Zahlenrätsel/Zahlenmuster

Transkript

1 Zahlenrätsel/Zahlenmuster Vorhersagen einer Summe Lassen Sie jemanden eine vierstellige Zahl aufschreiben. Es werden nun abwechselnd jeweils 2 vierstellige Zahlen darunter geschrieben. Der Spieler/die Spielerin beginnt eine Zahl unter die eben ausgedachte zu schreiben, anschließend sind Sie an der Reihe. Bevor diese Zahlen aber aufgeschrieben werden, wissen Sie bereits das Ergebnis der Summe der fünf Zahlen. Vollziehen Sie folgendes Beispiel genau nach und versuchen Sie herauszufinden, warum Sie bereits nach der ersten Zahl die Summe kennen und wie Sie auf die dritte und vierte Zahl kommen. SpielerIn: 3845 vorhergesagte Summe: Zahl (SpielerIn): Zahl (Sie): Zahl (SpielerIn): Zahl (Sie): 6320 Summe: Lösung: In dem oben vorgeführten Beispiel ist die erste Ziffer der vorhergesagten Summe eine 2. Das bedeutet: Es müssen zwei Zahlenpaare, deren Ziffern sich zu 9 addieren, genommen werden, man muss also insgesamt fünf Zahlen addieren. Trick: Da zweimal 9999 addiert wird, weiß man bereits nach der ersten Zahl das Endergbnis. Trick: addieren und 2 abziehen! Natürlich gibt es viele Varianten, um diesen Trick auszuführen. Es können beispielsweise mehrere Zahlen addiert werden oder der Spieler selbst schreibt die Summe auf und Sie schreiben die erste Zahl zum Addieren an oder. Zahlensummen Summe von 1 bis 10 = 55 Summe von 1 bis 100 = 5050 Können Sie nach diesem Muster die Summe der Zahlen 1 bis 1000 bzw. 1 bis angeben? Begründen Sie Entstehung des Musters. Lösung: Summe von 1 bis 1000 = Summe von 1 bis = Summe von 1 bis n: S=(n+ 1) n 2 n=10 a n 2 =5 10a 1 mit a N (10 a + 1) 5 10 a 1 = (a 1) a 1 1

2 Palindromzahlen oder Das 196er Problem Das Wort Palindrome stammt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie rückwärts laufend. Meist sind hier Wörter oder Sätze gemeint, die von vorne und hinten gelesen gleich bleiben (z.b. Rentner, Anna, Otto, Lagerregal, Trug Tim eine so helle Hose nie mit Gurt?). Neben Palindromen von Wörtern gibt es auch Zahlenpalindrome. Egal, ob vorwärts oder rückwärts gelesen, die Zahlen haben den gleichen Wert (z.b. 2442). Ein besonderes Phänomen ist, dass sich aus beliebigen positiven ganzen Zahlen oft durch ein einfaches Verfahren Palindrome erzeugen lassen. Eine Zahl wird dabei mit der Zahl in umgekehrter Reihenfolge addiert. Ist die entstehende Summe (=Zahl1) ein Palindrom, dann ist man fertig, wenn nicht, dann wird zu Zahl1 die Zahl1 in umgekehrter Reihenfolge addiert, usw. Beispiele: = 143 kein Palindrom = = 484 Palindrom = ( 5 Zwischenschritte...) = Funktioniert dies immer? Das 196er-Problem wird so genannt, weil 196 die kleinste Zahl ist, mit der es noch nicht gelungen ist, ein Palindrom zu erzeugen. Jedoch gibt es auch keinen Beweis dafür, dass nie ein Palindrom mit dieser Zahl entstehen wird. Der Rekord lag im Februar 2002 (übrigens die einzige palindromische Jahreszahl in unserem Jahrhundert) bei 67 Millionen Umkehrungen und einer Zahl mit über 28 Millionen Stellen. Im Jänner 2003 lag man bei einer Zahl mit 100 Millionen Ziffern. Vieles spricht dafür, dass es für die 196 schlicht kein Palindrom gibt. Bisher fehlt jedoch der mathematische Beweis. Bemerkung: Wenn man die Zahlen bis untersucht, dann stellt man fest, dass es zwar 246 Zahlen gibt (das sind allerdings nicht einmal 2,5%), die sich hartnäckig widersetzen (196, 295, 394, 493, 592, 689, 691,...), bei allen anderen Zahlen stellt sich der Erfolg sehr schnell ein (die 89 ist da schon eine Ausnahme (24 Umkehrungen), keine der anderen "erfolgreichen" Zahlen bis braucht mehr als 24 Schritte bis zum Erfolg). Es drängt sich also die These auf: Entweder es funktioniert relativ schnell oder gar nicht. Aber jenseits der gibt es schließlich doch Zahlen, die sich erst sehr hartnäckig widersetzen und dann doch ein sehr langes Palindrom liefern (z.b. wird aus erst nach 55 Umkehrungen: ). Im Jahr 2005 fand Jason Doucette heraus, dass die Zahl nach 261 Umkehrungen zum 119-stelligen Palindrom führt. (Hier kann dies mit einem Script einfach und schnell nachvollzogen werden: (Stand: August 2015)) 2

