Kreisfunktionen 1 KREISFUNKTIONEN TGM Angewandte Mathematik WK

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1 Kreisfunktionen KREISFUNKTIONEN 0.5 sin( 5x) cos ( 3x)

2 Kreisfunktionen Inaltsverzeichnis Kreisfunktionen Kreisfunktionen 4. Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck 4. Zusammenhang zwischen sinα und cosα 4.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis 4.4 Wissenswerte Kreisfunktionswerte: 5.5 Definitionen der Kreisfunktionen für beliebige Winkel 5.6 Reduktionsformeln 5.7 Sinus und Kosinussatz 6.8 Summensätze 6.9 Produktformeln 6.0 Potenzen von Kreisfunktionswerten 6. Das Radiantmaß 7. Die Periodizität der Kreisfunktionen 7.3 Die Graphen der Kreisfunktionen 8.4 Die Arcusfunktionen 9 Die allgemeine Sinusfunktion. x A sin x. x sin (b x) 3.3 x sin (x + c) 4.4 x sin(b x + c) 5.5 x d + sin x 6.6 Zusammenfassung 7 3 Harmonische Schwingungen 8 3. Das Federpedel 8 3. Periodendauer T, Frequenz f und Kreisfrequenz ω Beispiele 0

3 Kreisfunktionen 3 4 Zeigerdiagramme 5 Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen 3 5. Beispiel 3 5. Allgemeine Herleitung Aufgaben 8 6 Addition zweier frequenzungleicher Sinusfunktionen 9 6. Beispiel 9 6. Allgemeine Betrachtung Aufgaben Addition zweier frequenzähnlicher Sinusfunktionen (Schwebung) Lissajous Figuren 33 7 Multiplikation zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen Erklärung Anwendung: Die Leistung im Wechselstromkreis Drei Extremfälle 40 8 Wiederholungsfragen 44

4 Kreisfunktionen 4 Kreisfunktionen. Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck γ= 90 b γ a α c Bezüglich α ist a die Gegenkathete GK, b die Ankathete AK und c die Hypotenuse H. Die Kreisfunktionen werden definiert durch: β GK sinα= H AK cosα= H GK sinα tanα= = AK cosα AK cosα ctgα= = GK sinα. Zusammenhang zwischen sinα und cosα In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Pythagoräische Lehrsatz: a + b = c Wir formen um und erhalten: a b + = c c a b + = c c sinα + cosα = sin α+ cos α=.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis y ( x / Py ) P P α cosα sin α x

5 Kreisfunktionen 5 Am Einheitskreis ist die Maßzahl der x-koordinate gleich dem Kosinus des Winkels α, da P x cosα= ist. Am Einheitskreis ist die Maßzahl der y-koordinate gleich dem Sinus des Winkels α, da sinα= ist..4 Wissenswerte Kreisfunktionswerte: P y α sinα cosα tanα nicht definiert.5 Definitionen der Kreisfunktionen für beliebige Winkel Wir können nun die obige Überlegung zur Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel heranziehen und definieren nun: die Maßzahl der x-koordinate des Punktes P als Kosinuswert des Winkels α: cosα, cosα= und die Maßzahl der y-koordinate des Punktes P als Sinuswert des Winkels α: sinα P x sinα= P y.6 Reduktionsformeln Die Berechnung jedes Kreisfunktionswertes lässt sich auf die Berechnung eines Kreisfunktionswertes eines Winkels zwischen 0 und π/ zurückführen. Dazu dienen die folgenden Reduktionsformeln. Diese lassen sich sofort durch eine Zeichnung am Einheitskreis verifizeren. sin( α) = sin α sin(π α) = sin α sin(π+α) = sin α cos( α) = sin α cos(π α) = cos α cos(π+α) = cos α

6 Kreisfunktionen 6 π sin α = cosα π cos α = sinα π sin +α = cosα π cos +α = sinα u.s.w..7 Sinus und Kosinussatz Sie dienen zu Berechnungen in schiefwinkeligen Dreiecken: Kosinussatz: c a b ab cos = + γ a b c bc cos = + α b a c ac cos = + β Sinussatz: a b c = = sinα sinβ sinγ.8 Summensätze. Summensatz:. Summensatz: α+β α β sinα+ sinβ= sin cos sin( α+β ) = sinα cosβ+ cosα sinβ α+β α β sin( α β ) = sinα cosβ cosα sinβ sinα sinβ= cos sin cos( α+β ) = cosα cosβ sinα sinβ α+β α β cosα+ cosβ= cos cos cos( α β ) = cosα cosβ+ sinα sinβ α+β α β cosα cosβ= sin sin.9 Produktformeln sinα sinβ= cos α β cos α+β sinα cosβ= sin α β sin α+β cosα cosβ= cos α β + cos α+β.0 Potenzen von Kreisfunktionswerten sin α= cosα sin α= 3sinα sin3α sin α= cos4α 4cosα cos α= + cosα cos α= cos3α+ 3cosα cos α= cos4α+ 4cosα+ 3

7 Kreisfunktionen 7. Das Radiantmaß Ein Winkel ließe sich auch dann eindeutig zeichen, wenn man diesen Winkel als den Zentriwinkel eines Kreissektors betrachtet und den Radius r und die zugehörige Bogenlänge angibt. Das Verhältnis der Bogenlänge b zum Radius r ist jedenfalls von der konkreten Wahl des Radius r unabhängig ( Alle Kreise sind einander ähnlich ): r π b 360 α r π α π = = = α r r 80 r 80 ( r kürzt sich weg!) Dieses Verhältnis ist also nur vom Winkel α abhängig. Es kann daher als Maß für den Winkel dienen. Man nennt dieses Maß das Radiantmaß eines Winkels. Im Radiantmaß wird ein Winkel durch das Verhältnis von Bogenläge b zum Radius r eines Kreissektors definiert. b π α : = = α [ α ] = rad r 80 Die Einheit des Winkels im Bogenmaß ist Radiant = rad. Für den vollen Winkel 360 gilt: π α= 360 = π rad 80 Man merkt sich: π rad = 360 Alles andere folgt daraus. Bei rad = 57,3 ist immer b = r.das Bogenzeichen über dem Buchstaben für den Winkel wird meist nicht geschrieben. Ob es sich bei einem gegebenen Winkel um einen Winkel im Gradmaß oder im Radiantmaß handelt, ist aus der Einheit erkennbar. Bei der obigen Definition wird deutlich, dass es sich bei einem Winkel um eine dimensions-lose Größe handelt, da der Winkel ja als Verhältnis zweier Längen definiert wird. Damit man aber weiß, dass es sich bei einer konkreten Angabe um einen Winkel im Gradmaß handelt, wird wie üblich ( TR Bezeichnung: deg ) das Gradzeichen verwendt. Für einen Winkel im Radiantmaß wird (eventuell) rad als sogenannte Hilfseinheit zugefügt. Diese Angabe ist jedoch nicht zwingend. Bei der Angabe eines Winkels im Gradmaß ist daher das Gradzeichen unerlässlich, da der Winkel sonst als Winkel im Radiantmaß aufgefasst wird.. Die Periodizität der Kreisfunktionen Wie man sofort am Einheitskreis nachvollziehen kann, gilt: sinα= sin( α+ k 360 ) = sin( α+ k π ) für k Z cosα= cos( α+ k 360 ) = cos( α+ k π ) für k Z tanα= tan( α+ k80 ) = tan( α+ k π ) für k Z Man sagt: Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mit 360 bzw. π periodisch, die Tangensfunktion ist mit 80 bzw. mit π periodisch.

