dieser entgegengesetzt. Setzen wir x 1 = u, x 2 = u, (c)-machobs: 16.15

16 Lineare Differenzialgleichungssysteme Abb 11 Stark gedämpfter Oszillator: stabiler und entarteter Knoten u u u u so ist die Gleichung äquivalent zum linearen System ( ) ẋ1 u x x1 = = ẋ 2 ü ω 2 = x 1 ρx 2 ω 2. ρ x 2 Also kurz ẋ = Ax, A = ( 0 1 ω 2 ρ ). Das charakteristische Polynom ist χ(λ) = λ 2 + ρλ + ω 2, die Eigenwerte sind somit λ ± = ρ ± ρ 2 4ω 2. 2 Wir betrachten die Frequenz ω als fest und den Reibungskoeffizienten ρ als Parameter. Dabei treten fier Fälle auf. ρ > 2ω: Stabiler Knoten Fast alle Lösungen konvergieren gegen die Gleichgewichtslage in der Richtung des Eigenraumes des größeren der beiden negativen Eigenwerte, wobei sie höchstens einmal die Richtung wechseln siehe Abbildung 11 links. ρ = 2ω: Entarteter stabiler Knoten Da A kein Diagonaloperator ist, konvergieren alle Lösungen in der Richtung des eindimensionalen Eigenraumes von A gegen 0. Dieser wird von dem Vektor (1, 1) aufgespannt siehe Abbildung 11 rechts. 0 < ρ < 2ω: Stabiler Strudel Man spricht von gedämpften Schwingungen. Der Oszillator schwingt mit immer kleineren Ausschlägen unendlich oft um die Gleichgewichtslage. Abbildung 12 zeigt Lösungen für verschiedene ρ. ρ = 0: Zentrum Man spricht von ungedämpften Schwingungen. Alle Lösungen sind periodisch mit Frequenz ω und Periode T = 2π/ω (c)-machobs:

17 Beispiele 16-e 345 Abb 12 Gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen: Strudel und Zentrum u u u u Im Fall der gedämpften Schwingung sind die Eigenwerte α ± iµ mit α = ρ 2, µ = 1 4ω 2 ρ 2. 2 Eine Fundamentallösung besteht zum beispiel aus cos µt sin µt ϕ 1 (t) = e αt, ϕ 2 (t) = e αt. sin µt cos µt Für die Auslenkung u des Oszillators erhält man somit u(t) = ae αt cos µt + be αt sin µt, a, b R. Mit r 2 = a 2 + b 2 und trigonometrischen Identitäten erhält dies die Form u(t) = r e αt cos(µt + τ) mit der Amplitude r und der Phase τ als Parameter. Man nennt µ die reduzierte Frequenz des gedämpften Oszillators. Für die zugehörige Periode gilt T = 2π, ρ 2ω, µ 2π ω, ρ 0. Homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung Mit dem Beispiel des gedämpften harmonischen Oszillators haben wir zugleich die allgemeine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung für eine skalare Funktion diskutiert. 14 Satz Jede Lösung der skalaren Differenzialgleichung ü + 2α u + β 2 u = 0 (c)-machobs: 16.17

18 Lineare Differenzialgleichungssysteme ist von der Form ae α+t + be α t, α > β, u(t) = (a + bt)e αt, α = β, r e αt cos(ωt + τ), α < β, mit reellen Parametern a, b, r, τ und α ± = α ± α 2 β 2, ω = β 2 α 2. Die Differenzialgleichung ist äquivalent zum System 0 1 ẋ = Ax, A = β 2. 2α Seine Eigenwerte sind α ± = α ± α 2 β 2. Die Behauptungen ergeben sich damit aus der Diskussion des gedämpften harmonischen Oszillators. Dreidimensionale Systeme Besitzt eine n n-matrix A einen einfachen komplexen Eigenwert λ = α+iω mit komplexen Eigenvektor u + iv, so ist der zweidimensionale Unterraum E = span(u, v) invariant unter A, und die Einschränkung von A auf E besitzt in der Basis (v, u) die Matrixdarstellung A α ω E =. ω α Die lineare Differenzialgleichung ẋ = Ax besitzt dann insbesondere die beiden Lösungen ϕ 1 (t) = e αt (v cos ωt + u sin ωt), ϕ 2 (t) = e αt (v sin ωt u cos ωt). Im Fall n = 3 kann es nur noch einen weiteren reellen Eigenwert µ mit reellen Eigenvektor w geben. Dann ist ϕ 3 (t) = e µt v eine weitere Lösung, und zusammen bilden ϕ 1,.., ϕ 3 ein Fundamentalsystem. In der Basis (w, v, u) erhält A übrigens die Gestalt µ A = α ω. ω α (c)-machobs:

19 Beispiele 16-e 347 Skalare Differenzialgleichung n-ter Ordnung Wir betrachten noch u (n) = a 1 u (n 1) a n 1 u + a n u. (8) Mit x 1 = u ist dies äquivalent zu dem linearen System ẋ 1 = u = x 2, ẋ 2 = ü = x 3,. ẋ n 1 = u (n 1) = x n, ẋ n = u (n) = a n x 1 + a n 1 x a 2 x n 1 + a 1 x n. Mit x = (x 1,..., x n ) ist dies wiederum äquivalent mit ẋ = Ax, A = 0 1 a n a 2 a 1 (9) 15 Lemma λ ist Eigenwert von A genau dann, wenn λ die charakteristische Gleichung λ n = a 1 λ n 1 + a n 1 λ + a n (10) erfüllt. Jeder Eigenwert hat dabei geometrische Vielfachheit 1. Die erste Behauptung ergibt sich aus Av = λv ϕ(t) = e λt v ist Lösung von (9) u(t) = e λt v 1 ist Lösung von (8) λ n e λt = a 1 λ n 1 e λt + + a n e λt λ n = a 1 λ n a n. Außerdem folgt aus Av = λv und (10), dass v i = λv i 1, 1 < i n. Somit sind alle Komponenten eines Eigenvektors bereits durch die erste Komponente bestimmt, und der jeweilige Eigenraum kann nur eindimensional sein. (c)-machobs: 16.19

20 Lineare Differenzialgleichungssysteme Ist λ also ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit k > 1, so gibt es nicht entsprechend viele unabhäñgige Lösungen der Gestalt e λt v. Vielmehr lösen hier ohne Beweis die k Quasipolynome e λt, te λt,.., t k 1 e λt (11) die Gleichung (8). Ist λ = α ± iω komplex, so ergeben sich daraus die reellen Lösungen t l e αt cos ωt, t l e αt sin ωt, 0 l < k. (12) 16 Satz Ist λ eine k-fache Lösung der charakterischen Gleichung λ n = a 1 λ n 1 + a n 1 λ + a n, so lösen die Funktionen (11) respektive (12) die skalare Differenzialgleichung u (n) = a 1 u (n 1) a n 1 u + a n u. Deren Gesamtheit über alle Lösungen λ bildet ein Fundamentalsystem dieser Gleichung. Im Fall n = 2 erhalten wir wieder die Lösungen von Satz (c)-machobs: