UberModulnundCodes. UlrichEidt

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1 UberModulnundCodes UlrichEidt Bayreuth,den14.August1992 VorgelegtalsDiplomarbeitbei LehrstuhlIIfurMathematik deruniversitatbayreuth Prof.Dr.A.Kerber

2 1DarstellungstheoretischeGrundlagen Vorwort Inhaltsverzeichnis 2CodierungstheoretischeAnwendungen 1.2JamesGewichtsraume::::::::::::::::::::::::::::10 1.3AllgorithmenzuJamesGewichtsraumen:::::::::::::::::: TabloidevomInhalt::::::::::::::::::::::::::: EndlicheKorper 2.2JamesGewichtsraumealsCodes:::::::::::::::::::::::27 2.1EinfuhrunginalgebraischeCodierungstheorie::::::::::::::: MDS-Codes::::::::::::::::::::::::::::: Majoritatslogik-decodierbareCodes::::::::::::::::: BinareReed-MullerCodes::::::::::::::::::::::34 ATabellenmitJames-GewichtsraumenD#;; 3.1TheoretischeGrundlagenfurendlicheKorperinNormalbasenreprasentation40 3.2DieImplementierungfurSYMMETRICA:::::::::::::::::: Quellcode::::::::::::::::::::::::::::::: DokumentationderbereitgestelltenFunktionen::::::::::48 A.1undPartitionenvon5::::::::::::::::::::::::::78 A.2undPartitionenvon6::::::::::::::::::::::::::79 A.3undPartitionenvon7::::::::::::::::::::::::::80 A.4undPartitionenvon8::::::::::::::::::::::::::81 A.5undPartitionenvon9::::::::::::::::::::::::::83 Literaturverzeichnis Urhebervermerk

3 Vorwort James[2]fuhrtedenK?r-ModulM;!ein(!=(1r);`r)undbestimmtedieBasen derdarinenthaltenenvektorraumed#;;!((#;)einpaarvonpartitionenfurr). DannfolgteineErweiterungseinesBasissatzesaufdieVektorraumeD#;;M;. DieseRaumewurdenaufihreEigenschaftenalsCodesnaheruntersucht.Dabeisind ImerstenKapitelverallgemeinernwirzunachstJames'Denitionvon-Tabloidenauf- TabloidevomInhalt,wobeieineuneigentlichePartitionvonrinhochstensrTeileist. CodesmitgutenEigenschaftengefundenworden,dieimzweitenKapitel,nacheiner CodierungstheoretischenEinfuhrung,naherbeschriebenwerden. ZumUberblickvonJames-GewichtsraumenalsCodessindimAnhangdieserArbeiteinigeTabellennomegezeigtunddieImplementierungendlicherKorperfurdasAlgebrasystemSYMhandelt,dieScheerhorn[6]eingefurthat.EswirddieExistenztrace-kompatiblerPoly- METRICAvorgestellt. AndieserStellemochteichHerrnDr.Karl-HeinzZimmermannvomLehrstuhlfurInformatikdanken,dermirmitRatundTatzurSeitestand,undmitdemesvielSpa dankeherrnprof.dr.adalbertkerberfurdieunterstutzungundforderungderar- gemachthat,imdschungelderjames-gewichtsraumenachgutencodeszusuchen.ich ImdrittenKapitelwerdentrace-kompatibleKorpererweiterungenendlicherKorperbe- Bayreuth,den14.August1992 METRICAnichtmoglichgewesenware. undherrndr.axelkohnert,ohnediedieimplementierungendlicherkorperfursym- beit. AuerdemdankeichHerrnAlfredScheerhornvomIBMScienticCenterinHeidelberg UlrichEidt 2

4 Kapitel1 Darstellungstheoretische Grundlagen SeialsoreinepositiveganzeZahl,einePartitionvonrundeineuneigentliche PartitionvonrinhochstensrTeilefurdenRestdesKapitels. WirzeigenindiesemUnterkapiteldie1:1Beziehungzwischenden-Tabloidenvom 1.1-TabloidevomInhalt 1.1.1Denitionen: Inhaltundden?-Orbitsvon-Sequenzen.DieseBeziehungnutzenwirdannfur einenalgorithmuszurkonstruktioneinertransversaleder-tabloidevominhalt. b)sei=(1;:::;n)j=ninhochstensnteile.i=(i1;:::;ir)heit-sequenz a)furn2inbezeichnetnrdiemengeallerfunktionenvonr=f1;:::;rgnach (i(1);:::;i(r))furallei2nr. aller-sequenzenwirdmitseq()bezeichnet. genaudann,wennjedesj2ngenauj-malinialsbildvorkommt.diemenge beschrieben.die?roperiertvonrechtsaufnrvermogeplatzpermutationi= n=f1;:::;ng.einefunktionwirddurcheinefolgei=(i1;:::;ir)vonbilder 1.1.2Vereinbarung:Diemonotonsteigende-Sequenzwirdbezeichnetmit Seiz.B.=(2;2;0;1)j=5dannisti=(1;4;2;2;1)2Seq()undm=(1;1;2;2;4). m=(1 1;:::;1;2 z} { z} { 2;:::;2;:::;n n;:::;n): z} { deniert,wobeiadiezeileundbdiespalteangibt Denition:DasDiagramm[]vonwirddurcheineMengevonPaaren []:=f(a;b)2ininj1a^1big 3