8 Kreisfunktionen 8.3 Die Graphen der Kreisfunktionen Bei den Kreisfunktionen wird stets einem Winkel ein ( einheitenloser! ) Funktionswert zugeordnet: α f(α) Üblicherweise wird das Argument einer Funktion in der Mathematik mit x bezeichnet. Wir folgen dieser Konvention und schreiben daher: x f(x) x hat also die Bedeutung des Drehwinkels. Man erhält die Graphen der Kreisfunktionen, indem man den jeweiligen Kreisfunktionswert f(x) über dem Drehwinkel x in einem einem x y Diagramm aufträgt. f( x) := sin( x) Die Sinuskurve f( x) f( x) := cos( x) x Die Kosinuskurve f( x) x

9 Kreisfunktionen 9 f ( x) := tan( x) Die Tangenskurve 4 f( x) x.4 Die Arcusfunktionen.4. Erklärung Die Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen. Wie jeden Graphen einer Umkehrfunktion erhält man auch die Graphen der Arcusfunktionen durch Spiegelung der entsprechenden Kreisfunktion an der ersten Mediane. Da sich der Graph einer Funktion jedoch nie überschneiden darf, d.h. zu einem konkreten x Wert darf es ja stets nur einen einzigen y Wert geben, sind die Kreisfunktionen nur in einem streng monotonen Abschnitt umkehrbar. Man wählt stets die am nächsten bei x = 0 gelegenen streng monotonen Abschnitte..4. Die Graphen der Arcusfunktionen Zu den Graphen der Arcusfunktionen sind noch jeweils die Definitionsmenge D und die Wertemenge W angegeben.

10 Kreisfunktionen 0 Die Arcussinuskurve Die Arcuskosinuskurve 4 3 asin( x) 0 acos ( x) 0 x D = [, ] W = [ π/, π/ ] D = [, ] W = [ 0, π ] x Die Arcustangenskurve atan( x) x D = [, ] W = [ π/, π/ ] Es gilt: lim tanx = x + und lim tanx = x π π Übungsaufgabe: Erklären Sie den folgenden bemerkenswerten Zusammenhang mittels einer Zeichnung am Einheitskreis: π arctanx+ arctan = x

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12 Kreisfunktionen Die allgemeine Sinusfunktion Einer der elementarsten Bewegungsvorgänge in der Natur ist der einer Schwingungsbewegung. Er tritt überall dort auf, wo bewegliche Teile mit einer Kraft an ihre Ruhelage gebunden sind, die einer möglichen Auslenkung proportional ist. Das einfachste Beispiel hierzu ist das Federpendel. Im Idealfall führt ein Federpendel eine harmonische Schwingung aus. Eine harmonische Schwingung wird mittels einer Sinusfunktion beschrieben. Es gilt aber noch viel mehr. Es lassen sich nämlich auch sehr komplizierte Schwingungsvorgänge durch eine Überlagerung, d.h. Addition, von einfachen harmonischen Schwingungen darstellen. Diese harmonischen Schwingungen sind daher so etwas wie Grundbausteine im Bereich der Schwingungslehre. Schwingungen treten mit unterschiedlichen Amplituden (das ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage), mit unterschiedlichen Frequenzen und unterschiedlichen Anfangswerten auf. Wir müssen uns daher überlegen, wie wir die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser unterschiedlichsten Schwingungsvorgänge zu modifizieren haben. Wir wollen uns nun schrittweise überlegen, wie wir die reine Sinusfunktion verändern können, um sie einem konkreten Schwingungsvorgang anzupassen.. x A sin x.. Erklärung Die Multiplikation jedes Sinuswerts mit einer konstanten Zahl A bewirkt: für A > eine Streckung in y Richtung, für 0 < A < eine Stauchung in y Richtung, für A < 0 zusätzlich eine Spiegelung an der x Achse. Eine Multiplikation von sin x mit einer Konstanten A bewirkt eine Veränderung der maximalen Höhe einer Sinuskurve von sin x. Man nennt A die Amplitude. Sie gibt die Höhe der Sinuskurve an. Beachte: Hier wird die Multiplikation mit einer Konstanten nach dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt. x sin (x) A sin (x)

13 Kreisfunktionen 3.. MATHCAD: f ( x) := sin( x) f ( x) := sin( x) f 3 ( x) :=.5sin( x) f ( x) f ( x) f 3 ( x) x..3 Aufgabe Wie groß ist die Amplitude einer Sinusfunktion der Form y(x) = A sinx, wenn y() = 5cm ist? ( Lösung: A = 5,50 cm ). x sin (b x).. Erklärung Der Faktor b bei dem Argument x bewirkt eine Veränderung der Periodenlänge. Um auf die geänderte Periodenlänge dieser Funktion zu kommen, überlegen wir: Bei welchem x 0 Wert beträgt das Argument der Sinusfunktion π? b x0 = π x0 π = b Diesen x 0 Wert bezeichnet man als primitive Periode p. Es gilt also: π Die Funktion f(x) = sin (b x) besitzt die primitive Periode p = b Es kommt daher für b > 0 zu einer Stauchung und für 0 < b < zu einer Streckung der sin x Kurve in x Richtung. Beachte: Hier wird die Multiplikation mit einer Konstanten mit dem Argument x vor dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt. x b x sin (b x)

14 Kreisfunktionen 4.. MATHCAD: f ( x) := sin( x) f ( x) := sin( x) f 3 ( x) := sin( 0.4x) f ( x) 0.5 f ( x) f 3 ( x) x..3 Aufgaben a) Wie lautet die Beschreibung einer Sinusfunktion, deren Periodenlänge p = 0 beträgt? b) Wie lautet die Beschreibung einer Kosinusfunktion, deren Periodenlänge p = 0, beträgt?.3 x sin (x + c).3. Erklärung Eine additive Konstante nach der Eingabe des x Wertes bewirkt eine Verschiebung der sin x Kurve in x Richtung. Um zu erkennen, in welche Richtung die sin x Kurve verschoben wird, überlegen wir: Bei welchem x 0 Wert ist das Argument der Sinusfunktion erstmalig Null, m.a.w. wo liegt die erste Nullstelle dieser Funktion? x0 + c = 0 x0 = c Es kommt also für c > 0 zu einer Verschiebung in x Richtung, d.h. nach links und für für c < 0 zu einer Verschiebung in + x Richtung, d.h. nach rechts. Die Funktion f(x) = sin (x + c) besitzt bei x = 0 den Wert sin c ( Abschnitt auf der y Achse bei x = 0 ) und ihre erste Nullstelle liegt bei x0 = c. Damit kann die Sinusfunktion einem möglichen Anfangswert ungleich Null angepasst werden. Beachte: Hier wird die Addition einer Konstanten c zum Argument x vor dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt.

