Proseminar Analysis - 2. Semester Fourieranalysis

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1 Proseminar Analysis - 2. Semester Fourieranalysis Ulrich Bunke Termine 1. Proseminar: Mi, 8-10 Uhr M Vorbesprechung: im Büro Prof. Bunke 1

2 Contents 1 Fourierentwicklung periodischer Funktionen 3 2 Der Plancherelsatz für Fourierreihen 3 3 Schwartzräume 3 4 Satz von Fejér 4 5 Schwingende Saiten 4 6 Resonanz, Pendel und LC-Schwingkreise 4 7 Die Fouriertransformation 4 8 Die Umkehrformel 5 9 Die 1-dimensionale Wellengleichung 5 10 RC und LC-Kreise 5 11 Harmonische Analysis auf endlichen abelschen Gruppen 5 12 Harmonische Analysis auf proendlichen abelschen Gruppen 6 13 Analysis auf den p-adischen ganzen Zahlen 6 14 Berechnung von Fourierintegralen mit Residuensatz 6 15 Der Satz von Paley-Wiener 7 2

3 Vortragsthemen 1 Fourierentwicklung periodischer Funktionen 1. komplexe periodische Funktionen 2. L 2 -Skalarprodukt [BF91, 12.3] 3. Orthogonalität des Funktionensystems (e 2πnx ) n Z.[BF91, 12.3] 4. Definition Fourierkoeffizienten einer stetigen periodischen Funktionen[BF91, 12.3] 5. ˆf(n) = 0 f = 0 für stetige Funktionen [SS03, Cor. 2.2] 6. wenn f stetig und ( ˆf(n)) n N l 1, dann konvergiert die Fourierreihe gegen f [SS03, Cor. 2.3] 7. diese Voraussetzung ist für f C 2 erfüllt [SS03, Cor. 2.4] 2 Der Plancherelsatz für Fourierreihen 1. Einführung in komplexe Hilberträume (Skalarprodukt, Norm, Vollständigkeit, Existenz von orthonormalbasen, Besselsche Ungleichung, Entwicklung nach orthogonale Basen) [RS80, II.1] 2. Isomorphie separabler Hilberträume 3. Beispiele: l 2 (Z), L 2 (S 1 ) (als Vervollständigung von C(S 1 )) 4. (δ n ) n Z, (u n ) n Z als vollständige orthogonale Basen charakterisieren 5. Konvergenz der Fourierreihe im L 2 -Sinne 6. Fouriertransformation als Isomorphie L 2 (S 1 ) = l 2 (Z)[RS80, II-1-II-3] [RS80, II-1-II-3] 3 Schwartzräume 1. Halbnormen, Konstruktion von top. Vektorräumen mit Halbnormen 2. Frecheträume 3. S(Z), C (S 1 ) als Frecheträume 4. Stetigkeit linearer Operatoren (z. B. Differentialoperatoren, Multplikationsoperatoren) 5. Die Fouriertransformation als Isomorphismus zwischen S(Z) und C (S 1 ) 3

4 4 Satz von Fejér 1. Faltung, Kerne Deltafolgen [SS03, Ch.2.4] 2. Fejér Kern, Formulierung und Beweis des Satzes von Fejér [SS03, Thm. 5.2] 3. Folgerunge [SS03, Cor. 5.3, Cor. 5.4] 5 Schwingende Saiten [Heu91, Kap XVII] 1. Modellierung einer Saite durch eine Wellengleichung 2. Anfangs und Randwerte 3. Reduktion auf System gewöhnlicher DGL durch Fouriertransformation 4. Lösung der Anfangsrandwertproblems 5. Beispiele (auch numerische Demonstration) 6 Resonanz, Pendel und LC-Schwingkreise [Smi86, 31-34] 1. Modellierung von Pendel und LC-Schwingkreisen mit Dämpfung 2. Diskussion des Verhaltens ohne Anregenung in Abhängigkeit der Parameter 3. Analysis des Langzeitverhaltens bei periodischer Anregung in Abhängigkeit der Parameter 7 Die Fouriertransformation 1. das Fourierintegral (für L 1 (R)-Funktionen) 2. der Schwartzraum S(R) [SS03, 5.1.3] 3. Eigenschaften von Fouriertransformierten [SS03, Ch. 5, Prop,1.2] 4. die Fouriertransformation als stetige Abbildung zwischen Schwartzräumen S(R) [SS03, Ch. 5, Thm,1.3] 5. Beipspiele für Fouriertransformierte, insb. e x2 [SS03, Ch. 5, Thm,1.4] 4

