Mathematik: spannend - abwechslungsreich nachvollziehbar! Wie wecke und fördere ich das Interesse bei Schüler/innen?

Transkript

1 Mathematik: spannend - abwechslungsreich nachvollziehbar! Wie wecke und fördere ich das Interesse bei Schüler/innen?

2 Sandra Reichenberger Gymnasium Dachsberg ( Universität Linz: Institut für Didaktik der Mathematik ( Unterlagen 2

3 Was erwartet Sie heute? Was ist Interesse? Fermi-Aufgaben Unterhaltungsmathematik Kopfgeometrie Optische Täuschungen Falten/Flechten Mathematische Spiele und alternative Rechenmethoden 3

4 Wer bekommt die letzte Praline? 4

5 Wer bekommt die letzte Praline? 5

6 Interesse Was ist das? Neugier Biologisches Grundbedürfnis Interesse zentraler Begriff in der Pädagogischen Psychologie zentrale motivationale Komponente einflussreicher Bedingungsfaktor des Lernens verbindet Entwicklung, Lernen, Erziehung Ziel: Von Neugier zu Interesse gelangen 6

7 Interesse Definitionen [...] Bezeichnung für die Tendenz, bestimmte Gegenstände, Ereignisse, Sachverhalte usw. der Umwelt besonders zu beachten und ihnen gegenüber gesteigerte emotionale Anteilnahme zu zeigen, weil sie einen subjektiven Wert darstellen. Interessen werden erworben, sind relativ konstant und können Motive des Handelns werden. [...] [Grüner, Georg und Kahl: Kleines Berufspädagogisches Lexikon] [...] (lat. inter esse dazwischen sein), das Beachten eines Gegenstandes, dem ein subjektiver Wert zugeschrieben wird und der eine (theoretische oder praktische) Bedeutung für unsere Bedürfnisse hat. Es ist relativ konstant, erworben und kann als Motiv des Handelns Bedeutung bekommen. [...] [Häcker H.O./Stapf K.-H] [...] Eine besondere, durch bestimmte Merkmale herausgehobene Beziehung einer Person zu einem Gegenstand. [...] [Prenzel, Krapp, Schiefele] 7

8 Interessensgenese Entwicklung und Veränderung von Interesse Situationales Interesse: konkrete Handlungssituation Person Situationsfaktoren Individuelles Interesse: dauerhafter Person-Gegenstands-Bezug entwickelt sich aus situationalem Interesse 8

9 Situationales Interesse catch -Komponente Interesse einfangen; Aufmerksamkeit Überraschungs oder Diskrepanzerlebnisse hold -Komponente Aufrechterhalten Motivationaler Anreiz Positive Erlebnisqualität Lerninhalt persönlich sinnvoll 9

10 Interessensgenese Entwicklung und Veränderung von Interesse Andreas Krapp,

11 Vom situationalen zum individuellen Interesse komplexer mehrstufiger Prozess Gegenstand wird als sinnvoll angesehen Gegenstand wird als bedeutsam eingeschätzt Emotionale Erlebnisqualität: Kompetenz Autonomie Soziale Einbindung 11

12 Steigerung der Motivation Fragt man SchülerInnen, unter welchen Bedingungen sie gut lernen, verstehen und behalten, dann kommen oft Antworten wie: bei einem interessanten Thema bzw. Stoff bei interessantem Unterricht Lerninhalte äußere Bedingungen: Lernaktivitäten, Materialien, Medien, Lernumgebung 12

13 Fermi Aufgaben Statt die Kinder zu Rechen-Robotern, zu Auto-Mathen auszubilden, sollten wir sie als Konstrukteure ihres eigenen Wissens anerkennen, ihnen das Recht auf eigenes Denken zugestehen. [Stella Baruk] Enrico Fermi geboren (Rom) gestorben (Chicago) Jeder vernünftig denkende Mensch muss zu jeder Frage eine Antwort finden! 17

14 Fermi Aufgaben Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? Einwohner Chicagos: ca. 3 Millionen Durchschnittsfamilie besteht aus vier Personen ein Drittel aller Familien besitzt ein Klavier Klaviere in Chicago jedes Klavier wird alle 10 Jahre gestimmt Stimmungen pro Jahr Klavierstimmer: 4 Stimmungen pro Tag (250 Arbeitstage) 1000 Stimmungen pro Jahr pro Klavierstimmer 25 Klavierstimmer in Chicago 18

