Musterlösung Aufgabe 1:

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1 Klauur Impultechnik I & II Muterlöung Aufgabe :?? Punkte.) Mit Überlagerungatz und den Eigenchaften de idealen, zurückgekoppelten Operationvertärker (u + (t) u (t)): U + () U () U e () R R + R U e() U e() C R + C R + U a () R + C U e () +RC + U RC a() +RC ) U e() U e () +RC + U RC a() +RC RC, U a () +RC U e() +RC U e() RC +RC, H() U a() U e () RC.) Poltelle im Urprung und Nulltelle bei + RC, H 0 : H 0 j 0 RC - Abbildung.: Pol-Nulltellendiagramm.3) Eingangignal:, damit gilt für U a (): u e (t) V"(t) c V U a () V RC V 0; V ec ) u a (t) 0;5V"(t) 5 V ec t"(t)

2 Klauur Impultechnik I & II Die gilt nur olange der Operationvertärker nicht in die Begrenzung einer negativen (invertierender Integrierer) Augangpannung kommt. 0 V 0;5V"(t 0 ) 5 V ec t 0 "(t 0 ) t 0 0 ) t 0 0 V 0;5V 5 Vec ; ec Für Zeiten t > ; ec it der Operationvertärker it nicht mehr gegengekoppelt, da die Augangpannung begrenzt wird. Für dieen Zutand gilt: Al Augangpannung ergibt ich: u > u + ) u a 0 V 8 >< 0;5V"(t) t 5Vec "(t) t» ;ec u a (t) für >: 0 V t>;ec 0,5V ec.,ec. 3 ec. t -0V U (t) a Abbildung.: Sprungantwort.4) Spannung an u : Nach dem Einchalten pringt die Spannung an u auf den Wert u + V (OpAmp ideal!). Danach it die Spannung u wegen der Rückkopplung kontant bi der Operationvertärker in die Begrenzung geht. Ab dieem Moment it der Operationvertärker nicht mehr gegengekoppelt. Die Spannnung de Kondenator beträgt dann U C;0 0;5V ( 0V)0;5V Ein Machenumlauf liefert: U () U e () RI() U e () I() R + + U C;0 + U a () (Einarbeiten der Anfangbedingung) C

3 Klauur Impultechnik I & II , I() R + C 0;5V R V 0;5V + RC 0 V ) U () V R0;5V R ) u (t) 8 >< >: + RC V 0;5V + RC 0;5V 0» t<; ec: für ( V 0;5Ve (t ; ec:)rc )"(t ;ec:) ;ec:<t Der Rechengang it die auführliche Variante, chneller geht mit der Anfangwert-Endwert-Methode t 3 Abbildung.3: Spannung am invertierenden Eingang.5) Nach dem letzten Unterpunkt it die Spannung über dem Kondenator kurz vor dem Umchaltzeitpunkt t 3 ec auf die Spannung U C;0 0 Vaufgeladen. Kurz nach dem Umchalten: u u a + U C;0 0 V u + 0;5V ) u >u + ) O.P. weiter in neg. Begrenzung! Der Kondenator wird alo jetzt über die Eingangpannungquelle entladen, bi die Spannung am Kondenator o klein geworden it, da der Operationvertärker die Begrenzung verläßt (u + u 0;5V): 0 u (t 0 ) V V e t 0; ec 0;5V, t 0 0; ec ln ;5V 0;38 ec V Beim Verlaen de geättigten Bereiche hat der Kondenator die Spannung u C u + u a, jetzt alo u C 0;5V ( 0 V) 9;5V.

4 Klauur Impultechnik I & II Zum Zeitpunkt t 3;38 ec muß jetzt ein neue Gleichungytem aufgetellt werden, da die Anfangpannung de Kondenator beim Verlaen der Augangpannungbegrenzung berückichtigt. Wir etzen die Spannungen am invertierenden und nichtinvertierenden Eingang direkt gleich: ) U e() U e () +RC + U RC a() +RC + U C;00 RC +RC, U a () U e () U C;00 V RC RC 0 V + 5 V ec: ) u a (t 00 ) 0 V"(t 00 )+5V t 00 ec "(t 00 ) ; t 00 t 3;38 ec Beim Abchalten der Eingangpannung, zum Zeitpunkt t 6 ec: t 00 ab (6 3;38) ec ;86 ec ) u a (t 00 t 00 ab ) 0V+5V ;86 4;3 V 9;5V 4,3V U (t) a 0,5V ec.,ec. 3 ec. t 6 ec. 3,38 ec. -0V Abbildung.4: Augangignal.6) Die Linearität it nicht gegeben.