5 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN ineinergedachtenmatrixanderstelle(a;b)einkreuzmacht Vereinbarung:Diagrammewerdenveranschaulicht,indemmanfur(a;b)2[] Denition:Ein-TableauisteineAbbildungvomDiagramm[]ineinenichtleereMenge. Z.B.=(3;2;2;1)dannist[]= 1.1.6Vereinbarung:EinsolchesTableaustellenwirdar,indemwirimDiagramm []stattderkreuzedasderabbildungentsprechendemengenelementeintragen. Wirxierendasbijektive-TableauT:[]!r, T:=1 1+1:::1+2 :::::: 1 ein-tableauundwirdmittibezeichnet. Furjedesi2nristauchiTwegen[]T :::::: 1.1.7Bemerkung:DieAbbildungvon?r[]![]?!ri isteineoperation. (;(a;b))7!t?1t(a;b)=:(a;b):?!n Beweis: b)seien;2?r.dannist a)1(a;b)=t?11t(a;b)=(a;b) 1.1.8Denition: ((a;b))=(t?1t(a;b))=t?1tt?1t(a;b)= Mengeder-Tableaux.Furjedes-TableautundjedePermutationdenierenwirt wiefolgt: Dadie?raufdemUrbildraumvon-Tableauxoperiert,operiertsieauchaufder =T?1T(a;b)=(a;b) t((a;b)):=t(?1(a;b)): 2

6 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN 1.1.9Beispiel:Sei=(3;3;1),d.h. T=123 5 t((1;1))=t(?1(1;1))=t(t?1?1t(1;1))=t(t?1?11)=t(t?17)=t((3;1))=4; und=(157)2?7.dannist ;auerdemseit=135 ebensot((2;2))=1undt((3;1))=6: AlleanderenBildervontwerdendurchnichtbeeinut.Wirhabenalso Bemerkung:Die?roperiertalsoaufderMengeder-Tableauxdurch Platzpermutation,wobeidiePlatzevon[]wieinTnumeriertsind. t= Denitionen: : a)esseij=rinhochstensrteile.mit?rmfurbeliebigesmrwerdedieuntergruppeder?rbezeichnet,diealleelementeausrnmunverandertlat.auerdem DiekanonischeYounguntergruppezuwirddannmit i:=f1+i?1?:=?r1?r2:::?rr Xj=1j;:::;iXj=1jg: seiirfurallei2rdiemengederelementeausdemi-ten-block, b)derzeilenstabilisatorrtistdiezugehorigekanonischeyounguntergruppe deniert. c)ein-tabloidftgistdieaquivalenzklassevom-tableautunterderaquivalenzrelationct:=?rf1;1+1;1+2+1;:::g?rf2;1+2;:::g?f3;1+3;:::g:::: der?r. DerSpaltenstabilisatorwirddeniertmit t1t2:()esexistiertein2rt:t1=t2:

7 1.1.12Vereinbarung:ftgwirddargestellt,indembeitLinienzwischendieZeilen KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN 6 undzusatzlicheineliniedaruberundeinedaruntergezogenwerden. diemonotonesequenzmsinddieelementeausdemi-ten-blockiallegleichi.? istdemnachgenaudieuntergruppeder?r,diemunverandertlat Bemerkung:SeieineuneigentlichePartitionvonrinhochstensrTeile.Fur Z.B.fTg=1 1+1:::1+2 :::::: 1: DieMengeder-TabloidevomInhaltwirdmitTab(;)bezeichnet. Dannist[]= Beispiel:Sei=(3;2);=(2;2;1) Denition:ftgheit-TabloidvomInhalt,genaudann,wennjedes j2rgenauj-malalsbildintvorkommt..ein-tableaut:[]!5istz.b.124 RT=?5f1;2;3g?5f4;5g 35: somitistdas-tabloidftg d.h.diereihenfolgeindenzeilenspieltfurftgkeinerolle. Dieverschiedenen-TabloidevomInhaltsind ;113 35=214 22;122 53=142 13;123 35=412 12und223 53=usw., Entscheidendisthier,dadieBilder1,1und2indererstenZeileund2und3inder inwelcherzeilesind. DiewesentlichenInformationender-Tabloideliegendarin,welcheBildervonftg Wirbetrachtenz.B : 11: jedemtabloideinetupelmengezuordnen.wichtigisthierbei,daeinetupelmenge genaudanneinem-tabloidentspricht,wenneinefolge,bestehendausdenersten dadasbildbinderzeilealiegt.mankannalsojedertupelmengeeintabloidund zweitenzeilestehen.diemengevontupelnf(1;1);(1;2);(1;2);(2;2);(2;3)genthalt demnachallenotigeninformationenvonobigemtabloid,wobeieintupel(a;b)angibt, KoordinatenderTupelmenge,eine-Sequenzist.Daruberhinausentsprichtsieeinem

8 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN -TabloidvomInhalt,wennzusatzlicheineFolgederzweitenKoordinateneine- Sequenzist.EsentsprichtzumBeispielf(2;3);(1;5);(2;5);(3;1);(1;4);(1;2)gwegen (2;1;2;3;1;1)2Seq(3;2;1)und(3;5;5;1;4;2)2Seq(1;1;1;1;2)einem(3;2;1)-Tabloid Denitionen: vominhalt(1;1;1;1;2),namlich a)seikeinkorperundneinepositiveganzezahl. RK(n)=K[fcs;tjs;t2ng]bezeichnetdie(kommutative)AlgebraallerPolynome 542 uberkindenn2unbekanntencs;t,s;t2n.furr2inmitrnseirk(n;r) 35 1 : b)seii2seq()undj2seq(). vomgradraufgespanntwird. derunterraumvonrk(n),dervondenmonomen inzweiternormalform(2.nf). EinMonomderFormcm;jbzw.ci;mheitinersterNormalform(1.NF)bzw. ci;j:=ci1;j1:::cir;jr;i=(i1;:::;ir);j=(j1;:::;jr)2rr; Vereinbarung:HabenwireinMonomin2.NF,sowirdesveranschaulichtmit Korollar:Furallei;k2Seq();j;l2Seq()gilt: ji1:::i1ji1+1:::i1+2j:::j:=ci;m: Beweis: b)ci?1;j=ci;jfurallei2?r: a)ci;j=ck;l()92?r:i=k^j=l: b)folgtunmittelbarausa). a)folgtausderdenitionundderkommutativitatvonrk(n). c)jedesmonomci;jkannin1.nfbzw.in2.nfgebrachtwerden. c)esexistieren;2?r,sodai=mundj=m,d.h.iundjentstehenaus denmonotonensequenzendurchentsprechende(sortierende)platzpermutationen. Mitg=j?1kannmanci;jin1.NFci;j=cm;j=cm;g(sieheb))bringen. Analogbringtmanmith=i?1ci;jin2.NFci;j=ch;m.

