|
|
- Lena Fuhrmann
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 EinfuhrungundGrundlagen Lie-Gruppen HansGeorgFreiermuth HermannSchonecker FlorentineBunke MathiasSchulze NorbertGob Wintersemester1996/1997 Sommersemester1996 1
2 Inhaltsverzeichnis 1Lie-Gruppen:DenitionundBeispiele 1.1TopologischeGrundlagen DenitionderLie-Gruppe... 2LiealgebrenundlinksinvarianteVektorfelder 1.3DirekteFolgenderDenition Beispiele BeispielevonLiealgebren 3.1DenitionderLiealgebra BeziehungenzwischenLiegruppenundLiealgebren DieLiegruppeRundihreLiealgebra DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra Links{invarianteFormen 3.5DieLiealgebreneinigerklassischerGruppen p{FormenalsalternierendemultilineareAbbildungen NotationenundVorbemerkungen Links{invarianteFormen DielinksinvariantenFormenderGL(n;R) Homomorphismen 6FlusseundEinparametergruppen 6.1BeziehungzwischenFlussenundVektorfeldern FlusseaufLie{Gruppen DieExponentialabbildungaufLie-Gruppen 7.1DenitionundEigenschaften Beispiele
3 1Denition1.1EintopologischerRaumMheitzusammenhangend,wennfuralleoenenTeil- mengen;6=a;bmmita[b=mfolgt,daa\b6=;. (vgl.[heuser]). Denition1.2EineTeilmengeAMeinestopologischenRaumesheit Denition1.3Seip2MeinElementeinestopologischenRaumes,soheitdiegrotezusam- zusammenhagend,wennainderinduziertentopologiezusammenhagendist. 1.1TopologischeGrundlagen Lie-Gruppen:DenitionundBeispiele OhneBeweis. Lemma1.4DieZusammenhangskomponenteneinerMannigfaltigkeitMsindoen. menhagendeteilmengezmmitp2zdiezusammenhangskomponentevonp. Lemma1.5EintopologischerRaumMistgenaudannzusammenhagend,wennM;;dieeinzigen Beweis: Mengensind,diezugleichoenundabgeschlossensind. ")\SeiMzusammenhagend,;6=AMoenundabgeschlossen.(AlsoAC:=MnAoen).Dann "(\SeienM;;dieeinzigenoenenundabgeschlossenenMengen,;6=A;BMoenmitA[B=M. ista[ac=munda\ac=;.damzusammenhagendist,kannnurac=;gelten. Lemma1.6DasBildeinerzusammenhagendenMengeuntereinerstetigenAbbildungistzusammenhagend. AngenommenA\B=;.DannwareA=BCoen,d.h.Babgeschlossen.Widerspruch. f?1(a)=:a;f?1(b)=:boen(dafstetig).dafsurjektivist,sinda;b6=;(daa;b6=;).sei zusammenhagend.danngabeesoeneteilmengen;6=a;bnmita[b=n,a\b=;.also nunx2a\b,soistf(x)2a\b=;,alsoistaucha\b=;.seiandererseitsx2m.dannist Beweis:SeiMzusammenhagend,f:M!Nstetigundsurjektiv.Angenommen,Nwarenicht f(x)2a[b,alsof(x)2aoderf(x)2b,d.h.x2aoderx2b.daheristx2a[b=m. Lemma1.6istbewiesen. Mzusammenhagendist.DahermudieAnnahme,Nseinichtzusammenhagend,falschseinunddas Danun;6=A;BmitA[B=MundA\B=;gefolgertwurde,widersprichtderTatsache,da Denition1.7Sei(M;O)eintopologischerRaum.EineTeilmengeBOheitBasisvonO,wenn sichjedeoenemengeo2oalsvereinigung darstellenlat,wobeibi2b. [i2ibi=o 1.2DenitionderLie-Gruppe Lie-Gruppe,wenndieAbbildungGG!G,(;)7!?1eineC1-Abbildungist. Denition1.8EineGruppe(G;),diegleichzeitigeinedierenzierbareMannigfaltigkeitist,heit 3
4 Corollar1.9SeiGeineLie-Gruppe,dannsind 1.3DirekteFolgenderDenition C1-Abbildungen. Beweis: 7!?1und(;)7! 2.(;)7!istKompositionvon(;)7!(;?1)7!(?1)?1=unddaherC1. 1.7!?1istdieKompositionderC1-Abbildungen7!(1;)7!1?1=?1,alsoebenfalls einec1-abbildung. Corollar1.10SeiGeineLie-Gruppe.Danngilt: Beweis: 2.dieZusammenhangskomponentenvonGsinddieomorphzuE. 1.dieZusammenhangskomponenteEGdesneutralenElements1istebenfallseineLie-Gruppe. 1. Eistzusammenhagend,alsoistEnachLemma1.4oen.DaheristEGeineUntermannigfaltigkeitvonhochstensgleicherDimension. {Seix2E.WegenCorollar1.9istdieAbbildungf:E!G,7!xdierenzierbar,also insbesonderestetig.nachlemma1.6istf(e)zusammenhagend.wegenf(1)=x2e istf(e)e,wieunmittelbarausderdenitionderzusammenhangskomponente EistUntergruppevonG: DaheristEUntergruppevonG {Analogfolgtausg:E!G,x7!x?1istC1,dag(E)E,denng(1)=12E.Also istmitx2eauchx?12e. hervorgeht.alsoist8x;y2eauchxy2e. 2.SeiZGeineZusammenhangskomponente,z2Zbeliebig.AnalogzuobigemistE!G, Insgesamtfolgt,daEeineLie-Gruppeist. 7!zeineC1-Abbildung.Daherist(1z=z2Z,Lemma1.6)EzZ.EbensoistZ!G, Abbildungenzueinanderinverssind,alsoDieomorphismenzwischenEundZ. 7!z?1eineC1-Abbildung,alsoZz?1E.Durcheinsetzensiehtmandadiebeideno.g. abzahlbarvielenzusammenhangskomponenten. tability\).daherbesitztdorteinelie-gruppeinsbesondereeineabzahlbarebasis. Corollar1.11SeiGeineLie-GruppemithochstensabzahlbarerBasis.DannbestehtGaushochstens Bemerkung:Bei[Warner]besitztjedeMannigfaltigkeitperdef.eineabzahlbareBasis("secondcoun- Sk2KiBk,Bk6=;,;6=KiN(sonstZi=;).Daherist SeiB=:(Bn)n2NeineabzahlbareBasisvonG.Seii2I.DaZioenist(Lemma1.4),istZi= Beweis:Seien(Zi)i2I(IeineIndexmenge)dieZusammenhangskomponentenvonG,d.h.G=[i2IZi. G=[i2IZi =[i2i[ = k2[ i2ikibk [ k2kibk 4
5 insbesonderebkzi\zj=;,waseinwiderspruchzubk6=;ware.daalso[i2ikinist,kann maniinneinbettenvermogei,!n,i7!min(ki).alsoistiabzahlbar. Esistalso[i2IKiN,dennwaredieVereinigungnichtdisjunkt,sowaremitk2Ki\Kjfuri;j2I Lemma1.12IstGeinezusammenhagendeLie-GruppeundUGeineUmgebungvon1.Dannist wobeiun:=(nyi=1xijxi2u). G=1[n=1Un; oen).sei Beweis:SeiVUoenmit12V,s.d.V?1=V(V?1:=f?1j2Vg).(z.B.V=U\U?16=;, fallsuoen,dennderschnittvonoenenmengenistoen,12u\u?1,7!?1stetigalsou?1 HGisteineUntergruppe,wiemansofortveriziert.WeiterhinistVnistoen,da82Hdie AbbildungV!Vstetigist.AlsoistHGoen,alsVereinigungoenerMengen.DaHGruppeist, H:=1[n=1Vn1[n=1Un: istxy:,xy?12heineaquivalenzrelation.dieseunterteilthin(disjunkte)aquivalenzklassen. Alsoist DajedesxHoenist,istauchHCoen.AlsoistHoenundzugleichabgeschlossen,H6=;,Gist HC=[ zusammenhangend.alsofolgtmitlemma1.5,dah=g. [x]6=[1]xh: Basis,dennRdhateineabzahlbareBasis.NachdemLemma1.12hatdamitauch Beweis:SeiVGeineUmgebungder1.UberdieKarteVstetig Corollar1.13IstGeinezusammenhagendeLie-Gruppe,sohatGeineabzahlbareBasis. G=1[n=1Vn!ARdbesitztVeineabzahlbare Corollar1.14BestehteineLie-GruppeGausabzahlbarvielenZusammenhangskomponenten,sobesitztGeineabzahlbareBasis. Beweis:AlleZusammenhangskomponentensinddieomorphzurKomponenteder1(Corollar1.10). alsoeineabzahlbarebasisvong. Komponentenbesteht,istdieVereinigungderBasendereinzelnenKomponentenwiederabzahlbar, DiesebesitztwegenCorollar1.13eineabzahlbareBasis.DaGausabzahlbarvielenabzahlbaren eineabzahlbarebasis. 5
6 1.4Beispiele Beispiel1.15(Rn;+)isteineLie-Gruppe. Beweis:MitdemAtlasfidg,d.h.mitderVervollstandigungdesAtlas,dernurdieIdentitatidauf ist,istsieinsbesonderec1. Rnenthalt,istRneinedierenzierbareMannigfaltigkeit.DadieAbbildung(x;y)7!x?ypolynomial Beweis:MitdemAtlasf(x+{y)7!(x;y)gistCeinedierenzierbareMannigfaltigkeit.DieGruppenabbildung Beispiel1.16(C;)isteineLie-Gruppe.(C:=Cnf0g). istc1,dasierationalundy6=0ist. (x1+{x2;y1+{y2)7!xy?1= y21+y2(x1y1+x2y2+{(x2y1?x1y2)) 1 Beispiel1.17DerEinheitskreisS1CisteineLie-GruppemitderMultiplikationaufC. Beweis:Seip=(0;p2)2f(0;1);(0;?1)g,soistfurx=(x1;x2)6=pdieAbbildung einekarte(stereographischeprojektion),dieeinenc1-atlaserzeugt.alsoists1einedierenzierbare Mannigfaltigkeit.DieGruppenoperation((x1;x2);(y1;y2))7!xy?1=(x1y1+x2+y2;x2y1?x1y2)ist x7!p2x1 C1(vgl.Beispiel1.16).Alsoist(S1;)Lie-Gruppe. p2?x2 StrukturalsC1-MannigfaltigkeiteineLie-Gruppe. Beispiel1.18SeienG;HLie-Gruppen,soistGHmitden"Produktoperationen\undderProdukt- Beweis:GHistHausdorschinderProdukttopologie(vgl.Vektoranalysis).DieProduktkarten sindc1.weiterhinistdiegruppenoperation ':GH!RnRm ((x1;x2);(y1;y2))7!(x1x?1 (x;y)7!('(x); 2;y1y?1 (y)) koordinatenweise,alsoinsgesamt,c1.daheristgheinelie-gruppe. 2) Beweis:(S1)nistLie-GruppewegenBeispiel1.17undBeispiel1.18. Beispiel1.19Dern-Torus(S1)nisteineLie-Gruppe Beispiel1.20DieGruppeGL(n;R)derinvertierbarennn-MatrizenistmitderMatrix-MultiplikationeineLie-Gruppe. 6
