14 Rationale Exponenten

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1 Mathematik. Klasse Ratioale Expoete Merke Potezgesetze Bei eier Potez x y et ma x die Basis ud y de Expoete. Für gazzahlige Expoete, m Z gelte folgede Potezgesetze: a a m a +m a a b a ) m a m Daraus lasse sich folgede Gesetze ableite: a b ) a b a a ) a a a m a m Die Potezgesetze, die wir für atürliche Expoete bewiese habe, wurde auf gazzahlige Expoete erweitert. Jetzt möchte wir diese Gesetze auf gebrochee Expoete erweiter, so dass die bekate Gesetze weiterhi gültig bleibe. Aufgabe Fide Sie heraus, wie defiiert werde sollte, damit die Potezgesetze weiterhi gültig sid. Hiweis: Poteziere Sie mit eiem geeigete atürliche Expoete, damit etwas Bekates etsteht. Aufgabe Begrüde Sie, warum ma icht als defiiere ka. Hiweis: Betrachte Sie ). dazu Defiitio 9 Für a R + 0 eie icht-egative reelle Zahl) defiiere wir: a a Damit folge aus de Potezgesetze die Wurzelgesetze: Merke Für a, b R + 0 ud Z gilt: a b a b a b a b a ) a Achtug: B Summe sid doof: a + b a + b. B Aufgabe Beispiel: x x Schreibe Sie das Resultat als eie eizige Potez mit eiem ratioalem Expoete. ) x x ) x x x x x x x d) x x x x x x e) x x x ) ) f) x x x x. Dezember

2 Mathematik. Klasse. -te Wurzel Aufgabe Bei der temperierte Klavierstimmug ist das Verhältis der Frequeze zweier aufeiaderfolgede Töe immer gleich z.b. vo e zu f). Für die Oktave Halbtöe) ist das Verhältis :. Mit welchem Faktor λ muss die Frequez eies Toes multipliziert werde, damit der To eie Halbto höher wird? Hiweis: Tut ma dies Mal, erhält ma eie Oktave, also eie Frequez-Verdoppelug. Stelle Sie damit eie Gleichug für λ auf ud poteziere Sie die Gleichug mit eiem geeigete Expoete, um diese aufzulöse. Defiitio 0 -te Wurzel Für a R + 0 ist die -te Wurzel aus a geschriebe als jee Zahl defiiert, die mit poteziert a ergibt: a a Merke Die Wurzelgesetze sid auch für -te Wurzel gültig. Poteze mit gebrochee Expoete sid ur für positive Base defiiert. Aufgabe Expoete: Vereifache Sie ud schreibe Sie das Resultat als eie eizige Potez vo x mit ratioalem x x x x x 8 x d) x x e) x x 6 x Aufgabe 6 f) x ) x x x x Die Schweizer Natioalbak gibt zur Zeit November 6) Budesaleihe mit eier Laufzeit vo Jahre heraus. Der gesamte Zis mit Ziseszis über die Jahre) beläuft sich auf.%. Wie gross ist der jährliche Zissatz? Hiweis: Stelle Sie eie Gleichug für de jährliche Zissatz auf, isoliere Sie da die Potez ud poteziere Sie da die Gleichug auf beide Seite mit eiem geeigete Expoete. Siehe auch Eie Quite ist ei Toabstad vo 7 Halbtöe. Wird eie Violie ach Gehör gestimmt, werde die Quite Toabstad zweier Saite) rei gestimmt. Das Frequezverhältis ist geau :. Das Klavier higege ist temperiert gestimmt. We ma aimmt, dass das Kammer-a beider Istrumete auf geau 0 Hz gestimmt ist, um wieviel Prozet uterscheide sich die Frequeze der Quite darüber e) der beide Istrumete? Siehe auch Aufgabe. Zusatzaufgbe: Mit Hilfe eies Computers z.b. mit Geogebr schätze Sie die Frequez der etstehede Schwebug ab, we beide Istrumete das e spiele. Köe Sie diese Frequez exakt bereche? Mit welchem Streckfaktor λ muss ei Würfel gestreckt werde, damit sich sei Volume halbiert? Awedug: Ei Würfel mit Kateläge 0 cm hat ei Volume vo l. Welche Kateläge hat ei Würfel vo 0. l Volume?. Dezember