15 Fermi Aufgaben Fermi-Aufgaben... sind realitätsbezogen, sind zugänglich, sind herausfordernd, sind offen, fördern die Problemlösekompetenz, fördern den Modellierungsprozess, fördern das Weiterfragen und das Interesse an der Mathematik, fördern selbstgesteuertes und problemlösendes Lernen, fördern das Kommunizieren und Argumentieren, fördern das Schätzen, Überschlagen und Runden, erfordern Vergleichen und Überprüfen, erfordern kritisches Denken, lassen funktionale Zusammenhänge erkennen, 19

16 Fermi Aufgaben Allgemeine strategische Hilfen: (Büchter, Leuders: Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelson Scriptor, 2005.) Suchen Sie alle Daten zusammen, die mit dem Problem zu tun haben könnten. Welche Zahlen und Größen sind eigentlich gesucht? Frage vorwärts: Was kann ich aus den bekannten Daten berechnen? Frage rückwärts: Was müsste ich noch kennen damit ich die gesuchten Größen berechnen kann? Zahlen und Werte, die man nicht kennt kann man durch Vergleiche schätzen. 20

17 Fermi Aufgaben Wenn Sie schätzen müssen, fragen Sie sich: Was ist der größte Allgemeine Strategische Hilfen: oder kleinste mögliche Suchen Sie alle Daten Wert? zusammen, die mit dem Problem zu tun Überprüfen Sie das Ergebnis: Ist es sinnvoll und verständlich? haben könnten. Erscheint es zu groß oder zu sind klein? Welche Zahlen und Größen eigentlich gesucht? Kontrollieren Sie: Was passiert, wenn man größere oder kleinere Frage vorwärts: Was kann ich aus den bekannten Daten Werte nimmt? berechnen? Überlegen Sie, bevor Sie rechnen: Wie wirkt sich ein kleinerer oder Frage rückwärts: Was müsste ich noch kennen damit ich die größerer Wert auf das Ergebniskann? aus - wird es größer oder kleiner? gesuchten Größen berechnen Denken Sie immer daran: Einen Wert direkt zu schätzen ist Zahlen und Werte, die man nicht kennt kann man durch ungenau; jeschätzen. mehr Schritte Sie machen, umso wahrscheinlicher ist Vergleiche es, dass sich die beim Schätzen entstehenden Fehler gegenseitig aufheben. 21

18 Fermi Aufgaben Wieviel Nagellack benötigt man wohl, um diese Zehennägel zu lackieren? 22

19 Fermi Aufgaben Es können den SchülerInnen weitere Anregungen gegeben und Hilfsfragen gestellt werden: Wie groß sind deine Zehennägel? Wie viel Nagellack benötigt man für deine Zehennägel? Wenn ein Riesen-Zehennagel zehnmal so lang und zehnmal so breit wie ein normaler Zehennagel wäre, wie viel mal so groß wäre dann die Fläche des Riesen-Zehennagels?... 23

20 Fermi Aufgaben Wie viele Menschen stehen in einem 6 km langen Stau? Wieviele Fahrspuren sind vom Stau betroffen? Wie ist der Anteil von PKWs, LKWs und Bussen auf der Straße? Wie lange ist ein PKW, ein LKW, ein Bus? Wie groß ist der Sicherheitsabstand zwischen zwei Fahrzeugen? Wie viele Personen sitzen im Durchschnitt in einem Fahrzeug (Urlaubszeit, Berufsverkehr, ) Ist der Stau in Österreich? Versuchen Sie selbst eine Lösung zu finden! 24

21 Fermi Aufgaben Wie viel wiegen alle lebenden Ameisen auf der Erde? Wie viel Ameisen braucht man, um das durchschnittliche Gewicht eines Menschen zu erreichen? Wie viel wiegen alle lebenden Menschen auf der Erde? Stimmt es, dass das Gewicht aller auf der Erde existierenden Ameisen größer ist als das Gewicht aller lebenden Menschen?... 25