7 detalspolynomialefunktionstetigist,gibteseineumgebungu(a)rnnmitu(a)gl(n;r). Beweis:GL(n;R)Rn2istHausdorschalsTeilraum.FuralleA2GL(n;R)istdet(A)6=0.Da DaheristidU(A)eineKartevonGL(n;R).DeshalbistfidgeinC1-Atlas,alsoGL(n;R)einedifferenzierbareMannigfaltigkeit.NunzudenGruppenoperationen:(A;B)7!AB= nx=1aibj! AbbildungenC1unddeshalbGL(n;R)Lie-Gruppe. tenweiserationalefunktionc1.damitistinsbesonderediekomposition(a;b)7!ab?1dieser istkomponentenweisepolynomial,alsoc1.aucha7!a?1=1 det(a)det(aji)ijistalskomponen- ij Beweis:DGL(n;R)istUntermannigfaltigkeit(vgl.Beispiel1.20).DistauchUntergruppevon Beispiel1.21DieMengeDderoberenDreiecksmatrizeninRnnisteineLie-Gruppe. GL(n;R),denn CA0B@ CA=0B@ CA CA?1= det()0b@ AlsoistDeineLie-Gruppe CA: Anschauung:MankanndieseLie-GruppealsdieGruppederanenAbbildungen("Bewegungen\) desrnansehenmit(a;x) Beispiel1.22GL(n;R)RnistmitderOperation(A;x)(B;y):=(AB;Ay+x)eineLie-Gruppe. keit(vgl.beispiele1.15und1.20).mitdemneutralenelement(id;0)istgl(n;r)rneinegruppe, dieserabbildungen. Beweis:AlsProduktzweierMannigfaltigkeitenistGL(n;R)RneinedierenzierbareMannigfaltig- dadieoperationdiekompositionderdurchdieelementegegebenen(invertierbaren)abbildungen!(7!a+x).diegruppenoperationistdannlediglichdiekomposition einelie-gruppe. C1.Wegen(A;x)(A?1;?A?1x)=(AA?1;A(?A?1x)+x)=(id;0)ist(A;x)?1=(A?1;?A?1x)und ist.dadiegruppenoperation(a;x)(b;y)=(ab;ax+y)komponentenweiselinearist,istsieauch daherist(a;x)7!(a;x)?1einec1-abbildung(vgl.beweiszubeispiel1.20).alsoistgl(n;r)rn Beispiel1.23RRistLie-Gruppemit(s1;t1)(s2;t2):=(s1s2;s1t2+t1). AnschauungundBeweis:DiesisteinSpezialfallvonBeispiel
8 2 LiealgebrenundlinksinvarianteVektorfelder Denition2.1Vektorfelder SeiMeineC1-Mannigfaltigkeit. EineAbbildungX:M!T(M):=_Sm2MTmMmitXm:=X(m)2TmM,furallem2M,heit VektorfeldaufM. FureineC1-Funktionf2C1(U)aufUMoen,seidieFunktionX(f)durchX(f)(m):= X(m)(f)=Xm(f),furallem2M,deniert. XheitC1,wennX(f)2C1(U),furallef2C1(U)mitUMoen. Denition2.2Differential SeienMundNC1-Mannigfaltigkeiten,m2Mund:M!NeineC1-Abbildung. DieAbbildungTm:TmM!T(m)NmitTm(m)(g):=m(g),furallem2TmMund g2c1(u((m))),heitdierentialvoninm. DieAbbildungT:T(M)!T(N)istdannpunktweisedeniertdurchT(m):=Tm(m)2N(m), furallem2tmm. Bemerkung2.3Istf2C1(M)eineC1-Funktion,sobezeichnedmfdasElementdmf2TmM:= (TmM)desCotangentialraumesvonMinmmitdmf(m):=m(f),furallem2TmM.Durch punktweisedenitiondf(m):=dmf(m),furallem2tmm,erhaltmandastotaledierentialvon f. IdentiziertmanR=TxRdurchddr(x)=1,furallex2R,soist Tmf(m)(g)=m(gf) =m(f)ddr(f(m))(g);8m2tmm;g2c1(u(f(m))),tmf(m)=dmf(m)ddr(f(m))=dmf(m);8m2tmm,tf=df: SatzundDenition2.4Lie-Klammern IstMeineC1-MannigfaltigkeitundsindXundYC1-VektorfelderaufM. Dannerhaltmandurch[X;Y]m():=Xm(Y())?Ym(X()),furallem2M,einVektorfeld[X;Y] aufm,daslie-klammervonxundyheit. Beweis: SeienUMoen,f;g2C1(U)und;2Rbeliebig. DaX;Y2C1(U)istX(f);Y(f)2C1(U)undsomitXm(Y(f))?Ym(X(f))deniert. WegenX(fg)(m)=Xm(fg)=f(m)Xm(g)+g(m)Xm(f) =f(m)x(g)(m)+g(m)x(f)(m) =(fx(g)+gx(f))(m);8m2u istx(fg)=fx(g)+gx(f)undanalogy(fg)=fy(g)+gy(f). MitX(Y(fg))?Y(X(fg))(m)=Xm(Y(fg))?Ym(X(fg)) =Xm(fY(g)+gY(f))?Ym(fX(g)+gX(f)) =f(m)xm(y(g))+y(g)(m)xm(f) +g(m)xm(y(f))+y(f)(m)xm(g)?f(m)ym(x(g))?x(g)(m)ym(f)?g(m)ym(x(f))?x(f)(m)ym(g) =f(m)xm(y(g))+ym(g)xm(f) +g(m)xm(y(f))+ym(f)xm(g)?f(m)ym(x(g))?xm(g)ym(f)?g(m)ym(x(f))?xm(f)ym(g) =f(m)(xm(y(g))?ym(x(g))) +g(m)(xm(y(f))?ym(x(f))) =(f(x(y(g))?y(x(g))) +g(x(y(f))?y(x(f))))(m);8m2u 8
9 folgtx(y(fg))?y(x(fg))=f(x(y(g))?y(x(g)))+g(x(y(f))?y(x(f)))undsomit[x;y](fg)= f[x;y](g)+g[x;y](f). Denition2.5Lie-Algebren Ebensoleichtzeigtman[X;Y](f+g)=[X;Y](f)+[X;Y](g). EinR-VektorraumgmiteinembilinearenOperator[;]:gg!gheitLie-Algebra,fallsfuralle Alsoist[X;Y]m2TmM,furallem2M,undsomit[X;Y]einVektorfeldaufM. x;y;z2ggilt: Denition2.6InvarianteVektorfelder [x;y]=?[y;x] [[x;y];z]+[[z;x];y]+[[y;z];x]=0 (Anti-Kommutativitat) Furjedes2GdeniertmandieDieomorphismen SeiGeineLie-Gruppe. (Jakobi-Identitat) SeiXeinVektorfeldaufG. Xheitlinks-invariant,wennTlX=Xl,furalle2G. r():= l():= (Rechts-Translation) (Links-Translation) Satz2.7SeiGeineLie-GruppeundgdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder.Dannist Xheitrechts-invariant,wennTrX=Xr,furalle2G. geinr-vektorraumunddieabbildung:g!tegmit(x)=x(e)einisomorphismus. Beweis: gisteinr-vektorraum: DeniertmandieAdditionundR-Skalar-MultiplikationaufgpunktweisefuralleX;Y2gund sowerdendier-vektorraumgesetzeaufgdurchdieaufdentangentialraumeninduziert. ;2Rdurch SindX;Y2g,soist (X+Y)():=X()+Y(); unddaherx+y2g.=(x+y)l Tl(X+Y)=TlX+TlY =Xl+Yl istsurjektiv: istoensichtlichlinear. Seie2TeG. DeniertmandasVektorfeldX():=Tel(e),furalle2G,soistX2g,denn X(l())=X() =(TlTel)(e) =Te(ll)(e) =Tel(X(e)) =Tel(e) =X(l(e)) )Xl=TlX; =Tl(Tel(e))=Tl(X());82G 9
10 undesist (X)=X(e) istinjektiv:=tele(e)=e: SeienX;Y2gmitX(e)=(X)=(Y)=Y(e). DannistX()=X(e) =X(l(e)) =Tl(X(e)) =Tl(Y(e)) =Y(l(e)) =Y(e)=Y();82G )X=Y: Corollar2.8dim(g)=dim(TeG)=dim(G). Bemerkung2.9SeiMeineC1-MannigfaltigkeitmitKoordinatenumgebungen(U;x1;:::;xn)und furalle(;)2uvundf2c1(uv). Seiennun Y=Pni=1 C1-VektorfelderaufM. Dannist(X;Y)(;)deniertdurch (X;Y)(;)(f(;)):=X(f(;))+Y(f(;)) einc1-vektorfeldaufmm. Satz2.10SeiGeineLie-Gruppe.DannsinddieaufGlinks-invariantenVektorfelderC1. Beweis: SeigdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder,X2gundf2C1(G).Wegen X(f)()=X()(f) =X(l(e))(f) =Tl(X(e))(f) =Tl(Xe)(f)=Xe(fl) istzuzeigen,da7!xe(fl)einec1-funktionist. DiesgeschiehtdurchDarstellungalsKompositionderC1-Abbildungen :GG!G;(;):=; (;):G!GG;(;)():=(;); (;):G!GG;(;)():=(;):10
11 YseieinbeliebigesC1-VektorfeldaufGmitY(e)=X(e). undsomit(0;y)(f)(;e)einec1-funktionaufg. (0;Y)istdanneinC1-VektorfeldaufGG, Nunist (0;Y)(f)(;e)()=(0;Y)(f)(;e) =0(f(;e))+Ye(f(;)) =(0;Y)(;e)(f) torfeldernselbsteinaufglinks-invariantesvektorfeld. Satz2.11SeiGeineLie-Gruppe.DannistdieLie-KlammervonzweiaufGlinks-invariantenVek- =Xe(f(;))=Xe(fl): Beweis: SeigdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelderundX;Y2g.Nach2.10sinddannXund NunistTl([X;Y]m)(f)=[X;Y]m(fl) YC1unddaherihreLie-Klammer[X;Y]deniert. =Xm(Y(fl)())?Ym(X(fl)()) =Xm(Y()(fl))?Ym(X()(fl)) =Xm(Tl(Y())(f))?Ym(Tl(X())(f)) =Xm(Y(l())(f))?Ym(X(l())(f)) =Xm(Y(f)(l()))?Ym(X(f)(l())) =Xm(Y(f)l)?Ym(X(f)l) =Tl(X(m))(Y(f))?Tl(Y(m))(X(f)) =X(l(m))(Y(f))?Y(l(m))(X(f)) =Xl(m)(Y(f))?Yl(m)(X(f)) Lie-KlammeralsOperatoristgdanneineLie-Algebra. Satz2.12SeiGeineLie-GruppeundgdieMengederaufGlinks-invariantenVektorfelder.Mitder )Tl[X;Y]=[X;Y]l: =[X;Y]l(m)(f);8m2G;f2C1(G) Beweis: Anti-Kommmutativitat: Nach2.7istgeinR-Vektorraum. Sei[;]dieLie-Klammer.Dannist[;]:gg!gnach2.11deniertundoensichtlichbilinear. Jakobi-Identitat: )[X;Y]=?[Y;X]: [X;Y]m()=Xm(Y())?Ym(X()) =?(Ym(X())?Xm(Y()))=?[Y;X]m();8m2G [[X;Y];Z]m()+[[Z;X];Y]m()+[[Y;Z];X]m()= +[Z;X]m(Y())?Ym([Z;X]()) +[Y;Z]m(X())?Xm([Y;Z]())= [X;Y]m(Z())?Zm([X;Y]()) +Zm(X(Y()))?Xm(Z(Y()))?Zm(X(Y()))+Zm(Y(X())) +Ym(Z(X()))?Zm(Y(X()))?Ym(Z(X()))+Ym(X(Z())) Xm(Y(Z()))?Ym(X(Z())) )[[X;Y];Z]+[[Z;X];Y]+[[Y;Z];X]=0:?Xm(Y(Z()))+Xm(Z(Y()))=0;8m2G 11
12 Denition3.1Liealgebra 3.1DenitionderLiealgebra 3 BeispielevonLiealgebren SeiGeineLiegruppe.DieLiealgebragderaufGlinksinvariantenVektorfeldermitderLieklammerals v;w2tegundsindx;y2g;sodax(e)=vundy(e)=w;dannistdiesedurch[v;w]=[x;y](e) TeGmit(X)=X(e)(vgl.Satz2.4)erhaltderTangentialraumTeGeineLiealgebrenstruktur:Sind OperatorwirddiezurLiegruppeGgehorendeLiealgebragenannt.DurchdenIsomorphismus:g?! geinebasisvong,wobeixrdeniertistdurchxr:7?!tl(vr).diesesvektorfeldistgeradedas BemerkungzurBasisdarstellung deniert.mitdieserzusatzlichenstrukturwirdauchofttegalsdieliealgebravongbezeichnet. sichnunalslinearkombinationdieserbasiselementedarstellen,insbesonderegiltalsoauchfurdas Urbildvonvr2TeG,unterdemIsomorphismus(Satz2.4).JedeslinksinvarianteVektorfeldlat Klammerprodukt:[Xi;Xj]=PhchijXh.DiereellenKoezientenchijwerdenalsStrukturkonstantenvonGbezeichnet.IndergegebenenBasisistdanndieMultiplikationinTeGdeniertdurch [vi;vj]=phchijvh.tegundgsindalsliealgebreneindeutigdurchdiestrukturkonstantenbestimmt, welcheabergewissebedingungen,wiechij+chji=0undpr(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0erfullen mussen,damitdieantikommunitativitatunddiejakobi-identitatgelten. Bildenv1;:::;vn2TeGeineBasisdesTangentialraumesTeG,dannbildendieVektorfelderX1;:::;Xn2 EinwichtigerGrundfurdieBetrachtungderLiealgebrenistdieTatsache,dadieseeinnutzliches BemerkungzurMotivationderBetrachtungderLiealgebren 3.2BeziehungenzwischenLiegruppenundLiealgebren HilfsmittelbeiderUntersuchungundKlassizierungderLiegruppenbisauflokaleIsomorphiedarstellen. soda furx;y2uundxy2ugilt'(xy)='(x)'(y)und ZweiLiegruppenGundHheienlokalisomorph,wennesUmgebungenUundVderEinselementegibt undwenneseinebijektive,c1-abbildung'mitc1-umkehrabbildung Denition3.2LokaleIsomorphie furz;w2vundzw2vgilt (zw)=(z)(w). gibt,':gu?!vh, Esgiltdannfolgender Satz3.3ZweiLiegruppensindgenaudannlokalisomorphwennihreLiealgebrenisomorphsind. schendenisomorphieklassenderliealgebrenunddenisomorphieklasseneinfachzusammenhangender SinddieLiegruppenzusatzlicheinfachzusammenhangend,sogibteseinebijektiveZuordnungzwi- Liegruppen.(Esexistierennicht-isomorphe,zusammenhangendeLiegruppenmitisomorphenLiealgebren,z.B.gilt:RmTnundRsTl,mitm6=s;n6=l,aberm+n=s+l:=k,sindnicht-isomorphe 3.3DieLiegruppeRundihreLiealgebra LiegruppenmitLiealgebraRk.) XisteinlinksinvariantesVektorfeldaufR() Beispiel:DieLiegruppeRundihreLiealgebra DieGruppenoperationistdieAddition:RR?!Rmit(;)7?!+.EsseidieLinkstranslation f(l())ddr(l())g=tl(f()ddr())(g) X(l())(g)=Tl(X())(g)furalle2R() lgegeben:l:r?!rmit7?!l()=+. SeiXeinVektorfeldaufR;X=f()ddr()SeigeineC1-FunktionaufR.Nungilt: =f()ddr(l())g =f()ddr()(gl)=f()ddr(l()gddr()l 12