3 Sommergewitter (Eugen Jost) Nehmen Sie irgendeine Zahl. Wenn sie gerade ist, halbieren Sie sie. Wenn sie ungerade ist, multiplizieren Sie sie mit drei, und geben Sie eins dazu. Und dann machen Sie das mit dem, was Sie herausbekommen haben, wieder und wieder und wieder. Fällt Ihnen etwas auf? Beispiel: Wir starten mit der Zahl : 2 = = : 2 = = : 2 = : 2 = = : 2 = = : 2 = 26 usw. Wieso ist das immer so? Rudolf Taschner: Das Problem ist noch offen und sehr schwer zu behandeln. Es ist natürlich völlig sinnlos, aber es ist ärgerlich, dass wir es nicht lösen können. Immer wieder 4 Denken Sie sich eine Zahl aus. Schreiben Sie diese Zahl in Worten. Zählen Sie die Anzahl der Buchstaben und notieren Sie diese Zahl. Schreiben Sie nun diese Zahl in Worten. Zählen Sie anschließend wieder die Buchstaben und notieren Sie die Anzahl der Buchstaben. Wiederholen Sie diese Schritte (Zahl in Worten schreiben Buchstaben zählen diese Zahl in Worten schreiben Buchstaben zählen ) solange, bis Sie fertig sind. Fertig? Sie werden schon sehen, was ich damit meine! 3

4 Der Zahlensack des Méziriac Bereits im Jahr 1612 errechnete Bachet de Méziriac die Gewinnposition eines einfachen kombinatorischen Spiels. Der Zahlensack des Méziriac Es hält der Sieur de Méziriac Für Euch bereit den Zahlensack: Greift mit Bedacht die erste Zahl; Von 1 bis 10 habt Ihr die Wahl. Danach fügt Méziriac im Nu Zu Eurer seine Zahl hinzu. Und, wechselweise, ernst und heiter Klettert man hoch die Zahlenleiter. Doch seid beim Kraxeln auf der Hut Und wählet klug und wählet gut! Gewinn sich fröhlich jedem zeigt, Der erstmals auf die 100 steigt. Zwei Gegner fügen abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 10 der allseits bekannten Zwischensumme hinzu. Das Spiel beginnt bei 0 und es endet für denjenigen Spieler siegreich, der als Erster die Gesamtsumme 100 erreicht. Lösung: Méziriacs Lösung des Zahlensack-Problems verwendet implizit das erst später entwickelte Verfahren der Rückwärtsrechnung, um die magischen Zahlen abzuleiten, die jeweils dem ersten (oder dem zweiten) Spieler einen sicheren Gewinn zugestehen. Anhand einer einfachen Überlegung lassen sich diese Strategien leicht entwerfen. Es gewinnt nämlich stets derjenige Spieler, der als Erster die 100 erreicht. Um den eigenen Gewinn abzusichern, müsste somit ein Spieler bei seiner vorletzten Zahlenwahl nur die Zahl 89 erreichen, um seinem Gegenspieler in dessen letztem Zug maximal das Erreichen der 99 zu ermöglichen. Diese siegreiche vorletzte Zahlenwahl ist jedoch nur dann nicht zu verhindern, wenn der Spieler bei seiner i-ten Zahlenwahl zuvor jeweils die Zwischensumme (i-1)*10+i, falls er der erste Spieler ist, oder i *11+1, ansonsten, bilden kann. Falls nun beide Spieler dies nachvollziehen können, steht bereits zu Spielbeginn der Sieger fest: es ist derjenige Spieler, der die erste Zahl nennt. Er wählt die 1 und hat das Spiel bereits zu seinen Gunsten entschieden. 4