15 Kreisfunktionen 5 x x + c sin ( x + c ) Spezialfälle: sin ( x + π ) = cos x sin (x π) = sin x Genauso bewirkt eine additive Konstante c bei cos(x + c) natürlich eine Verschiebung der cosx Kurve..3. MATHCAD: f ( x) := sin( x) π f ( x) := sin x + 4 π f 3 ( x) := sin x 3 f ( x) f ( x) f 3 ( x) x.3.3 Aufgaben a) Beschreiben Sie sin(x+30 ) durch eine Kosinusfunktion. b) Stellen Sie die Funktionen f (x) = x², f (x) = (x 3)², f 3 (x) = (x+)² in einem Diagramm dar. Was ist daraus zu erkennen?.4 x sin(b x + c).4. Erklärung Diese Funktion stellt eine Kombination der beiden zuletzt betrachteten Fälle dar. Es bleibt: Die Periodenlänge p beträgt p = π / b. Die Verschiebung in x Richtung beträgt c allerdings Einheiten. b

16 Kreisfunktionen 6.4. MATHCAD: f( x) := sin x + π 3 f( x) x.4.3 Aufgaben Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 4 sin(x π/) b) g(x) = 35 sin(3x+90 ).5 x d + sin x.5. Erklärung Die Addition einer Konstanten zum sin x Wert bewirkt eine Verschiebung der sin x Kurve in y Richtung. Es kommt dabei für d > 0 zu einer Anhebung und für d < 0 zu einer Absenkung der sin x Kurve. Damit kann beispielsweise die Überlagerung einer Gleichspannung zu einer Wechselspannung beschrieben werden. Beachte: Die Addition wird nach dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt. x sin x d + sin x

17 Kreisfunktionen 7.5. MATHCAD: f ( x) := + sin( x) f ( x) := + sin( x) f 3 ( x) := 3 + sin( x) f 4 ( x) := + sin( x) 4 f ( x) f ( x) f 3 ( x) f 4 ( x) x.5.3 Aufgaben Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 4+5sin(x) b) g(x) = 5 7cos(4x).6 Zusammenfassung Mit der verallgemeinerten Sinusfunktion der Form x d+ A sin( b x + c) können wir nun sinusförmige Vorgänge beliebiger Periodenlänge, Amplitude und Verschiebungen beschreiben..6. Aufgaben Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 6 7 sin(x+60 ) b) g(x) = 5+8 cos(3x+90 )

18 Kreisfunktionen 8 3 Harmonische Schwingungen Wie bereits im vorherigen Punkt erwähnt, spielen harmonische Schwingungen eine fundamentale Rolle als Grundbausteine zeitlich periodischer Vorgänge. Es besteht zwischen der Kreisbewegung und der harmonischen Schwingung eine ganz enge Beziehung. Wir wollen uns nun die wichtigsten Begriffe anhand des einfachsten Beispiels entwickeln: 3. Das Federpedel Projeziert man die Kreisbewegung eines sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Punktes auf eine Leinwand, so lässt sich diese projezierte Bewegung stets mit der Auf und Abbewegung eines Federpendels synchronisieren. Zu jeder harmonischen Schwingung gibt es eine gedachte Kreisbewegung. Unter der Winkelgeschwindigkeit ω versteht man bei einer gleichförmigen Rotation das Verhältnis von überstrichenem Winkel ϕ zu der dafür benötigten Zeit t. ϕ ω= ϕ = ω t t Bei jeder gleichförmigen Rotation ist ω konstant und damit ist der Drehwinkel ϕ der Zeit t direkt proportional. Man beachte, dass ω stets in Radiant pro Sekunde und der Drehwinkel ϕ = ω t in Radiant angegeben werden.wir geben die momentane Auslenkung aus der Ruhelage des Federpendels ( die Elongation ) y nun in Abhängigkeit der Zeit t folgendermaßen an: = ( ω+ϕ ) y t r sin t 0 Der konstante Winkel ϕ 0 dient dazu, den Startwert, d.h. die Auslenkung bei t = 0s, einer gegebenen Situation anzupassen. Man nennt ihn die Anfangsphase. Die Winkelgeschwindigkeit ω bei einer harmonischen Schwingung ist also die Winkelgeschwindigkeit der ( gedachten ) Kreisbewegung. Die Amplitudenbezeichnung r erinnert schon vom Buchstaben her an einen Radius.

19 Kreisfunktionen 9 3. Periodendauer T, Frequenz f und Kreisfrequenz ω Unter der Periodendauer T versteht man jene kleinste Zeitdauer, nach der sich das Pendel wieder in seinem Ausgangszustand befindet, oder allgemeiner die kleinste Zeitdauer T, nach der sich ein periodischer Vorgang wiederholt. In dieser Zeitdauer T hat die (gedachte) Kreisbewegung eine volle Umdrehung durchgeführt, d.h. einen Winkel von π rad überstrichen. Es gilt daher: π π = ω T oder ω= T Wenn nun T die Anzahl der Sekunden angibt, in der ein periodischer Vorgang absolviert wird, so gibt /T die Anzahl der periodischen Vorgänge in einer Sekunde an. Aus T = 0,s folgt beispielsweise, dass in einer Sekunde /0, = 0 periodische Vorgänge stattfinden. Die Anzahl der periodischen Vorgänge pro Sekunde nennt man allgemein die Frequenz f. Sie wird als Kehrwert der Periodendauer T definiert: f: = T Die Einheit der Frequenz f ist daher s. Man gibt ihr jedoch wegen ihrer großen Bedeutung einen eigenen Namen, nämlich Hertz = Hz, benannt nach den Physiker Heinrich Hertz. [ f ] = Hz Für die Winkelgeschwindigkeit ω gilt dann: ω= π = π f T Die Frequenz f und die Winkelgeschwindigkeit ω sind also über den dimensionslosen Faktor π miteinander verknüpft. ( Radiant ist eine sogenannte Hilfseinheit, damit man weiß, dass es sich um einen Winkel handelt. ) ω wird daher auch Kreisfrequenz genannt. Damit man die beiden Größen ω und f aber bei einer numerischen Angabe unterscheiden kann, ist es von entscheidender Bedeutung einer Kreisfrequenz ω stets die Einheit s und einer Frequenz f die Einheit Hz zu geben. Das Weg Zeit Diagramm einer harmonische Schwingung ist eine Sinuskurve.

