Musso: Physik I Teil 12 Gleichgewicht Elast. Seite 1

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1 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 1 Tpler-Mosca 1. Statsches Glechgewcht und Elastztät (Statc equlbrum and elastcty) 1.1 Glechgewchtsbedngungen (Condtons for equlbrum) 1. Der Schwerpunkt (The center of gravty) 1.3 Enge Bespele für statsches Glechgewcht (Some examples of statc equlbrum) 1.4 Kräftepaare (Couples) 1.5 Statsches Glechgewcht n beschleungten Bezugssystemen (Statc equlbrum n an accelerated frame) 1.6 Stabltät des Glechgewchts (Stablty of rotatonal equlbrum) 1.7 Unbestmmbare Probleme (Indetermnate problems) 1.8 Spannung und Dehnung (Stress and stran) Unverstät Salzburg Sete

2 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Unverstät Salzburg Sete

3 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Glechgewchtsbedngungen (Condtons for equlbrum) Kräfte, de de Kabel und Stäbe n ener Konstrukton ausüben, werden elastsche Kräfte genannt. Se snd das Ergebns lechter Deformatonen (Dehnung oder Kompresson von massven Körpern unter mechanscher Spannung, de ene Last tragen). Glechgewchtsbedngungen Unverstät Salzburg Sete

4 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 4 1. Der Schwerpunkt (The center of gravty) O belebger fester Punkt für -tes Telchen Drehmoment bezüglch O: τ = r Fg, = r mg resulterendes Drehmoment τ = τ = r mg ( ) cg g g, g g, g, cg Schwerpunkt: de gesamte Gewchtskraft F greft n cg dergestalt an, daß τ = r F = r F Falls Gravtatonsfeld g homogen über den gesamten Körper st F = F = mg = mg τ = r F = r mg ( ) τ = mr g= mr g = r F CM CM cg CM g ( g, ) ( ) Annahme dabe: r = r gültg n enem homogenen Gravtatonsfeld Unverstät Salzburg Sete

5 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Enge Bespele für statsches Glechgewcht (Some examples of statc equlbrum) Bespel 1.1: Balancert auf der Bohle Bohle L = 3 m, M = 35 kg, Waagen d = 0.5 m, Studentn m = 45 kg Tel a) gesucht Anzege der Waagen wenn Studentn sch am lnken Ende stellt: aus Gl. 1.1 F = 0 F = 0 mg + F Mg + F = 0, y L R L d aus Gl. 1. τ = 0 τ, z = 0 bezogen auf Achse ( L d) FR Mg dmg = 0 1 dmg 1 dmg FR = Mg engesetzt n FL = mg + Mg FR FL = mg + Mg Mg + ( L d) ( L d) 1 d FL = Mg + mg 1+ = 73.5 N ( L d) 1 dmg FR = Mg = 61.3 N L d ( ) ( ) ( L d) 1 dmg Tel b) wenn Student am lnken Ende FR = 0 Mg = 0 m = M = 70 kg L d d Unverstät Salzburg Sete

6 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 6 Bespel 1.: Kraft auf den Ellbogen möglches Prüfungsbespel Unverstät Salzburg Sete

7 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 7 Bespel 1.3: Das Ladentsch Ladenschld mt M = 0 kg, Ausleger mt L = m und m = 4 kg, Draht 1 m über dem Auflagepunkt des Stabes an der Wand befestgt. Gesucht Kraft m Draht, Kraft auf de Wand: aus Gl. (1.1) F = 0 F = 0 und F = 0 F T cosθ = 0 und F + T snθ mg Mg = 0, x y, x y L aus Gl. (1.) τ = 0 τ, z = 0 LMg mg + LT snθ + 0 = m T = M m g mt tan θ θ 6.56 T 483 N snθ + = = = m F = T cosθ = 43 N x 1 1 Fy = mg + Mg T snθ = mg + Mg M + m g mg 19.6 N = = Kraft auf de Wand: F = 43 N e 19.6 N e A,W ( ) ( ) x y Unverstät Salzburg Sete