5 8 Die Umkehrformel 1. die Umkehrformel [SS03, Ch. 5, Thm,1.9] 2. der Plancherelsatz [SS03, Ch. 5, Thm,1.12] 9 Die 1-dimensionale Wellengleichung [SS03, Ch. 6] (Spezialisierung auf den Fall d = 1), [Smi86, ] 1. Modellierung von Wellenausbreitung (Schall, elektromagnetisch, sehr lange Saiten) 2. Das Anfangswertproblem 3. Lösungsformel durch Fouriertransformation herleiten 4. endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit 5. Huygensprinzip 10 RC und LC-Kreise http : // ilter/ordnung1/f ilter1.html http : // alstad.com/df ilter/ 1. Modellierung von RC und LC-Kreisen 2. Idee der harmonischen Analyse 3. Durchlassfunktionen 4. RC und LC-Kreise als Filter 5. Konstruktion von Filtern (Hoch-, Tief- und Bandpässe) 6. Beipiele (Demonstration mit Java-Applets) 11 Harmonische Analysis auf endlichen abelschen Gruppen 1. Beispiele endlicher abelscher Gruppen, insb. Z/nZ [SS03, Ch Thm. 2.7, Thm 2.8] 2. Die Charaktergruppe 3. Orthogonalitätsrelationen [SS03, Ch 7. Thm. 2.3, Thm 2.5] 5

6 4. Die Fouriertransformation (Planchereltheorem) [SS03, Ch 7. Thm. 2.7, Thm 2.8] 5. Zerlegung unitärer Darstellungen 12 Harmonische Analysis auf proendlichen abelschen Gruppen 1. proendliche abelsche Gruppen, Beispiele 2. stetige Funktionen auf proendliche abelsche Gruppen 3. Integration stetiger Funktionen 4. die duale Gruppe als Kolimes endlicher Gruppen 5. Die Fouriertransformation (Planchereltheorem) 6. Zerlegung unitärer Darstellungen 13 Analysis auf den p-adischen ganzen Zahlen 1. Z p als proendliche abelsche Gruppe 2. (additive) Charaktere, explizite Fouriertransformation und Umkehrformel 3. Integral stetiger Funktionen mit kompaktem Träger 4. Die Modulfunktion 5. Das Volumen von pz p. 14 Berechnung von Fourierintegralen mit Residuensatz (setzt Grundkenntnisse der Funktionentheorie voraus) 1. holomorphe Funktionen (wesentliche Definitionen) 2. der Cauchy-Integralsatz (ohne Beweis) 3. Polstellen und Residuum 4. Berechnung von Fourierintegralen mit dem Residuensatz (als Methode mit Begründungen) 6

7 15 Der Satz von Paley-Wiener (setzt Grundkenntnisse der Funktionentheorie voraus) 1. Fouriertransformierte als holomorphe Funktionen 2. Formulierung des Satzes von Paley-Wiener 3. Beweisskizze References [BF91] Martin Barner and Friedrich Flohr. Analysis. I. de Gruyter Lehrbuch. [de Gruyter Textbook]. Walter de Gruyter & Co., Berlin, fourth edition, , 3, 4 [Heu91] Harro Heuser. Lehrbuch der Analysis. Teil 2. Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]. B. G. Teubner, Stuttgart, sixth edition, [RS80] Michael Reed and Barry Simon. Methods of modern mathematical physics. I. Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, second edition, Functional analysis. 1, 6, 2 [Smi86] W. I. Smirnow. Lehrgang der höheren Mathematik. Teil II. Hochschulbücher für Mathematik [University Books for Mathematics], 2. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, sixteenth edition, Translated from the Russian by Klaus Krienes. 6, 9 [SS03] Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Fourier analysis, volume 1 of Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, An introduction. 5, 6, 7, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 9, 1, 3, 4 7