20 Kreisfunktionen Beispiele 3.3. Wie lautet die Funktionsgleichung einer harmonischen Schwingung mit der Amplitude von 5cm, einer Periodendauer von 3s und einer Auslenkung von cm zum Zeitpunkt t = 0s? Wie groß ist dann die momentane Auslenkung bei t =,s? Lösung: ( π ) ( π y t = 5sin 3 t+ 0,4 = 5sin 3 t + 3,6 ) y, =,07cm MATHCAD: y( t) 5 sin π := t t A := t E := 4 t := t A, t A t E 3 5 y( t) y(.) =.073 t

21 Kreisfunktionen 4 Zeigerdiagramme Es liegt nahe, Sinusgrößen x als Zeitfunktionen x = f(t) darzustellen und die Zeitwerte x als Sinuslinien über der Zeit t aufzutragen. Dies ist aber ein ziemlich aufwendiges Verfahren, insbesondere wenn mehrere Größen nebeneinander betrachtet oder z. B. addiert werden sollen. Es soll daher gezeigt werden, wie man solche sinusförmig zeitabhängigen Größen symbolisch darstellen kann. Zusammenhang zwischen Zeigerdiagramm (a) und Zeitdiagramm (b). Z Zeitlinie Wir führen einen Zeiger (Einfachpfeil) ein. Er wird an seiner Spitze mit dem unterstrichenen Formelzeichen des Scheitelwerts der Sinusgröße (also z. B. bei der Spannung mit û) bezeichnet, und seine Länge entspricht diesem Scheitelwert. Das Unterstreichen soll darauf hinweisen, dass dieses Formelzeichen nicht nur die physikalische Größe, sondern auch die Zeigereigenschaften symbolisieren soll. Dreht sich nun der Spannungszeiger û im mathematisch positiven Sinn (d.h. also entgegengesetzt wie ein Uhrzeiger) mit der Winkelgeschwindigkeit ω, so stellen die Projektionen der Zeigerspitze auf die ruhende Zeitlinie Z die Zeitwerte u = û sin (ω t) dar, wie das für Zeigerstellungen und die zugehörigen Zeitwerte im Bild gezeigt ist. Eine im Zeitdiagramm dargestellte Sinuslinie lässt sich somit als Projektion eines gleichmäßig drehenden Zeigers auf eine stillstehende Zeitlinie deuten. Die Winkelgeschwindigkeit ω des Zeigers ist gleich der Kreisfrequenz ω = πf der betrachteten Schwingung. Ebenso wie die Sinusschwingung einer physikalischen Größe ist auch ihr Zeiger durch 4 Kennwerte eindeutig festgelegt:. Die Art (Qualität) der Sinusgröße wird durch das an der Zeigerspitze stehende Formelzeichen angegeben. Der Unterstrich symbolisiert hierbei den Zeigercharakter der Größe.. Der Betrag der Sinusgröße wird durch die Länge des Zeigers ausgedrückt. Hierfür benötigt man einen Maßstab (z.b. cm ˆ= 0V oder cm ˆ= 5 A usw.), den man zweckmäßig gesondert in das Zeigerdiagramm einträgt. 3. Es können sich zwei gleichfrequente Sinusgrößen meist noch durch die Phasenlage unterscheiden. Sie wird im Zeigerdiagramm durch den Phasenwinkel ϕ zwischen den Zeigern berücksichtigt. Die Zuordnung zu den Zeitpunkten und ist leicht zu erkennen. 4. Die Frequenz f der Sinusschwingung bestimmt die Winkelgeschwindigkeit ω der drehenden Zeiger. Zeigerdiagramme können daher, wenn der Phasenwinkel ϕ auch beim Drehen erhalten bleiben soll, nur gleichfrequente Vorgänge wiedergeben. Da nur feststehende Zeiger gezeichnet werden können, sind die Zeigerdiagramme Momentaufnahmen der drehenden Zeiger. Die Vorstellung eines drehenden Zeigers ist für die Entwicklung des Zeitdiagramms aus dem Zeigerdiagramm nützlich, für die Bestimmung des Zeitwerts ist sie sogar nötig. Für alle anderen Aufgaben kann man die stetige

22 Kreisfunktionen Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω aber vernachlässigen. Man darf also von einem in der Bildebene feststehenden Zeiger ausgehen. Da bei Sinusgrößen außerdem das Verhältnis von Scheitelwert zu Effektivwert durch den konstanten Scheitelfaktor ξ = bestimmt wird, man in der praktischen Sinusstromtechnik aber überwiegend mit dem Effektivwert arbeitet, darf man schließlich auch die Länge des Zeigers nach diesem Effektivwert festlegen. Das folgende Bild stellt die Beziehung zwischen dem sinusförmigen Strom und der sinusförmigen Spannung an einem Wechselstromwiderstand Z dar. Hier kommt es i.a. zu einer Phasenverschiebung ϕ, die man im Zeigerdiagramm leicht einzeichnen kann. Zweipol Z mit Zählpfeilen u, i (a) im Verbraucher-Zählpfeil-System (VZS) und zugehöriges Zeigerdiagramm (b) Eine Sinusfunktion y(t) = r sin( ωt + ϕ 0 ) kann also symbolisch durch einen mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Zeiger y dargestellt werden. Üblicherweise wird dieser Zeiger zum Zeitpunkt t = 0 s gezeichnet. Damit schließt er genau den Nullphasenwinkel ϕ 0 mit der horizontalen Achse ein. y(t) r cos( ω t +ϕ ) 0 = r sin( ω t +ϕ0) y(t) = r sin( ωt + ϕ 0 ) r y ω ϕ 0 Der zeitliche Momentanwert y(t) könnte dann stets als y Koordinate des Zeigers y abgelesen werden. Der große Vorteil dieser Beschreibungsart wird sich bei der Überlagerung, d.h. Addition, frequenzgleicher Sinusfunktionen zeigen. 4.. Aufgaben Stellen Sie die folgenden Funktionen Sinusfunktionen durch ihren symbolischen Zeiger dar und geben Sie die Zeiger auch die vektorielle Form an. (Maßstab angeben!) a) y(t) = 3 sin(ωt 3 ) b) y(t) = 4 cos(ωt) c) x(t) = sin(ωt+5 ) d) u(t) = 45 cos(ωt π/6) mv e) i(t) = 63 cos(ωt + π/4) ma

23 Kreisfunktionen 3 5 Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen Man spricht allgemein bei der Addition zeitabhängiger Größen von einer Überlagerung. In der Wechselstromtechnik tritt sehr oft der Fall ein, dass Wechselspannungen gleicher Frequenz addiert, d.h. überlagert werden. 5. Beispiel Addition von zwei Sinusspannungen UI +U=Ug im Zeigerdiagramm mit Effektivwerten (a), mit Scheitelwerten (b) und im Zeigerdiagramm (c) Wir wollen uns zuerst ein konkretes Beispiel mit MATHCAD anschauen: Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen T := 4s ω f ( t) := 3 sin ω t 0.83 π := ω =.57 Hz T f ( t) := 5 sin ω t +.3 f g ( t) := f ( t) + f ( t) t := 0, f ( t) f ( t) f g ( t) t Wir sehen, dass die Summenfunktion hier wieder eine Sinusfunktion mit der selben Periodendauer darstellt. Dass dieses Ergebnis kein Zufall ist, zeigt die folgende allgemeine Herleitung.

