Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Ulrich Krengel Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 8., erweiterte Auflage vieweg

2 vn Inhaltsverzeichnis Kapitel I Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 1 1 Modelle für Zufallsexperimente, Abzählmethoden Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Einfache Urnenmodelle Anwendungsbeispiele Die hypergeometrische Verteilung Vereinigungen von Ereignissen Multinomialkoeffizienten Runs* Einfache Identitäten für Binomialkoeffizienten.15 Anhang* 17 Aufgaben 19 2 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Definition und Eigenschaften bedingter Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit Produktexperimente Einige Verteilungen für Produktexperimente Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsräumen aus bedingten Wahrscheinlichkeiten Austauschbare Verteilungen* Genetische Modelle* Bedingte Wahrscheinlichkeit und Scheinkorrelation* 37 Anmerkungen* 39 Aufgaben 40 3 Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz Verteilungen von Zufallsvariablen Unabhängigkeit Erwartungswerte Das Rechnen mit Indikatorfunktionen Varianz und Kovarianz Das schwache Gesetz der großen Zahlen 56 Aufgaben 58 4 Grundbegriffe der Schätztheorie Der allgemeine Rahmen von Schätzproblemen Maximum-Likelihood-Schätzer Erwartungstreue Der mittlere quadratische Fehler 65

3 viii Inhaltsverzeichnis 4.5 Die Informationsungleichung* Konsistenz* Konfidenzintervalle 69 Aufgaben ' 74 5 Approximationen der Binomialverteilung Approximation von n\ und ö p (fc) Der Satz von de Moivre-Laplace Anwendungen Die Poisson-Approximation 85 Anhang 89 Aufgaben 90 6 Tests Beispiel der tea tasting Lady" Grundbegriffe der Testtheorie Mehr zur tea tasting Lady" Ein verfeinertes Modell für den Tee-Test* Beispiel des Testens der Existenz von außersinnlicher Wahrnehmung* Eine Erweiterung des Testbegriffs: Randomisierte Tests Tests einfacher Hypothesen gegen einfache Alternativen Anwendung auf zusammengesetzte Alternativen Allgemeine Hinweise zur Testtheorie p-werte* 104 Aufgaben Erzeugende Funktionen* 107 Verzweigungsprozesse 111 Aufgaben Entropie und Codierung* Der Quellen-Codierungssatz Anwendung auf mehrstufige Zufallsexperimente 117 Aufgaben Laufzeitanalysen von rekursiven Algorithmen* 120 Aufgaben 126 Kapitel II Allgemeine Modelle Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten er-algebren und allgemeine Wahrscheinlichkeitsmaße Beispiele von Verteilungen mit Dichten 130 Anhang* 135 Aufgaben 137

4 Inhaltsverzeichnis 111 Zufallsvariable und ihre Momente Messbare Funktionen Verteilungen von Zufallsvariablen Unabhängigkeit Erwartungswerte Mehrdimensionale Dichtetransformation und Normalverteilung* Aufgaben Grenzwertsätze* Das starke Gesetz der großen Zahlen Normale Zahlen* Der Zentrale Grenzwertsatz 157 Anhang 161 Aufgaben 162 j 13 Schätzverfahren und Fehlerrechnung Maximum-Likelihood-Schätzungen bei Dichten Konfidenzintervalle Das Fehlerfortpflanzungsgesetz* Die Methode der kleinsten Quadrate Mediän, Ausreißer und Robuste Schätzer* 169 Anhang* 171 Aufgaben 173 j 14 Einige wichtige Testverfahren Der t-test Einfache Varianzanalyse* x 2 -Tests Nichtparametrische Tests 186 Anhang 191 Aufgaben 193 Kapitel III Markowsche Ketten Die markowsche Eigenschaft Definition und Beispiele Einfache Folgerungen aus der markowschen Eigenschaft Stationäre Übergangswahrscheinlichkeiten Absorptionswahrscheinlichkeiten Absorptionsverteilungen* 200 Aufgaben Das Verhalten markowscher Ketten in langen Zeiträumen Ketten mit endlich vielen Zuständen Kommunizierende Zustände und Periodizität 207

5 Inhaltsverzeichnis 16.3 Rekurrenz und Transienz 209 Anhang 214 Aufgaben Der Erneuerungssatz Die Erneuerungsgleichung Anwendung auf Übergangswahrscheinlichkeiten Bestimmung der mu 222 Aufgaben Der Poisson-Prozess Charakterisierung des Poisson-Prozesses Sprungzeiten beim Poisson-Prozess* 229 Aufgaben 231 Hinweise zum Weiterlesen 233 Lösungen der mit (L) gekennzeichneten Aufgaben 235 Literaturverzeichnis 242 Tabellen 246 Symbolverzeichnis 251 Namen- und Sachwortverzeichnis 252