Driftgeschwindigkeit und Beweglichkeit

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1 1 Driftgeschwindigkeit und eweglichkeit In vielen Lehrbüchern werden für die egriffe Teilchenstromdichte (Fluss) und Diffusionskoeffizient die synonymen egriffe Driftgeschwindigkeit und eweglichkeit verwendet Dabei ist die Driftgeschwindigkeit die Summe über die Geschwindigkeitsvektoren aller Teilchen Sie hängt über die Teilchendichte (=Konzentration) wie folgt mit dem Fluss J zusammen: (5) J = c v, wobei die eckigen Klammern die erwähnte Mittelung bedeuten Die folgende Skizze erklärt diesen Zusammenhang <v>t ild: Nur Teilchen, die in dem grauen ereich sind, können in der Zeit t diesen ereich durch die rechte Stirnfläche verlassen Die Stirnfläche sei A, dann ist die Zahl der Teilchen N = <v> t A c und der Fluss J=N/(a t)=c <v> Damit ist nach Gl 5 die Driftgeschwindigkeit wie der Fluss proportional zu den treibenden Kräften Dies widerspricht den Gesetzen der Punktmechanik, falls wie im stationären Fall die Driftgeschwindikeit konstant bezüglich der Zeit ist Um diesen Widerspruch aufzuheben wird eine Reibungskraft eingeführt, die die beschleunigende Kraft gerade kompensiert Die eweglichkeit ist definiert als Quotient aus Driftgeschwindigkeit und Kraft X v (53) X Aus den Gl 1, 13, 8 und 5 erhält man dann D (54) = k T Halleffekt Im Magnetfeld (zu unterscheiden von der eweglichkeit ) wirkt auf fließende Ladungen die Lorentzkraft (55) X Lor = e v Im eindimensionalen Fall, in dem <v> nur in Richtung der x-achse zeigt, ergibt sich so eine zusätzliche Kraft in y-richtung und dementsprechend eine Komponente des Teilchenfluss in diese Richtung: Lor De J x De DeEx (56) J y = LX Lor = = k T c k T k T

2 Da die Elektronen, die Probe an den "y-enden" nicht verlassen können, wird ein elektrisches Feld E y und ein Konzentrationsgradient aufgebaut, die der Lorentzkraft entgegen wirken, so dass insgesamt in y-richtung der Strom c DecEy De DeEx (57) J y = D y kt kt kt fließt In Festkörpern sind die Elektronen in der Regel so beweglich, dass sich kein Konzentrationsgradient aufbauen kann, da dieser zu Ladungsüberschüssen oder mangel führt, der von den Elektronen selbst abgeschirmt wird Wir nehmen also an, dass c/ x=0 gilt (in einer exakten ehandlung müsste man die Poissongleichung der Elektrostatik zusätzlich anführen und hätte so eine weitere edingung für E y und c/ x) Für verschwindenden Gradienten gilt im stationären Zustand De (58) Ey = Ex ck T Verweildauer und Sprungrate Die Zeit τ zwischen zwei Schritten eines randon walks ist im Falle der gasartigen ewegung (ideale Gase, Elektronengas) gleich der freien Flugzeit während sie sich bei einem Sprung im Festkörper aus der Verweilzeit in der Gleichgewichtslage plus der eigentlichen Sprungzeit zusammensetzt Letztere ist in der Regel gegen die Verweilzeit zu vernachlässigen Die folgende eziehung zu Sprungrate ist trivial 1 (59) Γ = τ Das elektrochemische Potential ei geladenen Teilchen wird der Gradient des chemischen Potentials und der Gradient des elektrischen Potentials oftmals vereinfachend zum Gradienten des elektrochemischen Potentials η zusammengefasst, das wie folgt definiert ist: (60) η = µ + Zeφ (wobei Ze wiederum die elektrische Ladung bedeutet) Elektromigration Als eispiel für Kreuzterme (L ik mit i k, s Gl 13) werden in der irreversiblen Thermodynamik oftmals die thermoelektrischen Effekte angeführt, wo ein Temperaturgradient nicht nur einen Wärmestrom sondern auch einen Elektronenstrom hervorruft und umgekehrt der Fluss von Elektronen einen Wärmestrom ergibt (Thompson-, Seebeck- und Peltiereffekt) Hier soll ein eispiel aus der Anwendung integrierter Schaltkreise behandelt werden, wo der Ausfall von Prozessoren oder Speicher-Chips zu einem hohen Prozentsatz durch Elektromigration verursacht wird Dabei verursacht der Strom der Elektronen in den metallischen Leiterbahnen des Schaltkreises einen Strom von Metallatomen Da wo Metallatome verstärkt abtransportiert werden entstehen Löcher, die falls sie sich über die ganze Leiterbahn erstrecken, den elektrischen Strom unterbrechen Ein verstärkter Antransport von Metallatomen, kann zu einem Kurzschluss mit einer benachbarten Leiterbahn führen Die verwendeten Metalle sind Aluminium und Kupfer