8 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 8 Bespel 1.4: Mt dem Rad über ene Kante möglches Prüfungsbespel Unverstät Salzburg Sete

9 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 9 Bespel 1.5: Ene angelehnte Leter Leter Länge = 5 m, Gewcht = 60 N, unteres Ende 3 m von der Wand, gesucht Haftrebungskoeffzent Boden-Leter F g aus Kräftedagramm und Gl. (1.1): = 0 bzw. = 0 und = 0 F = F f = F μ F = 0 F = μ F x, 1 s 1 s n 1 s n y, n n 1 s, z, z F F, x F, y F = F mg = 0 F = mg F = μ mg aus Gl. (1.) τ = 0 τ = 0 τ 1 aus F1 μsmg μs m = F1 ( 4.0 m) mg ( 1.5 m) = 0 F1 = mg =.5 N 4.0 m F.5 N = = = = mg 60 N Unverstät Salzburg Sete

10 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Kräftepaare (Couples) Zwe glech große, aber entgegengesetzte Kräfte von dem Betrag F blden en Kräftepaar. Das Drehmoment, das von den Kräftepaar erzeugt wrd, bestzt bezüglch jedes Punkts m Raum den glechen Wert DF : τ = r1 F1+ r F mt F = F1 τ = r1 F1+ r ( F1) τ = r r F = τ = r r F snβ = r r F sn 90 φ ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( φ) = φ φ = φ ( r r ) φ = D τ = da sn 90 sn90 cos cos90 sn cos mt cos 1 DF 1 Da de resulterende Kraft enes Kräftepaars null st, lässt sch en Kräftepaar nur von enem zweten Kräftepaar ausglechen, das en glech großes, aber entgegengesetztes Drehmoment bewrkt. Zwe betragsmäßg ungleche, antparallele Kräfte können durch ene enzelne Kraft ersetzt werden, de glech der resulterenden, am Schwerpunkt angrefenden Kraft st, plus enem Kräftepaar, das dasselbe Drehmoment bezüglch des Schwerpunkts verursacht we de ursprünglche Kräfte. Unverstät Salzburg Sete

11 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Statsches Glechgewcht n beschleungten Bezugssystemen (Statc equlbrum n an accelerated frame) Glechgewchtsbedngungen für das statsche Glechgewcht n enem beschleungten Bezugssystem: F = macm acm τ CM, wobe Beschleungung des Massenmttelpunkts = Beschleungung des Bezugssystems = 0 d.h. de Summe aller Drehmomente bezüglch des Massenmttelpunkts muss null sen sehe auch Tel 9.6 Bespel 1.6: Schere Ladung Glechförmge Kste m Laderaum enes Leferwagens: Kste mt Masse M, Höhe h, quadratsche Grundfläche mt Kantenlänge L, gesucht maxmale Beschleungung bevor Kste umfällt (ken Rutschen bevor): aus Kräftedagramm und Glechgewchtsbedngung y-komponente: F = 0 Mg + F = 0 F = Mg y, n n x-komponente: F = 0 f = Ma x, s CM h aus τ = 0 τ = 0 df f = 0 CM, CM,, z n s maxmal auszuglechende Drehmoment von F wenn d L h L Fn = fs LMg = hmacm acm = g h n F = ma CM L = Unverstät Salzburg Sete

12 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Stabltät des Glechgewchts (Stablty of rotatonal equlbrum) stables lables ndfferentes Glechgewcht De Stabltät ener Glechgewchtslage st ene relatve Größe De Stabltät enes Systems läßt sch erhöhen, ndem man entweder den Schwerpunkt tefer legt oder de Grundfläche vergrößert. Laufen lernen Legt der Schwerpunkt unterhalb des Drehpunkts, dann st das Glechgewcht stabl Unverstät Salzburg Sete