3 Mathematik. Klasse. Normalform vo Wurzelterme Defiitio Normalform Ei Wurzelterm i Normalform sieht wie folgt aus: q 0 + q + q q m m mit q 0,..., q m Q ud,..., m N wobei alle i voeiader verschiede ud wurzelfrei sid d.h. sie habe keie Quadratzahl als Teiler). Merke Normalform Wurzel im Neer: Erweiter. Beispiel. Quadrate uter der Wurzel: Vorziehe. Beispiel Aufgabe 7 Schreibe Sie i Normalform. Hiweis: Primfaktorezerlegug ka helfe d) ) ) 7 e) f) g) h) Aufgabe 8 + Brige Sie auf Normalform. Beispiel: ) + ) + x + y d) x x y. Wurzelgleichuge Merke Wird eie Gleichug auf beide Seite quadriert, ist das eie Gewiumformug, d.h. es köe Lösuge dazu komme, die keie Lösug der ursprügliche Gleichug sid. Es muss am Schluss also eie Probe gemacht werde. Aufgabe 9 Löse Sie ach x auf: x x x x + 7 d) x x + 7 Aufgabe 0 Löse Sie die Gleichuge mit folgeder Lösugsstrategie: Nach dem erste Quadriere wird och eie Wurzel übrigbleibe. Forme Sie da die Gleichug so um, dass die Wurzel alleie auf eier Seite steht ud quadriere Sie ochmals. x + x + x + x x + + x 6. Dezember

4 Mathematik. Klasse. Berechug vo -te Wurzel Aufgabe Mit Hilfe eies Tascherechers, aber ur uter der Verwedug der Grudoperatioe Addtio, Subtraktio, Multiplikatio, Divisio), bestimme Sie auf Stelle ach dem Komma geau Beschreibe Sie Ihr Verfahre so geau, dass eie Mitschüleri dieses achvollziehe köte. Schätze Sie ab, wie viele Recheoperatioe bzw. Tastedrücke auf dem TR) Sie i etwa brauche, um die Nachkommastelle zu bestimme. Schätze Sie ab, wie viele Schritte Sie bräuchte, um 0 Nachkommastelle zu erhalte. Aufgabe Berechet ma eie Wurzel, etspricht das der Berechug der Quadratseite s eies Quadrates mit gegebeem Flächeihalt A. Also s A. Dazu geht ma u wie folgt vor: Schritt Ma schätze s z.b. ). Schritt Ma bereche die Seite b eies Rechtecks mit Fläche A, we die adere Seite s die aktuelle Schätzug) ist. Schritt Die Wurzel muss dazwische liege. Neue Schätzug s ist der Durchschitt vo s ud b. Schritt We die aktuelle Schätzug s icht gut geug ist, gehe zu Schritt. Sost Ede. Wie viele Durchgäge brauche Sie, um Nachkommastelle zu bestimme? Wie viele Durchgäge für 0 Stelle? Aufgabe Mit Hilfe eies Tascherechers, aber ur uter der Verwedug der Grudoperatioe Addtio, Subtraktio, Multiplikatio, Divisio), bestimme Sie auf Stelle ach dem Komma geau d) Aufgabe Etwickel Sie ei Verfahre wie i Aufgabe für. Wurzel. Versuche Sie, das Verfahre auf -te Wurzel zu verallgemeier.. Potezfuktioe Defiitio Potezfuktio Eie Potezfuktio ka i der Form geschriebe werde, mit a R ud p Q. fx) a x p Merke Defiitiosbereich Der Defiitiosbereich eier Potezfuktio hägt vo p ab: p N + «N plus» D R fx) p Z 0 «Z Null mius» D R fx) p Q + \ N «Q plus ohe N» D R + 0 fx) p Q \ Z «Q mius ohe Z» D R + fx) Aufgabe Bestimme Sie die Parameter a ud p folgeder Potezfuktioe. Die Fuktiosterme müsse z.t. erst umgeformt werde. fx) x fx) x fx) d) fx) e) fx) 0 f) fx) x fx) 9 g) x h) fx) x x) 7. Jauar

