) 2. Für den Kugelradius wird gewählt R K

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1 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 1 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex Für die wird in der Zeichnung ein Radius r S =1 cm gewählt. Die befinde sich im Mittelpunkt einer Lüneburg-Linse, für deren Brechungsindex gilt: n (r)= ( 2 r R K ) 2. Für den Kugelradius wird gewählt R K =10cm, was zehn nradien entspricht. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass die Lichtablenkung nur in der Nähe der (einige nradien Abstand) wirksam ist. Anders gesagt: Ein zu groß gewählter Kugelradius würde zu Ablenkung bereits in großen Abständen führen, was der physikalischen Situation nicht entspricht. Werte des Brechungsindexes: r / cm n(r) 2 1, , , , , , , , ,000 Die Kugel wird in 10 gleichdicke Kugelschalen diskretisiert. Jeder Kugelschale mit den Radien r i und r i - 1 wird der Brechungsindex n(r i ) zugeordnet. Dann kann das Brechungsgesetz in der bekannten Form sin(α ) 1 sin (α 2 ) = n 2 angewendet werden. n 1 Vorgehen bei der Anwendung: Der Einfallswinkel wird gemessen. Dabei wird ein Bildschirmwerkzeug verwendet: MB-Ruler. Das Programm ist frei erhältlich und kann hier heruntergeladen werden: oder direkt beim Hersteller: Der Brechungswinkel a 2 wird nach Brechungsgesetz berechnet: α 2 =arcsin( sin (α 1 ) n 1 n 2).

2 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 2 Die einzelnen Schritte der Berechnung werden in folgender Notation dargestellt: Bereich des Bereich des einfallenden gebrochenen r k Strahls Strahls r l r m n 1 = n(r k ) n 2 = n(r l ) =... a 2 =... Das folgende Beispiel wurde vollständig von Hand berechnet, um den Rechenweg klar hervortreten zu lassen. In dem Beispiel startet ein Lichtstrahl im Punkt (10;0) mit dem Steigungswinkel 45 zur x-achse. Die folgenden Rechenschritte wurden wie beschrieben ausgeführt n 1 = 1 n 2 = 1,091 = 52,2 a 2 = 46, n 1 = 1,091 n 2 = 1,166 = 55,6 a 2 = 50, n 1 = 1,166 n 2 = 1,229 = 61,0 a 2 = 56, n 1 = 1,229 n 2 = 1,281 = 76,0 a 2 = 68,6 ab hier läuft der Strahl wieder nach außen n 1 = 1,281 n 2 = 1,229 = 69,8 a 2 = 78, n 1 = 1,229 n 2 = 1,166 = 57,2 a 2 = 60, n 1 = 1,166 n 2 = 1,091 = 46,9 a 2 = 51, n 1 = 1,091 n 2 = 1 = 45,0 a 2 = 50,5

3 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 3 Daraus ergibt sich folgender Lichtweg: y n(10) n(9) n(8) n(7) n(6) a a 2 2 a 2 a a 2 1 a 2 n(5) a 2 n(4) a 2 a 2 n(3) n(2) x

4 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 4 Bei der Lüneburg-Linse werden parallel einfallende Strahlen in einem Punkt fokussiert, der dem Berührungspunkt der Wellenfront gegenüber liegt. Daraus ergibt sich hier eine einfache Methode, diesen Punkt zu bestimmen: Zu dem ersten geraden Teilstück zwischen den Kreisen mit r = 10 und r = 9 wird eine Parallele durch den Mittelpunkt der Kreise gezogen. Dort, wo diese Gerade den Kreis mit r = 10 auf der dem Anfangspunkt gegenüberliegenden Seite schneidet, befindet sich der Brennpunkt, in den auch der konstruierte Lichtweg einlaufen muss. Im Beispiel ist diese Gerade in rot eingetragen. Der konstruierte Lichtstrahl trifft den Brennpunkt nicht ganz genau, was auf Diskretisierungsfehler des Modells zurückzuführen ist. Diese Methode erlaubt auch, solche Phantasie-Lichtwege wie den dargestellten schwarzen Weg als unphysikalisch auszuschließen: Tangente im Startpunkt S Parallele zur Tangente im Startpunkt S F S

5 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 5 Der wirkliche Verlauf müsste in F enden freihändig skizziert etwa so: S Tangente im Startpunkt S Parallele zur Tangente im Startpunkt S F

6 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 6 Solche Phantasie-Lichtwege wie auf Seite 4 werden auch von Dieter Grosch verwendet. Auf seiner Homepage findet sich folgende Skizze (die farblichen Hervorhebungen sind von mir eingefügt worden): Damit soll gezeigt werden, dass die scheinbare Verschiebung von Sternpositionen durch Lichtablenkung an der in anderer Reihenfolge auftritt, als es Aufnahmen bei nfinsternissen zeigen. Diese Skizze ist jedoch in mehrfacher Hinsicht falsch. 1. Dieter Grosch behauptet zwar, die Lichtablenkung mit dem Verhalten der Lüneburg-Linse zu beschreiben, doch zeigt ein Vergleich seiner eingezeichneten Lichtwege mit dem Lichtweg auf Seite 3, dass das nicht zutrifft. Weder ist der Brechungsindex der Lüneburg-Linse verwendet worden, noch sind seine Lichtwege gemäß dem Brechungsgesetz konstruiert. 2. Die soll sich am Punkt mit x = 5 und y = 0 befinden. Wie zu erkennen ist, wird die von den eingetragenen Lichtwegen nicht erreicht, und daher wird terrestrisch auch keine verschobene Sternposition registriert. 3. Die verschobenen Sternpositionen ' und ' entstehen durch Tangentenbildung an Punkten x = 5, y > 0 auf den Lichtwegen, die von bzw. ausgehen. Da es sich um nicht terrestrische Beobachtungspunkte handelt, ist ein Vergleich mit terrestrisch angefertigten Aufnahmen sinnlos.

