Physikalische Chemie II (für Biol./Pharm. Wiss.) FS Lösung 6. Musterlösung zum Übungsblatt 6 vom

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1 Löung 6 Muterlöung zum Übungblatt 6 vom Gleichgewichtzentrifugation 1. Augehend von der im Lambert-Beer chen Geetz gegebenen Beziehung, da c HK / A 280, kann man die beiden Werte au der Grafik herauleen und für die Berechnung der Mae verwenden: 2kT ln c(r2 ) c(r 1 ) m =! 2 (1 Ṽ p fl )(R2 2 R1 2) J/K K ln( = ) ( /min 1/60 min /ec) 2 ( /kg 998 kg / ) ( m) 2 ( m) 2 = kg kg/da = 111 kda 2. Da funktionale Enzym it ein Homodimer. 3. mit = m V D = und V = 4 3 r3 folgt kt 6 r, r = kt 6 D m = V = 4 3 r3 = 4 3 kt 6 D = 4 kg J K (293.15) K m kg m = kg kg/da = 118 kda In Teilaufgabe 1 rechnet man mit einem mittleren pezifichen Volumen de Protein. Diee it nur eine Mittelung und hat einen gegebenen Fehler. In Teilaufgabe 2 rechnet man hingegen mit einer mittleren Proteindichte. Verwendet man nur den Diffuionkoeffizienten, beteht da gröere Problem jedoch darin, da dieer Effekte der Löungmittelwechelwirkungen, einchlielich der Solvathülle, beinhaltet, die zum für eine Stoke-Kugel berechneten effektiven Volumen beitragen. Noch chlimmer it aber, da bei der Stoke-Eintein-Gleichung da Protein al Kugel betrachtet wird. Für ein längliche Molekül bedeuted die, da e einen gröeren hydrodynamichen Radiu beitzen wird al ein kugelförmige Molekül gleicher Mae und omit einen gröeren berechneten Radiu, fall e fälchlicherweie al kugelförmig angenommen wird. 4. Da Gleichgewicht in Teilaufgabe 1 bechreibt eine Balance zwichen dem Diffuionflu gemä de 1. Fick chen Geetze (proportional zum Diffuionkoeffizienten) und dem Zentrifugalflu (ebenfall Proportional zum Diffuionkoeffizienten). Im Gleichgewicht kürzt ich der Diffuionkoeffizient in den beiden Flüen rau.! 3 1

2 2 Tonizität von Erythrozyten 1. Omoe it die Bewegung von Waer entlang eine omotichen Gradienten durch eine elektiv-permeable Membran. Da Eintellen de omotichen Druck, d.h. de Druck, welcher benötigt wird, um da Bewegen von Waer entlang eine Gradienten zu verhindern, it da Reultat der Differenz der Anzahl an impermeablen Teilchen in Löung auf beiden Seiten der Membran. Waer kann ich direkt durch eine Zellmembran bewegen. Jedoch it dieer Proze aufgrund der Doppellipidchichteigenchaften der Membran vergleichweie langam. E war die Entdeckung von waertragenden, porenbildenden Proteinen, bekannt al Aquaporine, die dabei half, da Wien darüber, wie ich Waer von der intrazellulären zur extrazellulären Flüigkeit und umgekehrt bewegt, zu verbeern. Der Waeraugleich it entcheidend in der Homeotae. Hormone, wie da antidiheuritiche Hormon (ADH) oder da atriale natriuritiche Peptid, werden freigeetzt al Antwort auf Veränderung in Plamazuammenetzung und -volumen und wirken auf die Nieren, um Plamaomolarität und -volumen zu regulieren. Der phyikaliche Urprung de omotichen Druck it die Differenz de chemichen Potential über eine Membran. Eine Zunahme der Konzentration der gelöten Stoffe in Waer vermindert die Aktivität de Waer und omit ein chemiche Potential (Erinnern Sie ich, da in PC-I die der partiellen molaren i entpricht). Für eine ideale Löung it da chemiche Potential einer Spezie mit Aktivität a gegeben al T,p,n j µ = µ 0 + RT ln a mit µ 0 al da chemiche Potential de Standardzutand. Der omotiche Druck tammt von der Kraft, welche notwendig it, um Waer, welche ich bei einem höheren chemichen Potential befindet (mit weniger gelöten Stoffen), davon abzuhalten, ich zu einer Region mit kleinerem chemichen Potential zu bewegen (mit mehr gelöten Stoffen). Fall die Membran für die gelöten Stoffe ebenfall permeabel it, werden die gelöten Stoffe ich ebenfall entlang ihre Gradienten im chemichen Potential bewegen, jedoch entgegengeetz der Richtung von Waer. 2. Die Omolarität einer Löung wird durch die Geamtzahl aller vorhandenen Teilchen, auch Omolytteilchen genannt, betimmt und wird nicht von der Identität dieer Moleküle beeinflut. Deto höher die Omolarität einer Löung, deto gröer it die Omolytkonzentration und die phyikalichen Eigenchaften einer Löung, wie der omotiche Druck oder der Gefrierpunkt, werden davon abhängen. Die Omolarität wird berechnet al die Summe der molaren Konzentrationen jede gelöten Stoffe jeweil multipliziert mit dem omotichen Koeffizienten ebendieer. Der omotiche Koeffizient wird betimmt durch den Grad, zu welchem der gelöte Stoff (zum Beipiel eine ioniche Verbindung) in Löung dioziiert. Daher bedeuted ein omoticher Koeffizient von 1, da der gelöte Stoff in Löung komplett dioziiert. Die Tonizität wird betimmt durch die Omolyten, welche die Membran nicht frei durchqueren können (! 1). Diejenigen, welche frei die Membran durchqueren können, tragen nicht zur Tonizität bei, da ie auf beiden Seiten die gleiche Konzentration haben (! 0). Da NaCl komplett dioziiert, beträgt die effektive Omolytkonzentration in einer iotonichen Löung 308 mm. 3. Sobald da Zellvolumen da Gleichgewicht erreicht hat, hängt der omotiche Druck von der endgültigen Konzentrationdifferenz der gelöten Stoffe innerhalb und auerhalb der Zelle ab. Die extrazelluläre Konzentration kann aufgrund ihre viel 2