3 3 Au-Kontakt Au-Kontakt e-strom h b "pad" Hügelbildung Al-Strom Löcherbildung h 0,1 µm und b 1µm ild: Schematische Zeichnung einer Al-Leiterbahn in einem hochintegrierten Schaltkreis ei Strömen von 1 ma ergeben sich Stromdichten von 10 6 A/cm Fließt durch die Leiterbahn ein elektrischer Strom, dh liegt ein elektrisches Feld E an, so gilt für Elektronen- und Aluminiumstrom ei (61) Je = Lee ηe + LeA η A = A (6) J A = LAe ηe + LAA η A I=Stromstärke, A=Leiterbahnquerschnitt In reinen Al-Leiterbahnen kann kein Konzentrationsgradient auftreten ( η Α =Z A e φ) und vernachlässigen wir wiederum den Konzentrationsgradienten der Elektronen ( η e =-e φ), so gilt wegen L ea =L Ae LeA ei (63) J A = + LeAZ Ae φ + LAAZ A φ Lee A Wegen der hohe Stromdichten, wird der Term, der I enthält ("Elektronenwindterm"), als größter angenommen Inwieweit der "direkte Feldterm (letzter auf der rechten Seite) eine Rolle spielt ist noch nicht eindeutig geklärt An den Enden der Leiterbahn ("pads") verringert sich die Stromdichte I/A, so dass eine Divergenz in J A auftritt Der durch die Divergenz verursachte Mangel bzw Überschuss wird zunächst nicht durch Loch- bzw Hügelbildung kompensiert, sondern führt zu Zug- bzw Druckspannungen So entsteht zusätzlich ein Gradient der mechanischen Spannungen, der der Elektromigration des Al entgegenwirkt und bei kurzen Leiterbahnen sogar die Elektromigration kompensiert Lehrreiche und erbauliche eispiele für Transportphänomene: 1 eschwipstes und systematisches Suchen einer Haustür: Eine Anliegerstrasse wird von der Mitte betreten (s ild) und die zu einem Schlüssel passende Haustür gesucht Die richtige Tür, sei die N-te auf der rechten Seite Insgesamt gäbe es N 0 Häuser Ein etrunkener, der nach jedem Versuch die Richtung vergisst, dh unkorreliert springt, benötigt für den Weg Na bzw -Na (a=abstand der Häuser) die Zeit:

4 4 x x τ N a τ N τ t = = = = D a a Dabei sei τ die Sprungzeit, die im wesentlichen aus der Zeit besteht, die Tür zu öffnen Die Zeit für das Laufen zur nächsten Tür sei dagegen gering Da die Richtung bei dieser Zufallsbewegung nicht festgelegt werden kann, benötigt der etrunkene im Mittel die Zeit t == N τ Ein nüchterner Sucher, der systematisch in eine Richtung geht, benötigt im Falle der ewegung nach rechts die Suchzeit Nτ (hier wird stillschweigend und in unrealistischer Weise angenommen, dass Nüchterner und etrunkener dasselbe τ haben) eginnt er in die linke Richtung, benötigt er die Zeit (N 0 +N)τ, dh im Mittel beträgt die Suchzeit N + ( N0 + N) N0 + N t = τ = τ Fazit: Für den Fall, dass N<1+ (N 0 +1) sollte man die Suche betrunken beginnen a i=-n 0 i=-n i=-1 i=1 i=n i=n 0 Verkehrsdichte auf der Autobahn Auf der einspurigen Autobahn bewegen sich in x-richtung (von Nord nach Süd) Autos mit einer Dichte n(x) und der Geschwindigkeit v(x) Der Zufluss q + (x) und Abfluss q - (x) von Autos sei eine lineare Funktion von x, so dass sich für die hier wesentliche Differenz der folgende Ausdruck ansetzen lässt: x q = q+ ( x) q ( x) = q0 q0, L wobei L die Länge der Autobahn ist Der "Fluss" an Autos ergibt sich nach GL 5 zu J = nv Die Konzentration bzw Dichte n(x) ergibt sich aus dem Abstand a der Autos (s Skizze) und deren Länge s zu 1 n( x) = a( x) + s Um eine maximale Dichte zu erreichen, nehmen wir an, dass der Abstand a gleich dem remsweg der Autos, dh v /b (b=remsbeschleunigung) ist, dann erhält man für den Fluss v J =, v + s b der bei v = (bs) maximal [J max = (b/s)] wird Für b=10 m/s und s= 3 m hat J bei der Geschwindigkeit von ca 30 km/h einen maximalen Wert Falls man beim remsweg noch