7 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 7 4. Diese Prinzipskizze ist physikalisch unmöglich und falsch. Die Sterne sind in der Größenordnung von 10 bis 100 Lichtjahren von der entfernt, die ist nur 1 AE von der entfernt. Damit ein Stern bei SoFi sichtbar ist, muss sein senkrechter Abstand von der "x-achse" (Verbindungslinie - ) deutlich größer als der nradius sein. Die Lichtablenkung ist ja fast nur in unmittelbarer numgebung - bis etwa 6 nradien - merklich wirksam, und bewirkt bekanntlich nur sehr geringe Ablenkungen. 5..Korrigiert man die Lichtwege dahingehend, dass es sich wirklich um Lichtwege handelt, wie sie sich in einer Lüneburg-Linse einstellen, und die grundsätzlich auch physikalisch möglich sind, dann wird erkennbar, dass selbst bei nicht-terrestrischen Beobachtungspunkten auf den Lichtwegen sich die richtige Reihenfolge verschobener Sternpositionen ergibt: Lichtwege entsprechend BI der Lüneburg-Linse und dem Brechungsgesetz Tangenten an die Lichtwege in den Beobachtungspunkten B1 und B2 nicht-terrestrische Beobachtungspunkte B2 B1

8 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 8 Weitere Korrekturen: 1. Die Voraussetzung Lichtablenkung wie in einer Lüneburg-Kugel ist aufzugeben, da die reale Lichtablenkung an der dadurch nicht richtig beschrieben wird. Dies ist unmittelbar einsichtig: Die Berechnung des Ablenkungswinkels erfolgt unter Verwendung des Brechungsindexes n(r). Der in der ART verwendete Brechungsindex: n(r)= c 0 c(r) = 1 1 2GM führt auf die richtigen Ablenkungswinkel. Der BI der Lüneburg-Linse: n(r)= ( 2 r 2 unterscheidet sich wesentlich von dem in der ART verwendeten BI. Daher kann der L.-Linsen-BI r K ) nicht die richtigen Ablenkungswinkel ergeben. 2. Wenn ein von einem Stern ausgehender Lichtstrahl auf der registriert werden soll, dann ist es selbstverständlich, dass die sich an einer Stelle auf diesem Lichtstrahl befinden muss. Ausgehend von Dieter Groschs Zeichnung: c 0 2 r wird die x-achse mit der auf ihr befindlichen um den Ursprung gedreht:

9 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 9 Bahnebene der 3. Drehen der ganzen Zeichnung ergibt wieder die übliche Ansicht: Bahnebene der

10 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex Der gezeichnete Lichtstrahl, der von ausgeht, trifft die immer noch nicht. Es kann aber natürlich ein von ausgehender Lichtstrahl gewählt werden, der die erreicht: Bahnebene der 5. Zur Bestimmung der scheinbaren Sternpositionen, wie sie auf der registriert werden, werden nun die Tangenten an die Lichtwege gelegt:

11 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 11 ' ' Bahnebene der Es zeigt sich also, dass bei terrestrischer Beobachtung die scheinbaren Sternpositionen ihre relative Position im Vergleich zu den unverschobenen Positionen behalten haben. In Bezug auf die Zeichnung gesprochen: ist oberhalb von, und ' ist ebenfalls oberhalb von ' Daran ändert sich auch nichts, wenn ein halbes Jahr nach einer nfinsternis die Vergleichsaufnahmen angefertigt werden. Für die Darstellung ist nur eine Schwierigkeit zu bedenken: Bei den bisherigen Zeichnungen sind notwendig starke Übertreibungen der Krümmungen und nicht maßstabsgerechte Abstände verwendet worden, damit die Effekte sichtbar gemacht werden können. In der obigen Zeichnung müsste für eine größere Realitätsnähe die Krümmung der Lichtwege deutlich herabgesetzt und auf einen kleinen Bereich in nnähe beschränkt werden. Dies ist in der nächsten Abbildung gemacht worden.

12 Elementare Konstruktion eines Lichtwegs bei ortsabhängigem Brechungsindex 12 Hier lässt sich nun verdeutlichen, dass aufgrund der verschiedenen Stellungen der das von einem Stern kommende Licht, das auf der registriert wird, Bereiche unterschiedlich starken Brechungsindexes durchlaufen muss: Wenn die und die Sterne auf verschiedenen Seiten der stehen (Stellung bei nfinsternis), muss das von den Sternen ausgehende Licht an der vorbei, bevor es auf der registriert wird. Daher wird es im Schwerefeld der sehr schwach, aber noch nachweisbar abgelenkt. Ein halbes Jahr später - wenn die auf der anderen Seite der steht, wo sich auch die Sterne befinden, erreicht das Licht von den Sternen die direkt und muss nicht an der vorbei. Hier wirkt sich die Lichtablenkung praktisch noch nicht aus. In Folge des geradlinigen Verlaufes werden verschiedene Sterne bei der Stellung Stern natürlich auch in der richtigen relativen Stellung zueinander wahrgenommen. ' ' Bahnebene der 1/ 2 Jahr später