5 Mathematik. Klasse Aufgabe 6 Auf ei A-Blatt, mit Nullpukt i der Blattmitte, zeiche Sie ei Koordiatesystem, das das Itervall [.,.] auf der x-achse ud [, ] auf der y-achse abdeckt. Die Eiheit soll etwa cm betrage. I dieses Koordiatesystem, zeiche Sie die Graphe der Fuktioe fx) x p für Werte vo p,,,,,, ud. Aufgabe 7 Bereche Sie die Schittpukte der Potezfuktioe, die Sie i Aufgabe 6 gezeichet habe mit dem achseparallele Rechteck, aufgespat durch die Pukte., ) ud., ). Aufgabe 8 Beschreibe Sie, wie folgede Fuktiosgraphe für sehr grosse N aussehe würde: fx) x für gerade fx) x für ugerade fx) x d) fx) x für gerade e) fx) x für ugerade f) fx) x Aufgabe 9 Um die Helligkeit vo LEDs zu reguliere, wird i.a. icht der Strom durch die LED reguliert, da dies eie komplizierte ud/oder eergetische ieffiziete elektroische Schaltug zur Folge hätte. Statt desse wird die LED schell ei- ud ausgeschaltet. Je ach zeitlichem Ateil der Aschaltphase, wird die LED verschiede hell wahrgeomme. Ma spricht vom «Duty-Cycle». 0% heisst immer ausgeschaltet, 00% heisst immer eigeschaltet, % heisst z.b. währed 0 µs eigeschaltet ud währed 70 µs ausgeschaltet was eier Frequez vo khz etspricht). Die meschliche Wahrehmug der Lichtitesität ist icht liear, d.h. der wahrgeommee Helligkeitsuterschied zwische 0% ud 0% Duty-Cycle ist viel grösser, als zwische 80% ud 90%. Sei x [0, ] die wahrgeommee Itesität. Gesucht ist eie Fuktio fx), die de passede Duty-Cycle, ebefalls [0, ] liefert. Skizziere Sie, wie die Fuktio fx) i etwa aussehe köte. Wie köte der Fuktiosterm vo fx) kokret aussehe? Hiweis: Diese Art vo Umrechug zwische eergetischer ud wahrgeommeer Helligkeit wird i der digitale Bildverarbeitug auch «Gammakorrektur» geat siehe olie für mehr Iformatio dazu)..6 Repetitiosaufgabe Aufgabe 60 Für positive Base ud atürliche Expoete, beweise Sie die Potezgesetze siehe Merke-Box «Potezgesetze» auf Seite 79). D.h. schreibe Sie eifach achvollziehede Umformuge auf, damit die Gesetze eileuchte. Aufgabe 6 Repetiere Sie Aufgabe ud. Aufgabe 6 Das Hypervolume eies -dimesioale Hyperwürfels mit Seiteläge s ist s. Wie lage ist die Seiteläge eies -dimesioale Hyperwürfels mit Hypervolume m ud 0. m? Mit welchem Streckfaktor muss ei -dimesioaler Hyperwürfel gestreckt werde, damit sich sei Hypervolume verhudertfacht? Aufgabe 6 Ohe die Gleichuge zu löse, begrüde Sie, warum folgede Gleichuge keie Lösug habe. Betrachte Sie dazu z.b. die Vorzeiche der Seite der Gleichuge, welche Werte für x auf beide Seite überhaupt i Frage komme ud die Tatsache, dass we für positive Zahle a, b gilt a < b, da ist auch a < b. x + x x x d) x x + e) x + x + x + f) x x 7. Jauar

6 Mathematik. Klasse.7 Lösuge Hiweise zu de Symbole: Diese Aufgabe köte mit kleie Apassuge) a eier Prüfug vorkomme. Für die Prüfugsvorbereitug gilt: If you wat to ail it, you ll eed it. Diese Aufgabe sid wichtig, um das Verstädis des Prüfugsstoffs zu vertiefe. Die Aufgabe sid i der Form aber eher icht geeiget für eie Prüfug zu grosser Umfag, ötige «Tricks», zu offee Aufgabestellug, etc.). Teile solcher Aufgabe köe aber durchaus i eier Prüfug vorkomme!. Diese Aufgabe sid dazu da, über de Tellerrad hiaus zu schaue ud oder die Theorie i eie grössere Kotext zu stelle. Lösug zu Aufgabe ex-hoch-eizweitel-herleite We ma mit poteziert erhält ma, laut Potezgesetze: ) Also muss jee Zahl sei, die quadriert ergibt. Diese Zahl ee wir. Lösug zu Aufgabe ex-hoch-eizweitel-ist-positiv ). Ei Quadrat ist immer positiv, daher muss + sei. Lösug zu Aufgabe ex-wurzel-i-poteze-umschreibe x x x x ) x x x 9 x x ) ) x ) x x x x x ) x x x x d) x x x x x x x x x x 8 x x x x x 8 x 7 x+ + 8 ) x 7 x 8 x 7 x 8 7 ) x 8 e) x x x ) ) x 9 x x f) x x x x x x x x x x x x 7 x x 7 8 x 8 x 6 Lösug zu Aufgabe ex-zwoelfte-wurzel-aus-zwei Für de Faktor λ gilt λ Um de Expoete zum Verschwide zu brige, werde beide Seite mit poteziert: λ ) λ Jauar 07 8-i