5 Klauur Impultechnik I & II Muterlöung Aufgabe : 5 Punkte.) Geringtmögliche Welligkeit im Durchlaßbereich ) Butterworthfilter..) Ω S! S! g f S f g 7;5 f g f g 7;5 A A(Ω 7;5) 50 db A D A(Ω ) db n log ψ A S 0 0 db A D 0 0 db log(ω S )! log( ; ) log(7;5) ;99003 ) n 3 q R Die Formel für n ergibt ich au 0 log jh(ω)j 0log n R n +Ω n durch Auflöen nach R n. Anchließend Einetzen der Grenzund der Sperrfrequenz mit den zugehörigen Dämpfungen, gleichetzen und nach n auflöen..3) Der noch freie Parameter it hier der normierte Polkreiradiu R (R r! N ): R 0 A D n 0dB 0 0; 6 ;0935.4) Einetzen der auf einem Krei S R e jffi liegenden Poltellen eine Butterworth-Tiefpa liefert 3 Nulltellen im Urprung und 3 Poltellen, die wieder auf einem Krei liegen, dieer hat den Radiu R HP R : H 0 j (3) 0 - R0,94 Abbildung.: Pol-Nulltellendiagramm de Hochpae

6 Klauur Impultechnik I & II ) Tiefpa-Bandperrentranformation auf Poltellen anwenden: H 0 j +j S H 0 (3) j +j S 0 0 -j R,0935 -j (3) Abbildung.: Pol-Nulltellendiagramm der Bandperre. Anmerkung: Die reelle Poltelle de Tiefpae kann ich auch in ein konjugiert komplexe Poltellenpaar der Bandperre aufpalten!.6) f u; g f m f o (6;5 MHz) 8 MHz 5;8 MHz F u 5;8 MHz 6;5 MHz 0;85.7) f B (8 5;8) MHz ;79 MHz Ω B f B f m ;79 6;5 0;483.8) Die reelle Poltelle de Tiefpae liegt bei S;r TP ;0935 damit: v! u S BS Ω B ± S;r TP tψ ΩB S TP ;r 0;9 ± j 0;98.9) Man kommt vom Hochpa auf die Bandperre durch Inverion der Tiefpa-Hochpaabbildung und anchlieende Kakadierung mit der Tiefpa-Bandperrenabbildung: Tiefpa! Hochpa: S TP S HP Tiefpa! Bandperre: S TP Ω B S BS + S BS ) Hochpa! Bandperre: S HP S BS + S BS Ω B

7 Klauur Impultechnik I & II, Muterlöung Aufgabe 3: 8 Punkte 3.) Wenn an den Klemmen ; 0 und 3; 3 0 keine Reflexionen auftreten und an den Klemmen 0; 0 0 von der Leitung au betrachtet keine Reflexion auftritt it die Bedingung erfüllt. Damit: Z L; Z L; 3 50 Ω Z L; Z L; jjz L; 3 75Ω 3.) r r 00 0 ; (50 Ωjj75 Ω) 75 Ω (50 Ωjj75 Ω) + 75 Ω r 00 0 ; 3 r 00 0 ; r 00 0 ; r 0 r wie gefordert 3.3) r ) iehe nächte Seite 3.5) Spannung an den Klemmen 0; 0 0 bi 7 T L : u 0, (t) t/t L Abbildung 3.:

8 Klauur Impultechnik I & II Reflexiondiagramm: T L 0T L T L T L 3 T L 3 T L 3T L - 9 3T L T L 8 4T L 5T L T L T L 08 6T L T L T L T L T L T L 944 9T L 0T L 0T L

9 Klauur Impultechnik I & II Muterlöung Aufgabe 4: 0 Punkte 4.) - T in Emitterchaltung; - T in Emitterchaltung mit Gegenkopplung (durch R E ). 4.) T it beer gegen Drift gechützt, da durch die Gegenkopplung die Störung in ihrer Wirkung herabgeetzt wird. Eine Erhöhung de Emittertrom durch Temperatureinflüe wird durch eine reduzierte Bai-Emitter-Spannung aufgrund de Spannungabfall an R E teilweie kompeniert. 4.3) - R CE!, da Kennlinienchar paralell zu U CE -Ache im normalleitenden Bereich; - R DN 0, da Eingangkenlinie enkrecht; - R DI 0,daSättigungkennlinie enkrecht; - U DN 0;7V, al Knickpunkt au der Eingangkennlinie; -Sättigung: U CE U DN U DI 0;V) U DI U DN 0;V;, U DI 0;5V. 4.4) - B N I C I B 0mA 00 μa 00 im normalleitenden Bereich, ) A N 00 0 ß 0;99. B N Eratzchaltbild: A N Eratzchaltbild: U B ( I B + B N I B )R E (B N +)R E I B U B I 0 er E I 0 e () I B + A N I 0 E, I B ( A N ) I 0 E ) Z U B I B (B N +)R E R E A n ; 0MΩ fl R C 4.5) Wegen Z fl R C kann der Baitrom I B gegenüber I RC vernachläigt werden. Dadurch ind die beide Stufen entkoppelt und die Berechnungen vereinfachen ich.. Bedingung: T mu leiten ) U U DN 0;7V;. Bedingung: T mu leiten ) U B U DN 0;7V; ferner gilt (U B! U C ): B N Eratzchaltbild: U C ß U 0 B N I B R C U 0 B N R C U U DN U 0 + B N R C U DN B N R C U A N Eratzchaltbild: U C ß U 0 A N IeR 0 C I 0 e; () U U DN ( A N ) ) U C ß U 0 A N R C A N (U U DN )