24 Kreisfunktionen 4 5. Allgemeine Herleitung Wir addieren die beiden Sinusfunktionen: = ( ω+ϕ ) = ( ω+ϕ ) f t r sin t f t r sin t Es gilt: Die Addition zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen ergibt wieder eine Sinusfunktion mit derselben Frequenz. Begründung: Der Addition der Momentanwerte f (t) und f (t) entspricht im Zeigerdiagramm einfach die Zeigeraddition von f und f. Im Zeigerdiagramm rotieren die beiden Zeiger f und f mit derselben konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Der von den beiden Zeigern eingeschlossene Winkel ϕ=ϕ ϕ ändert sich also nicht. Dadurch besitzt der Summenzeiger eine konstante Länge und rotiert ebenfalls mit derselben konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Das sind aber genau die Bedingungen dafür, dass eine Sinusfunktion dargestellt wird. Ansatz: f ( t) = f ( t) + f ( t) = r sin( ω+ϕ t ) Wir haben nun die Amplitude r und den Nullphasenwinkel ϕ, aus r, r, ϕ und ϕ zu berechnen. Dazu wechseln wir in die vektorielle Beschreibung der Zeiger: r = r sinϕ f cosϕ f r cosϕ = r sinϕ und rechnen r cosϕ r cosϕ r cosϕ + r cosϕ f x = + = + = = f r sinϕ r sinϕ r sinϕ + r sinϕ y f f f Von diesem Summenzeiger müssen wir nun den Betrag r und den Winkel ϕ berechnen. a) Der Betrag r des Summenzeigers f fx = f y Dieser errechnet sich aus: r = f + f x y Setzen wir nun für f x und f y ein, so erhalten wir:

25 Kreisfunktionen 5 r = rcosϕ + rcosϕ + rsinϕ + rsinϕ = ( rcos ) rrcos cos ( rcos ) ( rsin ) rrsin sin ( rsin ) = ϕ + ϕ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ = = r cosϕ + r cosϕ + r sin ϕ + r sin ϕ + rr sinϕ sinϕ + cosϕ cosϕ = = r sin ϕ + cosϕ + r sin ϕ + cosϕ + rrcos ϕ ϕ r = r + r + rrcos ϕ ϕ b) Der Winkel ϕ des Summenzeigers berechnet sich aus dem Zusammenhang: fy r sinϕ + r sinϕ tanϕ= = f r cosϕ + r cosϕ x r sinϕ + r sinϕ ϕ= arctan r cos ϕ + r cos ϕ Wie man im Konkreten rechnet, zeigen die folgenden Beispiele. Berechnen Sie die Summenfunktion von f( t) 63 sin( t 73 ) f ( t) = 35 sin( ω+ t 4 ). = ω+ und Lösung: Wir wechseln in die Zeigerschreibweise: f fx 63 cos73 8,49 = f = = y 63 sin73 60,47 Nun addieren wir: f 8,49 3,974 50,393 + f = 60,47 + = 4,36 74,483 f fx 35 cos4 3,974 = f = = y 35 sin4 4,36 Jetzt wird der Betrag und der Winkel diese Summenzeigers berechnet: r = 50, ,483 = 89,939

26 Kreisfunktionen 6 74,483 ϕ= arctan = 55,9 50,393 Damit lautet die Summenfunktion f ( t) = 89,9 sin( ω+ t 56 ) Wir hätten natürlich auch einfach in die allgemeinen Formeln einsetzen können: r = r + r + rrcos ϕ ϕ = cos 73 4 = 89,9 r sinϕ + r sinϕ 63 sin sin4 ϕ= arctan arctan 55,9 r cos r cos = = 63 cos73 35 cos4 ϕ + ϕ + MATHCAD: Bemerkung: Da die Funktionen in Abhängigkeit der Zeit dargestellt werden, muss für ω bzw. für T ein konkreter Wert gewählt werden. Wählen wir für T = π Sekunden, so stimmt der Winkel ωt immer mit dem momentanen Zeitwert t numerisch überein. Wir können dadurch z.b. den Nullphasenwinkel der Summenfunktion, allerdings in Radiant, ablesen. Der Faktor π/80 dient zur Umrechnung von Grad in Radiant. T := π ω := π T t A := t E := 0 t := t A, t A t E π π f ( t) := 63 sin ω t + 73 f ( t) := 35 sin ω t f 3 ( t) := f ( t) + f ( t) 00 f ( t) 50 f ( t) f 3 ( t) t

27 Kreisfunktionen 7 Stellen Sie f ( t) = 5 cos( ω t 35 ) 4 sin( ω t 4 ) in der Form f ( t) = r sin( ω+ϕ t ) dar. Lösung: Aus dem Zeigerdiagramm kann man leicht ablesen, dass f t = 5 cos ωt 35 = 5sin ω+ t 55 und f t = 4 sin ω t 4 = 4 sin ω+ t 66 gilt. Die Zeigerschreibweise dieser beiden Sinusfunktionen lautet : f fx 5 cos55,868 = f = = y 5sin55 4,096,868 3,88,03 Nun addieren wir f + f = 4,096 + = 0,968 5,064 f fx 4 cos66 3,88 = f = = y 4 sin66 0,968 Jetzt wird der Betrag und der Winkel diese Summenzeigers berechnet: r =,03 + 5,064 = 5,64 5,064 ϕ= arctan = 78, = 0,,03 ( Der Zeiger liegt im. Quadranten, daher + 80 ) Damit lautet die Summenfunktion f ( t) = 5,6 sin( ω+ t 0 ) Auch hier hätte ein Einsetzen in die allgemeine Formel zum selben Ergebnis geführt. MATHCAD: T := π ω π := t A := t E := 0 := 0.0 t := t A, t A +.. t E T f ( t) := 5 cos ω t 35 Grad f ( t) := 4 sin ω t 4 Grad f g ( t) := f ( t) + f ( t) 0 f ( t) f ( t) f g ( t) t

28 Kreisfunktionen Aufgaben Berechnen Sie unter Verwendung des Zeigerdiagramms die Summenfunktion und stellen Sie die einzelnen Funktionen, sowie die Summenfunktion mit Mathcad dar. Überprüfen Sie die rechnerischen Ergebnisse mittels Koordinaten ablesen.. Beispiel: π f( t) = 5sin ω t 4 π f ( t) = 4 sin ω+ t 6 f t = f t + f t = 7,7 sin ω t 0,6 = 7,7 sin ω t,37 Lösung:. Beispiel: i t =,7 sin ω+ t 53 i ( t) =,3sin ( ω t ) Lösung: i ( t) = i ( t) + i ( t) = 3,6 sin( ω+ t 0,54) = 3,6 sin( ω+ t 30,8 ) g 3. Beispiel: π u( t) = sin ω t 6 π u ( t) = 8 cos ω t 6 u t = u t + u t = 8,4 sin ω+ t 0,80 = 8,4 sin ω+ t Beispiel: i t = 3cos ω t 7 i ( t) = 5sin ( ω+ t 4 ) Lösung: i( t) = i ( t) + i ( t) = 6,69 sin( ω+ t,047) = 6,69 sin( ω+ t 7,3 )

29 Kreisfunktionen 9 6 Addition zweier frequenzungleicher Sinusfunktionen 6. Beispiel Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachungen treffen: ϕ =ϕ =. Beide Zeiger starten also aus der Nullposition. 0 Wir wählen: = ( ) = ( ) f t 0,8 sin 4 t f t,5sin 8 t D.h.: ω = 4 s und ω = 8 s Die graphische Darstellung erfolgt mittels MATHCAD: f ( t) := 0.8sin( 4 t) t := 0, f ( t) :=.5sin( 8 t) f ( t) f ( t) t 4 f ( t) + f ( t) Wie wir erkennen, erhalten wir hier ein periodisches nichtsinusförmiges Signal. t