13 =)f(l())=f(+)=f()furalle2r AuerdemgiltfurdasLiescheKlammerproduktzweiersolcherVektorfelderX=ddrundY=ddr: Insgesamtfolgt:DieLiealgebravonRbestehtausdenkonstantenVektorfeldernfddrj2RgaufR. =)f==const: [X;Y]m(f):=Xm(Y(f))?Ym(X(f)) =)X=ddr(). DiesgibtAnlazufolgender =X(Y(f))(m)?Y(X(f))(m) Denition3.4EineLiealgebragheitabelsch,wenn[X;Y]=0furalleX;Y2g:Dannistdie =ddr(ddrf)(m)?ddr(ddrf)(m)=0 Denition3.5SeiengundhzweiLiealgebren.EineAbbildung':g?!hheiteinLiealgebrenhomomorphismus,wenngilt:'istlinearundvertraglichmitdemLieschenKlammerprodukt: '[x;y]=['(x);'(y)]furallex;y2g: bren. Beispiel:DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra 1.SeiMat(n;R)dieMengederreellennn?Matrizen.MitderkomponentenweisenAdditionund 3.4DieLiegruppeGL(n;R)undihreLiealgebra LiealgebragleichihremZentrumC(g):=fX2gj[X;Y]=0furalleY2gg DieKlasseallerLiealgebrenzusammenmitdenMengenHom(g;h)bildetdieKategoriederLiealge- 2.BetrachteGL(n;R)Mat(n;R). SkalarmultiplikationwirdMat(n;R)einR-Vektorraum.DeniertmanfurA;B2Mat(n;R) Esgilt:DieDeterminantenfunktiondet:Mat(n;R)?!Ristdierenzierbarundsomitstetig. Jakobi-IdentitaterfulltundMat(n;R)wirddamitzueinerLiealgebra. denbilinearenoperator[a;b]:=ab?ba,sosinddieantikommutativitatunddie =)GL(n;R)=(det?1f0g)Cistoen =)det?1f0gistabgeschlossen =)GL(n;R)besitzteineStandardstrukturalsoeneUntermannigfaltigkeitvonMat(n;R). EsbezeichnenunxfolgendeglobaleKarte: MitderMatrizenmultiplikationalsGruppenoperationistauerdemdieAbbildung(A;B)?! A=(aij)1i;jn GL(n;R) (xij)1i;jn 7?! (a11;:::a1n;a21;:::;ann) Rn2 3.SeinungdieMengederlinksinvariantenVektofelderaufGL(n;R). AB?1C1.AlsoistGL(n;R)eineLiegruppe. oeninmat(n;r))mitx7?!x(e)=xederisomorphismusaussatz2.4.dannsei= Sei:g?!Te(GL(n;R))=Te(Mat(n;R))(=IdentizierungderTangentialraume,daGL(n;R) vonmat(n;r)mitihremtangentialraumindereinheitsmatrixe. Sei:Te(Mat(n;R))?!Mat(n;R);:v7?!(v(xij))1i;jndiekanonischeIdentizierung Behauptung:isteinLiealgebrenisomorphismusundsomitkannMat(n;R)alsLiealgebravon Xg Te(Mat(n;R)) X(e)=Xe (Xe(xij))1i;jn GL(n;R)betrachtetwerden. Beweis: 13
14 (a)vertraglichkeitmitdemlieschenklammerprodukt: Zuzeigen:([X;Y])ij=[(X);(Y)]ij;8X;Y2g Dazu:(xijl)()=xij()=Pkxik()xkj() (1) AuerdemgiltmitY2g: (Y(xij))()=Y()(xij) =Y(l(e))(xij) =Tl(Y(e))(xij) =Tl(Ye)(xij) =Ye(xijl) (1) =Ye(Pkxik()xkj) =Pkxik()Ye(xkj) =Pkxik()(Ye)kj =Pkxik()((Y))kj =Pkxik()(Y)kj (2) Nunfolgt: ([X;Y])ij=[X;Y]e(xij) =Xe(Y(xij))?Ye(X(xij)) (2) =Xe(Pkxik(Y)kj)?Ye(Pkxik(X)kj) =PkXe(xik)(Y)kj?PkYe(xik)(X)kj =Pk(X)ik(Y)kj?Pk(Y)ik(X)kj =((X)(Y))ij?((Y)(X))ij =((X)(Y)?(Y)(X))ij =[(X);(Y)]ij destangentialraumeste(gl(n;r)).daslinksinvariantevektorfeldxij,welchesdeneij entsprechendenbasisvektorvongbildet,erhaltmandurch:(vgl.abschitt3.1) @xijje(phgrhxhs) =) =) Dannfolgt:[Xij;Xkl]=kjXil?ilXkj Beweis: @xslgilt @xsl) @xsl) @xsl @xsl 14
15 undanalog Darausfolgt: [Xij;Xkl]=Xij(Xkl)?Xkl(Xij) NachderBemerkungzurBasisdarstellung(siehe3.1)istdieMultiplikationinTe(GL(n;R)) inderbasisfeijggegebendurch[eij;ekl]=kjeil?ilekj. AndererseitsbesitztMat(n;R)diekanonischeBasisfEij;1i;jngmitEij=(ir js)1r;sn,inderdieliealgebrenstrukturdeniertistdurch dersichentsprechendenliealgebren: DerdurchXij7?!eij7?!EijdenierteVektorraumisomorphismusistderIsomorphismus [Eij;Ekl]=EijEkl?EklEij g =kjeil?ilekj: Beispiel SeiGL(n;C)Mat(n;C)dieTeilmengederinvertierbaren,komplexenMatrizen.Mat(n;C)istmit X 7?! Te(Mat(n;R)) Xe 7?! (Xe(xij))1i;jn (n;r) derbasisfekl;1k;lng[fiekl;1k;lngeinvektorraumderdimension2n2,der durch[a;b]=ab?bazueinerliealgebrawird.dieoeneteilmengegl(n;c)istmitihrer LiealgebravonGL(n;C)angesehenwerden. Mannigfaltigkeit-undGruppenstruktureineLiegruppe.AnalogzuBeispiel3.4kannMat(n;C)alsdie SeiVeinn-dimensionalerreellerbzw.komplexerVektorraum.DannistdieMengeEnd(V)derEndomorphismenvonVeinreellerbzw.komplexerVekorraumderDimensionn2bzw.2n2.Deniert manfurf;g2end(v)[f;g]:=fg?gf,wirdend(v)zueinerliealgbra.diemengeaut(v) BemerkungAllgemeinergilt: LiealgebraEnd(V)angesehenwerdenkann. derkompositionalsgruppenoperationzueinern2-bzw.2n2-dimensionalenliegruppe,alsderen derautomorphismenerhaltalsoeneteilmengeeinemannigfaltigkeitsstrukturundwirddannmit IstAeineR-AlgebramitEinselement,dannbildetdieMengeAderinvertierbarenElementevon AeineLiegruppeunddieLiealgebravonAkannmitdermitihrerVektorraumstrukturunddem Kommutator[x;y]=xy?yxversehenenAlgebraAidentiziertwerden. Denition DieLiealgebreneinigerklassischerGruppen 1.SeiGeineLiegruppe.EineLiegruppeH,diesowohleineUntergruppealsaucheineUntermannigfaltigkeitvonGist,heiteineLie-UntergruppevonG. 2.EineTeilmengeheinerLie-AlgebragheiteineLie-Unteralgebravong,wennheinUntervektorraumvongistundwennfurX;Y2hauch[X;Y]2hist. I+A+A2 Satz3.7FureinA2Mat(n;C)seidieExponentialabbildungexpgegebendurchexp(A)=eA= exp(u\h)=h\v,soistheinelie-untergruppevongl(n;c),histeinelie-unteralgebravon derexponentialabbildungdieomorphzueinerumgebungvderidentitatingl(n;c)ist.giltdann einuntervektorraumderliealgebramat(n;c).seiueineumgebungder0inmat(n;c),dieunter 2!+A3 3!+:::=P1k=0Ak Mat(n;C)undhistdieLiealgebravonH. k!.seiheineuntergruppederliegruppegl(n;c)undseih 15
16 (vgl.[warner],p.104,3.34) Beispiel:DiespeziellelineareGruppeundihreLiealgebra sl(n;c):=fa2(n;c)jspur(a)=0g. Esgilt:SL(n;C)=fA2GL(n;C)jdet(A)=1gisteineLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebra 1.Esgilt:det(eA)=espur(A) Beweis:A2Mat(n;C)isttrigonalisierbar,d,hesexistierteinB2GL(n;C)mitBA 0:::n... 1 CA,wobei1;:::;ndieEigenwertebezeichnen.Dannfolgt:eBAB?1= DarausfolgterstenseA2GL(n;C)furalleA2Mat(n;C)undzweitenserhaltman 0:::en CAundsomitdet(eA)=det(eBAB?1)6=0. det(ea=det(ebab?1) =espur(bab?1) =e1+:::+n =e1:::en denn(?spur(a))istgleichdemkoezientenvort(n?1)descharakteristischenpolynomsund wegena(t)=bab?1(t)giltalsospur(a)=spur(bab?1). =espur(a); 2.Esfolgtnun: Beispiel:DieUnitareGruppeundihreLiealgebra ()espur(a)=e0=1=det(ea) ea2sl(n;c)\v A2sl(n;C)\U derantihermiteschenmatrizenmitu(n)=fa2(n;c)ja+at=0galsliealgebra. Beweis: SeiUeineUmgebungvon0inMat(n;C),dieomorphunterderExponentialabbildungzueiner UmgebungVderIdentitatinGL(n;C).Mankannannehmen,damitA2UauchA;AT;?A2U. Esgilt:U(n)=fA2GL(n;C)jAT=A?1gisteineLie-UntergruppevonGL(n;C)mitderMenge IstnunA2U\u(n),dannist (ea)tea (ea)?1 =e?aea=e0=i =eat=e?a IstumgekehrtA2UundeA2U(n)\V,danngilt: ==)ea2u(n)\v: =(ea)t ==)?A=AT(mit?A;AT2U) e?a=(ea)?1=(ea)t=eat BemerkungAllgemeinergilt: gegeben(ff=ida)mit(x)?=x?;2k(linearitat). SeiAeineendlich-dimensionaleK-AlgebramitEinselementundseiaufAeineInvolutionf:x7?!x? A 2U\u(n) DannistdieMengeHderx2A(=MengederinvertierbarenElementevonA)mitx?ax=a;a2A 16
17 beliebig,eineliescheuntergruppevonaunddielieschealgebravonhlatsichmitdemvektorteilraumvonaidentizieren,derdurchdiegleichungx?a+ax=0gegebenist. Darausergibtsichnochdas mitliealgebra Beispiel DiebezuglicheinerbeliebigennichtentartetenHermiteschenForm'mitGramscherMatrixunitaren TransformationenmitMatrixdarstellungSbildeneineLiegruppe:fS2GL(n;C)jSTS=g Beispiel:DieLiealgebrenandererklassischerGruppen 1.KomplexeorthogonaleGruppe: fs2mat(n;c)jst+s=0g: 2.SpezielleunitareGruppe: O(n;C)=fA2GL(n;C)jA?1=ATgistLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebrao(n;C)= SU(n):=U(n)\SL(n;C)istLie-UntergruppevonGL(n;C)mitLiealgebrasu(n):=u(n)\ fa2mat(n;c)ja+at=0g 3.ReellespeziellelineareGruppe: sl(n;c) 4.ReelleorthogonaleGruppe: SL(n;R):=SL(n;C)\GL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrasl(n;R)= fa2mat(n;r)jspur(a)=0g 5.SpezielleorthogonaleGruppe: O(n):=U(n)\GL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrao(n)=fA2 Mat(n;R)jA+AT=0g SO(n):=O(n)\SL(n;R)istLie-UntergruppevonGL(n;R)mitLiealgebrao(n)\sl(n;R)=o(n),denno(n)sl(n;R),dafurjedesA2o(n)gilt: 0=spur(0)=spur(A+AT)=spur(A)+spur(AT)=2spur(A) ======)spur(a)=0 char(r)6=2 ==)A2sl(n;R) 17