9 1.1.19Bemerkung:ci;j2RK(n;r)entsprichtderMengef(i1;j1);:::;(ir;jr)g,d.h. KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN 2 8 einem-tabloidvominhaltgenaudann,wenni2seq()undj2seq().esgibt genaudenbildernder2.reiheusw. somiteinebijektionvondermengedermonomeci;j(i2;j2)aufdiemengeder Beispiel:=(3;2),=(1;1;1;2) Bilderj1;:::;j1genaudenBildernder1.ReihedesTabloids,dieBilderj1+1;:::;j1+2 -TabloidevomInhalt. j2seq(),in1.nfvorliegenhaben.esentsprechendannnamlichinderfolgejdie DieseBijektionistalssolchebesondersgutzuerkennen,wennwirdieMonomecm;j, tlegttfestundumgekehrt.andertmanbeitdiereihenfolgevon(4;2;3;1;4)innerhalb der-blocke,somutnachobigerbemerkungimmernochtentsprechen. t:=423 t=c(1;1;1;2;2);(3;4;2;4;1)=c1;3c1;4c1;2c2;4c2;1 c1;4c1;2c1;3c2;1c2;4=c(1;1;1;2;2);(4;2;3;1;4)=:t 14!f(1;4);(1;2);(1;3);(2;1);(2;4)g!! f(1;3);(1;4);(1;2);(2;4);(2;1)g!342 entwedernachdererstenodernachderzweitensequenz,waswegenderkommutativitat 2.NF: UmvoneinerNormalformindieanderezugelangen,sortiertmaneinfachdasMonom In2.NFspieltdieReihenfolgeinnerhalbder-BlockekeineRolle.ObigesMonomin j2j1j1j12j=c(2;1;1;1;2);(1;2;3;4;4)=c(2;1;1;2;1);(1;2;3;4;4)=j2j1j1j21j 41=t vonrk(n)moglichist. zukonstruieren.dafurermittelnwiralleverschiedenenmonomeci;jmiti2seq() $!c(1;1;1;2;2);(4;2;3;1;4)=c(2;1;1;1;2);(1;2;3;4;4)=j2j1j1j12jbzw: undj2seq(). WirwendenunsjetztderAufgabezu,eineTransversaleder-TabloidevomInhalt j2j1j1j21j=c(2;1;1;2;1);(1;2;3;4;4)=c(1;1;1;2;2);(2;3;4;1;4) $342 41! heit?-bahnvoni Denition:Seii2rr.DieMenge?(i):=fij2?g

10 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN Korollar:ZweiMonomeci;mundck;min2.NFsindgenaudanngleich, wenndie-sequenzeni,kinderselben?-bahnliegen. 9 Beweis:MitKorollar1.1.18gilt: esfolgtmitbemerkung ci;m=ck;m,92?r:i=k^m=m; bringenlat.wirentnehmenalsojeder?-bahnvon-sequenzeneinenreprasentanten nachkorollar1.1.18aufmonomein2.nfbeschranken,dasichjedesmonomauf2.nf Bemerkung:ZurKonstruktionallerverschiedenenMonomekonnenwiruns d.h.iundkliegeninderselben?-bahn. ci;m=ck;m,92?:i=k; undinterpretierendiesedannalsmonomein2.nf. 2

11 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN ImfolgendenKapitelwirdderBasissatzfurJamesGewichtsraumebewiesen,dereine 1.2JamesGewichtsraume 10 hat.derbeweiszudieserverallgemeinerungfolgtindergrundideedembeweisvon VerallgemeinerungdesBasissatzesfurSpechtmodulnist,denJames[2]durchgefuhrt Zimmermann[9]. EsseifurdasganzeKapitelneinenaturlicheZahl,einePartitionvonn,eine genaunteileundkeinfestgewahlterkorper Denitionen: uneigentlichepartitionvonninhochstensnteile,!=(1n)diepartitionvonnin b)sein02in,mitn0n.sei#`n0.daspaar(#;)heitpaarvonpartitionenfurn,wenngilt: M;:=M a)esbezeichne denk-vektorraum,derdurchdie-tabloidevominhalterzeugtwird. #iifurallei1: ftg2tab(;)kftg d)seit:[]!nein-tableau.als#;-polytabloidzutwird c)sei(#;)einpaarvonpartitionenfurn.mitct(#)wirddieuntergruppedes SpaltenstabilisatorsCTbezeichnet,diedieElementeauerhalbdesDiagramms deniert. [#]unverandertlat. e#; t:=x 2CT(#)sgn()ftg 1.2.2Beispiel:Sei#=(2;2)und=(3;2;2). FurdenRestdiesesKapitelssei(#;)immereinPaarvonPartitionenfurn. Furt= iste#; t2m;(2;2;2;1);namlich ftg?f(14)tg?f(25)tg+f(14)(25)tg= ? ? :

