Geodynamik & Erdmessung

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1 Geodynamik & Erdmessung Vorlesung Wilfried Korth HINWEIS: Das nachfolgende Skript soll die Vorlesung unterstützen. Es ist nicht auszuschließen, dass sich noch Fehler eingeschlichen haben. Ich bin für Hinweise zu solchen Fehlern aber auch für andere Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge dankbar.

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Theorie der Erdfigur Überblick Geschichtlicher Überblick Geophysikalische Grundlagen der Erdfigur Aufbau des Erdkörpers Geodynamische Prozesse Isostasie Die Erde als Kreisel Gezeitendeformation der festen Erde Größenordnung der Effekte Potentialtheorie (Elementare Grundlagen) Skalarfelder Vektorfelder Operatoren Das Newtonsche Potential Das Newtonsche Gravitationsgesetz Das Potential Aufgaben der Potentialtheorie Niveauflächen oder Äuipotentialflächen Kugelfunktionen (Einführung) Kugelfunktionen als orthogonale Funktionen Kugelfunktionen zur Entwicklung des Gravitationspotentials Das Normalpotential der Erde 32 6 Grundbegriffe der Molodenski-Theorie 35

3 1 GRUNDLAGEN DER THEORIE DER ERDFIGUR 3 1 Grundlagen der Theorie der Erdfigur 1.1 Überblick F. R. Helmert ( ): Die Geodäsie ist die Wissenschaft von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche. Aufgaben (stehen in Wechselwirkung): Vermessung des Territoriums Figur und Größe der Erde Bestimmung des äußeren Schwerefeldes Bestimmung von Figur und Größe der Erde: a im eigenen Interesse b im Interesse der anderen Geowissenschaften c für Astronomie und Astronautik d für Verkehrswesen, Kommunikation (Funk,...),... Definition: Die Erdfigur wird im Kontinentalbereich durch die physische Erdoberfläche und im Ozeanbereich durch die mittlere ungestörte Meeresoberfläche begrenzt. Niveaufläche oder Äquipotentialfläche: Schwerkraft: z.b. jede ungestörte Flüssigkeitsoberfläche Resultierende aus Gravitationskraft und Zentrifugalkraft. Richtung Richtung der Lotlinie C. F. Gauß ( ): mathematische Erdoberfläche ist Niveaufläche J. B. Listing: nennt diese Fläche 1872 Geoid Rotationsellipsoid: Weitere Vereinfachung des Geoides Geoid Ozean P Festland h: orth. Höhe Abbildung 1: Geoid Mittleres Erdellipsoid: Ellipsoid, das sich dem Geoid am besten anpasst.

4 1 GRUNDLAGEN DER THEORIE DER ERDFIGUR 4 Abbildung 2: Geoidmodell EIGEN-CG01C, GeoForschungsZentrum Potsdam a = m α = a b = 1/258, 256 a Mittlere Abweichung Geoid - mittleres Erdellipsoid: ±30m Geschichtlicher Überblick Homer 800 v.chr. Erde feste Scheibe von Okeanes begrenzt Ebene mit oben und unten Phythagoräer 500 v.chr. Kugelgestalt! Aristoteles: Gründe für die Kugelgestalt: 1. konvexe Krümmung (Geometrie 2. Mondfinsternisse durch Erde (Schatten) 3. Höhenwinkel der Fixsterne an verschiedenen Orten Eratosthenes 200 v. Chr. Bestimmung des Erdradius durch Gradmessung zur Sonne R=7380km Posidonius 100 v. Chr. erste Gradmessung nach Fixsternen R=7090km Al Manun 800 n. Chr. R=7020km Fernel 1525 Gradmessung Paris Amineus; R=6376km Snellius 1620 Gradmessung Alkmar Bergen; R=6150

5 1 GRUNDLAGEN DER THEORIE DER ERDFIGUR 5 Isaac Newton Durch Rotation folgt Zentrifugalkraft Abplattung; d.h. Erdfigur ist Ellipsoid Franz. Akad.: Maupertuis, Clairot, Celsius nach Lappland Gradmessungs Gaudin, La Condamine, Bouguer nach Peru expeditionen Bessel 1841 Ausgleichung aller ihm bis dahin bekannten Gradmessungen Bessel-Ellpsoid: a= m, α=1:299,15, m 0 =4 m 0 viel kleiner, als die damalige Messgenauigkeit 3 G 34 4 Gemessen: Meridianbogenlängen G 12, G 34 Breiten auf den Punkten 1, 2, 3, 4 2 G 12 1 M 12 M 34 a Gesucht: Große Halbachse Abplattung a α G = M B +elliptisches Korrektionsglied ρ Abbildung 3: Prinzip der Gradmessung für B 1 G 110km Korr. < 1cm Aus den beiden Meridiankrümmungsradien lässt sich die große Halbachse (und die Abplattung bzw. Exzentrizität) berechnen. M = c V 3 = a W 3(1 e2 ) W 2 = 1 e 2 sin 2 B V 2 = 1 + e 2 cos 2 B aw = bv Gauß ( ): Abweichung zwischen Lotlinie und Ellipsoidnormale (Lotabweichung) Z' Z P phys. Erdoberfl. Geoid P' Lotrichtung in P B a Abbildung 4: Lotabweichung in Meridianrichtung

6 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 6 Es können die Lotabweichungskomponenten in Meridinrichtung ξ und in Parallelkreisrichtung η sowie die Totale Lotabweichung ϑ angegeben werden. ξ = φ B ϑ = (λ L) cos φ Da Messungen nur auf der physischen Erdoberfläche und nicht auf dem Geoid möglich sind, folgt Aufgabe der Bestimmung der Schar der äußeren Niveauflächen. Niveauflächen des Erdschwerefeldes sind nicht parallel! Lotlinien sind gekrümmt Definition der Lotabweichung: Geometrische Definition: Lotabweichung 1. Art (auf Ellipsoidnormale bezogen) Physikalische Definition: Absolute Lotabweichung: Relative Lotabweichung: Lotabweichung 2. Art oder Lotanomalien (auf Normallotrichtung im Normalpotential bezogen) auf mittleres Erdellipsoid bezogen auf Referenzellipsoid bezogen 2 Geophysikalische Grundlagen der Erdfigur bei genügend großen Körpern: rheologisches Verhalten 1 am Äquator: Verhältnis von Gravitationskraft zu Zentrifugalkraft ca. 300:1 α = 1 : 300, a b 20km größte Erhebung 9km, größte Tiefe 11km unter den Meeren: größere Dichte der Kruste relative Häufigkeit +0,1-4, km Abbildung 5: Häufigkeitskurve der Höhen und Tiefen auf der Erde 1 Körper verhalten sich, als wären sie flüssig