5 Drei Stellen und mehr Wählen Sie eine beliebige dreistellige Zahl sagen wir 123. Nun schreiben Sie diese drei Ziffern noch einmal daneben, so dass Sie eine sechsstellige Zahl erhalten; 123 wird also zu Nun teilen Sie diese durch 7, dann durch 11 und schließlich durch 13, und ich sage Ihnen voraus, dass Sie bei der dreistelligen Zahl landen, von der Sie ausgegangen waren. Das geht mit jeder dreistelligen Zahl. Können Sie sagen, warum? Funktioniert der Trick auch mit einer vierstelligen Zahl? Wenn ja, durch welche Zahlen müsste man dann dividieren? Lösung: = 1001 Multipliziert man eine dreistellige Zahl abc mit 1001, so ergibt das immer abcabc. Mit vierstelligen Zahlen abcd muss man mit der Zahl multiplizieren, um abcdabcd zu erhalten. Man muss durch 73 und 137 dividieren, da = Wie alt sind Sie? Methode 1: Sie wollen es mir nicht sagen? Na gut, nennen Sie mir einfach das Ergebnis folgender kleinen Rechnung: Multiplizieren Sie Ihr Alter mit 10. Davon ziehen Sie irgendeine einstellige Zahl neunmal ab. Sagen Sie mir das Ergebnis.... Jetzt weiß ich, wie alt Sie sind. Wie funktioniert der Trick? Funktioniert der Trick bei jeder Person? Lösung: A Alter; Z einstellige Zahl A 10 9 Z = A Z + Z = (A Z) 10 + Z Der letzte Schritt des Tricks besteht darin, die Ziffer ganz rechts (Z) zu den anderen beiden zu addieren, die nun zu Zehnern und Einern, statt Hunderten und Zehnern werden! Vorsicht: Die Person muss älter als 9 Jahre sein! Methode 2: Um das Alter von jemanden zu ermitteln, lasse ihn einfach folgende Rechnung durchführen: Multipliziere dein Alter mit 2. Addiere 5 hinzu und multipliziere die Summe mit 5. Nenne mir nun das Ergebnis. Streiche nun die letzte Ziffer des Ergebnisses weg und ziehe vom Rest 2 ab. Jetzt hast du das Alter der Person. Begründe die Vorgehensweise! Lösung: A Alter (A 2 + 5) 5 = 10 A + 25 letzte Ziffer wegstreichen A abziehen A 5

6 Erraten des Geburtstages Wenn Sie den Geburtstag eines Freundes nicht kennen, können Sie ihm folgende Aufgabe stellen: Verdopple die Tageszahl deines Geburtstages und addiere 5 dazu. Multipliziere das Ergebnis mit 50 und addiere dazu die Monatszahl. Lassen Sie sich das Ergebnis nennen. Finden Sie heraus, wie Sie nun auf den richtigen Tag und das richtige Monat kommen. Lösung: (T 2 + 5) 50 + M = 100 T M 250 abziehen 100 T + M die letzten beiden Stellen zeigen das Monat und die restlichen Stellen den gesuchten Tag Zahlen erraten Ich schreibe eine Zahl auf einen Zettel und drehe ihn um, sodass Sie nicht wissen, welche Zahl dort steht. Nun schreiben Sie eine beliebige ganze Zahl auf. Addieren Sie 5. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 18. Subtrahieren Sie davon das Dreifache der zuerst gewählten Zahl. Dividieren Sie das letzte Ergebnis durch 15! Subtrahieren Sie noch Ihre gedachte Zahl! Ihre soeben errechnete Zahl stimmt mit meiner auf dem umgedrehten Zettel überein! Warum? Welche Zahl steht auf meinem Zettel? Lösung: ((((x + 5) 18) 3 x) : 15) x = ((18x x) : 15) x = x + 6 x = 6 Blitzrechnen Bitten Sie einen Freund, zwei beliebige Zahlen - sagen wir 2 und 5 - untereinander zu schreiben. 2 5 Er darf sie Ihnen jedoch nicht zeigen. Nun addiert er die beiden Zahlen und schreibt die Summe 7 darunter. Jetzt werden die unteren zwei Zahlen addiert und ihre Summe 12 darunter geschrieben. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis 10 Zahlen da stehen Nun bitten Sie darum, einen kurzen Blick auf die Liste werfen zu dürfen. Dann wenden Sie sich schnell wieder ab. Sie bitten den Freund, die zehn Zahlen zu addieren. Bevor er fertig ist, haben Sie längst die Summe genannt:

7 Sie haben sich die vierte Zahl von unten - in diesem Fall also 50 - gemerkt. Diese multiplizieren Sie mit 11. Fertig! Wieso funktioniert das? Lösung: Z1 erste Zahl; Z2 zweite Zahl Häufigkeit der Häufigkeit der Ergebnis ersten Zahl Z1 zweiten Zahl Z Z Z Z1+Z Z2+(Z1+Z2)=Z1+2*Z (Z1+Z2)+(Z1+2*Z2)=2*Z1+3*Z (Z1+2*Z2)+(2*Z1+3*Z2)=3*Z1+5*Z (2*Z1+3*Z2)+(3*Z1+5*Z2)=5*Z1+8*Z (3*Z1+5*Z2)+(5*Z1+8*Z2)=8*Z1+13*Z (5*Z1+8*Z2)+(8*Z1+13*Z2)=13*Z1+21*Z (8*Z1+13*Z2)+(13*Z1+21*Z2)=21*Z1+34*Z2 Summe 55*Z1 + 88*Z2 = 11*(5*Z1+8*Z2) der Summe = 11*(Ergebnis aus Zeile 7) Zahlen 7

8 Überraschendes Entfernung Zwei Personen sind voneinander 50 m entfernt und halten die Enden eines 51 m langen Seils. Ein Dritter hebt das Seil in der Mitte so weit hoch, dass es straff gespannt ist. Kann er durchschlüpfen? Lösung: Satz des Pythagoras: h² =(25+ 0,5) =25,25 h=5,02 m Wo steckt der Fehler? A: 20 = 20 B: a = b a = a² = ab + a² 2ab ,25 = ,25 a² + a² 2ab = ab + a² - 2ab (4 4,5)² = (5 4,5)² 2 (a² ab) = a² ab : (a² ab) 4 4,5 = 5 4,5 2 = 1 4 = 5 C: Behauptung: = -1 D: Behauptung: 1 ist die größte reelle Zahl. Beweis: = S Beweis: ind. angenommen: ( ) = S Es gibt eine andere größte Zahl y. Also: S = S dh. 1 < y y > 0 S = -1 y < y² Wid., da y² größer als y ist 1 ist die größte reelle Zahl Lösung: A: Aus a 2 = b 2 kann man also nicht schließen, dass a = b gelten müsste; es könnte auch a = b gelten. B: a = b Division durch 0, da a² ab = 0. C: Reihe konvergiert nicht! D: Negation der Behauptung ist falsch! Vorsicht beim indirekten Beweis. 8