13 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete Unbestmmbare Probleme (Indetermnate problems) Bslang Glechgewchtsbetrachtungen für starre Körper, aber reale Körper lassen sch verformen mehr Informatonen notwendg für Glechgewchtsberechnungen 1.8 Spannung und Dehnung (Stress and stran) Spannungs-Dehnungs-Dagramm enes typschen Metallstabs Metallstab mt Zugkraft F an dessen beden Enden. relatve Längenänderung oder Dehnung (Stran): ΔL ε = L Spannung (stress): de auf de Enhetsfläche bezogene Kraft: F σ = A Nmmt der Körper sene ursprünglche Form weder an, nachdem de Kräfte ncht mehr wrken, dann nennt man den Körper elastch. Unverstät Salzburg Sete

14 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 14 Hooke'sches Gesetz: lnearer Zusammenhang zwschen der Spannung und der Dehnung. Das Verhältns von Spannung zu Dehnung m Proportonaltätsberech st ene materalabhängge Konstante E = σ genannt ε Dehnungsmodul, Elastztätsmodul, m Englschen Young's modulus Y Hooke'sches Gesetz: σ = Eε E-Modul, Bzepsmuskel A / cm 1 F / N 300 σ / N m Stab komprmert statt gedehnt wrkende Spannung = Druckspannung Be velen Materalen E Druck = E Zug Wert der Spannung (Zug, Druck) be Zerstörung des Materals: Zugfestgket bzw. Druckfestgket Unverstät Salzburg Sete

15 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 15 Ene Zugspannung bewrkt ncht nur ene Längenzunahme n Rchtung der wrkenden Kraft, Δd und glechzetg ene Querkontrakton der Dcke des Stabes senkrecht zur Rchtung der wrkenden Kraft. d Δd ΔL Δd d Nach dem Hooke'schen Gesetz st proportonal zu Proportonaltätskonstante Posson'sche Zahl μ = d L ΔL L Stab mt quadratschem Querschntt und Kantenlänge d unter Zug- oder Druckbelastung Volumsänderung ΔV ( ) ( ) ( )( ) Δ V = d +Δ d L+ΔL d L = d + dδ d + ( Δ d) L+ΔL d L = d L+ dlδ d + ( Δ d) L+ d Δ L+ dδdδ L+ ( Δd) ΔL d L ΔV dlδ d + d ΔL Δd ΔL ΔL 1 ΔV dlδ d + d ΔL = = + = V d L d L L ( μ ) Scherkraft F S Fs De Scherspannung τ = bewrkt ene Verformung mt dem Scherwnkel θ A Δx Scherung γ = = tanθ L τ Für klene Scherwnkel θ st ene Materalkonstante: γ Schubmodul oder Torsonsmodul G τ γ F A FS A ΔxL tanθ S = = = Hooke'sches Gesetz für Torsonsspannung τ = G γ Für klene Wnkel θ st tan θ θ τ = Gθ (sehe Tel 11.) Unverstät Salzburg Sete

16 Musso: Physk I Tel 1 Glechgewcht Elast. Sete 16 Bespel 1.7: Scherhet enes Fahrstuhls Fahrstuhl, hängt an enem Sel mt Durchmesser r = 3 cm, Sellänge L = 300 m, Masse Sel + Kabne m = 1000 kg, Dehnung des Sels um 3 cm unbedenklch, maxmale Beschleungung a = 1.5 m s Gesucht: st der Fahrstuhl scher? - aus Gl. (1.9) E aus zwetes Newton'sches Axom F mg = ma F = ma + mg = m( a + g) F n,max Fn A Fn A FnL = Δ L = = ΔLL EL AE - - ( )( ) = 1000 kg 1.5 m s m s = N 9 - mt E = N m und A= π r n n y n y y ( N)( 300 m) FL Δ L = AE = =.4 cm π ( m) ( N m - ) Unverstät Salzburg Sete