30 Kreisfunktionen Allgemeine Betrachtung Wir wollen die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz bilden: = ( ω +ϕ ) = ( ω +ϕ ) f t r sin t f t r sin t wobei ω ω gelten soll. Bei der Überlagerung zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz rotieren im Zeigerdiagramm die beiden Zeiger f und f mit unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit. Es ändert sich damit der von den beiden Zeigern eingeschlossene Winkel ständig. Der Summenzeiger besitzt keine konstante Länge mehr und kann damit keinesfalls eine Sinusfunktion darstellen. Es wird jedoch i.a. eine Zeitdauer T geben, nach der sich die beiden Zeiger genau wieder in der Position befinden, in der sie zum Zeitpunkt t = 0s waren. Wir erwarten daher eine nichtsinusförmige mit T periodische Funktion als Summenfunktion. Es zeigt sich, dass die Überlagerung dieser beiden Funktionen zwar keine Sinusfunktion, sehr wohl aber eine periodische Funktion darstellt. Wie können wir uns die Periodendauer T dieser Summenfunktion aus den Periodendaueren T und T berechnen? Nach einer Periodendauer T der Summenfunktion müssen sich die beiden Zeiger f und f in genau der selben Position wie zum Zeitpunkt t = 0s befinden. Die Periodendauer T muss ein ganzzahliges Vielfaches von T und ein ganzzahliges Vielfaches von T enthalten. Wir suchen nun die zwei kleinsten natürlichen Zahlen n und m, sodass gilt: In unserm einführenden Beispiel bedeutet das: T = n T = m T π π n = m ω ω n m = ω ω ω n = ω m 4 n = Dieser Bruch kann durch ggt(4,8) = 6 gekürzt werden. 8 m n 4 = m 3 Damit stehen die kleinsten Werte für n und m fest: n = 4 und m = 3. Man beachte, es war 4 = ω / ggt(ω, ω ) und 3 = ω / ggt(ω, ω ). Die Periodendauer des Summensignals beträgt daher: π π T 4 T 4 s.047 s 4 3 = = = = oder π π T = 3T = 3 = s=.047 s 8 3

31 Kreisfunktionen 3 In einer vollen Periode des Summensignals sind also 4 ganze Perioden von f (t) und 3 ganze Perioden von f (t) enthalten. Es gilt allgemein: Die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz, deren Frequenzverhältnis jedoch rational ist, d.h. ω /ω Q, ergibt wieder eine periodische Funktion, jedoch keine Sinusfunktion mehr. Für die Periodendauer T dieser Summenfunktion gilt: ω ω T = T = T ggt ω, ω ggt ω, ω Wir vereinfachen und erhalten: π T = ggt, 6.3 Aufgaben ( ω ω ) 6.3. Berechnen Sie die Periodendauer der Summenfunktion: f t =, sin 30 t = ( ) f t,5sin 4 t und stellen Sie die Einzelfunktionen, sowie die Summenfunktion graphisch dar Stellen Sie die Einzelfunktionen, sowie die Summenfunktion graphisch dar: f t = sin π t = ( ) f t 3sin t Können Sie hier eine Periodendauer ablesen oder berechnen? 6.4 Addition zweier frequenzähnlicher Sinusfunktionen (Schwebung) Wir wollen nun die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen bilden: = ( ω +ϕ ) = ( ω +ϕ ) f t r sin t f t r sin t wobei ω ω gelten soll. Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachungen treffen: r = r und ϕ =ϕ = 0 Damit wird:

32 Kreisfunktionen 3 f t = r sinω t f t = r sinω t Unter Verwendung des. Summensatzes können wir die Summenfunktion f(t) = f (t) + f (t) in ein Produkt zerlegen: f t = f t + f t = r sinω t+ r sinω t = r sinω t+ sinω t = ω+ω ω ω = r sin t cos t = ω ω ω+ω = r cos t sin t Nun zur Interpretation des Endausdrucks: Anhand eines konkreten Beispiel werden die Zusammenhänge vielleicht am deutlichsten: Wählen wir nun: 0 s ω = ω = 00 s ( ω ω ) D.h.: f ( t) = r sin( 0t ) f ( t) = r sin( 00t) Die Kreisfrequenz des Sinusterms im hergeleiteten Produktterm beträgt dann: ω+ω = 05s Diese Kreisfrequenz stellt also genau das arithmetische Mittel von ω und ω dar. Daraus lässt sich eine Periodendauer T berechnen: π π ω= π f = T = Eingesetzt: T ω π T = s = 0,0598s= 59,4 ms 05 Der Term Sinusterm ist also mit einer Periodendauer von 59,4 ms periodisch. Nun zum Kosinusterm: Seine Kreisfrequenz beträgt: Die Periodendauer T beträgt hier: ω ω = 5 s π T = s =,6 s 5 Der Term Kosinusterm ist also mit einer Periodendauer von,6 s periodisch. Die Periodendauer dieses Terms ist also mal so groß wie die des Sinusterms. Der Kosinusterm ändert sich also hier wesentlich langsamer als der Sinusterm. Wir können daher den gesamten Faktor vor dem Sinusterm als " veränderliche Amplitude" interpretieren.

33 Kreisfunktionen 33 ω ω ω+ω f ( t) = r cos t sin t veränderliche Amplitude Grundschwingung f(t) t Hier wird die Überlagerung der beiden oben angegebenen Funktionen für r = r = gezeigt. Dieser Effekt wird als Schwebung bezeichnet. Er tritt stets bei der Überlagerung frequenzähnlicher Sinusfunktionen auf. Die veränderliche Amplitude tritt bei Schallwellen als Lautstärkeschwankung in Erscheinung. Die Frequenz dieser Lautstärkeschwankung ist ein Maß dafür, wie weit ω und ω voneinander entfernt sind. Der Schwebungseffekt kann z.b. zum Stimmen von Saiteninstrumenten verwendet werden. Für den Fall, dass ω und ω gleich sind, wird das Argument des Kosinusterms gleich Null. Da nun cos 0 = ist, erhält die Grundschwingung nun wirklich eine konstante Amplitude, nämlich r. Akustisch interpretiert bedeutet das, dass es zu keiner Lautstärkeschwankung mehr kommt. Dieser Effekt wird beispielsweise beim Stimmen einer Gitarre verwendet. 6.5 Lissajous Figuren 6.5. Erklärung Stellen wir uns vor, dass sich ein Punkt sowohl in der x als auch in der y Richtung harmonisch um den Ursprung bewegt, d.h. es soll für die momentanen Koordinaten folgendes gelten: x(t) = x 0 sin(ω x t+ϕ 0x ) y(t) = y 0 sin(ω y t+ϕ 0y ) Wird die Überlagerung dieser zwei Sinusschwingungen in einem x y Diagramm dargestellt, so entstehen unter bestimmten Umständen sehr ansehnliche Kurven. Diese Figuren lassen sich mit einem Zweikanaloszillographen leicht erzeugen, indem man sowohl die x Ablenkung als auch die y Ablenkung mit jeweils einem Frequenzgenerator ansteuert ( X Y Betrieb). Ist das Verhältnis der Kreisfrequenzen ω x / ω y eine rationale Zahl, d.h. eine Bruchzahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner, so entsteht eine geschlossenen Kurve. Diese Lissajous Figuren können z.b. zu einem sehr genauen Frequenzabgleich verwendet werden.