9 Rucksackproblem Behauptung: n beliebige SchülerInnen haben den gleichen Schulrucksack. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang n=1: Für eine Schülerin/einen Schüler ist die Behauptung offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Als Induktionsvoraussetzung wählt man als beliebige Zahl k die Zahl 3. Die Induktionsbehauptung für k+1 ist demnach, dass 4 SchülerInnen denselben Rucksack besitzen. Die SchülerInnen S 1, S 2 und S 3 haben nach Voraussetzung denselben Rucksack. Auch für die SchülerInnen S 2, S 3 und S 4 trifft dies aufgrund der Induktionsvoraussetzung zu. Demnach haben also alle vier SchülerInnen denselben Rucksack. Der Übergang von 4 auf 5 Rucksäcken ist mit diesem System auch leicht nachvollziehbar und somit auch für jeden beliebigen Übergang von n auf n+1. Lösung: Von dem Übergang von 3 auf 4 ausgehend ist der allgemeine Übergang von n auf n+1 für (fast) alle natürlichen Zahlen anwendbar; er versagt aber logischerweise beim Übergang von 1 auf 2. Hier lässt sich das oben benutzte Gedankenexperiment nicht anwenden. Daher sind die Kriterien für eine vollständige Induktion nicht erfüllt. Es wurde mittels einer (scheinbaren) vollständigen Induktion eine Falschaussage gemacht! Wo steckt der fehlende Euro? Drei Kinder wollen sich einen Ball kaufen. Der Ball kostet 30. Jeder der drei Kinder zahlt 10. Nach 5 Minuten stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25 kostet. Er gibt dem Lehrling 5 und sagt er soll diese 5 den dreien zurückgeben. Der Lehrling denkt sich: 5 geteilt durch drei ist schlecht zu bewerkstelligen. Er gibt daraufhin jedem der drei jeweils 1 zurück und 2 behält er für sich. Nun hat jedes Kind nur 9 bezahlt. Das heißt aber: 3 x 9 = die der Lehrling hat, sind 29. Wo ist der fehlende Euro? Lösung: Es gibt natürlich kein Problem! Es sind nur die Worte, die aufs Glatteis führen. 27 und 2 zu addieren ist völlig bedeutungslos x 1 = 27 Euro 27-2 die er behält = 25 Preis für den Ball! oder 3 x 9 = = 25 Preis für den Ball! 9

10 Fußballfeld Ein Fußballfeld ist normalerweise 105 m lang und 68 m breit. Der Umfang des Feldes, einmal außen herum, beträgt also 346 m. Jetzt nehmen wir ein Seil, das genau 347 m lang ist, also genau einen Meter länger als der Umfang des Spielfeldes. Dieses Seil legen wir um das Spielfeld herum. Ganz ordentlich, so dass es überall den gleichen Abstand vom Spielfeld hat. Das Seil bildet also auch ein Rechteck, das ein bisschen größer als das Spielfeld ist. Es hat oben und unten, rechts und links den gleichen Abstand zum Spielfeld. Wie groß ist dieser Abstand? Passt in den Rand zwischen Spielfeld und Seil eine Trillerpfeife? Eine weitere Begrenzungslinie? Oder ein Fußballschuh? Lösung: Der größte Teil des Seils liegt parallel zu den ursprünglichen Kanten des Feldes. Hierfür werden 346 m des Seils benötigt. Nur ein einziger Meter des Seils kann für die Erweiterungen an den Ecken benutzt werden. Der zusätzliche Meter des Seils wird somit auf acht gleich lange Stücke (je 12,5 cm) aufgeteilt. Äquatoraufgabe Ein Seil wird straff um den Äquator (ca km Länge) gespannt und anschließend um 1 Meter verlängert. Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es überall gleichmäßig und gleichzeitig hochzieht? Der gleiche Sachverhalt - nur wird das Seil jetzt nicht um die Erde gespannt, sondern um einen Medizinball, der einen Umfang von 2 Metern hat. Wie weit steht das Seil in diesem Fall ab? Lösung: U Erde (r)=2 r π 2(r+ x)π=2r π+1 U neu (r)=2r π+1 x= 1 2 π =0,159m=15,9cm In beiden Fällen ist die Lösung 15,9 cm. Das Ergebnis hängt also nicht vom Radius ab! 10

11 Teile und Staple Folgendes Rätsel führt die Macht des Verdoppelns vor Augen. Nehmen Sie ein Blatt Papier und reißen Sie es mittendurch. Legen Sie die beiden Hälften aufeinander und zerreißen Sie sie in vier Stücke. Legen Sie diese wieder aufeinander und zerreißen sie in nunmehr acht Stücke. Noch einmal dasselbe, und Sie haben 16 Stücke. Tun Sie das 42 mal. Das können Sie natürlich nicht, wie Sie bald feststellen werden. Wie hoch wäre der Stapel, wenn Sie es könnten? So hoch wie ein Tisch? Wie ein Haus? Wie ein Wolkenkratzer? Bis zur Sonne? Wie nehmen an, dass ein Blatt einen Zehntelmillimeter dick ist, ein Stapel von 100 Blatt also einen Zentimeter dick. Lösung: Fast bis zum Mond! (Der Mond ist von der Erde rund km entfernt.) 2 42 / = km 11