18 Sei(M)2AeineFamilievonR{Moduln.WieublichwirddaskartesischeProduktals 4.1NotationenundVorbemerkungen 4 Links{invarianteFormen deniert. Y2AM:=f(x)2A2Abb(A;[ M2AMY2AM 2AM)jx2M82Ag Denition4.1SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionn.Mansetzt: seidiemengeder(x),furdienurendlichvielex6=0sind. ("AuereAlgebravonTmM\) ptm:=[m2mptmm TmM:=RTmM2TmM3TmMnTmM ;m2m ("Aueresp{BundeluberM\) ("BundelderAuerenFormenuberM\) TM:=[m2MTmM BemerkungenInderDenitionwurdefurTmMderBegri"Algebra\verwendet.Diesistgerechtfertigt,dennTmMistzusammenmitderWedge{Multiplikationeine(nichtkommutative) R{Algebra.DieseOperationistfolgendermaenerklart:Seien0++i;0++j2TmM. Dannist wobeim:=pp+q=mp^qgesetztwird.das^inderletztensummeistuberdiemultiplikationsabbildungdeniert.seien(u;x1;:::;xn)koordinatenmitm2u: (0++i)^(0++j):=0++m+; ptmmqtmm =(X i1<<ipi1:::ipdmxi1^:::^dmxip)^(x?!p+qtmm;(pq):=p^q := 1j1<:::<jqni1:::ipj1:::jqdmxi1^:::^dmxip^dmxj1^:::^dmxjq 1i1<:::<ipn X j1<<jqj1:::jqdmxj1^:::^dmxjq) FurdieseAbbildungveriziertmansofort(p^q)^r=p^(q^r)undp^q=(?1)pqq^p.Man rechnetleichtnach,datmmmitdiesenoperationen"+\,"^\undderublichenskalaroperation einealgebraderdimension2nist(weiteresvgl.[la-skript],x20). 18
19 Denition4.2SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionn. EineAbbildungM!p gebungen(u;x1;:::;xn)diekoezientenfunktionenfi1:::ipderjeweiligenlokalendarstellung!pju= 1i1<<ipnfi1:::ipdxi1^:::^dxip X?!pTMheit(dierenzierbare)p{Form,wennfuralleKoordinatenum- AnalogheiteineAbbildungM! dargestellt: C1aufUsind.DieMengederdierenzierbarenp{FormenwirdmitEp(M)bezeichnet. zientenfunktionenc1sind.seiwieder(u;x1;:::;xn)einekarte.indiesemfallwird!juso?!tm(dierenzierbare)form,wenndielokalenkoe- wobei:=p(f1;:::;ng)istunddx:=dxi1^:::^dxipfur=fi1<<ipgbzw. dx:=1c1(u)fur=;sind.diemengeallerdierenzierbarenformenwirde(m)genannt.!ju=xfdx; BemerkungEp(M)undE(M)sindR{VektorraumeundC1(M){Moduln,E(M)istsogarR{ Algebra.MandeniertdieOperationenpunktweise:!;2Ep(M)bzw.!;2E(M),2R: (!+)(m):=!(m)+(m) (!)(m):=!(m) 8m2M 8m2M DieVektorraum-undAlgebrengesetzewerdennunvondenenaufdenRaumenpTmMundTmM!;2E(M): induziert.esbleibtzuzeigen,dasummeundproduktauchc1sind.diesfolgtunmittelbarausden RingeigenschaftendesRaumesderC1(U){Koezientenfunktionen,wennman!+,!^,!und (!^)(m):=!(m)^(m) 8m2M f!lokalausrechnet. ZumSchludiesesAbschnitteswerdennochdiezumDierentialdualeAbbildung,dieKotangentialabbildung,undderenVerallgemeinerungaufpTmM,dieLiftungsabbildung,eingefuhrt. Denition4.3SeienMundNdierenzierbareMannigfaltigkeitenundM TmMTm?T(m)N;Tm()():=(Tm)()furalle2T(m)Nund2TmM?!T(m)NdualeAbbildung:?!NeinedierenzierbareAbbildung.DiezumDierentialTmMTm heitkotangentialabbildung. DieAbbildungTistpunktweiseR{linearundTisteinkontravarianterFunktorvonderKategorie SeienM derdierenzierbarenmannigfaltigkeitennachderkategoriedervektorraume,also: AufgrundderLinearitatkannmanTverallgemeinern: Tm(?!N,N )=TmT(m)?!Pdierenzierbar.Danngilt: Tm(idM)=idTmM 19
20 wirdmit:=ptabgekurztundliftungsabbildunggenannt.esgilt: Denition4.4DieT(m)NTm ptm:pt(m)n?!ptmm?!tmmzugeordnetelineareabbildung furmonomialeelemente1^:::^p2pt(m)n. DankderLiftungsabbildungistesmoglich,p{Formen,dieuberderBildmannigfaltigkeitNdeniert (1^:::^p)=Tm(1)^:::^Tm(p) sind,"zuruckzuziehen\,d.h.zueinerp{formubermzumachen. Lemma4.5SeienMundNdierenzierbareMannigfaltigkeitenderDimensionmbzw.nundM einedierenzierbareabbildung.dannberuhenaufderdenitionderliftungsabbildung pt(m)n?!ptmmu.a.diefolgendenfeststellungen:?!n Sei!p2Ep(N)einep{Form.Dannistdurch(!p)(m):=(!p((m))einedierenzierbarep{ einemit(m)2vund:=y.dannhat!paufudielokaledarstellung: FormaufMdeniert.Sei(U;x1;:::;xm)eineKoordinatenumgebungmitm2U,(V;y1;:::;yn) wenn!pjv=pf1pdy1^:::^dyp. (!p)ju= 11<<pn(f1p)d1^:::^dp; X Seien;2R,!p;!0p2Ep(N)und!q2Eq(N).Dannist: SeiN (!p+!0p)=!p+!0p?!peinedierenzierbareabbildungund!p2ep(p).esgilt:( (!p^!q)=!p^!q: DieangefuhrtenEigenschaftenwerdenimubernachstenAbschnittbenotigt. dbezeichnedieauereableitung.sei!p2ep(n).dannist:d!p=d!p. )!p=(!p) 4.2p{FormenalsalternierendemultilineareAbbildungen renp{formenmitmultilinearen,alternierendenabbildungenvonglattenvektorfeldernaufc1(m){ SeiMeinedierenzierbareMannigfaltigkeitderDimensionnundm2M.MachtmanGebrauchvon denisomorphismenptmm=(ptmm)=altmult((tmm)p;r)solassensichdiedierenzierba- demc1(m){modulv(m)ist.ebensogiltdieumkehrung. Funktionenidentizieren.Denn: Beweis!2Ep(M)eineAbbildung~!:V(M)p?!C1(M)zugeordnet,diealternierendundmultilinearuber Lemma4.6V(M)bezeichnedieMengederdierenzierbarenVektorfelderaufM.Dannwirdjedem weisedeniertenoperationenauf,soistwegenderuniverselleneigenschaftdesauerenproduktsauch NachdemBasissatzfuralternierendeProdukteistdieAbbildungpTmM monomialeelementesiehtdiezuordnungsvorschriftvonsoaus: phismusderbeidenr{vektorraume.fatmanaltmult((tmm)p;r)alsr{vektorraummitargument- (ptmm)?!altmult((tmm)p;r)einestrukturtreueabbildung(vgl.hierzu[la-skript],x18).fur?!(ptmm)einisomor- 1^:::^p7?!(1^:::^p); 20
21 wobeifurbeliebiges(1;:::;p)2tmmpgilt: (1^:::^p)(1;:::;p)=((1^:::^p))(1;:::;p) Sei!2Ep(M),X1;:::;Xp2V(M),m2Mbeliebig,undseien(U;x1;:::;xn)lokaleKoordinaten mitm2u.jedem!(m)isteindeutigeinealternierendemultilinearform~!(m):=()(!(m)) =(1^:::^p)(1^:::^p) zugeordnet.diehierdurchinduzierteabbildung~!(x1;:::;xp):m?!rmit =det(i(j)) istelementvonc1(m),dennfurallem2mgilt: ~!(X1;:::;Xp)(m):=~!(m)(X1(m);:::;Xp(m)) ~!(X1;:::;Xp)(m)=~!(m)(X1(m);:::;Xp(m)) i1<<ipfi1:::ip(m)(dmxi1^:::^dmxip)1a(x1(m)^:::^xp(m)) dmxip(x1(m))dmxip(xp(m)).. 1 CA i1<<ipfi1:::ip(m)det0b@x1(m)(xi1)xp(m)(xi1) X1(m)(xip)Xp(m)(xip) CA = i1<<ipfi1:::ip(m)det0b@x1(xi1)(m)xp(xi1)(m) Dadiefi1ip2C1(U)unddieX(xi)ebenfallsC1sind,istauch~!(X1;:::;Xp)2C1(M). X X1(xip)(m)Xp(xip)(m).. 1 CA Diessiehtmansofort,dadieAbbildung~!(m)alternierendundmultilinearuberRist: SeienX;Y2V(M)undf;g2C1(M)beliebiggewahlt.Furjedesm2Mgilt: rendundmultilinearuberdemc1(m){modulv(m)ist. Esbleibtzuzeigen,dadieAbbildungV(M)p~!?!C1(M);(X1;:::;Xp)7!~!(X1;:::;Xp)alternie- ~!(X1;:::;fX+gY;:::;Xp)(m)=~!(m)(X1(m);:::;f(m)X(m)+g(m)Y(m);:::;Xp(m)) =f(m)~!(x1;:::;x;:::;xp)(m) =f(m)~!(m)(x1(m);:::;x(m);:::;xp(m)) +g(m)~!(m)(x1(m);:::;y(m);:::;xp(m)) ~!(X1;:::;Xi?1;X;Xi+1;:::;Xj?1;X;Xj+1;:::;Xp)(m) =(f~!(x1;:::;x;:::;xp)+g~!(x1;:::;y;:::;xp))(m) +g(m)~!(x1;:::;y;:::;xp)(m) NunzurUmkehrung. SeiV(M)p~! ~!(m)(x1(m);:::;xi?1(m);x(m);xi+1(m);:::;xj?1(m);x(m);xj+1(m);:::;xp(m))=0?!c1(m)einealternierende,c1(m){multilineareabbildung.angenommen,diefunktionswerte~!(x1;:::;xp)(m)derbildfunktionwarennurvondenwertendervektorfelderander = Sei(1;:::;p)2(TmM)pbeliebig.WahleV1;:::;Vp2V(M)derart,daVi(m)=i;i=1;:::;p. p{form!.explizit: Stellemabhangig. auf(tmm)pzuordnen,undsomitgabeesuberdieeingangsangefuhrtenisomorphismenzur~!eine DannlieesichderAbbildung~!inumgekehrterRichtungeinealternierendemultilineareForm~!(m) 21