7 Mathematik. Klasse Lösug zu Aufgabe ex-te-wurzel-i-poteze-umschreibe x x x ) x ) x x x + ) ) x 9 0 ) x 9 0 x x x 8 x x x x 8 x x x 8 x x ) x ) ) x d) x x e) f) x x x x x x x 7 x 6 x x x x ) x 0 x x x x x x x + ) x x ) ) x x ++ x + ++ x + ++ x + ) x x x + Lösug zu Aufgabe 6 ex-te-wurzel-textaufgabe Sei p der ubekate jährliche Zissatz. Damit ist ach der Faktor, mit dem das afägliche Kapital multipliziert wird: Der Zisatz beträgt also 0.%. + p) + 0. ) + p. p Jauar 07 8-ii

8 Mathematik. Klasse Das Frequezverhältis zweier beachbarter Halbtöe ist bei der temperierte Stimmug. Der temperierte Quite 7 Halbtöe) estpricht also ei Verhältis vo ) Der prozetuale Uterschied zu. reie Quite) ist also % D.h. die Tofrequez vom e auf dem Klavier ist um gut kleier. Zusatzaufgabe: Beim Kammer-a vo 0 Hz ergibt sich für das reie e eie Frequez vo 660 Hz, für das temperierte e Hz. Zeichet ma die etsprechede Schwiguge i Geogebra, liest ma eie Frequez vo ca ab. Ma ka auch die Zeit bereche, achdem der Uterschied der Wikel beider Schwiguge geau 60 beträgt: t t t : 60 t 660 t t 0 7 ) ) t 0. 7 : t ) D.h. die Schwebug hat eie Periode ) Schwigugsdauer) vo. s, d.h. der Kehrwert davo ist die Frequez, also Hz. )) Das Volume wird mit Faktor λ multipliziert. Wir suche also λ so, dass: λ ) λ ) D.h. Ei Würfel mit Kateläge ca. 79. mm Kateläge hat ei Volume vo 0. l. Lösug zu Aufgabe 7 ex-wurzelterme-mit-zahle-auf-ormalform-brige d) oder eifacher: e) f) g) ) 6 6 ) h) 7 7. Jauar 07 8-iii

9 Mathematik. Klasse Lösug zu Aufgabe 8 ex-wurzelterme-mit-zahle-auf-ormalform-mit-biomischer ) ) ) ) x + y x + y x y x y x y x y d) x x y x x y x + y x + y x + xy x y Lösug zu Aufgabe 9 ex-wurzelgleichuge-easy x ) x x Probe: Also ist eie Lösug der Ursprugsgleichug. Die Gleichug hat keie Lösug. Ma köte die Gleichug wie Aufgabe löse, die Probe mache ud feststelle, dass ma eie Scheilösug erhalte hat. Ma köte aber auch sofort eisehe, dass i der Ausgagsgleichug das Resultat eier Wurzel ie egativ 7) sei ka. d) x x + 7 ) x x + 7) x x + x 7 x Probe: Die rechte Seite ergibt 0, womit diese Gleichug keie Lösug hat. x x + 7 ) x ) x + 7 x 6 x + 7 x + 6 x Probe: Damit ist x eie Lösug der Ursprugsgleichug. 7. Jauar 07 8-iv