12 BilderinderselbenSpalte,sogilt:e#; KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN 1.2.3Korollar:Stehenbeieinem-Tableaut:[]!ninnerhalbvon[#]zweigleiche t=0: 11 Beweis:Esseien(a;b);(a0;b)dieStellenint,andenendiegleichenBilderinderselben Spaltebstehen.Esseij=T(a;b);k=T(a0;b).EsexistierteineUntergruppeHvon Wirhaben CT(#),furdiegilt: 1.2.4Denition:WirdenierendieFunktionsub:n!nwiefolgt: dat=(jk)t. e#; t=x2hsgn()ftg?x2hsgn()f(jk)tg=0; CT(#)=H[H(jk): WirerweiterndieDenitionvonsubaufnnmit sub(s)=r:()r?1 Xk=1k<srXk=1kfuralles2n: Bemerkung:Isti2Seq(!)dannistsub(i)2Seq(). Beweis:Seis2f1;:::;1g.Danngilt0<s1,d.h.sub(s)=1.Desgleichenwird Analogwirdsubauchauf-Tableauxdeniert. sub(i)=(sub(i1);:::;sub(in))furallei=(i1;:::;in)2nn: 2-maldieZweienthaltusw.,d.h.sub(i)2Seq(). DieSequenzienthaltjedesBildausngenaueinmal,sodasub(i)1-maldieEins, einbilds2f1+1;:::;1+2gwegen1<s1+2aufdiezweiabgebildet,usw. 2 Miti=(1;6;4;3;2;5)2Seq(!)istsub(i)=(1;3;2;1;1;2)2Seq().Fur 1.2.6Beispiel: Sei=(3;2;1),dannist sub(1)=sub(2)=sub(3)=1;sub(4)=sub(5)=2undsub(6)=3: t= ;erhaltmansub(t)= :

13 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN 1.2.7Denitionen: a)wirdenierendieabbildung ;:M;!!M;.Seiftg2Tab(;!),dannist 12 b) D#;;!:=X ;(ftg):=fsub(t)g: c) heit(#;;!)-jamesgewichtsraum. i2seq(!)e#; heit(#;;)-jamesgewichtsraum. D#;;:= ;(D#;;!) Ti 1.2.8Bemerkungen: b)d#;;!entsprichtdemvektorraums#;beijames[2].daruberhinausistd;;! a)dieabbildung ftgexistiertein-tableaut0mitftg=fsub(t0)g: gleichdemspechtmoduls. ;isteink-epimorphismus,dennzujedem-tabloidvominhalt c)esseit:[]!nein-tableau.dannist ;(e#; t)=e#; 1.2.9Beispiel: Diesentsprichtdem#;-Polytabloidzusub(t),dasub(t)=sub(t)fur alle2?n. ;(e#; t)=x 2CT(#)sgn() ;(ftg)=x sub(t);denn Sei=(3;3);=(3;2;1)und!=(16). 2CT(#)sgn()fsub(t)g: Mit#=(2;2)ist Furftg= M;!ist ;(ftg)=111 ;(e#; e#; t= M;: t)= ?211 ; 123? ? ? =e#; : sub(t): 126!=

14 gemacht.voneinersolchenbasisausgehend,kannmaneinerzeugendensystemvon DiefolgendenDenitioneninJames[2]wurdenzurBestimmungderBasisvonD#;;! KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN UnsereAufgabebestehtdarin,dieBasisvonD#;;zubestimmen. 13 D#;;bestimmen Denitionen: b)sein2in;einepartitionvonnundi2seq(),dannwirddiequalitatjedes a)ein?tableaut:[]!nheitstandard,wenndiebilderentlangderzeilen monotonundentlangderspaltenstrengmonotonwachsen. einzelnenbildesvoniwiefolgtdeniert: 1.Alle1'ensindgut. d)durchfolgendekonstruktionwirdeineabbildungvonseq()indiemengeder c)seq(#;)istdiemengederjenigensequenzeni2seq(),beidenenfurjede 2.Furbeliebigesk1isteinauftretendesk+1genaudanngut,wenndie -Tableauxdeniert: positivezahlkdieanzahlderguteniniauftretendenk'smindestens#kist. k+1'enist.andernfallsistdask+1schlecht. Anzahldervorherigengutenk'sechtgroeralsdieAnzahldervorherigen e)wirdeniereneinetotalordnung<tabaufdermengetab(;):esseienftg Seii2Seq().Tiwirdwiefolgtkonstruiert: undft0gzweiverschiedene-tabloidevominhalt,sunds0diejenigentableaux ausftgbzw.ft0g,dieentlangderzeilenmonotonwachsendsind. Esistftg<Tabft0g,wennsindererstenZeilevonunten,indersichsunds0 Istisgut,dannsetzessoweitwiemoglichinderis-tenReihenachlinks.Ist Furjedess=1;:::;n(indieserReihenfolge)fuhrefolgendesdurch: unterscheiden,lexikographischkleineristalss0. isschlecht,dannsoweitwiemoglichnachrechts Beispiel:BeiderfolgendenSequenzwurdenBildermitderQualitat'schlecht' durchxgekennzeichnet: (1;2;x2;3;x3;1;2;3;1;1)2Seq((4;2;2);(4;3;3)),da4gute1'er,2gute2'erund2 gute3'erenthaltensind. maenaus: Seii=(2;1;3;1;2)2Seq((2;1);(2;2;1)).DieKonstruktionvonTisiehtfolgender- (#2;1;3;1;2)7?! 1