22 Unterhaltungsmathematik Mathematik: ursprünglich nur eine Hilfswissenschaft für den Handel, das Vermessungswesen, die Astrologie und die Technik um ihrer selbst willen weiterentwickelt vor 4000 Jahren: Mathematik diente zur intellektuellen Unterhaltung ägyptisches Papyrus-Rhind (1650 v. Chr.) alten chinesischen und griechischen Texten Verfasser des Papyrus-Rhind war Ahmes Rechenbuch des Ahmes 1850: Fund in einer Ruine in Theben (Engländer A.H. Rhind) heute: Britischen Museum in London 26

23 Unterhaltungsmathematik Rätsel der Papyrusrolle von Ahmes: Es gibt sieben Häuser, in jedem Haus wohnen sieben Katzen. Jede Katze frisst sieben Mäuse, von denen wiederum jede sieben Kornähren gefressen hat. In jeder Ähre sind sieben Samen. Wie viele Objekte sind es? Klosterliteratur Rechenmeister: Theorie erläutern und Stoff der Bücher auflockern 17. Jhd. keine Theorie mehr, sondern reine Unterhaltung Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres (Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Erstausgabe 1612) namhafte Autoren und Mathematiker: Edouard Lucas, Lewis Carroll, Sam Loyd, Martin Gardner 28

24 Unterhaltungsmathematik Buchproduktionen, Publikationen in Zeitschriften, Beiträge in Zeitschriften und Zeitungen, Internet großes Interesse an der Unterhaltungsmathematik vorrangig dienen die Aufgaben der Unterhaltung Unterhaltungsmathematik im Unterricht? 29

25 Unterhaltungsmathematik U-Mathematik hat mit Mathematik im eigentlichen Sinn nichts zu tun, ist daher im Unterricht reine Zeitverschwendung und kann von den daran Interessierten privat verfolgt werden... Man sollte die traditionelle Schulmathematik weitestgehend durch UMathematik ersetzen. Die SchülerInnen können daran das eigentlich Wichtige lernen und werden weniger geschädigt U-Mathematik ist eine sinnvolle Ergänzung und eine Bereicherung des MUnterrichts (als Motivation, für übriggebliebene Stunden bzw. -teile, als Anregung zum Denken, zur Abrundung des Mathematik-Bildes, ) 30

26 Unterhaltungsmathematik Man lernt und übt mit solchen Aufgaben Mathematik und kreative Lösungsfindung! S/S, die den Spaß an Mathematik verloren haben an die Mathematik heranführen S/S, die interessiert an der Mathematik sind Raum für kreative Auseinandersetzungen 31

27 Zahlenrätsel/Zahlenmuster ältesten mathematischen Spiele: Spiele mit Zahlen Klosterliteratur: zahlreiche Sammlungen dieser Rätsel bis heute werden immer wieder neue Zahlenrätsel entwickelt: Kakuro, Sudoku, Viele Spiele mit Zahlen führten zu Entwicklungen in der Zahlentheorie und in der Algebra 33

28 Regeln: Kakuro Jede Summe darf nur aus den Ziffern von 1 bis 9 bestehen. In jeder Summe darf jede Ziffer nur einmal vorkommen. In jede freie Stelle darf nur eine Ziffer eingetragen werden. 34

29 Vorhersagen einer Summe Lassen Sie jemanden eine vierstellige Zahl aufschreiben. Es werden nun abwechselnd jeweils 2 vierstellige Zahlen darunter geschrieben. Der Spieler/die Spielerin beginnt eine Zahl unter die eben ausgedachte zu schreiben, anschließend sind Sie an der Reihe. Bevor diese Zahlen aber aufgeschrieben werden, wissen Sie bereits das Ergebnis der Summe der fünf Zahlen. 35

30 Zahlensummen Summe von 1 bis 10 = 55 Summe von 1 bis 100 = 5050 Können Sie nach diesem Muster die Summe der Zahlen 1 bis 1000 bzw. 1 bis angeben? Begründen Sie die Entstehung des Musters. Summe von 1 bis 1000 =??? Summe von 1 bis =??? 36

31 Zahlensack des Méziriac (1612) Es hält der Sieur de Méziriac Für Euch bereit den Zahlensack: Greift mit Bedacht die erste Zahl; Von 1 bis 10 habt Ihr die Wahl. Danach fügt Méziriac im Nu Zu Eurer seine Zahl hinzu. Und, wechselweise, ernst und heiter Klettert man hoch die Zahlenleiter. Doch seid beim Kraxeln auf der Hut Und wählet klug und wählet gut! Gewinn sich fröhlich jedem zeigt, Der erstmals auf die 100 steigt. 37