7 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 7 Methoden der Untersuchung des Aufbaus der Erde: 1. seimisch 2. gravimetrisch 3. geomagnetisch 4. elektromagnetisch (induktiv, Wechselstrom) 5. elektrisch (Widerstandsmessung, Gleichstrom) 6. thermisch (Wärmefluss) 7. radioaktiv In der Praxis: Komplexe Anwendung mehrerer Methoden, um Mehrdeutigkeiten einzuschränken bzw. auszuschalten. Zu 1 Erdbebenwellen: Erdebenwellen heißen auch seismische Wellen (vom griechischen Wort seismos = Erschütterung) Oberflächenwelle Heertiefe ( km) Raumwelle Hypozentrum Epizentrum Messpunkt Erdoberfläche Abbildung 6: Ausbreitung von Erdbebenwellen Raumwellen (Periode 1..10s) Die P-Wellen (Primärwellen, Longitudinalwellen) die sich wie Schallwellen durch die Erde ausbreiten. Sie heißen auch Kompressionswellen. Diese Wellen können sich in festen, flüssigen und gasförmigen Medien ausbreiten. Sie treten sogar in die Luft über 2. Sie erreichen ein Tiefe von bis zu Kilometern. Die Geschwindig-keit der P-Wellen beträgt ca. 5 km/s. Die S-Wellen (Sekundärwellen, Transversalwellen) sind nur rund halb so schnell wie die P- Wellen, sie heißen auch Scherenwellen. Es sind Wellen, wie die Wellen an einem Seil oder einer Gitarrensaite. Die S-Wellen bewegen sich ebenfalls durch das Erdinnere, können sich jedoch nur in festen Medien ausbreiten. Sie laufen bis zu einer Grenzschicht in ca Kilometern Tiefe. Es erfolgt keine Übertragung von Transversalwellen in Flüssigkeiten oder Gasen. Oberflächenwellen (Periode s, können die Erde mehrfach umlaufen): 2 Geräuscherscheinungen, die von Erdbeben berichtet werden, gehen auf die P-Wellen zurück

8 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 8 Die Rayleigh-Wellen benötigen für ihre Schwingungen eine freie Oberfläche, wie Wellen auf dem Meer. Ihre Fortpflanzung erfolgt in Ellipsen in einer vertikalen Ebene. Sie sind nach dem Physiker John William Rayleigh benannt und bewirken rollende Bewegungen des Untergrundes. Die Teilchenbewegung bei den, nach dem englischen Physiker Augustus Edward Hough Love benannten seismischen Oberflächenwellen, erfolgt auf einer horizontalen Fläche im rechten Winkel zur Fortbewegungsrichtung. Das Gestein wird durch Love-Wellen nicht vertikal versetzt. Da sie oft über große Amplituden verfügen, richten sie durch horizontale Scherungen des Untergrundes starke Schäden an Gebäuden an. Oberflächenwellen breiten sich an der Erdoberfläche aus, ihre Amplitude nimmt zur Tiefe hin rasch ab. Sie treffen nach den Raumwellen ein. Aus der Laufzeitdifferenz zwischen P- und S-Wellen lässt sich die Entfernung zum Erdbebenherd berechnen. Ausbreitungsgeschwindigkeit in verschiedenen Teilen des Erdkörpers: P-Wellengeschwindigkeit in km/s Dichte in g/cm 3 Erdkruste einige km/s bis 6,7 2,7-3,0 Erdmantel 8,0-13,6 3,3-5,7 äußerer Kern 8,0-11,0 9,4-11,5 innerer Kern 11,5 11,5-15,0 Größte jemals gemessene Erdbeben: Abbildung 7: Ausbreitungsarten seismischer Wellen 1. Großes Chile-Erdbeben Chile (9,5) 2. Prince William Sound Alaska (9,2) 3. Erdbeben im Indischen Ozean vor Sumatra (9,1) 4. Kamtschatka Russland (9,0) 5. Erdbeben vor Ecuador vor Ecuador (8,8) 6. Rat Islands Alaska (8,7) 7. Erdbeben vor Nord-Sumatra vor Nord-Sumatra (8,6) 8. Andreanof Islands Alaska (8,6) 9. Assam Indien (8,6) 10. Am Kurilengraben Russland/Kurilen (8,5)

9 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR Erdbeben in der Bandasee Indonesien (8,5) 12. Kamtschatka Russland (8,5) Abbildung 8: Verteilung der Epizentren auf der Erde In Abbildung 8 ist gut die Häufung von Beben an den Grenzen der tektonischen Platten erkennbar (siehe Abschnitt 2.2). 2.1 Aufbau des Erdkörpers Abbildung 9: Schalenaufbau der Erde Die Erde ist annähernd eine Kugel (tatsächlicher Erdradius 6357 bis 6378 km), deren Inneres aus mehreren Schalen aufgebaut ist: - Im Zentrum befindet sich ein großteils flüssiger Eisenkern, der mit 3400 km den halben Erdradius ausmacht, - darüber die 2900 km dicke Schicht des sogenannten Mantels aus zähplastischem Gestein (Silikate und Oxide), - und zuoberst eine relativ dünne, harte Kruste. Diese Erdkruste besteht ebenfalls aus Silikaten und Oxiden, ist aber mit Elementen angereichert, die nicht im Mantelgestein vorkommen.