15 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN (2;#1;3;1;2)7?!2 14 (2;1;#3;1;2)7?!2 (2;1;3;#1;2)7?!24 (2;1;3;1;#2)7?!24 1 damiti2seq(#;)tiinnerhalbdes#-diagrammsstandardist. BildeinesgutenElementessteht,dasinderSequenzvorrauftritt.Somitgiltallgemein, Sei=(3;2)und=(2;2;1).Die-TabloidevomInhalthabenfolgendeOrdnung: DieseKonstruktionsorgtdafur,daeinBildeinesgutenElementesrimmerunterdem <Tab123 12<Tab122 13<Tab Bemerkung:JamesbeweistinseinerArbeit,da 22<Tab112 EinErzeugendensystemfurD#;;istalsowegen einek-basisfurd#;;!ist. fe#; Tiji2Seq(#;)g ;(e#; t)=e#; sub(t)(siehebemerkung1.2.8)diemenge Lemma:Seii2Seq(#;),=(k;k+1);(k2f1;:::;n?1g)eineTranspo- Isti2Seq(#;),danngilte#; sitionaus?(i)mitik<ik+1 DiesesErzeugendensystemgilteszuminimieren. fe#; sub(ti)ji2seq(#;)g: 23: fallsi62seq(#;),habenwire#; beitiindieil-tezeilediezahlleingetragen,diedannzusub(l)wird.dasbedeutet, sub(ti)=e#; dadieersten1stellenvoniaufdie1,diedarauolgende2stellenvoniaufdie2 Beweis:WirbetrachtendieAbbildungi7!sub(Ti).Furdiel-teStellevoniwird sub(ti)=0: sub(t(i)); abgebildetwerdenundsoweiter. WirunterscheidenzweiFalle:

16 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN i)durchdietranspositionandertsichdiequalitatdesbildesderstellek+1nicht. Diesistnurmoglich,wennauchi2Seq(#;).Da2?,liegendieStellenk undk+1imselben-block,siewerdenfolglichunabhangigvonaufdieselbe 15 ii)dietranspositionandertdiequalitatdesbildesderstellek+1. Zahlabgebildet,d.h.sub(Ti)=sub(T(i)). DamitdieseWirkunghatmussenfolgendeBedingungengelten: Istnuni2Seq(#;),sostimmeninnerhalbvon[#]sub(Ti)undsub(T(i)) ik+1=ik+1. diezeilenalsmengensindgleich,dadiequalitateineselementesinibeider DieAnzahlpderbiszurStellek?1iniauftretenden'guten'ik'sistgleich KonstruktionvonTikeinenEinuaufdieZeilen,sondernnuraufdieSpalten uberein.auerhalbvon[#]konnensichdiesetableauxzwarunterscheiden,aber deranzahlderbiszurstellek?1auftretenden'guten'ik+1'en. hat. InisinddieStellenkundk+1'gut'. Die#;-Polytabloidevont=sub(Ti)undt0=sub(T(i))sindgleich,da beitabloidendiereihenfolgeinnerhalbderzeilenkeinerollespieltundtundt0 Isti62Seq(#;),soliegtdasBildderStellek+1voniinTiinnerhalbvon [#].SindwiralsobeiderKonstruktionvonTianderStellek?1angelangt, habenwirdiesituation,dainderzeileikundinderzeileik+1genaudieersten pstellenbelegtsind.somitstehenkundk+1intiinderspaltepinden innerhalbvon[#]ubereinstimmen. Zeilenikundik+1.kundk+1sindimgleichen-Blockvoni,dasbedeutetfur Denition:Seq(#;)wirddeniertalsdieMengevonSequenzeni2 sub(ti),dainnerhalbvon[#]zweigleichebildersub(k)stehen.somitfolgt Seq(#;),furdieientlangder-Blockemonotonfallendist. mitkorollar1.2.3: e#; sub(ti)=0: 2

17 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN Satz:DieMengefe#; sub(ti)ji2seq(#;)g 16 Beweis: isteinek-basisvond#;;. i)erzeugendensystem: Esseii2Seq(0;).WirwahleneineTransposition1=(k;k+1)2?,mit ii)lineareunabhangigkeit: ik<ik+1.isti162seq(0;)soistnachlemma1.2.13e#; Andernfallsiste#; 1)2?wahlenmitjk0<jk0+1unddasVerfahrenwiederholen.Nachendlichvielen Wiederholungenerhaltenwirentwederi2Seq(#;),wobei=12:::,oder e#; sub(ti)=0: sub(ti)=e#; sub(t(i1))undwirkonnenfurj=i1ein2=(k0;k0+ sub(ti)=0. Seieni;j2Seq(#;),i6=j.j62?(i),daiundjentlangder-Blocke Wirdurfenannehmen,daix>jx. absteigendsortiertsind. EsseixdieersteStelle,andersichiundjunterscheiden.xseiimk-ten-Block. SindwirbeiderKonstruktionvonsub(Ti)anderStellexangelangt,tragenwir inderzeileixsub(x)=kein.beijstehenabderstelleximk-ten-blocknur Bilder,diekleineralsixsind,d.h.dainsub(Ti)inderZeileixmindestens einmalmehrkstehtalsinsub(tj).wirhabenalso: Esseit=sub(Ti).ImTragervone#; groteelementinderordnung<tab,datstandardin[#]. EsseijSeq(#;)j=m.i1;:::;imseiendieSequenzenSeq(#;). OhneBeschrankungderAllgemeinheitkonnenwirannehmen,da i;j2seq(0;);i6=j=)fsub(ti)g6=fsub(tj)g: fsub(tir)g<tabfsub(tis)g;fallsr<s. sub(ti)miti2seq(#;)istftgdas WirbetrachtendieGleichung Dannistkm=0,dafsub(Tim)gimTragervone# auchkm?1=km?2=:::=k1=0. keinempolytabloidsonst.mitdergleichenargumentationkannmanzeigen,da k1e#; sub(ti1)+:::+kme#; sub(tim)=0: sub(tim)enthaltenist,aberin 2