32 Drei Stellen und mehr Wählen Sie eine beliebige dreistellige Zahl sagen wir 123. Nun schreiben Sie diese drei Ziffern noch einmal daneben, so dass Sie eine sechsstellige Zahl erhalten; 123 wird also zu Nun teilen Sie diese durch 7, dann durch 11 und schließlich durch 13, und ich sage Ihnen voraus, dass Sie bei der dreistelligen Zahl landen, von der Sie ausgegangen waren. Das geht mit jeder dreistelligen Zahl. Können Sie sagen, warum? Funktioniert der Trick auch mit einer vierstelligen Zahl? Wenn ja, durch welche Zahlen müsste man dann dividieren? 38

33 Wie alt sind Sie? Methode 1: Sie wollen es mir nicht sagen? Na gut, nennen Sie mir einfach das Ergebnis folgender kleinen Rechnung: Multiplizieren Sie Ihr Alter mit 10. Davon ziehen Sie irgendeine einstellige Zahl neunmal ab. Sagen Sie mir das Ergebnis.... Jetzt Weiß ich, wie alt Sie sind. Wie funktioniert der Trick? Funktioniert der Trick bei jeder Person? 39

34 Wie alt sind Sie? Methode 2: Um das Alter von jemanden zu ermitteln, lassen Sie ihn einfach folgende Rechnung durchführen: Multipliziere dein Alter mit 2. Addiere 5 hinzu und multipliziere die Summe mit 5. Nenne mir nun das Ergebnis. Wie finden Sie nun das Alter heraus? 40

35 Erraten eines Geburtstages Wenn Sie den Geburtstag eines Freundes nicht kennen, können Sie ihm folgende Aufgabe stellen: Verdopple die Tageszahl deines Geburtstages und addiere 5 dazu. Multipliziere das Ergebnis mit 50 und addiere dazu die Monatszahl. Lassen Sie sich das Ergebnis nennen. Finden Sie heraus, wie Sie nun auf den richtigen Tag und das richtige Monat kommen. 41

36 Zahlen erraten Ich schreibe eine Zahl auf einen Zettel und drehe ihn um, sodass Sie nicht wissen, welche Zahl dort steht. Nun schreiben Sie eine beliebige ganze Zahl auf. Addieren Sie 5. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 18. Subtrahieren Sie davon das Dreifache der zuerst gewählten Zahl. Dvidieren Sie das letzte Ergebnis durch 15! Subtrahieren Sie noch Ihre gedachte Zahl! Ihre soeben errechnete Zahl stimmt mit meiner auf dem umgedrehten Zettel überein! Warum? Welche Zahl steht auf meinem Zettel? 42

37 Blitzrechnen Bitten Sie einen Freund, zwei beliebige Zahlen - sagen wir 2 und 5 untereinander zu schreiben. Er darf sie Ihnen jedoch nicht zeigen. Nun addiert er die beiden Zahlen und schreibt die Summe 7 darunter. Jetzt werden die unteren zwei Zahlen addiert und ihre Summe 12 darunter geschrieben. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis 10 Zahlen da stehen

38 Blitzrechnen - Lösung 44

39 Überraschendes Entfernung Zwei Personen sind voneinander 50 m entfernt und halten die Enden eines 51 m langen Seils. Ein Dritter hebt das Seil in der Mitte so weit hoch, dass es straff gespannt ist. Kann er durchschlüpfen? 45

40 Wo steckt der Fehler? 46

41 Wo steckt der Fehler? 47

42 Beweise Behauptung 1: = -1 Behauptung 2: 1 ist die größte reelle Zahl 48

43 Rucksackproblem Behauptung: n beliebige SchülerInnen haben den gleichen Schulrucksack. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang n=1: Für eine Schülerin/einen Schüler ist die Behauptung offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Als Induktionsvoraussetzung wählt man als beliebige Zahl k die Zahl 3. Die Induktionsbehauptung für k+1 ist demnach, dass 4 SchülerInnen denselben Rucksack besitzen. Die SchülerInnen S1, S2 und S3 haben nach Voraussetzung denselben Rucksack. Auch für die SchülerInnen S2, S3 und S4 trifft dies aufgrund der Induktionsvoraussetzung zu. Demnach haben also alle vier SchülerInnen denselben Rucksack. Der Übergang von 4 auf 5 Rucksäcken ist mit diesem System auch leicht nachvollziehbar und somit auch für jeden beliebigen Übergang von n auf n+1. 49