34 Kreisfunktionen MATHCAD T x := 40 T y := 0 π π ω x := ω y := t := 0, T x T y φ 0x := 0 φ 0y := 0 sin ω y t+ φ 0y 0 0 sin ω x t+ φ 0x T x := 60 T y := 90 π π ω x := ω y := t := 0, T x T y φ 0x := 0 φ 0y := 0 sin ω y t+ φ 0y 0 0 sin ω x t+ φ 0x T x := 80 T y := 90 π π ω x := ω y := t := 0, T x T y φ 0x := 0 φ 0y := 0 sin ω y t+ φ 0y 0 0 sin ω x t+ φ 0x

35 Kreisfunktionen Aufgaben a) Wann entsteht als Lissajous Figur nur eine Gerade? b) Wann entsteht als Lissajous Figur genau ein Kreis? c) Stellen Sie vier Lissajous Figuren für ω x /ω y = 3dar: x(t) = 4 sin(ω x t) y(t) = 5 sin(ω y t+ϕ 0y ) Wählen Sie ϕ 0y = 0,ϕ 0y = 30,ϕ 0y = 60,ϕ 0y = 90 d) Experimentieren Sie mit MATHCAD und erzeugen Sie einige Lissajous Figuren.

36 Kreisfunktionen 36 7 Multiplikation zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen 7. Erklärung Der allgemeinste Fall wäre die Multiplikation der Funktionen: = ( ω+ϕ ) = ( ω+ϕ ) f t r sin t f t r sin t Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachung treffen: Wir wählen ϕ = 0, damit kann einfacher ϕ = ϕ genannt werden. = ω = ( ω+ϕ) f t r sin t f t r sin t Bilden wir nun die Produktfunktion: = = ω ( ω+ϕ ) = ω ( ω+ϕ ) f t f t f t r sin t r sin t r r sin t sin t Hier tritt also das Produkt zweier Sinusterme auf. Entweder man leitet sich eine Formel aus dem. Summensatz her oder entnimmt sie einer Formelsammlung: sin α sin β= cos cos α β α+β Damit gilt mit: α=ω+ϕ t und β=ω t α β=ϕ und α+β= ω t +ϕ: f t = r r sin ω+ϕ t sinω t = = r r cos( ω+ϕ ω t t) cos( ω+ϕ+ω t t) = r r = cosϕ cos ω+ϕ t Nun zur Diskussion des Ergebnisses: cos ω+ϕ t stellt eine phasenverschobene Kosinusfunktion mit der doppelten Kreisfrequenz dar. cosϕ ist ein zeitunabhängiger additiver Term. Die Summe der beiden in der eckigen Klammer stehenden Funktionen stellt also eine phasenverschobene Sinuskurve mit der doppelten Frequenz dar, die noch zusätzlich um cosϕ in Ordinatenrichtung angehoben ist. Diese Anhebung kann maximal den Welt annehmen, nämlich genau dann, wenn ϕ = 0 beträgt. Sie entfällt gänzlich, wenn ϕ=± 90 beträgt. r r Der Faktor stellt einen Streckungsfaktor in Ordinatenrichtung dar.

37 Kreisfunktionen 37 Wir wollen unter dem arithmetischen Mittelwert einer periodischen Funktion stets den arithmetischen Mittelwert über eine Periodendauer verstehen. Dieser wird hier durch den r r Ausdruck f = cosϕ gegeben. Beispiel: = ω = ( ω+ ) f t sin t f t 3sin t 4 Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der Produktfunktion? f t = sinω t 3sin ω+ t 4 = 3 = cos4 cos ( ω+ t 4 ) = =,3 3cos ω+ t 4 Es handelt sich hier also um eine phasenverschobene Kosinuskurve der Amplitude 3 mit der doppelten Frequenz, die um,3 Einheiten angehoben ist. Der zeitliche Mittelwert (arithmetische Mittelwert) beträgt,3. MATHCAD: T := π ω f ( t) := sin ω t π := t A := t E := 0 t := t A, t A t E T f ( t) := 3 sin ω t + 4 Grad f 3 ( t) := f ( t) f ( t) 6 f ( t) f ( t) f 3 ( t) 3 cos 4Grad t

38 Kreisfunktionen Anwendung: Die Leistung im Wechselstromkreis 7.. Die Momentanleistung p(t) und die Wirkleistung P Der Momentanwert der Wechselstromleistung p(t) errechnet sich einfach aus dem Produkt des Momentanwerts der Spannung u(t) und dem des Stroms i(t): p(t) = u(t) i(t) Nun treibt eine sinusförmige Spannung u( t) Uˆ sin( t U) Bauelement einen sinusförmigen Strom i( t) ˆI sin( t ) = ω+ϕ durch ein passives = ω+ϕ derselben Frequenz. Im Allgemeinen wird sich jedoch zwischen u(t) und i(t) auch eine Phasenverschiebung, die zwischen 90 und + 90 liegen kann, einstellen. Wir werden sehen, wie gerade diese Phasenverschiebung den Mittelwert der Wechselstromleistung p(t) entscheidend beeinflusst. Bei den folgenden Überlegungen wollen wir den Strom als Bezugsgröße wählen, d.h. die Sinusfunktion, die den Stromverlauf beschreibt, soll ohne Phasenverschiebung erscheinen. Annahme: I als Bezugsgröße I 0 ϕ = ˆ Damit können wir ohne Verwechslungsgefahr u( t) Uˆ sin( t ) u(t) i(t) Z I i t = I sinω t = ω +ϕ schreiben. Zeigerdiagramm: ϕ U Z steht hier für einen beliebigen Wechselstromwiderstand. Nun berechnen wir die Momentanleistung: I p t = u t i t = = Uˆ sin ω+ϕ t Iˆ sinω t = Uˆ Iˆ sin ω t +ϕ sinω t = Die Anwendung der trigonometrischen Formel: sin α sin β= cos cos α β α+β liefert in unserem Fall : α=ω+ϕ t und β=ω t α β=ϕ und α+β= ω t +ϕ

39 Kreisfunktionen 39 Uˆ Iˆ = cosϕ cos( ω+ϕ t ) = Uˆ Iˆ Uˆ Iˆ = cosϕ cos ω+ϕ t Der erste Summand ist zeitunabhängig und stellt den arithmetischen Mittelwert der Momentanleistung über eine Periode dar. Uˆ ˆI p( t) = cosϕ= P Man nennt den zeitlichen Mittelwert der Momentanleistung die Wirkleistung P". Teilt man den Faktor / auf beide Scheitelwerte gerecht auf, so erhält man: Uˆ Iˆ Uˆ Iˆ = Das Verhältnis von Scheitelwert zu stellt bei sinusförmige Größen den Effektivwert dar. Effektivwert sinusförmiger Größen = Scheitelwert Uˆ ˆI Uˆ Iˆ Wir schreiben daher: = = Ueff Ieff (Eine genaue Definition des Effektivwertes erfolgt später bei der Anwendung der Integralrechnung.) P = U I cosϕ eff eff Wir sehen also, dass der Faktor cos ϕ die Wirkleistung P bestimmt. Man nennt cos ϕ daher auch Wirkleistungsfaktor". Oft schreibt man statt der Indexschreibweise U eff einfach U. Dann darf beim Scheitelwert das Scheitelwertzeichen jedoch nicht weggelassen werden. In dieser Form lautet dann die Formel für die Momentanleistung: p( t) = U I cosϕ U I cos( ω ϕ t ) Diese Zerlegung zeigt deutlich, wie sich die Momentanleistung p(t) als die Summe eines zeitunabhängigen Terms U I cosϕ und eines zeitabhängigen Terms U I cos(ωt) darstellen lässt. Die Wirkleistung wird durch den ersten Summanden gegeben: P = U I cosϕ