5 5 eine Schrecksekunde mitberücksichtigt, wird zwar der maximale Fluss kleiner, aber die zugehörige Geschwindigkeit bleibt die gleiche Der Effekt von Zu- und Abfahrten wird durch kontinuierlich verteilte Quellen und Senken der Stärke q(x) berücksichtigt Aus der Kontinuitätsgleichung (Gln 17, 9) erhält man dann schließlich n J = + q t x ei bestimmten Anfangs- und Randbedingungen lässt sich daraus die zeitliche Entwicklung des Verkehrsflusses berechnen Wir betrachten den einfacheren Fall des stationären Zustandes mit n/ t=0 x Nord Süd q + (x) q -(x) Dann gilt dj d nv x q x q q dx = ( ) ( ) 0 0 dx = = l und Integration führt zu q x nv x = q x L Mit den Randbedingungen ( 0) = J ( L) = q W, J 0 s a wobei W der Abstand der Auffahrten ist, erhält man eine Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v 0 von b b v0 = + bs q W ( q W ) 0 0 Keine Lösung, falls Wq 0 > (b/s), dh das Verkehrsaufkommen kann nicht bewältigt werden ei der weiteren Diskussion ist zu berücksichtigen, dass J mit steigendem x zunächst zu und dann abnimmt Andererseits kann J nie größer als J max werden 3 Random walk mit einer Verteilung von Sprungzeiten Ein Student muss auf dem Weg zu seiner Freundin an mehreren Wirtshäusern vorbei Der Weg wird umso schneller zurückgelegt, je größer die Gesamtzahl der Gäste ist

6 6 Annahme: Je nach Qualität der Gaststätte und Position des Sitz- bzw Stehplatzes (am zugigen Fenster, in der Nähe der Heizung oder Theke) ist die Verweilzeit pro Platz unterschiedlich ei hoher elegungsdichte (großer Gesamtzahl an Gästen) sind die "guten" Plätze, also solche mit langer Verweilzeit, bevorzugt besetzt und für die "diffusive" ewegung durch die Wirtshäuser können nur Plätze mit kleineren Verweilzeiten belegt werden Das erhöht die Platzwechselfrequenz und damit den Diffusionskoeffizienten, so dass die für den festen Weg erforderliche Diffusionszeit im Mittel erniedrigt wird pub 1 pub pub 3 site 1 (empty) site (occupied) Nach demselben Prinzip kann erklärt werden, warum in amorphem Materialien die Diffusion kleiner Teilchen mit Zunahme ihrer Konzentration schneller wird In einem amorphem Material sind die atomaren oder molekularen austeine nicht regelmäßig angeordnet, so dass die Räume dazwischen, in denen kleine Fremd-Atome oder -Moleküle Platz finden, unterschiedlich bezüglich der chemischen Umgebung und der Atomabstände ausfallen Damit variiert die Verweildauer der kleinen Teilchen von Platz zu Platz und der Diffusionskoeffizient nimmt mit steigender Konzentration zu (s eispiele in der folgenden Abbildung) diffusion coefficient (cm /s) H in a-pd 83 Si 17 amorphous crystalline concentration (H/Pd) Diffusionskoeffizient von H-Atomen in einer amorphen Pd-Si-Legierung (offene Kreise) und in der gleichen Legierung nach deren Kristallisation (im Kristallgitter sind alle Zwischengitterplätze, die H-Atome belegen, gleich und die Atome diffundieren unabhängig von der Konzentration über die gleichen Plätze κ x diffusion coefficient (cm /s) CH 4 in Kapton (κ= ) CO in PA-PC (κ= ) Acetone in PA-PC (κ=1) CO in Kapton (κ= ) concentration (cm 3 gas or vapor/cm 3 polymer) Diffusionskoeffizient verschiedener Moleküle in amorphen Polymeren Auch hier nimmt der Diffusionskoeffizient mit steigender Konzentration zu Unter der Annahme einer vernünftigen Verteilung von Verweilzeiten, lässt sich der funktionale Zusammenhang (durchgezogene Kurven) berechnen