3 gröeren Volumen al kontant angenommen werden. Die intrazelluläre Konenzentration wird proportional zur Volumenzunahme abnehmen (nur Waer fliet in die Zelle). Da Endvolumen it 1.25x gröer und omit wird die Konzentration der gelöten Stoffe 1.25x kleiner oder 308 mm/1.25 = mm ein. Die Starling-Gleichung (III.9 im Skript) bechreibt die Beziehung zwichen der Volumenfludichte, dem omotichen Druck und der Konzentrationdifferenz: J v = L P ( p kt N) (= Starling-Gleichung, Skript Gl. (III.9) Mit einer Volumenfludichte von 0 im Gleichgewicht teht der Druck im Zuammenhang mit der Konzentrationdifferenz (beachten Sie, da die Omolytkonzentration 2 c NaCl it): p = kt N (1) = RT c J = mol K 310K 200 mol p out p in = Pa = 1.2 bar mol 4. Die Annahme, da nur Waer die Membran durchquert, it offenichtlich nicht richtig, oder da Leben wäre in der Tat ehr kurz. Um die Gröenordnung de Druck zu chätzen, it e jedoch keine chlechte Annahme, da ich da Waer chneller durch die Membran bewegt al die relevanten Omolyten (gelöte Stoffe in der Zelle). Wenn alo die Annahmen korrekt ind, dann it die totale Fludichte der gelöten Stoffe 0. Somit mu nach =P N + N (1 ) J V (= Skript Gl. (III.8) die Permeabilitätkontante 0 und =1ein. 5. Die Gechwindigkeit der Volumenänderung it gegeben durch die Volumenfludichte multipliziert mit der Zelloberfläche: dv dt = A J v = A L P ( p RT c) Der anfängliche Volumenflu, bevor ich die Membrane dehnt, findent ohne Druckdifferenz über die Membran tatt. Somit it der anfängliche Volumenflu für eine durchchnittliche Zelle: apple dv dt = m m J bar mol K 310K = m3 =3.8 nl 200 mol 308 mol Da da Geamtvolumen der Zelle ~90 fl beträgt, würde e mit dieer anfänglichen Gechwindigkeit etwa 6 µ dauern um da Volumen um 25 % zu vergröern. Die it natürlich eine niedrige Schätzung, da ich die Gechwindigkeit verlangamen wird, obald der Druck in der Zelle zu- und die Konzentrationdifferenz abnimmt. E it jedoch nicht möglich, die Gechwindigkeit der Druckzunahme vorherzuagen, ohne die Elatizitätkontante der Zelle zu kennen. Man kann aber agen, da die 3

4 Volumenänderung praktich volltändig in unter einer Sekunde abläuft. Da Gleichgewichtvolumen wird erreicht, obald die Kraft, veruracht durch da Dehnen der Membran, die Kraft de Waer, welche ich entlang eine elektromchemichen Gradienten bewegt, augleicht. Wie bechrieben in Gl. (1), kann die ebenfall gechrieben werden al da Druckgleichgewicht mit p al den Membrandruck und kt N al den effektiven omotichen Druck. 3 Diffuion durch eine Lipidmembran 1. Die Fludichte über die Membran ( ü = P c) entpricht derjenigen innerhalb der Membran i = D dc dx. So kann man die beiden gleichetzten und nach P auflöen. ü = P c = P c 0 w c 00 w (2) i = D dc dx = D c00 m d c 0 m (3) ) P = D d (c 00 m c 0 m) (c 0 w c 00 w) = D d (c 00 w c 0 w) (c 0 w c 00 w) = D d 2. Der Konzentrationverlauf über die Membran zum Zeitpunkt t =0(durchgezogene Linie) und zu einem päteren Zeitpunkt (getrichelte Linie) it in der unten tehenden Abbildung kizziert. Man beachte hierbei den Konzentrationprung an der Membranoberfläche. Zur Veranchaulichung it die Konzentration in der Membran nicht matabgetreu gezeigt. Der tatächliche Wert c m = c w = c w it zu klein, um ihn auf einer linearen Skala zu viualiieren. c w d Nicht matäblich c c m c m t > 0 auen Membran innen c w c w t > 0 t = 0 3. Der Flu J it definiert al Änderung der Stoffmenge n mit der Zeit t 4