22 DieseglattenVektorfelderexistieren,daesaufMeinedierenzierbarePartitionderEinsgibt.Denieredann: istdanneinep{formdeniert.dieseistauchglatt. derabbildung~!folgtsofortdiederform~!(m).setze!(m):=(?1?1)(~!(m)).durchm7!!(m) ~!(m)istnachannahmewohldeniert,alsounabhangigvonderwahldervi.ausdermultilinearitat ~!(m)(1;:::;p):=~!(v1;:::;vp)(m) Vj(m)=j(z.B.j,wenneineglatteFunktionmit=1aufVUund=0aufMnUist). unabhangigetangentialvektoren1;:::;n2tmmundzuihnenglattevektorfelderv1;:::;vnmit DerBeweisderDierenzierbarkeitwirdfurp=1gefuhrt: Danngiltfurallej2f1;:::;ng: Seim02Mbeliebigund(U;x1;:::;xn)eineKartemitm02U.Zuzeigenist,dadieKoezientenfunktionenfiinderDarstellung!jU=PfidxiaufUC1sind.Seim2Ubeliebig.Wahlenlinear DadieVjglattsind,sinddieFunktionenVj(xi)2C1(U).Ebensoist~!(Vj)nachVoraussetzungauf Mdierenzierbar.Weitersinddiejlinearunabhangig,ebensodiedmxiausdemdazugehorigenDualraum.Somitgiltdet(Vj(m)(xi))6=0furallem2U.DannistaberdasLGSPifi(m)Vj(m)(xi)= gezeigt.dieseberuhtaufderannahme,da~!(x)(m)nurvondemwertdesfeldesxanderstelle mabhangt.imfallp=1reichteszuzeigen,daausx(m)=0auch~!(x)(m)=0folgt,denn ~!(Vj)(m)eindeutiglosbarunddieLosungsfunktionenfisindglattaufU. ~!(m)(j)=nxi=1fi(m)(dmxi)(j)=xifi(m)j(xi)=xifi(m)vj(m)(xi)=~!(vj)(m) ZumSchludesBeweiseswirdnunexemplarischfurp=1dieWohldeniertheitderForm~!(m) seienx;y2v(m)mitx6=y,aberx(m)=y(m)=.dannist(x?y)(m)=0.darausfolgt: ~!(X?Y)(m)=0.Wegender(Multi-)linearitatvon~!giltsomit~!(X)(m)=~!(m)()=~!(Y)(m). Dahergilt: XjU=nXi=1fiXi+(1?)XjU AlsoimpliziertX(m)=0wiebehauptet~!(X)(m)=0. ~!(X)(m)=nXi=1fi(m)~!(Xi)(m)+((1?)(m))(~!(X)(m))=0 AnmerkungImfolgendenAbschnittwirdmanchmal~!mit!identiziertundsowohldieFormals DerBegriderLinks-InvarianzkannmitHilfederLiftungsabbildungauchfurFormeneingefuhrt 4.3Links{invarianteFormen auchdieabbildungmit!bezeichnet. werden.inanalogiezudenvektorfeldernstelltsichheraus,daeinebeliebigelinks{invarianteform bereitsvollstandigdurchdenwert,densieanderstelleeannimmt,bestimmtist. Denition4.7SeiGeineLie{GruppederDimensionn. Eine(nichtnotwendigdierenzierbare)p{Form!pheitlinks{invariant,wennl!p=!pfur alle2ggilt.diemengederlinks{invariantenp{formenseieplinv(g). 22
23 EineForm!=!0++!p,pnnenntmanlinks{invariant,wennfurq=0;:::;pdie q{formen!qlinks{invariantsind.weitersei diemengederlinks{invariantenformen. Elinv(G)=nMp=0Eplinv(G) Dielinks{invarianten1{FormensindauchalsMaurer{CartanFormenbekannt. ErlauterungenDieDierenzierbarkeitderlinks{invariantenFormenmunichtvorausgesetztwerden,dadieLinks-InvarianzdieDierenzierbarkeitimpliziert(vgl.Satz4.8). DieLinks-Invarianzbedeutetgenauer:(l!p)()=l(!p(l()))=l(!p())=!p()furalle2G. Beispielsweisegiltfureine0{Form,alsofurf2C1(G): E1linv(G)siehtman: Alsosindallelinks{invarianten0{FormendiekonstantenFunktionenaufG.Fureine1{Form2 f()=(l?1f)()=(fl?1)()=f(e) ()=(l?1)()=l?1((e))=tl?1((e))=(e)tl?1 82G Satz4.8SeiGeinen{dimensionaleLie{Gruppe.Danngilt: DieallgemeineSituationerkenntmanausPunkt(2)desfolgendenSatzes. 82G 2.Elinv(G)isteineUnteralgebraderAlgebraE(G)allerdierenzierbarenFormenaufG.Die 1.Links{invarianteFormensinddierenzierbar. AbbildungElinv(G) 3.Gilt!2E1linv(G)undX2g,soistdieFunktion!(X)2C1(G)konstantaufG.Diesist dieseabbildungeinennaturlichenisomorphismuszwischene1linv(g)undteg.nachsatz2.7 kannmane1linv(g)alsdualraumderlie{algebragauassen.?!teg;(!):=!(e)isteinr{algebren{isomorphismus.speziellliefert 4.Seien!2E1linv(G)undX;Y2g.Dannistd!2E2linv(G),undfurdieFunktiond!(X;Y) genaudereekt,wennmannach(2)!alselementvongansiehtundeinlinks{invariantes Vektorfeldauf!anwendet. 5.Sei!1;:::;!ndiezueinergegebenenBasisX1;:::;XnvongdualeBasisvonE1linv(G).Dann gilt:d!(x;y)=?![x;y] gibtesdurchdiedarstellung eindeutigbestimmtestrukturkonstanten,diefolgendeeigenschaftenhaben: [Xi;Xj]=nXk=0ckijXk 8i;j=1;:::;n (a) (b) ckij+ckji=0 furallei;j;k;s2f1;:::;ng. nxr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0 DieauerenAbleitungender!ksindgegebendurchdieMaurer{CartanGleichungen: d!k=x 1i<jnckij!j^!i 23
24 p{formenglattsind. Sei!2Eplinv(G).Dannist(l?1!)()=l?1(!(e))=!()furalle2G,daherhatman: Beweis (1)NachderDenitonvonElinv(G)alsdirekteSummereichteszuzeigen,dadielinks{invarianten (U;t1;:::;tn)seieineKoordinatenumgebungvone.DieAbbildung l?1:pteg?!ptg;!(e)7!!()=(l?1!)() istc1nachdenitionderlie{gruppe.ohneeinschrankungseivumgebungdereinsmitkoordinatenx1;:::;xn.nunsei02gbeliebig.dannbildet UU?!V;(;)7!?1 auchnachvab,denn20u()?1 0U0U?!G;(;)7!?1?1=~?1?1 0=:~2U3~:=?1 00~=~?1~2V 0 02U,also: Diep{Form!habeinedieDarstellung: Wahlejetztf:=xl?1,alsof(;)=x(?1).fistsomitC1auf0U0U.!(e)=X Sei20Ufest.Setzenun: i1<<ipci1:::ipdexi1^:::^dexip Danngiltfuralle20U:!:=f?1!j0U=X i1<<ipci1:::ipdfi1^:::^dfip: Speziellalso:!()=X j1<<jp AusderDierenzierbarkeitvonci1:::ip@(fi1;:::;fip) = j1<<jp X (2)Behauptung:Elinv(G)isteineR{UnteralgebravonE(G). Danach(1)allelinks{invariantenFormenglattsind,sinddieOperationenaufElinv(G)dievon E(G)=Lnp=1Ep(G)induzierten.Elinv(G)istbezuglichdieserOperationenauchabgeschlossen, furalle2g.weiterwahle2rbeliebig.dannistzuzeigen,da!+!0,!^!0und!elemente denn: Seien!=!0++!pund!0=!0++!0qlinks{invarianteFormen,alsol!i=!iundl!0i=!0i vonelinv(g)sind.nachdenitionderoperationen(siehe4.1)unddenitionderlinksinvarianzbei Formen,reichtes!i+!0i,!iund!i^!0jmit!i;!0i2Eilinv(G)und!0j2Ejlinv(G)zubetrachten: l(!i+!0i)=l!i+l!0i=!i+!0i; 24
25 furalle2g(vgl.lemma4.5).damitistdiebehauptunggezeigt. l(!i)=l!i=!i l(!i^!0j)=l!i^l!0j=!i^!0j; NunzumAlgebren{Isomorphismus.Zuerstwirdgezeigt,daEplinv(G)p R{Vektorraum{Isomorphismusist.MansiehtmitdengleichenArgumentenwieobenbeiElinv(G),da Eplinv(G)alleR{Vektorraumeigenschaftenhat.OenbaristpauchR{linear:Seien!p;!0p2Eplinv(G) unda;b2r.danngilt:?!pteg;!p7!!p(e)ein Mehrnoch,seien!p2Eplinv(G)und!0q2Eqlinv(G)mitm=p+q) p(a!p+b!0p)=(a!p+b!0p)(e)=a!p(e)+b!0p(e)=ap(!p)+bp(!0p) pistinjektiv,dennseien!p;!0p2eplinv(g)mitp(!p)=p(!0p).danngiltfuralle2g: m(!p^!0q)=(!p^!0q)(e)=!p(e)^!0q(e)=p(!p)^q(!0q) per!p()=l?1(p).dieseistlinks{invariant,dennfuralle2ggilt: Alsoist!p=!0p. DieAbbildungistaberauchsurjektiv,dennseip2pTeGbeliebig,sodeniereeinep{Form!p!p()=(l?1!p)()=l?1(!p(e))=l?1(!0p(e))=(l?1!0p)()=!0p() Seinun!=!0++!p2Elinv(G)beliebig.DenieredanndieAbbildung: Dap(!p)=!p(e)=le(p)=pgilt,istpalsoVektorraum{Isomorphismus. (l!p)()=l(!p()=l(l()?1(p))=(l?1?1l)(p)=l?1(p)=!p() Elinv(G) sind,folgtp=qundi(!i)=i(!0i)furi=1;:::;p.ausderinjektivitatderifolgt!i=!0iund also0(!0)++p(!p)=0(!0)++q(!0q).dadiesummeninderletztengleichungdirekt Dieseistinjektiv.Dennseien!=!0++!p;!0=!0++!0q2Elinv(G)mit(!)=(!0),?!TeG;!7!(!):=0(!0)++p(!p) undesgilt: somit!=!0. istauchsurjektiv.sei=0++p2tegbeliebig.denieredanneineform!folgenderma- en:!():=!0()++!p()furalle2g,wobei!i():=l?1(i)ist.somitist!links{invariant ZumSchluwirdgezeigt,dastrukturtreuist. Esseien!=!0++!p;!0=!0++!0q2Elinv(G)unda;b2R.O.B.d.Aseipq.Danngilt: (!)=0(!0)++p(!p)=0++p=: (a!+b!0)=((a!0+b!0)++(a!p+b!0p)+b!0p+1++b!0q) =pxi=0i(a!i+b!0i)+p+1(b!0p+1)++q(b!0q) =pxi=0(ai(!i)+bi(!0i))+bp+1(!0p+1)++bq(!0q) =a(!)+b(!0) =apxi=0i(!i)+bqxi=0i(!0i) 25
26 Xi=0X = Xi=0i0B@X p+q p;q!^!01ca=p+q p;q!^!01ca +=i Xi=0X p;qi(!^!0) +=i +=i =p+q Xi=0X p;q(!)^(!0) (3)BetrachtezuerstreinformaldieAbbildungG!(X) =(0(!0)++p(!p))^(0(!0)++p(!0p))=(!)^(!0) +=i Dierenzierbarkeitimpliziert.Mehrnoch,furalle2Ggiltdann: istdiesec1aufg,dadielinks{invarianzsowohldesfeldesxalsauchder1{form!jeweilsdie!(x)()=!()(x())=(l?1!)()(x())?!r,!(x)():=!()(x()).nachlemma4.6 Damitist!(X)konstantaufG. Alternativkannman,wennman(2)undSatz2.7verwendet,gemaderfolgendenIsomorphiekette =l?1(!(e))(x())=(!(e)tl?1)(x()) die1{form!mitdemelement!(e)~2gidentizieren: =!(e)(tl?1(x()))=!(e)(x(e)) Danngiltaber!(X)=(!(e)~)(X)=!(e)(~(X))=!(e)(X(e))=konst. E1linv(G)! 7?!!(e)7?!!(e)~?!TeG~ (4)Sei!2E1linv(G).Dannistd!2E2linv(G).Esgiltnamlichfuralle2G: SeienX;Y2g.WahleeinebeliebigeKarte(U;x1;:::;xn).LokalhabedieFormdieDarstellung!jU=Pfidxi.Furalle2Ufolgtdann: l(d!)=d(l!)=d! d!(x;y)()=d!()(x();y()) =nxi=1(dfi^dxi)(x();y()) =Xidetdfi(X())dfi(Y()) =Xi[dfi(X())dxi(Y())?dfi(Y())dxi(X())] dxi(x())dxi(y()) =Xi[X()(fi)Y()(xi)?Y()(fi)X()(xi)] Andererseitsistnach(3)!(Y)=konst,also =Xi[X()(fi)Y(xi)()?Y()(fi)X(xi)()] c= Xifi()dxi!(Y())=Xifi()Y()(xi)= XifiY(xi)!()82U 26
27 Furalle2Ufolgtdann: Somitgilt: 0=X() XifiY(xi)!=XiX()(fiY(xi))=Xi[fi()X()(Y(xi))+Y(xi)()X()(fi)] Analogerhaltman:?Xifi()X()(Y(xi))=XiY(xi)()X()(fi) EineSubstitutionergibtdann:?Xifi()Y()(X(xi))=XiX(xi)()Y()(fi) d!(x;y)()=xifi()[y()(x(xi))?x()(y(xi))]=?xifi()([x;y]()(xi)) DadieKartebeliebiggewahltwar,folgtdieBehauptung. =?Xifi()dxi([X;Y]())=?!([X;Y])() @xi(e)),wenn Nungiltckij+ckji=0,dennfurallei;j=1;:::;nist XkckijXk=[Xi;Xj]=?[Xj;Xi]=Xk(?ckji)Xk: [Xi;Xj]=nXk=0ckijXk 8i;j=1;:::;n DadieXkeineBasisbilden,folgtauchckij=?ckji8k2f1;:::;ng. EbenfallsdirektausdenLiealgebra{Eigenschaftenerhaltman: Denn: Xr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0furallei;j;k;s2f1;:::;ng: 0=[[Xi;Xj];Xk]+[[Xj;Xk];xi]+[[Xk;Xi];Xj] n =Xrcrij[Xr;Xk]+Xrcrjk[Xr;Xi]+Xrcrki[Xr;Xj] ="XrcrijXr;Xk#+"XrcrjkXr;Xi#+"XrcrkiXr;Xj# XscsrkXs!+Xrcrjk XscsriXs!+Xrcrki XscsrjXs! DadieXslinearunabhangigsind,folgt: =Xs Xr(ckijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)!Xs nxr=1(crijcsrk+crjkcsri+crkicsrj)=0 8s2f1;:::;ng 27