10 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 10 Abbildung 10: Aufbau der Erde: wichtigste Schalen und ihre Tiefe Der Schalenaufbau des Erdinneren wird durch zwei markante seismische Diskontinuitäts-Flächen (Unstetigkeitsflächen der Gesteinsdichte) gegliedert. Sie trennen die Erdkruste vom Erdmantel und diesen vom Erdkern. Die Erdkruste, auch Lithosphäre genannt (zur Lithosphäre zählt auch noch der äußere starre Teil des oberen Erdmantels), besteht aus zwei sehr unterschiedlichen Strukturen: Ozeanische Erdkruste: Die ozeanische Kruste bildet mit ihrer Mächtigkeit von 5-10 km eine vergleichsweise dünne Schicht um den Erdmantel. Sie besteht aus riesigen festen Platten, die ständig in langsamer Bewegung sind. Kontinentale Erdkruste: Sie besteht aus einzelnen Schollen, die auch als Kontinente bezeichnet werden. Die Dicke der kontinentalen Kruste liegt zwischen 30 und 60 Kilometern mit einem globalen Mittelwert um 35 km. Sie setzt sich aus kristallinen Gesteinen zusammen, deren Hauptbestandteile Quarz und Feldspäte bilden. Trennfläche Kruste Mantel: Mohorovichich-Diskontinuität Trennfläche Mantel Kern: Gutenberg-Wiechert-Diskontinuität Trennfläche äußerer innerer Kern: Lehmannsche Zone Ab 500 km Tiefe bestimmt nur noch der Druck die Eigenschaften im Erdinneren. Druck im Erdmittelpunkt: Pa (4 Mbar) Temperatur im Erdmittelpunkt: ca K Äußerer Kern: hochleitend, Strömungen Infolgedessen wirkt er wie ein Hydrodynamischer Generator = Magnetfeld ca. alle Jahre polt sich das Magnetfeld um ( Paleomagnetismus) Das letzte Mal fand die Umpolung vor Jahren statt. Nun konnten französische Wissenschaftler aufgrund von neuen Satellitendaten zeigen, dass unser Erdmagnetfeld seit 1979 weltweit durchschnittlich an 1.7 Prozent an Intensität verloren hat, über dem Südatlantik sind es sogar mehr als 10 Prozent. Dieser Intensitätsverlust deutet auf eine Umpolung des Feldes in der nächsten 2000 Jahre hin. Der gesamte Kipp-Prozess wird etwa 5000 bis Jahre dauern, während dieser Zeit muss die Erde fast ohne Magnetfeld auskommen. Kristallgitter von Gesteinen und Sedimentpartikeln stellen sich nach den magnetischen Feldlinien ein (Polarisierung). Dadurch Rückschlüsse auf geologische Zeitepochen möglich.

11 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR Geodynamische Prozesse Alfred Wegener veröffentlichte 1912 seine Theorie von der Kontinentaldrift. Küstenlinien passen zusammen Gesteinsformationen auf den Kontinenten passen zusammen Fossilienfunde stimmen überein im Karbon Urkontinent Pangaea Wegner konnte allerdings die antreibende Kraft nicht erklären. Alternative Hypothese Dirac (1938): Gravitationskonstante zeitveränderlich (Weiterentwicklung der relativistischen Physik) Gravitationskonstante nimmt ab Erdexpansion Heute ist das Konzept der globalen Plattentektonik die anerkannte Theorie. Sie ist durch Messungen untermauert. Die Expansionstheorie ist nach wie vor unbewiesen. Meeresbodenuntersuchungen ab 1960 mittelatlantischer Rücken, km lang mittelozeanische Rücken, Riftsysteme Kontinentale Kruste ca Mio Jahre alt Ozeanische Kruste ca. 200 Mio Jahre alt ( junge Kruste ) an den Rücken keine Sedimentschichten, d.h. Rücken jünger durch paleomagnetische Untersuchungen bestätigt Antrieb der Platten durch thermische Konvektionsströmung in der Asthenosphäre ( Konvektionswalzen ) Bewegungsraten 5 cm/jahr (0,14 mm/tag) (solche Strömungen sind mit der Viskosität in der Asthenosphäre möglich) Die Erdkruste besteht aus 7 großen und mehreren kleine Platten. Eurasische Platte Afrikanische Platte Nordamerikanische Platte Südamerikanische Platte Australische Platte Pazifische Platte Antarktische Platte

12 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 12 Abbildung 11: System der Kontinentalplatten Spannungszonen Erdbebenzonen (95 98 % der schweren Erdbeben, siehe Abbildung 8) Plattengrenzen: Aufstiegs- oder Spreadingzonen Platten treiben auseinander, fast ausschließlich mittelozeanische Rücken, mittlere Erdbebentätigkeit Verschluckungs- oder Subduktionszonen ozeanische (schwerer) trifft auf kontinentale Platte (leichter), ozean. Pl. taucht unter die kont. Pl. z.b. Anden (Südamerika), schwere Erdbeben Kollisionszonen zwei kontinentale Platten prallen aufeinander, Gebirgsauffaltung, z.b. Himalaya Translationszonen Platten driften aneinander vorbei, z.b. San-Andreas-Störung (Kalifornien) Plattenbewegungen können gemessen werden: VLBI (Very LOng Baseline Interferometrie) SLR (Satellite Laser Ranging) GNSS (Global Navigation Satellite System) z.b. GPS Bewegungsbeträge z.b.: Kalifornien 9 cm/jahr (Translation)

13 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 13 Griechenland 3..4 cm/jahr auf Europa zu Pamir 2 cm/jahr Europa Amerika cm/jahr (Divergenz) Abbildung 12: Bewegungsraten der Kontinentalplatten Messungen dienen zu Untermauerung/Weiterentwicklung der Theorie Erdbebenprognose Lagerstättenforschung 2.3 Isostasie 1820 in Indien Triangulation durch England zu militärischem Zweck 1850 Fertigstellung der Triangulation, N-S-Richtung ausgeglichen Leitung durch Brig. Everest gab man dem höchsten Berg der Erde den Namen Gipfel XV. Der heutige Name Everest wurde 1865 zu Ehren von Sir George Everest von dessen Nachfolger ursprünglich als Zwischenlösung eingeführt. Everest war im Dienst der englischen Krone als Chef aller britischen Geometer tätig und erwarb sich mit der Landvermessung Indiens große Verdienste.