44 Wo steckt der fehlende Euro? Drei Kinder wollen sich einen Ball kaufen. Der Ball kostet 30. Jeder der drei Kinder zahlt 10. Nach 5 Minuten stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25 kostet. Er gibt dem Lehrling 5 und sagt er soll diese 5 den dreien zurückgeben. Der Lehrling denkt sich: 5 geteilt durch drei ist schlecht zu bewerkstelligen. Er gibt daraufhin jedem der drei jeweils 1 zurück und 2 behält er für sich. Nun hat jedes Kind nur 9 bezahlt. Das heißt aber: 3 x 9 = die der Lehrling hat, sind 29. Wo ist der fehlende Euro? 50

45 Fußballaufgabe Ein Fußballfeld ist normalerweise 105 m lang und 68 m breit. Der Umfang des Feldes, einmal außen herum, beträgt also 105 m + 68 m m + 68 m = 346 m. Jetzt nehmen wir ein Seil, das genau 347 m lang ist, also genau einen Meter länger als der Umfang des Spielfeldes. Dieses Seil legen wir um das Spielfeld herum. Ganz ordentlich, so dass es überall den gleichen Abstand vom Spielfeld hat. Das Seil bildet also auch ein Rechteck, das ein bisschen größer als das Spielfeld ist. Es hat oben und unten, rechts und links den gleichen Abstand zum Spielfeld. Wie groß ist dieser Abstand? Passt in den Rand zwischen Spielfeld und Seil eine Trillerpfeife? Eine weitere Begrenzungslinie? Oder ein Fußballschuh?

46 Fußballaufgabe

47 Äquatoraufgabe Ein Seil wird straff um den Äquator (ca km Länge) gespannt und anschließend um 1 Meter verlängert. Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es überall gleichmäßig und gleichzeitig hochzieht? Der gleiche Sachverhalt - nur wird das Seil jetzt nicht um die Erde gespannt, sondern um einen Medizinball, der einen Umfang von 2 Metern hat. Wie weit steht das Seil in diesem Fall ab? 53

48 Teile und Staple Folgendes Rätsel führt die Macht des Verdoppelns vor Augen. Nehmen Sie ein Blatt Papier und reißen Sie es mittendurch. Legen Sie die beiden Hälften aufeinander und zerreißen Sie sie in vier Stücke. Legen Sie diese wieder aufeinander und zerreißen sie in nunmehr acht Stücke. Noch einmal dasselbe, und Sie haben 16 Stücke. Tun Sie das 42 mal. Das können Sie natürlich nicht, wie Sie bald feststellen werden. Wie hoch wäre der Stapel, wenn Sie es könnten? So hoch wie ein Tisch? Wie ein Haus? Wie ein Wolkenkratzer? Bis zur Sonne? Wie nehmen an, dass ein Blatt einen Zehntelmillimeter dick ist, ein Stapel von 100 Blatt also einen Zentimeter dick. 54

49 KARTENTRICKS 55

50 Denken Sie sich eine Zahl zwischen 1 und 64! Binärer Kartentrick 56

51 1 aus 21 Man hat 21 Karten. Drei davon legt man offen nebeneinander. Auf diese werden der Reihe nach die restlichen Karten mit sichtbarem Bild gesetzt, wobei die vierte Karte auf die erste, die fünfte auf die zweite usw. zu liegen kommt. Auf diese Weise erhält man drei Stapel mit jeweils sieben Karten. Jemand merkt sich eine Karte und nennt den Stapel, in dem sich diese Karte befindet. Der bezeichnete Stapel wird in die Mitte zwischen die beiden anderen Häufchen gegeben, dann werden die Karten wieder wie vorher aufgelegt. Zum zweiten Mal wird jetzt der Stapel mit der bewussten Karte bezeichnet und dann wieder in die Mitte genommen. Dieses Verfahren wird ein drittes Mal wiederholt. Dann zählt man bis zur elften Karte und erhält die am Anfang ausgewählte. 57