28 ZumSchlunochderBeweisderMaurer{CartanGleichungen.FasseE1linv(G)nach(2)alsDualraum eineeindeutigedarstellung: mit1i<jneinebasisvon2e1linv(g)=e2linv(g).nach(4)giltd!2e2linv(g)daherexistiert derliealgebragauf.sei!1;:::;!ndiezux1;:::;xndualebasisvone1linv(g).dannsinddie!i^!j Zuzeigenist,daakij=?ckijgilt.BetrachtewieinAbschnitt4.2dieIsomorphiekette d!k=x 1i<jnakij!i^!j: Einerseitsist 2E1linv(G)?!(2g) gd!k(xi;xj)= Xm<nakmn^?!Altmult(g2;R): danachdembasissatzfuralternierendeproduktedie(!m^!n)dualzudenxi^xjsind.andererseits istnach(4):d!k(xi;xj)=?!k([xi;xj]),umgenauerzusein:gd!k(xi;xj)=?f!k([xi;xj]).dann (!m^!n)!(xi;xj)=xm<nakmn(!m^!n)(xi^xj)=akij; gilt:gd!k(xi;xj)=?f!k(xlclijxl)=?xlclijf!k(xl)=?xlclij(!k)(xl)=?ckij DaszweiteGleichheitszeichengiltwegenderMultilinearitatderAbbildungf!k(vgl.4.2),dasletzte wegendesbasissatzes. Alsohatman: d!k=xi<jakij!i^!j=?xi<jckij!i^!j=xi<jckij!j^!i: GL(n;R)istmitderOperationundderglobalenKarte 4.4DielinksinvariantenFormenderGL(n;R) GL(n;R)xij Linksinvariante0{Formen einelie{gruppederdimensionn2.?!r;a=(aij)7!aij Seif2C1(GL(n;R)).NachVoraussetzungist(lA?1f)(A)=f(A)furalleA2GL(n;R).Dahergilt f(i)=f(a)8a,alsofc.dielinksinvarianten0{formensindsomitdiekonstantenfunktionen. Linksinvariantep{Formen WegenEplinv(GL(n;R))=pE1linv(GL(n;R))reichtes,dielinksinvarianten1{Formenauszurechnen. AusSatz4.8verwendetmandenIsomorphismus: Behauptung:DieFormen E1linv(GL(n;R))!ij:A7!Xkxik(A?1)dAxkj?!TIGL(n;R) bildeneinebasisvone1linv(gl(n;r))undentsprechenunterdendixij. 28
29 kl(a).dadurcherhaltman: 29
30 5Denition5.1SeienG,HLie-Gruppen.EineAbbildung':G!Hheit(Liegruppen-)Ho- momorphismus,wenn'c1undgruppenhomomorphismusist.'heitisomorphismus,falls' zusatzlicheindieomorphismusist.imfalleg=hheiteinisomorphismusauchautomorphismus.isth=aut(v)fureinenvektorraumvoderh=gl(n,c)oderh=gl(n,r),dannheitein Homomorphismen Homomorphismus':G!HDarstellungderLiegruppeG. Denition5.2Seieng,hLie-Algebren.EinLiealgebrenhomomorphismus lungderliealgebrag,fallsh=end(v)fureinenvektorraumvoderh=gl(n;c)oderh=gl(n;r). TeG(=:Ge)nachTeH.MitderIdentikation1:g!TeGmit1(X)=X(e);2:h!Hemit Sei':G!HHomomorphismus.Da'(eG)=eH,istTe'(=:d'e=:d')einelineareAbbildungvon :g!hheitdarstel- 2(Y)=Y(e)erhaltmaneineinduzierteAbbildung,dieauchmitTe'bezeichnetwird: TeGTe' "1?!TeH Bemerkung.FurX2gistdaslinksinvarianteVektorfeldTe'(X)2heindeutigbestimmtdurch g 99K "2 Te'(X)(e)=Te'?X(e): h Beweis.SeiY2hlinksinvariantesVektorfeld,Y(e)=Te'?X(e)=Te'(X)(e).Sei2H.Dannist DamitistY=Te'(X). Denition5.3SeienM,NMannigfaltigkeiten,':M!NC1.Zwei(glatte,d.h.C1)-Vektorfelder Y()=Y?l(e)=Tel(Y(e))=Tel?Te'(X)(e)=Te'(X)?l(e)=Te'(X)(): Lemma5.4Sei':M!NC1.SeienX;X0(glatte)VektorfelderaufMbzw.Y;Y0aufN.Falls XaufM,YaufNheien'-vertraglich,falls X'-vertraglichmitYundX0'-vertraglichmitY0,soist[X;X0]'-vertraglichmit[Y;Y0]. Te'X=Y': Beweis.NachVoraussetzunggiltTe'X=Y'undTe'X0=Y0'.Zuzeigenist: ZurAbkurzungdeniereXfdurchXf(m):=X(m)(f),analog(Te'X)(f)(m):=(Te'X)(m)(f) Danngilt:(Y0')(f)=Y0f',denn(Y0')(f)(m)=(Y0')(m)(f)=Y0('(m))(f)=(Y0f')(m). furf2c1(n),m2m. Te'[X;X0]=[Y;Y0]': Seiennunm2M,f2C1(N).Dannistzuzeigen: Te'([X;X0](m))(f)=[Y;Y0]('(m))(f): Te'([X;X0](m))(f)Def.Te' Def.[;] [X;X0](m)(f') X(m)?X0(f')?X0(m)?X(f') X(m)?(Te'X0)(f)?X0(m)?(Te'X)(f) Def.Te' X(m)?(Y0')(f)?X0(m)?(Y')(f) Def.[;] X(m)(Y0f')?X0(m)(Yf') = Te'(X(m))(Y0f)?Te'(X0(m))(Yf) Y('(m))(Y0f)?Y0('(m))(Yf) [Y;Y0]('(m))(f) 30
31 Satz5.5SeienG,HLie-GruppenmitLiealgebrengundh.Sei':G!HHomomorphismus.Dann gilt:1.furjedesx2gsindxundte'(x)'-vertraglich. Beweis.(a)Sei~X:=Te'(X).Danngiltfur2G 2.Te':g!histLiealgebrenhomomorphismus. DannfolgtmitderLinksinvarianzvon~XundX: l'()'='l; ~X?'()=~X?l'()(e)=Tel'()~X(e)=Tel'()?Te'(X(e)) da'()'()='(): =Te(l'()')?X(e)=Te('l)?X(e)=Te'?dl(X(e))) zuzeigen,dafurx,y2g (b)te'istalstangentialabbildunglinear.damitte'liealgebrenhomomorphismusist,genugtesalso also Te'(X)'=Te'X: =Te'?X(l(e))=Te'?X(); EsistX'-vertraglichmit~XundYmit~Y.NachLemma5.4folgt,da[X;Y]'-vertaglichmit[~X;~Y] ist,d.h.te'[x;y]=[~x;~y]'.damitfolgt Te'?[X;Y]=[Te'(X);Te'(Y)]oder^ [~X;~Y](e)=[~X;~Y]('(e))=Te'?[X;Y](e) [X;Y]=[~X;~Y] AuerdemistnachKap.2[~X;~Y]linksinvariant.NachBemerkungist^ dasjenigelinksinvariantevektorfeldaufh,dessenwertimeinselementte'?[x;y](e)ist.alsoist [X;Y]=[~X;~Y]: ^ [X;Y]eindeutigbestimmtals ErinnerungandieKotangentialabbildung:SeienN,MMannigfaltigkeiten,':M!NC1,m2M. HomomorphismenundlinksinvarianteFormen Dannsei Tm'=':T'(m)N!TmM Denition5.6EineFamilie(!1;:::;!n)von1-FormenaufeinerMannigfaltigkeitMheitunabhangig,fallsfurjedesm2MdieFamilie(!1(m);:::;!n(m))TmMlinearunabhangigist. Denition5.7EinIdealJE(M)heitdierenzierbaresIdeal,fallsesabgeschlossenunter Lemma5.8Sei':G!HLiegruppenhomomorphismus.Ist!linksinvarianteForm,soistdie Beweis.('!)(m):='?!('(m))istnachKap.4dierenzierbareFormaufG.Auerdemgilt Liftung'(!)='!dierenzierbareFormaufG. diedualeabbildungzutm'(=d'). '(!)(v)=!?tm'(v)fur!2t'(m)n;v2tmm auererdierentiationdist,d.h.d(j)j. wegenderlinksinvarianzvon!.damitistauch'!linksinvariant. l'!=('l)!=(l'()')!='l'()!='! 31
32 (!)=!(e) Somitist':E1linv(H)!E1linv(G)bzw.mitdenIdentikationenE1linv(G)!TeG=gmit Seinunf!1;:::;!ngBasisvonE1linv(H).DannexistierennachdenMaurer-Cartan-Gleichungen diedualeabbildungvonte':g!h,dennfur!2e1linv(h),x2gist?'(!)(x)=!?te'(x). ':h!g Strukturkonstantencijk,soda DadieLiftung'mitderauerenDierentiationdvertauschbarist(Vektoranalysis-Vorlesung),folgt dannd?'!i='(d!i)=xj<kcjki'!k^'!j: d!i=xj<kcjki'!k^'!j: Projektionen.DiesesindauchLiegruppen-Homomorphismen.SeiJdas(zweiseitige)IdealvonFormen BetrachtenundieLie-GruppeGH.Seien1,2vonGHnachGbzw.Hdiekanonischen DieseMengevon1-FormenaufGHistunabhangig,denndie!isindunabhangig,ebensoihre aufgh(d.h.imringe(gh)),daserzeugtistvonden1-formen Liftungen. f1'!i?2!i:i=1;:::;dg: Bemerkung. Beweis. 2.Dieerzeugenden1-Formensindlinkinvariant. 1.JistdierenzierbaresIdeal. (a)d?1'!i?2!i =Xj<kcjki?[1'!k?2!k]^1'!j+2!k^[1'!j?2!j]2J =Xj<kcjki?1'!k^1'!j?2!k^2!j (b)sei(;)2gh.esist1l(;)=l1und2l(;)=l2.dannfolgt l(;)?1'!i?2!i=l(;)1'!i?l(;]2!i =(l1)'!i?(l2)!i wegenderlinksinvarianzvon'!iund!i. =1'!i?2!i =1l'!i?2l!i ist BetrachtenuneinenHomomorphismus :E1linv(H)!E1linv(G)? (!)(X)=!? (X)fur!2E1linv(H),X2g: :g!hderliealgebrenvongundh.diedualeabbildung Bemerkung.SeiJdasIdealderFormenaufGH,daserzeugtistvondenunabhangigen1-Formen Seiwiederf!igBasisvonE1linv(H). f1? (!i)?2!i:i=1;:::;dg: 32
33 DannistJdierenzierbaresIdealunddieerzeugendenFormensindlinksinvariant. DieseFormelgilt,dennseienX,Y2glinksinvarianteVektorfelderaufG.DannistnachKap.4 Beweis.DieBemerkungfolgtnachanalogerAusrechnungwieebenunterBenutzungderFormel d? d? (!i)=xj<kcjki (!i)(x;y)=? (!k)^ (!i)[x;y]=?!i (!j): =Xj<kcjki!k^!j? =?!i[ (X);(Y)]=d!i? (X);?[X;Y] (Y) (X);(Y) Denition5.9SeienN,MMannigfaltigkeiten.Sei nicht-singular,d.h.injektiv,istfurjedesn2n. (!k)^ (!j)(x;y): Denition5.10EineUntermannigfaltigkeit(N; )heituntermannigfaltigkeitvonm,falls)vonmheitintegral-mannigfaltigkeiteines eineinjektiveimmersionist. :N!MC1. heitimmersion,fallsd n IdealsJE(M),fallsfurjedes!2J FormenaufM.Setzefurjedesii:=1f!i?2!i.SeiJE(NM)dasIdealderFormen,das Seinunf:N!MC1,1,2diekanonoischenProjektionenvonNMaufNbzw.M.Seienf!ig erzeugtistvondeni.!0. DieUntermannigfaltigkeit(N;g)vonNMmitg(n)=(n;f(n))heitGraphvonf. DieseistIntegral-MannigfaltigkeitvonJ:Zuzeigenist Esgilt:1g=idund2g=funddamit gi=(1g)f!i?(2g)!i=f!i?f!i=0: gi=0furallei: Lemma5.11Seif!1;:::;!dgeineBasisder1-FormenaufM.Sein02N,m02MundseiUN einezusammenhangende,oeneumgebungvonu0.weiterseif:u!mc1mitf(n0)=m0und f!i=:ijufuri=1,...,d.dasidealjderformenaufnm,daserzeugtistvon Graphenvon~fbzw.faufU,d.h.~g(n)=?n;~f(n),g(n)=?n;f(n)furn2U.Dannsindsowohl seidierenzierbar.dannistfeindeutigbestimmt. Beweis.Sei~feineanderesolcheAbbildung(d.h.~f(n0)=m0,~f!i=ijU).Seien(U;~g),(U;g)die f1i?2!i:i=1;:::;dg (U;g)alsauch(U;~g)Integral-MannigfaltigkeitenvonJ. Esseinun EsistH6=;,dag(n0)=m0=~g(n0).HistabgeschlossenwegenderStetigkeitvongund~g.Histaber auchoen:seig(n)=~g(n).nachdemfrobenius-theorem(dashierohnebeweisverwendetwird),ist dieintegral-mannigfaltigkeitumneindeutigbestimmt.deshalbexistierenumgebungenw(n),~w(n) H:=fn2U:g(n)=~g(n)g: Satz5.12SeienG,HLiegruppen,Gzusammenhangend,', LiealgebrenhomomorphismenTe',Te DaUzusammenhangendist,folgtdannH=U,alsog=~gaufUundschlielichf=~faufU. mitg(w)=~g(~w).nachdenitionvongund~gfolgtw=~wundgjw=~gjwunddamitwh. Beweis.WegenTe'=Te '= :E1linv(H)!E1linv(G): giltfurdiedualeabbildung :g!hseienidentisch.dannistbereits'= :G!HHomomorphismen.Die. i=1;:::;dgerzeugtist,dierenzierbar.mitn0=eg,m0=eh,u=g,'(e)=e= NacheinerBemerkungistweiterhindasIdealinE(NM),dasvondenFormenf1'!i?2!i: C1folgtnachLemma5.11:'=. 33 (e),'und