14 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 14 Breitenfehler an den Endpunkten: 5 (150 m) Berechnung der durch die Topographie verursachten Gravitationsanomalie durch Pratt ergab ca. 16 Entwicklung der Hypothese der Isostasie Es wurden zwei Modelle entwickelt, die dieses Massedefizit unterhalb von Gebirgen erklären. Beide Modelle beziehen sich dabei auf die Isostasie. Nach dem Pratt-Modell ist die unterschiedliche Dichte der einzelnen Krustenbereiche maßgebend für den isostatischen Ausgleich: Krustenblöcke geringerer Dichte müssen mächtiger sein und weiter über die Erdoberfläche herausragen als solche mit hoher Dichte, damit über einer beliebigen Kompensationstiefe jede Massensäule das gleiche Gewicht trägt. Nach dem Airy-Modell hat die Kruste eine geringere Dichte als der viskose Mantel, die Krustenblöcke wären somit vergleichbar mit Eisbergen auf dem Wasser. Airy nahm an, daß alle Krustenblöcke die gleiche Dichte haben, aber unterschiedlich mächtig sind. Mächtigere Krustenblöcke ragen durch isostatischen Ausgleich weiter über die Erdoberfläche heraus und auch tiefer in die Erde hinein als geringmächtigere. Abbildung 13: Isostasiemodelle von Pratt und Airy Auf der Erde herrscht isostatisches Gleichgewicht Abweichungen an den Plattengrenzen und bei sehr kleinen Gebirgen (z.b. Harz) Isostasie regelt sich immer neu ein = wichtige Quelle für vertikale Bewegungen der Erdkruste (Skandinavien steigt postglazial an, deutsche Küste: Tendenz des Absinkens) Nivellementsnetze müssen alle Jahre erneuert werden

15 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 15 Abbildung 14: Prinzip des isostatischen Ausgleichs durch Auflasten Abbildung 15: Ergebnis der GPS-Kampagne BIFROST 2001 (Baseline Inferences Fennoscandian Rebound Observations, Sealevel and Tectonics) für eine Einzelstation (links) und für ganz Skandinavien (rechts)

16 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR Die Erde als Kreisel Ausgangspunkt: Drehimpulserhaltungssatz & Energieerhaltungssatz Drehimpuls konstant (kinetische) Energie konstant Wenn Drehimpuls und Energie konstant, muss Rotationsgeschwindigkeit veränderlich sein (da Massenverlagerungen auf der Erde stattfinden) Rotationsschwankungen: säkular (fortschreitend): Gezeitenreibung jahreszeitlich (saisonal): Massenverlagerungen durch Vegetation 1 ms/tag episodisch 1967: Einführung der Cäsium-Atomuhr Beobachtung von Rotationsschwankungen möglich Rotationsachse der Erde ist nicht körperfest! Rotationsvektor: d (Richtung: momentane Rotationsachse, Betrag: momentane Winkelgeschwindigkeit) Die sog. Polbewegung ist die Folge der Tatsache, dass die Erde kein starrer Körper ist, sondern eine gewisse Elastizität aufweist, keine Kugel ist, sondern um 0,3 Prozent abgeplattet, an ihrer Oberfläche jahreszeitliche Effekte und kleine Deformationen auftreten, und im Erdinnern langsame Massenverschiebungen stattfinden. d.h. Hauptträgheitsachsen sind veränderlich und stimmen nicht mit der momentanen Rotationsachse überein Obwohl die Polbewegung nur wenige Meter ausmacht, wurde der Effekt schon um 1860 vermutet und 1885 vom Bonner Astronomen Friedrich Küstner ( ) durch genaue Messungen der geographischen Breite ( Polhöhe ) nachgewiesen. Aus längeren Messreihen ließen sich die vermuteten Änderungen der Erdachse als kleine periodische Breitenänderungen von etwa ±0,3 herausfiltern. Erst zu Ende des 19. Jahrhunderts hatten die astro-geodätischen Messungen mit Passageninstrumenten und Zenitteleskopen diese Genauigkeitsstufe erreicht. für eine starre Erde ergäbe sich eine Periode des Kreisumlaufes von T E =305 Sterntagen (Eulersche Periode) Erde ist elastisch! = Periode T C =430 Tage (Chandler-Periode)

17 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 17 Edward Hough Love ( ): Elastizitätstheorie für die Erde (1911) T E m = 1 k T C 2α m m = ω2 a γäquator α = Abplattung k = Lovesche Zahl 0, 29 Da die Erde kein homogener elastischer Körper ist, folgt eine unregelmäßige Polbewegung. (Periode ca. 14 Monate) Abbildung 16: Polbewegung bezüglich des CIO (Conventional International Origin) CIO: Mittel der Polkoordinaten aus den Jahren Überwachung der Erdrotation durch den IERS Der Internationale Erdrotationsdienst (Kürzel IERS; englisch International Earth Rotation and Reference Systems Service) ist eine internationale Organisation zur Messung und Berechnung der Erdrotation und eines Bezugssystems für astronomische und geographische Positionsdaten. Gegründet wurde er 1899 von Carl Theodor Albrecht, Wilhelm Foerster und Friedrich Robert Helmert in Berlin als Internationaler Breitendienst. Das Zentralbüro des IERS hat seinen Sitz heute in Frankfurt am Main in Deutschland. 2.5 Gezeitendeformation der festen Erde Auf der Erde treten folgende Gezeitenphänomene auf: Erdgezeiten Meeresgezeiten

18 2 GEOPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN DER ERDFIGUR 18 Athmosphärische Gezeiten Ursache: Gravitation von Mond und Sonne (andere Himmelskörper vernachlässigbar) Wirkung des Mondes etwa doppelt so groß wie die der Sonne Erde und Mond (bzw. Sonne) rotieren um einen gemeinsamen Schwerpunkt S Zentrifugalkraft a S Anziehungskraft des Mondes d ERDE D MOND Abbildung 17: Entstehung der Gezeiten Mit Erdmasse M und Mondmasse m (m = 1/60M) und D 60a folgt: dm = Dm d = D m M = a 4800km Perioden der Erddeformation: Mond 12 h 42 min, Sonne 12 h Amplituden von etwa 30 cm (15 50 cm) Überlagerung der Effekte von Mond und Sonne: Springzeit & Nippzeit Abbildung 18: Entstehung von Spring- und Nippzeit