40 Kreisfunktionen Drei Extremfälle. ϕ= 0 Hier sind Strom und Spannung "in Phase". Dieser einfachste Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an einen rein Ohmschen Widerstand gelegt wird u(t) i(t) R Zeigerdiagramm: U I Wir erhalten: ˆ u t = U sinω t i t = ˆI sinω t (Man kann natürlich auch einfach in die hergeleitete allgemeine Formel für p(t) für ϕ = 0 einsetzen ) p( t) = U I cos0 cosωt p( t) = P = U I = In diesem Fall kommt es zu einer maximalen Anhebung der cos ωt Funktion um eine Einheit. Der Wirkleistungsfaktor cos ϕ = cos 0 = nimmt hier seinen maximalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt also: P = U I Die Effektivwerte U eff = U und I eff = I können daher auch folgendermaßen interpretiert werden: Sie sind jenen Gleichspannungs bzw. Gleichstromwerten gleich, die dieselbe Wirkleistung an einem Ohmschen Widerstand hervorrufen wie die sinusförmigen Größen u(t) und i(t). MATHCAD:

41 Kreisfunktionen 4 Die Leistung im Ohmschen Widerstand T := π ω π := I := 0.5 U := T t A := t E := 0 t := t A, t A t E i( t) := I sin ω t u( t) := U sin ω t p( t) := i( t) u( t) i( t) u( t) p( t) U I t π. ϕ= 90 = Dieser Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an eine ideale Spule ( Induktivität ) gelegt wird. u(t) i(t) L Zeigerdiagramm: U Hier eilt die Spannung dem Strom um 90 vor. I = ˆ ω = ˆ ( ω + ) i t I sin t u t U sin t 90 Wir erhalten: ˆ p t = u t i t = U sin ω+ t 90 ˆI sinω t = ˆ ˆ ˆ ˆ = U I cosω t sinω t = I U sinω t = Uˆ Iˆ = sin ω t = = U I sinωt Die Momentanleistung p(t) ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Ihr zeitlicher Mittelwert beträgt Null.

42 Kreisfunktionen 4 Dieses Ergebnis erhält man selbstverständlich auch, wenn man in die allgemeine Formel für p(t) für ϕ, den Wert 90 einsetzt. p( t) = U I cos90 cos( ω+ t 90 ) p( t) = P = 0 = 0 In diesem Fall kommt es zu gar keiner Anhebung der cos ( ωt+90 ) = sinωt Funktion. Der Wirkleistungsfaktor beträgt hier cos ϕ = cos 90 = 0. Er nimmt hier seinen minimalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt also: P = 0 Ergebnis: An einer idealen Spule wird keine Wirkleistung umgesetzt. MATHCAD: Die Leistung in einer Spule T := π ω π := I := 0.5 U := T φ := 90 Grad t A := t E := 0 t := t A, t A t E i( t) := I sin ω t u( t) := U sin ω t + φ p( t) := i( t) u( t) i( t) u( t) p( t) UI cos φ ϕ= 90 = π t Dieser Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an einen idealen Kondensator ( Kapazität ) gelegt wird. u t = Uˆ sin ω t 90 i t = ˆI sinω t I Zeigerdiagramm: i(t) u(t) C U

43 Kreisfunktionen 43 Hier eilt die Spannung dem Strom um 90 nach.wir erhalten: ˆ = Uˆ ( cosωt) Iˆ sinω t = p t = u t i t = U sin ω t 90 ˆI sinω t = = Uˆ Iˆ sinω t cosω t = ˆ ˆ = U I sinω t = Uˆ ˆI = sin ω t = = U I sinωt Wir erhalten also bis auf das Vorzeichen dasselbe Ergebnis wie im. Fall. Die Momentanleistung p(t) ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz und ihr zeitlicher Mittelwert beträgt Null. Auch dieses Ergebnis erhält man, wenn man in die allgemeine Formel für p(t) für ϕ den Wert 90 einsetzt. p( t) = U I cos( 90 ) cos( ω t 90 ) p( t) = P = 0 = 0 Anhebung der ωt 90 ) = ωt ϕ = cos ( 90 ) = 0. Er nimmt auch hier seinen minimalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt wieder: P 0 Ergebnis: t wird keine Wirkleistung umgesetzt. MATHCAD: Die Leistung in einem Kondensator T := π ω π := I := 0.5 U := T φ := 90 Grad t A := t E := 0 t := t A, t A t E i( t) := I sin ω t u( t) := U sin ω t + φ p( t) := i( t) u( t) i( t) u( t) p( t) UI cos φ t

44 Kreisfunktionen 44 8 Wiederholungsfragen. Was entsteht bei der Überlagerung ( Addition ) zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen?. Was entsteht bei der Überlagerung ( Addition ) zweier frequenzungleicher Sinusfunktionen, deren Kreisfrequenzen in einem Verhältnis ganzer Zahlen stehen? 3. Welche Periodendauer besitzt das Summensignal 4sin( 4t) + cos (5t)? 4. Was versteht man unter einer Schwebung? 5. Wie groß ist die Schebungsfrequenz des Signals f(t) = sin(πt) + sin(3t)? Ist dieses Signal wirklich ein periodisches Signal? 6. Wodurch entsteht eine Lissajous Figur? 7. Was entsteht bei der Multiplikation zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen? Wieso ist gerade dieser Fall elektrotechnisch so interessant? 8. Berechnen Sie die Periodendauer des folgenden Signals und verwandeln Sie das Signal in Produktform um: f(t) = sin 500t + sin 50t Lassen Sie sich den Kurvenverlauf mit MATHCAD und beschriften Sie all jene Details, die sich aus der Produktform ablesen lassen. 9. Berechnen Sie die Periodendauer des folgenden Signals und verwandeln Sie das Signal in Produktform um: f(t) = sin 480t + sin 500t Lassen Sie sich den Kurvenverlauf mit MATHCAD aufzeichnen und beschriften Sie all jene Details, die sich aus der Produktform ablesen lassen. (6P) 0. Stellen Sie f(t) = 5sin(ωt 33 ) + 7cos(ωt 8 ) in der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) dar.. Stellen Sie f(t) = 5cos(ωt+33 ) + 7sin(ωt 3 ) in der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) dar.. Lösen Sie die goniometrische Gleichung für G = [ 0, 360 ]: 4sin x 3cos x = 3 Führen Sie für jede berechnete Lösung die Probe durch, denn nicht alle berechneten Lösungen sind wirklich Lösung der gegebenen Gleichung. 3. Lösen Sie die goniometrische Gleichung für G = [ 0, 360 ]: 5sin x cos x = Führen Sie für jede berechnete Lösung die Probe durch, denn nicht alle berechneten Lösungen sind wirklich Lösung der gegebenen Gleichung.

45 Kreisfunktionen 45. Welche Funktionen werden hier dargestellt: f(x) =? f( x) x Welche Funktionen werden hier dargestellt: f(x) =? 0 0 f x) 3 5 x