18 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN Korollar:Seienn;n02INmitn0n,#`n0,(#;)einPaarvonPartitionen furnundeinepartitionvonninhochstensnteile.seieinepartitionvonn0?1, 17 Esgilt a) =(#1;:::;#i?1;#i?1;#i+1;:::);#i1: Beweis: b) a)wirzeigen,daeinbeliebigespolytabloidausd#;;!ind;;!enthaltenist.sei D#;;!D;;!; t=ti,i2seq(!)undf1;:::;kgeinetransversalederrechtsnebenklassenvon CT()inCT(#).WirhabenD#;;D;;: =X 2CT()sgn(1)f1tg+:::+X e#; t=x 2CT(#)sgn()ftg= b)folgtausa)wegend#;;= =sgn(1)e; ;(D#;;!) 1t+:::+sgn(k)e; 2CT()sgn(k)fktg= ;(D;;!)=D;;: kt2d;;!: 2

19 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN ZurErzeugungeinerBasisvonM;gehtmanwiefolgtvor:Mandurchlauftdie- 1.3AllgorithmenzuJamesGewichtsraumen 18 Monomeci;jmiti2Seq();j2Seq(),furdiemanleichtdiezugehorigen-Tabloide SequenzeninlexikographischerReihenfolgeundspeichertnurdiejenigen,dieentlang 1.3.1Beispiel:=(3;2),=(2;2;1) vominhaltermittelnkann,diedanneinebasisvonm;bilden(siehekapitel1.1). der-blockemonotonfallendsind.soerhaltmanausjedem?-orbitgenaueinen Reprasentanten.NachBemerkung1.1.23erhaltmanaufdieseWeisealleverschiedenen m1=j11j21j2j=c(1;1;2;1;2);(1;1;2;2;3) m2=j11j22j1j=c(1;1;2;2;1);(1;1;2;2;3) (j11j12j2j=m1) m3=j21j11j2j=c(2;1;1;1;2);(1;1;2;2;3) (j12j11j2j=m3) (j12j12j1j=m4) (j12j21j2j=m4) alsodiessindalleverschiedenenmonomeci;mmiti2seq().diebasisvonm;ist c(1;1;2;1;2);(1;1;2;2;3)=c(1;1;1;2;2);(1;1;2;2;3)7!112 m4=j21j21j1j=c(2;1;2;1;1);(1;1;2;2;3) m5=j22j11j1j=c(2;2;1;1;1);(1;1;2;2;3) (j21j12j1j=m4) c(1;1;2;2;1);(1;1;2;2;3)=c(1;1;1;2;2);(1;1;3;2;2)7!113 c(2;1;1;1;2);(1;1;2;2;3)=c(1;1;1;2;2);(1;2;2;1;3)7!122 23=:b1 c(2;1;2;1;1);(1;1;2;2;3)=c(1;1;1;2;2);(1;2;3;1;2)7!123 22=:b2 c(2;2;1;1;1);(1;1;2;2;3)=c(1;1;1;2;2);(2;2;3;1;1)7!223 13=:b3 12=:b4 11=:b5

20 KAPITEL1.DARSTELLUNGSTHEORETISCHEGRUNDLAGEN monotonfallendsind,unduberpruft,obdieseinseq(#;)undsomitinseq(#;) ManbetrachtetalsonurdiejenigenSequenzenausSeq(),dieentlangder-Blocke FurdieErzeugungeinerBasisvonD#;;benotigenwirSequenzenausSeq(#;). 19 m1;m2;m3;m4undm5ausdemvorherigembeispielbetrachtenunddiesealssequenzen enthaltensind Beispiel: auassen: Essei;wieobenund#=(2;1).WirmussennurdieMonomein2.Normalform (1;1;2;1;2)2Seq(#;) DieBasisvonD#;;istalso(1;1;2;2;1)2Seq(#;) (2;1;1;1;2)2Seq(#;) (2;1;2;1;1)2Seq(#;) sub(t(1;1;2;1;2))=112 (2;2;1;1;1)62Seq(#;) sub(t(1;1;2;2;1))=113 sub(t(2;1;1;1;2))=122 23?212 22?213 31?322 MonomsummendiefolgendeForm: UnterVerwendungder2.NormalformhabendiedenPolytabloidenentsprechenden e#; sub(t(2;1;2;1;1))=123 21?223 sub(t(1;1;2;1;2))7!j11j21j2j?j21j11j2j sub(t(1;1;2;2;1))7!j11j22j1j?j21j21j1j 11 implementiertundkonnenjederzeitzurverfugunggestelltwerden. DieAlgorithmenzurErmittlungderBasenvonM;undD#;;,wurdeninC e#; sub(t(2;1;1;1;2))7!j21j11j2j?j22j11j1j sub(t(2;1;2;1;1))7!j21j21j1j?j22j11j1j

21 Codierungstheoretische Kapitel2 IndiesemKapitelwerdenzunachstdieallgemeinenGrundkonzeptederallgebraischen Anwendungen 2.1EinfuhrunginalgebraischeCodierungstheorie Codierungungstheorievorgestellt,dabeiwerdenweitgehendDenitionenvonHill[1] verwendet.dannbefassenwirunsmitlinearencodesuberendlichenkorpern. KanalsentstehendenUbertragungsfehlerzuerkennenundwennmoglich,zukorrigieren. habenfolgendesmodel: ZielderCodierungstheorieistes,Nachrichtenmoglichstfehlerfreizuubertragen.Wir 2.1.1Denitionen: QuelleNachricht?!CodiererCodewort?!Rauschen KanalEmpfangenes #?!Decodiererdecodierte a)eineendlichenichtleeremengea=fa1;a2;:::;akg DieAufgabederCodierungstheoriebestehtnundarin,diedurchdasRauschendes Wort?!Senke b)eineendlichefolgevonbuchstaben heitalphabet,ihreelementesindbuchstaben. c)eincodeuberaisteinenichtleereteilmengevonan. heitwortderlangen.diemengeallerworterderlangenwirdmitan bezeichnet. x=(x1;x2;:::;xn);xi2a,furallei2n 20