19 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) Größenordnung der Effekte Abplattung der Erde: α=1: (3m pro km) Geoidundulation: 40m; relativ zum Erdradius (6mm pro km) Polbewegung: 10m; 1, (1,5mm pro km) Erdgezeiten: 0,3m; (0,05mm pro km) Krustenbewegungen: 5cm/a; Abplattung, Geoidundulation und Polbewegung müssen auch bei Alltagsaufgaben berücksichtigt werden (z.b. satellitengeodätische Messungen) Erdgezeiten und Krustenbewegungen müssen bei globalen (bzw. kontinentalen) Aufgabenstellungen berücksichtigt werden. 3 Potentialtheorie (Elementare Grundlagen) Mathematisches Feld: Jedem Punkt eines Raumgebietes wird durch eine Ortsfunktion eine Feldgröße zugeordnet. Skalarfelder Vektorfelder Tensorfelder d.h. U = U(x,y,z), U... Feldgröße U muss im Wesentlichen stetig sein Unstetigkeiten in einzelnen Punkten, Linien oder Flächen sind möglich 3.1 Skalarfelder Z.B. Temperaturverteilungen, Dichteverteilungen oder Dichteverteilungen hier interessieren nur stationäre, d.h. zeitlich unveränderliche Felder spezielle Felder: ebenes Feld, U auf einer Fläche definiert Zentralfeld oder Kugelfeld (sphärisches Feld) wenn U(r) =const., r... Abstand von der Quelle (Punktquelle) Zylinder- oder axiales Feld wenn U(r) =const., r... Abstand von der Achse

20 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) 20 Z.B. Beleuchtungsstärke einer punktförmigen Lichtquelle U = c r 2 sphärisches Feld U = c x 2 + y 2 + z 2 Niveauflächen oder Äquipotentialflächen U = U(x,y,z) =const. z.b. U = c =const. r = c Niveauflächen sind konzentrische Kugeln r 2 const. Für die Schar der äußeren Niveauflächen gilt: in Richtung auf Niveaufläche ist U max. U=8 U=7 g U=6 U=5 g = gradu Feldänderung: du = U U U dx + dy + x y z dz = U xdx + U y dy + U z dz ( U = x i + U y j + U ) z k (dx i + dy j + dz k) = a ds a g Gradient von U: g = gradu = U x i + U y j + U z k Beispiel: U = c r 2 = c x 2 + y 2 + z 2 U x = U r 2 r 2 x = c r42x = 2c r 4x anlog U x, gradu = 2c r 4 x y z U z Rechenregeln: grad C = 0 grad (U + V ) = gradu + gradv grad (U V ) = U gradv + V gradu

21 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) Vektorfelder Spezielle Felder: V = V (x,y,z) = V ( x) = X(x,y,z) Y (x,y,z) Z(x,y,z) 1. zentrales Vektorfeld nur Richtung durch das Zentrum vorgegeben, Betrag und Richtungssinn beliebig 2. Sphärisches Vektorfeld (z.b. Gravitationskraft einer Punktmasse) Betrag und Richtungssinn zum Zentrum bei gleichem Radius gleich 3. zylindrisches Vektorfeld (z.b. Zentrifugalkraft) Betrag und Richtungssinn zur Achse bei gleichem Radius gleich Abbildung 19: Spezielle Vektorfelder X(x,y,z), Y (x,y,z), Z(x,y,z) V = X i + Y j + Z k = U x i + U y j + U z k mit Ux = U x usw. D.h., wenn es eine skalare Funktion U gibt, deren Ableitungen die Funktionen X, Y, Z ergeben, liegt ein Potential vor. V ist das Gradientenfeld von U. Beispiele: V = X Y Z V = gradu = U x U y U z

22 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) 22 elastische Kraft: Gravitationskraft: V = k r U = k r 0 K...Hooksche Konstante r dr = k 2 r2 = k 2 (x2 + y 2 + z 2 ) Zentrifugalkraft: V = Gm r G...Gravitationskonstante r 2 U = Gm r r dr r 0 r 2 = Gm r r 0 dr r 2 = Gm r V = ω r r Rotationsachse Zylinderfeld, r enthält keine z-komponente U = ω 2 r 0 r dr = ω2 2 r2 = ω2 2 (x2 + y 2 ) Gm r Operatoren Operatoren werden bei der Schreibweise von Formeln häufig verwendet, z.b. f (x) = y oder ẏ (Newton) f (x) = dy dx (Leibnitz) Hamiltonscher Nablaoperator (für Vektoren): Laplacescher Deltaoperator (für Skalare): = i x + j j + k z gradu = U = i U x + j U j + k U z = 2 x y z 2

23 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) Das Newtonsche Potential Das Newtonsche Potential gehört zu Kraftfeldern, bei denen sich die Beträge der Kraftvektoren umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes verhalten. = Gravitationskraft! = Coulombsche Kraft (Anziehung bzw. Abstoßung elektrischer Ladungen) W = V + Q W... Schwerepotential, V... Gravitationspotential, Q... Zentrifugalpotential Das Zentrifugalpotential ist sehr gut bekannt, das heißt es muss nur das Potential V bestimmt werden. Q = ω2 2 (x2 + y 2 ) Q und W sind keine Newtonschen Potentiale, V ist Newtonsches Potential. Andere Aufteilung des Gravitationpotentials der Erde: U... Normalpotential, T... Störpotential W = U + T Aufgabe: U mathematisch formulieren und T aus Messwerten bestimmen. T ist kleine Größe rechentechnisch günstig. grad W = Schwerkraftvektor gradu = Vektor der Normalschwere grad W = Schwere (Schwerkraft) grad U = Normalschwere Möglichkeiten der Formulierung von U und damit W: 1. hydrostatische Gleichgewichtsfigur für U, daraus W (durch Korrektion) 2. eine Niveaufläche von U soll mit dem mittleren Erdellipsoid zusammenfallen 3. Reihenentwicklung von W, die ersten Glieder bilden U