H2 1862 mm. H1 1861 mm
1747 mm 4157 mm H2 1862 mm H1 1861 mm L1 4418 mm L2 4818 mm H2 2280-2389 mm H1 1922-2020 mm L1 4972 mm L2 5339 mm H3 2670-2789 mm H2 2477-2550 mm L2 5531 mm L3 5981 mm L4 6704 mm H1 2176-2219 mm L1 5205
MehrÜben. Distributivgesetz. Distributivgesetz. Lösung. Multipliziere aus: a) 2a(5x 2y) b) 10c(2a + 0,5b) c) -3x(5 2y) d) -4a(-2b + a)
1a Multipliziere aus: a) 2a(5x 2y) b) 10c(2a + 0,5b) c) -3x(5 2y) d) -4a(-2b + a) 1a a) 2a(5x 2y) = 2a. 5x 2a. 2y = 10a 4y b) 10c(2a + 0,5b) = 10c. 2a + 10c. 0,5b = 20ac + 5bc c) -3x(5 2y) = -3x. 5 (-3x).
Mehr4/1. Lösung Mengen bis 4. ll 1 qqqq 3 w 4 2. ee 4 ttt 2 iiii 0. p 3
Mengen bis 4 4/1 aaa 0 ll 1 qqqq 3 w 4 2 ee 4 ttt 2 iiii 0 1 p 3 Zuzählen bis 4 4/2 aa + aa 0+0 s + ss 1+1 e 2+2 t + t 1+0 1+3 j + j 2+1 bbb + b 1+1 mm + m 0+0 0+1 q 3+1 Wegzählen ZR 4 4/3 4 0 3 1 4 2
MehrS6 R7 G8 F5 D7 D6 D5 D4 B4 B3 B2 B1 A4 A3 A2 A1
SG 2.7 Beginn 3.BA Abd9 Abd8 Abd7 Abd6 Abd5 Abd4 Abd3 AB15 AB14 AB13AB12AB11AB10AB9 AB8 AB7 AB6 AB5 AB4 AB3 Z15 Y11 S14 R14 R13 Q13 W12 D17 D16 Z14 V12 S13 R12 Q12 D15 Z13 Z12 Z11 V11 S12 Y10 Q11 D14 V10
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung
Michael Winkler Johannes Lankeit 22.4.204 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung Hausaufgabe : 2 Punkte Bei welchen der folgenden Funktionen u: G R kann es sich um den Realteil einer in G holomorphen
MehrBemerkungen. f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. f xi (x 1,..., x n ) =
Bemerkungen Die Erweiterung der Definition von partiellen Ableitungen 1. Ordnung für Funktionen u = f (x 1,..., x n ) mit n > 2 Veränderlichen ist offensichtlich: f xi (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x i
MehrDer Tangentialraum im Einselement
Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik - Lehrstuhl VII Seminarvortrag Der Tangentialraum im Einselement Seminar Geometrie für Lehramt/Dierentialgeometrie I Dozent Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 8: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2009/2010 1/37 Überblick Kontextfreie Grammatiken
MehrProseminar Datenkompression Suchstrategien und Präfixcodes
Proseminar Datenkompression Suchstrategien und Präfixcodes Patrick Sonntag Mittwoch, den 05.02.2003 I. Einführung - Suche elementares Problem in Informatik - hierbei Beschränkung auf binäre Tests nur 2
MehrExponentialreihe von Matrizen
Exponentialreihe von Matrizen Seminar zur Vorlesung "Geometrie für Lehramt" Sommersemester 20 Dozent: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund Name: Kerstin
MehrÜbungsaufgaben mit Lösungen zur Analysis und linearen Algebra
Übugsaufgabe mit Lösuge zur ud lieare Algebra Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe ) Bilde Sie die. Ableitug der folgede Fuktioe: a) f (x) = (x 7 + 5x + 4) 0 = f (x) = 0(x 7 + 5x + 4) 9
MehrErsatzbanknoten: Deutschland
Inhaltsverzeichnis Ersatzbanknoten: Deutschland Ersatzbanknoten Deutschlands 1 Bundesrepublik Deutschland 1.1 Bank Deutscher Länder 1.2 Deutsche Bundesbank 1.2.1 Bundesbankserie I (BBk I) ("Gemäldeserie")
MehrFunktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
Mehr2.5 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 8
4 7 3 / 4 m 5 / 8 x (81) = 4 α f(x) = 3x 2 6x + 9 f(x) = x 2 10x + 9 (x + 2y) 2 =? ( 36m2 ) 9m 5n 2 (5x+y) (2+6) 4 / 7 7 / 7 336 = 4 7 x = 7 7 x 4 7 = 336 : 7 4 Kehrbruch! x = 588 3 / 4 m 5 / 8 x 5 / 8
MehrTest zum PS Lineare Algebra und Geomtrie 2 H. Feichtinger & D. Eiwen Wintersemester 2011 Datum: 28. Nov. 2011
**************************************************************** * NAME: Matr.Nr.: Test zum PS Lineare Algebra und Geomtrie H. Feichtinger & D. Eiwen Wintersemester Datum: 8. Nov. Bitte Studienausweis
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrLösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33
MehrJahresinhaltsverzeichnis dustrie. t.de. Jahresinhaltsverzeichnis GITO Verlag 2016 O GITO. Ab März Nur im Abo! Abo!
J 2016! A N! N A 40 N! A 40 1 20 A 2 A N EEN ANA 0 4 3 20 1 40 420 1 20 1 EE N EE N E N N A E NEAA N AANE A A F SN S S 16:4:39 2206201 A ä 201 B N Z E A ü V O O VV O V O V O D L ö W - W WFB U W F N L,
Mehr= ( n x j x j ) 1 / 2
15 Skalarprodukte 77 15 Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors
Mehr2 Durchschnitt und Verbindungsraum
2 Durchschnitt und Verbindungsraum Seien X und Y nicht leere affine Unterräume des R n (21) Satz: a) Ist X Y, so ist T(X) T(Y ) b) Ist X Y φ so ist X Y ein affiner Raum mit Richtungsvektorraum T(X) T(Y
MehrDer chinesische Restsatz mit Anwendung
Der chinesische Restsatz mit Anwendung Nike Garath n.garath@gmx.de Martrikelnummer: 423072 Seminar: Verschlüsslungs- und Codierungstheorie Dozent: Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2017 Inhaltsverzeichnis
MehrFixpunktsemantik logischer Programme Pascal Hitzler Juli 1997 Kurzuberblick im Rahmen der Vorlesung Einfuhrung in Prolog von T. Cornell im Sommersemester 1997 an der Universitat Tubingen. Beweise sind
Mehrichten die A mtsbezeichnung Landesarbe von mehr als sechzig Reichsmark bis und von da ab für jede angefangene hunder tändig
- M 0 J 97 m m 9 5 m 7 m 9 ' 55 m 8 O 9 5 m m 9 m m m 9 m m 0 M 9 ( T m m ( ( ( 9 Z R F R T T T T T R mmm Z»? ^ m m F R m m - - - R m m - m Z mm mm m m 8 R m m m m m m Z mm 0 m O 9 5 m 0 M 9 05 m 8 m 9
Mehr, 2 f N, f M f n f m dx 0 sin xx x3 3! x 5 5! a n x n n0 N f N x a n x n n0 a,ba * x b x a * y b y a * z b z aa x 2 a y 2 a z 2, * r,tr,td 3 r, * d 3 r * * d 3 r, *, * d 3 r * d 3 r, * d 3 r * * d 3 r
MehrUbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith
UbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith 1.(i)EntscheidenSie,obdieFunktion (ii)berechnensiedieintegrale impunktx0=0dierenzierbarist.bestimmensieggfs.dieableitungf0(x0). (a)1 Z0xf:(R!R
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)
MehrMathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte
Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte. Finde den Term und berechne dann den Termwert für x = - 5 und x = 00. x = x = x = 3 x = 4 x = 5 x = - 5 x =00 T (x) = 5 8 4 7 T (x) = 3 6 9-5 T 3 (x) = 0 3 8
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2017S) Lösung
Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2017) en Aufgabe 2.1 Geben ie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden prachen erzeugt, sowie eine Linksableitung und einen Ableitungsbaum
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien
MehrAnalysis II 13. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 22/3 F. Stoffers 28. Januar 23 Analysis II 3. Übungsblatt. Aufgabe 4322 Punte a Sei U R n offen und f : R n R m eine stetig Fréchet-differenzierbare Abbildung.
Mehr6. Normale Abbildungen
SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische
MehrKlausur Mathematik II
Technische Universität Dresden. Juli 8 Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. G. Matthies, Dr. M. Herrich Klausur Mathematik II Modul Dierentialgleichungen und Dierentialrechnung für Funktionen mehrerer
MehrDidaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1
Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
MehrTangenten und die erste Ableitung
Universität Heidelberg Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der reellen Analysis Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter Sommersemester 2009, 16.06.2009 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 tangere = berühren, aus
MehrPrüfprotokoll der jährlichen Sachkundigenprüfung nach BGV C1
Fabr. Nr. 911000327 Tragfähigkeit [kg] LL Nr 001 Triebwerksgruppe Kette vorhanden vorhanden (Wert steigt um 50 52%) vorhanden a 22,5 Sonstige en: vorhanden Fabr. Nr. 911000328 Tragfähigkeit [kg] LL Nr
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof.