22 KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN UmUbertragungsfehlernaheruntersuchenzukonnen,mussenwirsiemebarmachen Denitionen: 21 b)seicaneincode.dannbezeichnetdiezahl a)dieabbildungd:anan!ir, heitderhamming-abstandzwischenxundy. d(x;y)=jfi2njxi6=yigj;x=(x1;:::;xn);y=(y1;:::;yn)2an 2.1.3Lemma:DerHamming-AbstandisteineMetrik,d.h. dieminimaldistanzvonc. dc=minfd(u;v)ju;v2c;u6=vg b)d(x;y)=d(y;x),furallex;y2an. a)d(x;y)=0,genaudann,wennx=y. d(x;y)gibtdiekleinsteanzahlderzuanderndenbuchstabenan,wolltemanxzuy Beweis:a)undb)sindklar,zuc): machen.mankannaberauchmitd(x;z)+d(z;y)anderungenzunachstxinzund dannzinyverwandeln.diezahlderanderungenistdannmindestensd(x;y). c)d(x;y)d(x;z)+d(z;y),furallex;y;z2an Satz:SeiCAneinCode. beschreibtd(x;y)dieanzahlderaufgetretenenfehler. a)ckannbiszusfehlererkennen,wenndcs+1. WenneinCodewortxgesendetwurdeundderVektoryempfangenwurde,dann 2 Beweis: b)ckannbiszutfehlerkorrigieren,wenndc2t+1. a)seidcs+1undxeincodewort,beidessenubertragunghochstenssfehler seinundsokonneneventuelleubertragungfehlererkanntwerden. aufgetretensind.derempfangenevektorkannkeinvonxverschiedenescodewort

23 KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN b)seidc2t+1,xdasgesendetecodewortundyderempfangenevektor,dersich vonxinhochstenststellenunterscheidet,d.h.d(x;y)t.istx0einanderes Codewortalsx,dannistd(x0;y)t+1,daandernfallsd(x0;x)d(x;y)+ 22 yjetztalsx,hatmaneventuellaufgetretenefehlerkorrigiert. Dasbedeutet,daxdasCodewortist,daszuyamnachstenist.Decodiertman d(x0;y)2tgeltenwurde,waseinwiderspruchzudc2t+1ist. distanzistdrei,dercodeistalsoinderlagezweifehlerzuerkennenundeinenfehler 2.1.5Beispiel:SeiA=f0;1g;n=9.DieNachrichtenseienTripel(x1;x2;x3);xi2 zukorrigieren. CodewortfurdieNachricht(x1;x2;x3)ist(x1;x2;x3;x1;x2;x3;x1;x2;x3).DieMinimal- A;i=1;2;3.DieCodierungbestehedarin,die3-Tupeldreimalzuwiederholen,d.h.das 2 DerDecodiererkann,wennhochstenseinFehlerauftritt,diesenkorrigieren.Wareder empfangenevektoraberz.b.(1,0,0,1,0,0,1,0,1)gewesen,d.h.eswarenzweifehleraufgetreten,sohattederdecodiererzwarerkannt,dadieubertragungfehlerhaftwar,aber Nachricht=(1;0;1)?! (1;0;1;1;0;0;1;0;1)(1;0;1;1;0;1;1;0;1)7!(1;0;1)?!empfangene (1;0;1)7!(1;0;1;1;0;1;1;0;1)?! Codierer (1;0;1;1;0;#0;1;0;1)?! Nachricht=(1;0;1) Rauschen behandelt Denitionen:Sein2IN. qelementen,bezeichnetmitfq.endlichekorperwerdenim3.kapitelausfuhrlich ImWeiterenbesteheunserAlphabetAausdenElementeneinesendlichenKorpersmit erhatte(1,0,0)alsnachrichtweitergegeben. b)ein(linearer)[n,k]-codeuberfqisteink-dimensionalerunterraumeinesndimensionalenfq-vektorraums. a)einlinearercodeuberfqisteinunterraumeinesfq-vektorraums. ImBeispielhandelteessichalsoumeinenlinearen[9,3,3]-CodeuberF2. c)ein(linearer)[n,k,d]-codeuberfqisteink-dimensionalerunterraumeinesndimensionalenfq-vektorraumsmitminimaldistanzd. ImAllgemeinenwirdeseinZielderCodierungstheoriesein,[n,k,d]-Codesmitkleinem n,moglichstgroemkundmoglichstgroemdzunden Denition:Einekn-Matrix,derenZeilenvektoreneineBasisfureinenlinearen [n;k]-codedarstellen,heitgeneratormatrixzudiesemcode.

24 2.1.8Beispiel:EineGeneratormatrixzum[9,3,3]-CodeausBeispiel1istz.B. KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN mittelsmultiplikationcodiertwerdenkann: DieseMatrixhatdaruberhinausdieEigenschaft,dadiezuubertragendeNachricht (x1;x2;x3) =(x1;x2;x3;x1;x2;x3;x1;x2;x3): : G0,dieausGmitHilfefolgenderOperationenerzeugtwerdenkann: 2.1.9Bemerkung:IstGeineGeneratormatrixvomCodeC,dannauchjedeMatrix AllgemeinwerdeninderPraxisMatrizenalsCodiererlinearerCodesverwendet. (Z2)MultiplikationeinerZeilemiteinemElementg2Fqnf0g. (Z1)PermutationenderZeilen Denitionen: Beweis:NachjederdieserOperationenspannendieZeilenvektorenimmernochden UnterraumCauf. (Z3)Additiondesg-facheneinerZeilezueineranderen,wobeig2Fq. a)zweilinearecodesc1undc2heienaquivalent,wenneinegeneratormatrix vonc1durchfolgendeoperationenineinegeneratormatrixvonc2ubergefuhrt werdenkann: 2 b)einegeneratormatrixgeines[n,k]-codesheitinstandardform,wenn (S1)PermutationderSpalten. (S2)MultiplikationeinerSpaltemiteinemElementg2Fqnf0g. wobeiikdiekk-einheitsmatrixistundaeinekn?k-matrix. G=[Ik;A];