24 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) Das Newtonsche Gravitationsgesetz Wurde erstmals von Isaac Newton 1686 in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica formuliert. Jede Masse, genauer jeder Massenpunkt, zieht jeden anderen Massenpunkt mittels einer Kraft, die entlang der Verbindungslinie gerichtet ist, an. Der Betrag dieser Gravitationskraft ist proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Massen voneinander. Die Kraft ist außerdem immer negativ, was bedeutet, dass sie immer anziehend wirkt. Diese Vorzeichenkonvention wird hier übernommen, um Konsistenz mit dem Coulombgesetz zu wahren, wo sich Ladungen gleicher Vorzeichen abstoßen und Ladungen verschiedener Vorzeichen anziehen. F = G m 1m 2 ρ 2 11 Nm2 G... Gravitationskonstante (G = 6, ); m kg 2 1, m 2... Massen der sich anziehenden Körper; ρ... Abstand der Körper. In Vektorschreibweise: r Vektor von Punkt 2 nach Punkt 1. F 12 = G m 1m 2 Gravitationsgesetz für Punktmassen (mit Masse des angezogenen Körpers =1): r 21 = x ρ y ρ z ρ ρ 21 F = r 21 X Y Z = Gm x ρ 3 Gm y ρ 3 Gm z ρ 3 Anziehung beliebig vieler diskreter Punktmassen: Einangezogener Punkt A und n Punkte, welche die Anziehungskraft ausüben B 1, B 2,...B n. x y z X i = Gm i Y ρ 3 i = Gm i Z i ρ 3 i = Gm i i ρ 3 i X = G Für räumliche Massen gilt: δ x X = G dv v ρ 3 i n 0 m i x ρ 3 i δ... Dichte; ρ = x 2 + y 2 + z 2 Y = G v Y =... Z =... δ y dv ρ 3 i Z = G v δ z dv ρ 3 i 3.6 Das Potential Potential des Massenpunktes: V = Gm 1 ρ

25 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) 25 denn: V x = X = Gm 1/ρ x = Gm 1 ρ 2 dρ dx ρ 2 = δx 2 + y 2 + z 2 2ρdρ = 2 x dρ dx = x ρ V x = Gm x ρ 3 Potential für räumliche Massenausdehnungen: δ V = G ρ dv Spezialfall: Potential einer homogenen Kugelfläche Fall a) betrachteter Punkt außerhalb der Kugelfläche Das Newtonsche Potential einer homogenen Kugelfläche ist gleich dem einer Punktmasse im Zentrum der Kugel mit gleicher Masse wie die Flächenmasse. (d.h. Masse auf den Mittelpunkt reduziert) Fall b) betrachteter Punkt innerhalb der Kugelfläche Das Newtonsche Potential einer homogenen Kugelfläche ist gleich Null. (im Inneren der Kugel wirken keine Anziehungskräfte) Fälle a) und b) gelten jeweils auch für Kugelschalen mit dickem Mantel (unendlich viele homogene Kugelschalen) Fälle a) und b) gelten jeweils auch, wenn die Dichtefunktion abhängig vom Radius ist. δ = δ(r) (z.b. Athmosphäre) Auf einen Massenpunkt im Inneren einer Vollkugel wirkt nur die Anziehung der Kugel, deren Radius dem Abstand des Punktes zum Mittelpunkt gleich ist. 3.7 Aufgaben der Potentialtheorie Direkte Aufgabe der Potentialtheorie: V = G δ ρ dv V aus gegebener Dichtefunktion δ(x,y,z) berechnen. (immer lösbar) Indirekte oder Inverse Aufgabe der Potentialtheorie: δ(x, y, z) aus V ableiten (mehrdeutig, da z.b Punktmasse und Kugelschale das gleiche Potential haben) nur mit Zusatzinformationen bzw. -annahmen lösbar

26 3 POTENTIALTHEORIE (ELEMENTARE GRUNDLAGEN) Niveauflächen oder Äuipotentialflächen W = W 0 W h = g Der Gradient im Schwerefeld steht senkrecht auf der Niveaufläche (Lotrichtung Kraftrichtung Richtung Gradient). dh = dw g dw h = g - Niveauflächen können sich nicht schneiden (zwei Niveauflächen können nicht die gleiche Höhe haben) - Abstand der Niveauflächen am Pol kleiner als am Äquator - Niveauflächen des Schwerepotentials der Erde sind nicht parallel! - Lotlinien sind gekrümmt Einteilung des Schwerepotentials in Normal- und Störpotential. W = U + T Intuitiver Zugang zur Berechnung von Geoidhöhen N aus dem Störpotential T für einen Punkt G auf dem Geoid: G N W=W 0 (Geoid) U=U 0 +du U=U 0 h N W U dw T g γ N = T G γ Theorem von Bruns Wenn Punkt P nicht auf dem Geoid liegt (P G), ergibt sich die Höhenanomalie: ζ = T P γ Am Geoid gilt: H = H n + ζ ζ = N H = H orth + N

27 4 KUGELFUNKTIONEN (EINFÜHRUNG) 27 4 Kugelfunktionen (Einführung) Definition: Jede harmonische 4 und homogene Funktion heißt Kugelfunktion. Eine mathematische Funktion heißt homogen vom Grad n, wenn bei proportionaler Änderung aller Variablen um den Proportionalitätsfaktor a sich der Funktionswert um den Faktor a n ändert. F(x,x,z) F(ax,ay,az) = a n F(x,x,z) Für das Gravitationspotential der Erde gilt: V = G τ δ ρ dτ Argumente/Gründe für die Entwicklung des Gravitationspotentials nach Kugelfunktionen: 1. δv = 0 Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen angebracht, da harmonisch 2. Erde ist kugelförmig, d.h. Kugelfunktionen konvergieren gut 3. bei der Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen sind die einzelnen Glieder unabhängig voneinander 4.1 Kugelfunktionen als orthogonale Funktionen y s f(x) i y i x i x Jede beliebige Funktion kann durch Reihenentwicklung dargestellt werden. 4 F = 0 φ(x) = a 0 P 0 (x) + a 1 P 1 (x) + a 2 P 2 (x) + a 3 P 3 (x) +...