MehrLeica DM2000 Leica DM2500 Leica DM3000 操 作 手 册
Leica DM2000 Leica DM2500 Leica DM3000 操 作 手 册 2005 五 月 由 : Leica 微 系 统 wetzlar 有 限 公 司 Ernst Leitz Straβe D 35578 Wetzlar( 德 国 ) 出 版 发 行 编 撰 负 责 人 : Jasna Röth Peter Schmitt 博 士 ( 临 床 显 微 镜 检 查 产 品 管
MehrTensorprodukte. Isabel Semm. 21. Dezember 2004
Tensorprodukte Isabel Semm 21. Dezember 2004 1 1 Existenz und Eindeutigkeit Definition: Seien M, N, P A-Moduln. f: M x N P heisst A-bilinear, falls x M: N P, y f(x, y) und y N: M P, x f(x, y) Homomorphismen
MehrChapter 1 : þÿ b e t - a t - h o m e s p a m m a i l c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t - a t - h o m e s p a m m a i l c h a p t e r þÿ O n l i n e c a s i n o e r o f f n e n o h n e a n m e l d u n g B i n g o G a m e s O n l i n e U k l i v e m i t. E i n e g e l
MehrStrukturuntersuchung Nichtperturbative MarkusBecker indimensionellerregularisierung Schwinger-Dyson-Gleichungen derquantenelektrodynamik mittelsgenaherter {1995{ Nichtperturbative {TheoretischePhysik{
MehrLösung: Serie 2 - Komplexe Zahlen I
Dr. Meike Akveld HS 05. (Induktion) : Serie - Komplexe Zahlen I a) Zeigen Sie die Ungleichung von Bernoulli: Für alle x > und n N gilt: b) Zeigen Sie für alle n N: ( + x) n + nx. n n, wobei a b bedeutet,
MehrÜbung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013
Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory of the
Mehr9. Abgabeblatt Lösungen. Aufgabe 33 Aufgabe 34 Aufgabe 35 Aufgabe 36 Summe:
Lineare Algebra Prof. Dr. R. Dahlhaus Dr. S. Richter, N. Phandoidaen Wintersemester 8/9 9. Abgabeblatt Lösungen Aufgabe Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Summe: Übungsgruppe: Namen: Tutor(in): Aufgabe (Nachrechnen
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
MehrChapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P a r t y s e r v i c e c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e P a r t y s e r v i c e c h a p t e r þÿ a k t i e. a t - d i e g r ö r s e B ö r s e S e i t e i n Ö s t e r r e i c h & m i d d o t ; I m p r e s s u m A G B Z u m t
MehrKernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung
Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function
MehrÜbungen zu den Potenzgesetzen
Üuge u de Potegesete Multiplitio ud Divisio vo Potee it gleicher Bsis. ) d p d q d p q. ). ) + + + p p + p p p + +. ) ²(³ + ) ³( + ) ³(² - ) ( + - ) ( + - ) - ( + ). ) (² + ³)² ( )² ( + )² ( )² (² + ³)²
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrMethoden des Algorithmenentwurfs Kapitel 2.2: Randomisierte Online Algorithmen
Methoden des Algorithmenentwurfs Kapitel 2.2: Randomisierte Online Algorithmen Christian Scheideler SS 2009 16.07.2009 Kapitel 2 1 Übersicht Notation Paging Selbstorganisierende Suchstrukturen Finanzielle
MehrAlgebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 3 (SS 2016) 1. Abgabetermin: Freitag, 6. Mai.
Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 3 (SS 2016) 1 Abgabetermin: Freitag, 6. Mai http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a2 Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen
MehrÜbungen zu den Potenzgesetzen
Üuge u de Potegesete Multiplitio ud Divisio vo Potee it gleicher Bsis. d p d q d p q.. + + + p p+ p p p+ +. ²(³ + ) ³( + ) ³(² - ) ( + - ) ( + - ) - ( + ). (² + ³)² ( )² ( + )² ( )² (² + ³)² ( )² (d d
MehrBinome multiplizieren. g) (2b +c2d) h) (4a + bc) i) (d ef) h) (-5u 7v) i) (-3c + 4d)(-3c m) (-3z + 5x)(-5x 3z) f) (5 z2)2 m) (-6s 8t) 7)2
t) (7q n)(mn h) Ty)(7y mathüb 8 Binome für den Profi Binome multiplizieren 1 LU Binome für den Profi 01 Multipliziere aus: a) (d + e)(d + e) (g h)(g e) (e f)(e + f) g) (7t + )(7t ) (r+ s)(r+ s) (5pq)(5pq)
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
Mehra' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg
ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrRinge und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de
Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen
MehrExpander Graphen und Ihre Anwendungen
Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen 21.04.2006 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen 21.04.2006
MehrLineare Gleichungssysteme Basis
Lineare Gleichungssysteme Basis Graphische Lösung von Gleichungen Regel Gegeben sind zwei Gleichungen von zwei Funktionen. Die Lösung dieses Systems ist gleich dem Schnittpunkt beider Graphen. Verlaufen
MehrÜbungsblatt 2 zur Vorlesung. Analysis 1. im Wintersemester 2012/13
Prof. Dr. Jörg Wolf Amru Hussein Übungsblatt 2 ur Vorlesung Analysis 1 im Wintersemester 2012/13 Aufgabe 1) (Körper) (4 Punkte) Es sei Z die Menge der ganen Zahlen. Verwenden Sie die aus der Schule bekannten
MehrÜbungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a)
Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) b) c) 2x5y=23 2x 3y= 6x0y=64 6x 2y=6 2x3y=20 5x y=33 2x5y=23 2x 3y= 2x5y=23 2x3y= 8y=24 : 8 y=3 6x0y=64
MehrPraktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung Vorlesung vom 10.11.2010: Rekursive Datentypen
Rev. 1152 1 [23] Praktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung Vorlesung vom 10.11.2010: Rekursive Datentypen Christoph Lüth & Dennis Walter Universität Bremen Wintersemester 2010/11
MehrWie kann man die Normalform (bzgl. Affinen Transformationen) bestimmen, ohne die affine Abbildung bzw. Isometrie zu finden?
Wie kann man die Normalform (bzgl. Affinen Transformationen) bestimmen, ohne die affine Abbildung bzw. Isometrie zu finden? Antwort in Dim 2: Sei Q eine Quadrik in R 2 gegeben durch a 11... a 1n x 1 x
Mehr6.1 Präsentationen von Gruppen
244 6.1 Präsentationen von Gruppen Es geht jetzt um die Beschreibung von Gruppen durch Erzeugende und Relationen, also z. B. um die genaue Beschreibung dessen, was Zeilen wie die folgende bedeuten: G :=
MehrSchranken für zulässige Lösungen
Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrAM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n. 1 Begriffe. 2 Norm, Konvergenz und Stetigkeit. x 1. x 2. f : x n. aus Platzgründen schreibt man:
AM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n 1 Begriffe f : x 1 f 1 x 1, x 2,..., x n ) x 2... f 2 x 1, x 2,..., x n )... x n f m x 1, x 2,..., x n ) }{{}}{{} R n R m aus Platzgründen schreibt man: f
Mehr!&'! )*+**,- 012"3)--2
!!!""#$%!&'! (' )*+**,- (. "/"/ 012"3)--2 !!&' $& & 4!! /# 5$6 &!!7$&($7&'897:($; " &0!'!$!7$5$ & & $! '" & $0!&'!/$ '!"'7:($ '. 1"
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 203 Institut für Analysis 504203 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Übungsblatt Bestimmen Sie die
Mehr18 Bedingte Verteilung
18 Bedingte Verteilung In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Verteilung (Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert) einer Zufallsvariablen Z befassen, wenn man über die zusätzliche Information
Mehrγ(p) = {(P,g) P G P g}. π(g) = {(P,g) P G P g}.
Lösungsvorschläge zur Klausur Elementare Geometrie vom 02.08.2017 Aufgabe 1 Es sei P eine nicht kollineare endliche Menge von Punkten in einer affinen Ebene. Weiter sei G die Menge aller Geraden PQ mit
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrKapitel 6. Geld, Preise und Wechselkurse
Burda & Wyplosz MACROECONOMICS 5 th edn Kapitel 6 Geld, Preise und Wechselkurse Oxford University Press, 2009. All rights reserved. Einführung und Übersicht Geld und das Neutralitätsprinzip Geld Geld und
MehrVorlesung 7a. Unabhängigkeit
Vorlesung 7a Unabhängigkeit 1 Wir erinnern an die Definition der Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen (Buch S. 61): Zufallsvariable X 1,X 2 heißen (stochastisch) unabhängig, falls für alle Ereignisse
MehrLösung zu Serie Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: A := B :=
Lineare Algebra D-MATH, HS 204 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 2. Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
Mehr6.4 Poisson-Verteilung
6.4 Poisson-Verteilung Sei {N t } t T eine Menge von Zufallsvariablen (ein stochastischer Prozeß ) mit folgenden Eigenschaften: V1: Zuwächse sind unabhängig, dh. die Zufallsvariablen N t+h N t und N t
MehrTerme - Arbeitsblatt 1
Terme - Arbeitsblatt 1 Klammer mal Klammer a) (a + 4)(b + 3) b) (x + 6)(y + 2) c) (3 + d)(4 + e) d) (u + w)(v + 3) e) (c + d)(e + 1) f) (r + 5)(s + t) a) (x + 3)(y 2) b) (2r + 5)(s 2) c) (3x + 4y)(y 2)
Mehr3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.7. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 123 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wollen jetzt lineare Endomorphismen durch Matrizen besonders übersichtlicher Gestalt (u.a. mit möglichst vielen Nullen) beschreiben,
MehrAlgebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013
Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester
Mehr1 Fibonacci-Zahlen und Teilbarkeit
3. Juli 2002 Fabian Meier Fibonacci-Zahlen und Teilbarkeit Dies ist das Skript zu dem Vortrag, den ich auf der Sommerakademie 200 und 2002 gehalten habe. Fehler bitte an folgende Adresse: an@fabianmeier.de..
MehrVorlesung 5a. Die Varianz
Vorlesung 5a Die Varianz 1 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert
MehrMusterlösungen Online Zwischentest - Serie 10
D-MAVT, D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Online Zwischentest - Serie 10 Frage 1 [Prüfungsaufgabe Frühling 2011)] Sei das Vektorfeld in R 3, ( x v(x,y,z) = 2, x+y ),0 2 und der
Mehrliefern eine nicht maschinenbasierte Charakterisierung der regulären
Reguläre Ausdrücke 1 Ziel: L=L M für NFA M L=L(r) für einen regulären Ausdruck r Reguläre Ausdrücke über einem Alphabet Σ Slide 1 liefern eine nicht maschinenbasierte Charakterisierung der regulären Sprachen
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 1 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. Oktober.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 1 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. Oktober http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden einige
MehrAmtliche Mitteilungen
Amtliche Mitteilungen Datum 20. Juni 2016 Nr. 53/2016 I n h a l t : Zweite Ordnung zur Änderung der Prüfungsordnung für den Bachelor-Studiengang Duales Studium Informatik der Naturwissenschaftlich-Technischen
MehrKomplexität und Komplexitätsklassen
Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 21 vom 21.01.2013 Komplexität und Komplexitätsklassen Die meisten Probleme mit denen wir zu tun haben sind entscheidbar.
MehrT-PIECES T-STÜCKE. 02/2016 www.dockweiler.com
T-PIECES T-STÜCKE 02/206 www.dockweiler.com 2 DT-4..2- (DT-9) utomatic Tube Weld: Straight Tee Mit nschweißenden: T-Stück ll prices ex works lle Preise ab Werk Order Code / rtikel-nr. Inch mm Inch mm SF
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrLeseprobe. Monika Noack, Alexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker. Mathe mit dem Känguru 3. Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011
Leseprobe Monika Noack, lexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker Mathe mit dem Känguru 3 Die schönsten ufgaben von 009 bis 011 ISN: 978-3-446-480-1 Weitere Informationen oder estellungen
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
MehrSerie 3: Ringe, Körper, Vektorräume
D-MATH Lineare Algebra I HS 2016 Dr. Meike Akveld Serie 3: Ringe, Körper, Vektorräume 1. Im Folgenden sei n N und Z n bezeichne die Menge der Äquivalenzklassen von Z bezüglich der Relation: k n l n k l
Mehr