8. Projektionsarten und Perspektive

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1 8. Projektionsarten un Perspektive Projektionen: transformieren 3D-Objekte in 2D-Biler (mathematisch: lineare Abb., aber nicht bijektiv ugehörige Matri singulär,.h. Determinante ) Projektion ist Grunaufgabe in er Grafik Zeichnen als Projektion: (Ausschnitt aus Karl Frierich Schinkel, Die Erfinung es Zeichnens, 83)

2 Wir beschränken uns (unächst) auf planare Projektionen: ie Projektionsstrahlen sin Geraen ie Projektionsfläche ist eine Ebene Haupttpen planarer Projektionen:

3 Parallelprojektion: Projektionsentrum (Center of Projection, COP) liegt im Unenlichen ( ist u erseten urch "Direction of Projection", DOP) Projektionsstrahlen verlaufen parallel ueinaner keine perspektivische Verkürung Verwenung er Parallelprojektion: Ingenieurwesen un Architektur kann für Messungen verwenet weren: Längenverhältnisse bleiben erhalten Perspektivische Projektion: imitiert unser Auge oer eine Kamera natürlichere Wirkung Verwenung, wenn as Ziel Fotorealismus ist, u. generell in Kunst u. Design

4 Parallelprojektion mathematisch: (Darstellung hier ebenfalls mit homogenen Koorinaten!) analog für ie aneren Koorinatenebenen: "Hauptrisse" in Grafik- un Konstruktions-Software oft in 3 Fenstern argestellt (4. Fenster: perspektivische Ansicht es Objekts) (AutoCAD, Maa, LightWave, 3D Stuio Ma, Photoshop...) "Multiview-Darstellung". "Top", "Front", "Sie": Draufsicht, Voreransicht, Seitenansicht.

5 Hauptrisse: Stimmt ie Projektionsrichtung mit einer er Koorinatenrichtungen überein, so erhält man je nach Wahl er Koorinatenrichtung un es Voreichens einen er sechs Hauptrisse eines Objekts. Matriarstellung er Projektion auf ie Ebene (häufig wir gewählt): (uerst -Koorinate u machen, ann konstanten Translationsanteil (; ; ) aieren.) Analog für ie Projektionen auf bw.. Die Hauptrisse gehören u en rechtwinkligen (auch: orthografischen) Parallelprojektionen: ie Projektionsstrahlen treffen senkrecht auf ie Projektionsebene.

6 rechtwinklige Parallelprojektionen, ie keine Hauptrisse sin, heißen "aonometrisch". Kenneichen: Projektionsebene nicht parallel u einer er Koorinatenebenen uniforme Verkürung (unabhängig von er Entfernung) Parallelität bleibt erhalten, Winkel nicht Man unterteilt weiter: isometrische Projektion: selbe Verkürung entlang aller rei Achsen imetrische Projektion: selbe Verkürung auf 2 er Achsen, anerer Faktor gilt für ie ritte trimetrische Projektion: unterschieliche Verkürungsfaktoren für alle 3 Koorinatenachsen links: isometrische Projektion eines Würfels, Mitte: imetrische Projektion (selber Verkürungsfaktor entlang er - un er - Achse), rechts: trimetrische Projektion. Aus Rauber (993). Nicht-rechtwinklige Parallelprojektionen heißen schiefwinklig (oblique): Projektionsstrahlen treffen nicht im rechten Winkel auf ie Projektionsfläche auf.

7 Häufig gebrauchte Speialfälle: Kavalierperspektive: Winkel wischen Projektionsrichtung un Projektionsebene ist 45. Senkrecht ur Projektionsebene verlaufene Geraen weren ohne Verkürung wieergegeben. Kabinettperspektive: Winkel 63,4 arctan(2), Verkürung senkrechter Geraensegmente um Faktor /2. Darstellung eines Einheitswürfels mit schiefwinkliger Parallelprojektion. Links: Kavalierprojektion, Mitte: Kabinettprojektion, rechts: Variante mit 56 -Winkel er Projektionsstrahlen, entsprechen einer Verkürung von 2/3 (liefert oft natürlicheres Bil). Verkürung er ur Projektionsebene senkrechten Achse: links: Kavalierprojektion, rechts: Kabinettprojektion.

8 Matriarstellung einer schiefwinkligen Parallelprojektion mit er -Ebene als Projektionsebene un Projektionsstrahlen mit Richtungsvektor (r, r, r): P obl r / r r / r Perspektivische Projektionen Vorteile gegenüber Parallelprojektion: realistischerer Einruck er Dreiimensionalität bessere (keine perfekte!) Entsprechung um Foto Nachteil: Längenverhältnisse un Winkel bleiben nicht erhalten (außer bei Objekt-Teilen, ie parallel ur Projektionsebene liegen) Verwenung: Präsentationseichnungen, Werbeeichnungen, Architektur, Kunst, Design Unterschiee ur Parallelprojektion: parallele Geraen, ie nicht parallel ur Projektionsebene sin, konvergieren Größe von Objekten verringert sich mit em Abstan perspektivische Verkürung ist nicht einheitlich für alle Abstäne

9 Fluchtpunkte: je nach Lage es abubilenen Objekts relativ ur Projektionsebene hat man, 2 oer 3 Fluchtpunkte (vanishing points) 3 Tpen von Perspektive Matriarstellung er Zentralprojektion Urbilraum mit Koorinaten,, Bilebene: -Ebene Projektionsentrum bei < ( hinter er Bilebene ) Bilpunkt ' v u P v u P, ) / ( ) ( somit (aus en ersten beien Komponenten er Vektorgleichung): u u v v

10 Matriarstellung: ) / ( / ' P h äquivalent ist ie Darstellung: ' P h Beachte: Um auf kartesische Koorinaten u kommen, ist im letten Schritt jeweils eine Normalisierung er homogenen Koorinaten urchuführen (Division urch ie 4. Komponente, um ort eine u ereugen). Für nähert man sich er orthogonalen Parallelprojektion an: lim lim (Regel von e l Hospital), analog für, also ' P h (vgl. Parallelprojektion).

11 Beispiel: Das Projektionsentrum liege im Abstan 2 hinter er Projektionsebene, er -Ebene. Was ist as Bil es Objektpunktes (; ; 5)? 2 /7 2 /7 7 /2 5 /2 Der Bilpunkt hat ie kartesischen Koorinaten 2/7,. Projektionen aus beliebigen Richtungen un mit beliebigem Projektionsentrum (Blickpunkt) können urch Translationen un Drehungen in ie obige Form überführt weren.

12 Übersicht: Tpen von Projektionen