28 4 KUGELFUNKTIONEN (EINFÜHRUNG) 28 Beispiel Potenzreihe: Beispiel Furierreihe: P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P 2 (x) = x 2 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = sin x P 2 (x) = cosx P 3 (x) = sin 2x Die Bestimmung der Koeffizienten kann durch Ausgleichung erfolgen. Verbesserungsgleichungen:.. v i = φ(x i ) y i = a 0 P 0 (x i ) + a 1 P 1 (x i ) + y i Normalgleichungen: [P 0 P 0 ]a 0 +[P 0 P 1 ]a 1 +[P 0 P 2 ]a 2 + [P 0 y] = 0 [P 1 P 0 ]a 0 +[P 1 P 1 ]a 1 +[P 1 P 2 ]a 2 + [P 1 y] = 0 Für orthogonale Funktionen sind die Forderungen erfüllt. Daraus würde folgen:... [P ν P ν ] 0 und [P ν P µ ] = 0.. a 0 = [P 0y] [P 0 P 0 ] a 1 = [P 1y] [P 1 P 1 ]... Es müssen Funktionen P i gefunden werden, welche die o.g. Forderungen erfüllen. Ansatz: P 0 = 1 P 1 = x + α 1 P 2 = x 2 + β 1 x + β 2 P 3 = x 3 + γ 1 x 2 + γ 2 x + γ 3.

29 4 KUGELFUNKTIONEN (EINFÜHRUNG) 29 Eine Lösung sind die Legendreschen Polynome (o. Legendreschen Kugelfunktionen): P 0 = 1 P 1 = x Formel von Bonnet zur Bildung der P n (x): P 2 = 1 2 (3x2 1) P 3 = 1 2 (5x3 3x). P n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xp n n n + 1 P n Kugelfunktionen zur Entwicklung des Gravitationspotentials P Aufpunkt: P(r,ϑ,λ) Quellpunkt S(r,ϑ,λ ) S r' 0 r Gravitationspotential: V = G τ δ dτ (1) ρ 1 wird Newtonscher Kern genannt ρ Der Abstand von Aufpunkt und Quellpunkt ρ kann nach dem Kosinussatz berechnet werden: ( )1 ρ = (r 2 + r 2 2rr cos ψ) 1 2 = r 1 + ( r r )2 2( r r ) cos ψ 2 Entwicklung von 1 ρ = 1 ρ = 1 ) 1 (1 + ( r r r )2 2( r r ) cos ψ 2 in eine binomische Reihe und Ordnung nach Potenzen von r r liefert: 1 ρ = 1 r n=0 ( r r )n P n (cosψ) (2)

30 4 KUGELFUNKTIONEN (EINFÜHRUNG) 30 mit den Legendreschen Polynomen P 0 (cos ψ) = 1 P 1 (cos ψ) = cosψ P 2 (cos ψ) = 1 2 (3 cos2 ψ 1) P 3 (cos ψ) = 1 2 (5 cos3 ψ 3 cos ψ). Der Winkel ψ wird durch die Polarkoordinaten von P und Q ausgedrückt (spärischer Seitenkosinussatz) cos ψ = cosϑcos ϑ + (cosλcos λ + sin λ sin λ ) sin ϑ sin ϑ Dann in 2 einsetzen und in 1 einführen. V = G r δ n=0 Diese Reihe kann dann gliedweise integriert werden. Fall a) Rotationskörper es dürfen keine von λ abhängigen Glieder auftreten ( r r )n P n (cos ψ) (3) V = GM r cos ψ = cos ϑ cos ϑ ( 1 J 1 ( a r )P 1(sin ϕ) J 2 ( a ) r )2 P 2 (sin ϕ) mit J 1 = z a = 0 z = z-koordinate des Schwerpunktes J 2 = C A Ma 2 C und A sind die Hauptträgheitmomente der Erde, a ist der Äquatorradius (große Halbachse) J 2 nennt man die statische Abplattung (dynamischer Formfaktor) Fall b) Unregelmäßiger Körper Integration liefert: V = GM r ( a r )n Y n (ϑ,λ) n=0 Y n sind die allgemeinen Laplaceschen Kugelfunktionen bzw. Kugelflächenfunktionen n Y n (ϑ,λ) = (A n,k cos kλ + B n,k sin kλ)pn(ϑ) k k=0

31 4 KUGELFUNKTIONEN (EINFÜHRUNG) 31 Pn(ϑ) k = (1 cos 2 ϑ) k d k P n (cos ϑ) 2 dx k Zusammenfassend ergibt sich: ( ) V = GM 1 + ( a n r r )n (A n,k cos kλ + B n,k sin kλ)pn(ϑ) k n=0 k=0 oder in anderer Schreibweise (n... Grad, k... Ordnung der Entwicklung): ( [ ]) V = GM ( a ) n n 1 J n P n (sin φ) + (J n,k cos kλ + K n,k sin kλ)p k r r n(ϑ) 1 K = 0 zonale Kugelfunktionen K 0 k n tesserale Kugelfunktionen K = n sektorielle Kugelfunktionen 1 (4) Abbildung 20: Kukelfunktionstypen: Zonale, tesserale und sektorielle Kugelflächenfunktionen Die Koeffizienten in Gleichung (4) können aus Messwerten (Schwerewerte, Altimetrie, GPS-Nivellement,... ) z.b. durch Ausgleichung bestimmt werden. Abbildung 21: Funktionsbilder der Legendreschen Polynome - Kugelfunktionen haben soviele Nullstellen wie Grad - Nullstellen trennen positive und negative Bereiche - äquatorsymmetrische Massenanordnung darf keine Kugelfunktionsanteile ungeraden Grades haben - gerader Grad äquatorsymmetrisch - ungerader Grad schiefsymmetrisch zum Äquator