5 J = dn00 w dt = V dc00 w dt. (4) Die Fludichte über die Zellmembran it omit ebenfall proportional zur zeitlichen Ableitung der Konzentration innerhalb der Zelle: = J A = V dc00 w dt 1 A = P c0 w c 00 w, (5) wobei V = 4 3 r3 da Zellvolumen und A =4 r 2 die Zelloberfläche it. Da die Konzentration auerhalb der Zelle kontant it, d.h. dc0 w dt =0, it die rechte Seite der obigen Gleichung nur abhängig von c 00 w. Diee Differentialgleichung kann man nun durch Trennung der Variablen löen: dc 00 w (c 0 w c 00 w) Z c 00 w (t) dc 00 w c 00 w (0) ln c 00 w c 0 w (c 00 w c 0 w) c 00 w(t) c 00 w(0) c 00 w(t) 0 c 0 w c 0 w = PA dt (6) V = Z t 0 = PA V PA V dt t = exp PA V t c 00 w(t) = c 0 w(1 e t/ ) Wobei in unerem Fall gleich = V 4 PA = 3 r3 4 r 2 P = r 3 P = rd 3 D it. Nach 150 m beträgt die Konzentration innerhalb der Zelle omit: c 00 w =3.3mM 1 exp m m m 2 / =0.64 mm Die Zeit, nach der die Konzentration innerhalb der Zelle halb o gro it wie auerhalb, lät ich folgendermaen berechnen: 5

6 4 Membranpotential c 00 w c 0 w = 1 exp 0.5 = 1 exp 0.5 = exp ) ln(0.5) = t 1 2 / t 1 2 t 12 / t/ t 12 / = ln2 = 481 m 1. Die vereinfachte Goldman-Gleichung lautet für den Fall, da P K +,P Na + P Cl (und unter biologich relevanter Cl Konzentration): V m = ' i ' a = RT F ln P K +ca K + + P Na +c a Na + P K +c i K + + P Na +c i Na +. (7) 2. Wenn ich der Kanal öffnet, wird die Permeabilität von Na + und K + viel gröer al die von allen anderen Ionen. Dehalb ind e Na + -undk + -Ionen, die da Membranpotential betimmen. Daher verwenden wir die Goldman-Gleichung mit gleichen Permeabilitätkoeffizienten für Na + und K +, und null Permeabilität für andere Ionen: V m = RT F ln ca Na + + c a K + c i Na + + c i K + Einetzen der angegebenen Konzentrationen liefert V m = J mol 1 K K 120 mm + 20 mm ln C mol 1 25 mm mm!. = 5.9mV. 3. Da Membranpotential für den Fall eine pezifichen Na + -Kanalit! V m,na + = RT F ln ca Na + c i = J mol 1 K K 120 mm ln = 41.9mV. C mol 1 25 mm Na + Dabei wurde die Goldman-Gleichung verwendet und die Permeabilitätkoeffizienten für nicht tranportierte Ionen gleich 0 geetzt. Analog erhält man für einen pezifichen K + -Kanal V m,k + = RT F ln ca K + c i K +! = J mol 1 K K 20 mm ln = 53.8mV. C mol mm 4. Auflöen der Gleichung 7 nach dem Verhältni P K +/P Na + ergibt FV m RT =lnp K +ca K + P + Na +c a Na + P K +c i + P K + Na +c i Na + FVm exp = P K +ca K + P + Na +c a Na + RT P K +c i + P K + Na +c i Na + 6

7 wobei b definiert wurde al bp K +c i K + + bp Na +c i Na + = P K +c a K + + P Na +c a Na + bp K +c i K + P K +c a K + = P Na +c a Na + bp Na +c i Na + P K +(bc i K + c a K + )=P Na +(c a Na + bc i Na + ) P K + P Na + = ca Na + bc i Na + bc i K + c a K +, (8) b =exp FVm. RT Einetzen der angegebenen Werte liefert dann P K + P Na + = 440 mm b 50 mm b 400 mm 20 mm = 19.4, mit C mol 1 ( 0.06) V b =exp J mol 1 = K K 7