52 1 aus 21 - Lösung Karte Platz Platz Platz

53 Karten finden 32 Karten eines Spiels liegen verdeckt ungeordnet auf dem Tisch. Der Spieler/die Spielerin wählt 3 beliebige Karten aus und schaut sie an. Sie greifen 5 verdeckt liegende Karten, stapeln sie und legen die erste ausgewählte Karte verdeckt darauf. Anschließend nehmen Sie 15 Karten und legen die zweite ausgewählte Karte wieder darauf. Nun werden nur mehr 7 Karten der restlichen ungeordneten Karten auf dem Tisch genommen und dann die letzte ausgewählte Karte daraufgelegt. Die letzten beiden Karten schichtet man schließlich noch auf den Stoß. (Wichtig: Die Anzahl der Karten sollte für den Spieler/die Spielerin willkürlich erscheinen!) 59

54 Karten finden Nun werden die Karten auf folgende Weise gemischt: Es werden zuerst zwei Stapeln gemacht, wo immer abwechselnd eine Karte auf den linken und eine auf den rechten Stapel kommt. Der linke Stapel wird nun wieder in gleicher Weise aufgeteilt. Die erste Karte kommt auf den linken Stapel, die zweite auf den bereits bestehenden rechten Stapel. So wird der linke Stapel halbiert und der rechte immer größer. Dies wird solange wiederholt bis der linke Stapel nur mehr aus einer Karte besteht. Diese wird schließlich auch noch auf den rechten Stapel gelegt. Sie decken nun die obersten drei Karten des Stapels auf und es sind tatsächlich die 3 zu Beginn gewählten Karten. 60

55 Karten finden - Lösung 61

56 4-Zimmer-Kartentrick A B C D A E I M E F G H B F J N I J K L C G K O M N O P D H L P Transponierung einer Matrix 62

57 5 Minuten Rätsel 63

58 Multiplizieren mit den Fingern

59 Multiplizieren mit den Fingern 8x7= berührende und darunterstehende Finger Zehnerstelle Zählen Sie nun die Finger einer jeden Hand über den sich berührenden Finger und bilden Sie das Produkt der beiden enthaltenen Zahlen Einerstelle

60 Wie haben die alten Ägypter multipliziert? 25 x 32 = 44 x 8 = 13 x 21 =???

61 Logiktrainer 67

62 SPIELE 68

63 2/3 - Spiel Wählen Sie gleichzeitig und unabhängig voneinander eine Zahl zwischen 2 und 100 (2 und und 100 dürfen Sie auch wählen). Es gewinnt der, dessen Zahl am nächsten bei 2/3 des arithmetischen Mittels aller gewählten Zahlen liegt. 69

64 BINGO BINGO - Das Spiel Vorbereitung: BINGO 70

65 TRIO TRIO - Vorlage 71

66 Mathematikerwitze und Denksportaufgaben 72

67 Die zerstrittenen Nachbarn 73

68 Innovative Rechenregeln 74

69 Innovative Rechenregeln 75

70 Innovative Rechenregeln 76

71 Innovative Rechenregeln 77

72 Innovative Rechenregeln 78

73 Ein Würfel tanzt aus der Reihe Unter den folgenden Würfeln befindet sich ein Einzelgänger, den es zu ermitteln gilt. Vier Abbildungen zeigen nämlich den gleichen Würfel, dessen Aussehen lediglich durch Drehungen verändert wurde. Für einen Würfel dagegen trifft diese Aussage nicht zu. Welcher Würfel tanzt aus der Reihe? 79

74 Welcher Würfel tanzt aus der Reihe? 80

75 Weitere Aufgaben (1) Unter der Verwendung der Rechenzeichen der 4 Grundrechnungsarten, des Wurzelzeichens und von Klammern sind wahre Aussagen zu bilden. Sie dürfen dabei nur die linke Seite der Gleichung verändern. 81

76 Weitere Aufgaben (2) 82

77 Platonische Körper flechten Sandra Reichenberger 83

78 Sandra Reichenberger 84

79 Tetraeder flechten Sandra Reichenberger 85