32 5 DAS NORMALPOTENTIAL DER ERDE 32 5 Das Normalpotential der Erde W = U + T W = V + Q U = U + Q W... Schwerepotential, U... Normalpotential, T... Störpotential, V... Gravitationspotential, Q... Zentrifugalpotential. U ist ein Newtonsches Potential. U = GM ( ( a ) 2 ( a ) 4 1 J 2 P2 (sinϕ) J 4 P4 (sinϕ)) r r r U = GM ( ( a ) 2 ( a ) 4 1 J 2 P2 (sinϕ) J 4 P4 (sinϕ)) + ω2 r 2 r r r 2 cos2 ϕ (5) Das Ergebnis ist ein Rotationskörper, der so bestimmt wird, dass er sich dem Referenzellipsoid annähert (Niveaushäroid 4. Ranges). Das Niveaushäroid ist die Nullniveauflächge des Normalpotentials. Verhältnis von Zentrifugalkraft zu Schwerkraft am Äquator: m = ω2 a γ A Der Zahlenwert ( 0,00345 ) hat die gleiche Größenordnung wie die Abplattung. Für γ A genügt eine sphärische Approximation: γ A = GM a 2 Damit wird m = ω2 a 3 und GM und kann in Gleichung (5) eingesetzt werden. ω 2 = GMm a 3 Gleichung des Niveauspäroides 2. Rages (Clairautsches Sphäroid): ( ( 3 r = a 1 2 J 2 + m ) ) sin 2 ϕ 2 Abplattung: Es ergibt sich: Schwereabplattung: α = a b a = 3 2 J 2 + m 2 r = a(1 α sin 2 ϕ) β = γ P γ A γ A

33 5 DAS NORMALPOTENTIAL DER ERDE 33 Theorem von Clairaut (1760): α + β = 5 2 m Die Normalschwere auf einem Niveauspäroid wird durch sog. Normalschwereformeln ausgedrückt. Normalschwereformel für das Niveauspäroid 2. Ranges: γ 0 = γ A (1 + β sin 2 ϕ) Für die Anforderungen der Praxis ist eine Theorie 4. Ordnung erforderlich. Ausgearbeitet von F. R. Helmert. Ergebnis: r = a(1 α 2 sin 2 ϕ α 4 sin 4 ϕ) γ 0 = γ A (1 + β sin 2 ϕ β 1 sin 2 2ϕ) Hierbei sind α 2, α 4, β 1 Funktionen von J 2 und J 4. Durch J 4 wird die Form des Sphäroides beeinflusst. Wenn J 4 = 4 7 αm 4 5 α2 gesetzt wird, geht das Niveausphäroid bis auf Abweichungen 6. Ordnung in ein Rotationsellipsoid über. Man spricht dann von einem Niveauellipsoid. Für das Niveauellipsoid gilt: α 2 = α α2 α 4 = 3 2 α2 β 1 = 1 8 α αβ Und man erhält für das Clairautsche Theorem mit Gliedern höherer Ordnung: α + β = 5 2 m 17 4 mα m2 Je nachdem, für welches Referenzellipsoid die Normalschwereformel angepasst wird, ergeben sich verschiedene Ergebnisse. Gebräuchliche Normalschwereformeln sind u.a.: Schwereformel 1967: γ 0 = 978, 0318(1 + 0, sin 2 ϕ 0, sin 2 2ϕ) [Gal] Helmertsche Schwereformel (1901, für Krassowski-Ellipsoid), passend zu einem Niveauspäroid 4. Ranges mit α =1:298,3: γ 0 = 978, 030(1 + 0, sin 2 ϕ 0, sin 2 2ϕ) [Gal]

34 5 DAS NORMALPOTENTIAL DER ERDE 34 Maßeinheit für die Normalschwere: Maßeinheiten für die Normalschwere γ 1 Gal = 1 cm s 2 = 10 2 m s 2 1 mgal = 10 5 m s 2 1 µgal = 10 8 m s 2 In amerikanischer Literatur wird auch die Einheit Gravity Unit verwendet: 1 g.u. = 10 6 m s 2 = 1µm s 2 Berechnung des normalen vertikalen Schweregradienten: γ h γ h = γ 0 + γ h h ist der vertikale Schweregradient im Normalpotential. γ h Meist genügt: = 0, 3086(1 + 0, cos 2B 0, h) [mgal/m] γ h = 0, 3086 [mgal/m] Berechnung der Krümmung der Lotlinie im Normalpotential: Q h Richtung des tatsächlichen Schwerevektors P h U=U h (1) (2) Q 0 P 0 dh U=U 0 Krümmung: db dh U=U 0. normale Lotlinie B 0 B h Äquatorebene db = B h B 0 = 0, h sin 2B [ ] h in [m] db ist die Differenz zwischen Lotabweichung in Meridianrichtung 1. Art und Lotabweichung 2. Art: ξ (1) = ξ (2) + db = ξ (2) + 0, h sin 2B ξ (1)

35 6 GRUNDBEGRIFFE DER MOLODENSKI-THEORIE 35 6 Grundbegriffe der Molodenski-Theorie Molodenski (1945): REALITÄT MODELL P(,,C p ) W=W p =C p Q(B,L,C p ) U=U Q H orth Geoid N P 0 (B,L) W=W 0 H n N Niveauellipsoid U=U 0 =W 0 C P... Geopotentielle Kote, B Q = B P, L Q = L P, U Q = W P = C P, H n... Normalhöhe. P Q Telluroid H n H orth Geoid Niveauellipsoid P' 0 P 0 N Quasigeoid W=W 0 U=U 0 - ζ... Höhenanomalie bzw. Quasigeoidhöhe, H... Geodätische Höhe, H n... Normalhöhe - H = H orth + N, H = H n + ζ - Telluroid (entsteht durch Abtragen der Normalhöhe von Ellipsoid nach oben) U Σ = W s igma, Gesamtheit der Punkte Q - Normalhöhe: Abstand der Erdoberfläche vom Quasigeoid - g... Schwerevektor im Messpunkt, γ... Normalschwere - g = g γ... Schwereanomalie, speziell: g = g P γ Q - T... Störpotential T P, Q... Punkt mit Potentialwert C P in U