10 Mathematik. Klasse Lösug zu Aufgabe 0 ex-wurzelgleichuge-hard x + x + x + ) x + x + x + + x )x + ) x x + x + x : x + x + x ) x + x + x + x x x + x Eigesetzt erhält ma eie wahre Aussage, x ist also die Lösug der Gleichug. x x + + x ) x x + + x + x + )x ) x x x + x ) x + 8x + 6 x + 8x x 8x + 8 x : 8 x 8 x ± Die egative Lösug scheidet aus, weil x icht defiiert ist. Die positive Lösug ist etwas grösser als da 8 > 9), damit sid alle Zahle uter de Wurzel positiv. Allerdigs ist x immer kleier als x + ud damit gaz sicher kleier als x + + x. Somit hätte ma auch vo Afag a sehe köe, dass die Gleichug keie Lösug habe ka. Resultat: Die Gleichug hat keie Lösug. Lösug zu Aufgabe ex-potezfuktioe-parameter-bestimme-formal a, p a, p a, p d) a, p 0 fx) ist ur mit D R eie Potezfuktio, weil f0) 0 0 icht defiiert ist). e) a 0, p ubestimmt f) a, p g) a, p h) a, p Lösug zu Aufgabe 6 ex-potezfuktioe-spie-zeiche 7. Jauar 07 8-v

11 Mathematik. Klasse p p p p p p p 0 p p p 0 7. Jauar 07 8-vi

12 Mathematik. Klasse Lösug zu Aufgabe 7 ex-potezfuktioe-spie-aalysiere p.,.) ud.,.) p.,.), ud.,.) p, ), ud, ) p, ) ud, ) ud ) )., ud., ) ) p, ud, ud ) )., 9 ud., 9 ) p.,. p.,. ) ) p 9, ) ud.,. Lösug zu Aufgabe 8 ex-potezfuktioe-grosse- Zuerst ist zu bemerke, dass diese Fuktioe immer druch de Pukt, ) gehe, egal was für eie Wert hat. Für positive Expoete gehe die Fuktioe durch de Pukt 0, 0). Auf ], [ ist die Fuktio fast 0, da steigt sie sehr steil druch de Pukt, ) bzw., ) a. Es ergibt sich eie Art «eckiges U». Auf ], [ ist die Fuktio fast 0. Im positive Bereich steigt die Fuktio durch de Pukt, ) sehr steil a, im egative Bereich fällt die Fuktio durch, ) sehr steil ab. Die Fuktio ist praktisch für x-werte grösser Null. Bei Null fällt die Fuktio sehr steil auf 0, 0) ab. Es ergibt sich eie Art «liegedes L». d) Auf ], [ ist der Fuktioswert sehr gross. Bei, ) ud, ) fällt der Fuktioswert sehr schell auf fast 0 ab. Ausserhalb vo [, ] ist der Fuktioswert ahe bei Null. Es ergebe sich «zwei L». e) Wie d), ausser dass die Fuktio im egative Bereich selbst egativ ist ud das «L» ach ute a der x-achse gespiegelt wird). f) Die Fuktio ist ahezu kostat, ausser gege Null hi steigt die Fuktio steil a ud strebt gege uedlich ud icht für x 0 icht defiiert). Für sehr grosse x geht die Fuktio lagsam gege 0). Lösug zu Aufgabe 9 ex-potezfuktioe-itervall-bijektio Die Fuktio fx) sollte erst lagsamer asteige als fx) x, da gege x scheller, aber immer och durch de Pukt, ) gehe. Dazu biete sich Potezfuktioe a, z.b. fx) x oder fx) x. Was besser passt, muss ausprobiert ud hägt icht zulezt vo de verwedete Bauteile ud der Umgebugshelligkeit ab. Lösug zu Aufgabe 6 ex-volume-hyperwuerfel-strecke m. s 0., also s m. Das Volume wird mit λ multipliziert. Also λ 00 ud damit λ Lösug zu Aufgabe 6 ex-wurzelgleichuge-warum-keie-loesug Es werde die Abkürzuge LS ud RS für like ud rechte Seite der Gleichug verwedet. LS ist positiv, RS egativ ud icht Null). LS ist egativ oder Null), RS ist positiv icht Null). LS: x. RS: x. Beides icht gleichzeitig möglich. d) LS: ist positiv oder Null für x 0). RS ist egativ oder Null für x ). e) x + < x + ud damit erst recht x + < x + x +. f) LS: x ud LS ist positiv oder Null. RS ist egativ für x. 7. Jauar 07 8-vii