25 Code,y=(y1;:::;yk);y1;:::;yk2FqeinVektormiteinerzucodierendenNachricht, wennmanmithilfedieserdiecodierungvonnachrichtenvornimmt.seicein[n;k]- KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN DiebesondereBedeutungderStandardformvonGeneratormatrizenwirddeutlich, 24 Codevektory0wegen G=[Ik;A]dieGeneratormatrix,mitdercodiertwird.Dannenthaltderzuygehorige indenerstenkeintragendienachricht.alleweitereneintragesindprufeintrage,mit derenhilfeman,fallsfehlerbeiderubertragungauftreten,dieseaufspurenundgegebenenfallskorrigierenkann Bemerkungen: y0=y[ik;a] b)jedegeneratormatrixkannmitdenoperationen(z1),(z2),(z3),(s1)und(s2) a)aquivalentecodesstimmeninihrencodierungstheoretischeneigenschaften a)esseienz1;:::;zkdiezeilenvektorenvonc.(s1)bedeutetfurdiezeilenvektoren,daihreeintragealleindergleichenweisepermutiertwerden.beieinem Beweis: instandardformgebrachtwerden. uberein,d.h.siehabendiegleichedimensionunddiegleicheminimaldistanz. beliebigencodevektorxwerdensomitnurdieeintragepermutiert,d.h.weder b)mangehtwiefolgtvor: DimensionnochMinimaldistanzverandert. (S2)andertnichtdenRangvonG,d.h.dieDimensionenaquivalenterCodessind CodevektorenundsomitdieMinimaldistanzbleibendadurchunbeeinut. ManpermutiertdieSpalten,bisindererstenZeilederersteEintragverschieden gleich.(s2)entsprichtbeidencodevektoreneinermultiplikationeineseintrages von0ist.manteiltdieerstezeiledurchdieseneintragundsetztihnsomit miteinemvon0verschiedenemelementausfq.derhamming-abstandbeliebiger auf1.alleweitereneintragedieserspaltewerdenauf0gebracht,indemman DiesesVerfahrenwiederholtmanfurdieubrigenZeilen2;3;:::;kunderhaltso entsprechendevielfachedererstenzeilevondenubrigenzeilenabzieht Denitionen: ZurAngabeeineseinfachenDecodierungsverfahrenssindfolgendeDenitionennotig. a)sein2in,x2fqneinvektor.dasgewichtwgt(x)wirddeniertalsdieanzahl Wirhabengesehen,wiemitHilfeeinerGeneratormatrixNachrichtencodiertwerden. diegewunschteform. 2 dervon0verschiedeneneintragevonx.

26 KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN b)sein2in,ceinlinearer[n;k]-codeuberfq.eine(slepian)standardmatrix SCzuCisteineqn?kqn-Matrix,diewiefolgtkonstruiertwird: 25 iii)furjedespaltetragemanindiezweitezeilev2+w,wobeiwdervektoraus iv)dieswiederholemanfurdiedrittezeilemitv32fqnn(c[(v2+c))usw. ii)manwahleeinenvektorv22fqnnc,derminimalesgewichthat. i)manschreibtindieerstezeileallecodeworterausc,wobeimanmitdem Codewort0beginnt. dererstenzeileist.

27 2.1.13Bemerkung:JederVektorausFqnkommtinSCgenaueinmalvor,dadie Nebenklassena+Cundb+Cfurb62a+CdisjunktsindundFqn=(0+C)[(v1+ KAPITEL2.CODIERUNGSTHEORETISCHEANWENDUNGEN C)[(v2+C)+:::: 26 derubertragungsfehlergeringist.mangehtmiteinemempfangenenvektorywiefolgt FurdieMaximum-LikelihoodDecodierunggehtmandavonaus,dasdieAnzahl vor:ermittlungderspalteivonsc,inderysteht. istx=y?vj.umeincodewortzuerhalten,mumanvonyeinenvektorv02vj+c Esgilt: abziehen.vjistinvj+ceinvektorvonminimalemgewicht,esgiltalso Beweis:ysteheinderj-tenZeilevonSC,d.h.y2vj+C.NachKonstruktionvonSC DenVektorxausgeben,derinSCindererstenZeileinderSpalteisteht. d(y;x0)=wgt(y?x0)y?x02vj+c d(y;x0)d(y;x)furallex02c Beispiel:Wirbetrachtenden[6,2,3]-CodeCuberF2mitderGeneratormatrix wgt(vj)=d(y;x): DieerstendreiZeileneinerStandardmatrixzuCsindz.B. G=" #: 2 mitdemgeringstenabstandzuy. IsteinempfangerVektorz.B.y=(1;1;0;1;0;1),soist(0;1;0;1;0;1)dasCodewort (0;0;0;0;0;0)(1;0;1;0;1;0)(0;1;0;1;0;1)(1;1;1;1;1;1) (1;0;0;0;0;0)(0;0;1;0;1;0)(1;1;0;1;0;1)(0;1;1;1;1;1) (1;1;0;0;0;0)(0;1;1;0;1;0)(1;0;0;1;0;1)(0;0;1;1;1;1)