10 Klauur Impultechnik I & II mit U C U B U DN ) U 0 A N R C (U U DN ) U DN A N, A N R C A N R C U U DN U 0 U DN A N A N, U» U DN + U 0 U DN A N A N z } B N R C ;63 V 3. Bedingung: T nicht in Sättigung, U CB; U DI 0;5V; Fall T und T leiten it U B 0;7V(da liegt an R DN 0!) und U B 0;7V(die liegt an R E > 0!). E gilt: U CB U C U B U B U B 0 ) Bai-Kollektor-Diode von T perrt ) keine Sättigung fall T leitet Anmerkung: Man kann e auch wie üblich rechnen, da Ergebni wäre U» U DN + U 0 + U DI U DN vergleiche mit dem Ergebni zu Bedingung! A N A N R C 4. Bedingung: T nicht in Sättigung alo U BC» U DI ;68 V; U BC U B U C U B (U 0 A N I 0 ER C ) U B U 0 + A N R C R E R C; R E U DN (U B U DN )» U DI, U B U C;» U 0 + U DI + A N R +A C; ( 7;3438 V) N R E iehe oben: U C ß U 0 + A N A N R C U DN A N A N R C U, U U DN + A N A N R C 0 U R 0 + U DI + A C N R e R +A C N R E U DN A ;9656 V

11 Klauur Impultechnik I & II Damit ergibt ich ingeamt: ;9656 V» U» ;63 V 4.6) ) H() U a() U ß () U B; A N A N R C I C A N U B; R E U ß R C; U a I C; R R C; + R L + L C z } Stromteiler A N A N R C A N z } Vert.. Stufe A N R C, H() H 0 + fi A N R E A N R C; R L R C; + R L + C R C; R L R E (R C; + R L ) z } Vert..Stufe + C(R C; +R L ) z } Zeitverhalten ; H ß 5;84; fi (R C; + R L )C ec: Die Laplacetranformierte zur angegebenen Eingangpannung exitiert nicht daher: j! H(j!) H 0 j! + fi ) H(j!)j! 0 fi H 0 j 0 fi j 0 fi + fi jh(j!)j e jφ(!) H 0 0 p 0 e ß arctan(0 ß 8;76 e ß arctan(0 ) u a (t) ;576 V in 0 ec: t + ß arctan(0)

12 Klauur Impultechnik I & II Muterlöung Aufgabe 5: 8 Punkte 5.) Übertragungfunktion de zeitkontinuierlichen Filter: H()! 0 ( +! 0 )! 0 + ( +! 0 )! 0 +! 0 +! 0!0 +! 0 5.) Tiefpaß. Ordnung 5.3). Löungweg: Am einfachten können die geuchten Funktionwerte und Steigungen der Sprungantwort de Filter mit Hilfe der Grenzwertätze betimmt werden: lim y "(t) lim H() 0 t!+0! lim y "(t) lim H() t!!0 y 6 ε (t) lim y0 "(t) lim t!+0! H() 0 lim t! y0 "(t) lim H() 0!0 ω 0 - t Der Tiefpaß beitzt eine doppelte, reelle Poltelle. ) aperiodicher Grenzfall (kein Überchwingen). Löungweg: Alternativ kann die Sprungantwort durch Partialbruchzerlegung und Rücktranformation berechnet werden. H()! 0 ( +! 0 ) +! 0! 0 ( +! 0 ) c y " (t) "(t) "(t)e! 0t "(t)! 0 t e! 0t h i "(t) e! 0t ( +! 0 t) 8 < 0 für t 0 : für t!

13 Klauur Impultechnik I & II H()! 0 ( +! 0 ) c y 0 " (t) "(t)! 0 t e! 0t 8 < : 0 für t 0 0 für t! Häufige Fehler in der Klauur: (a) E wurde ähnlich wie bei der. Löung entweder die Stoßantwort de Filter berechnet und dann verucht durch Anwendung de Integrationatze die Sprungantwort zu berechnen, oder e wurde umgekehrt verucht durch Differentiation der Sprungantwort deren Steigung zu betimmen. Sämtliche Fehler hierbei ergaben ich darau, daß vergeen wurde die verallgemeinerte Funktion "(t) mit zu integrieren bzw. nach der Produktregel mit zu differenzieren. (b) Im Script it auf Seite 63 folgende Sprungantwort eine Tiefpae. Ordnung angegeben: h " 8 H < 0 ff + "(t)! : q ff +!» 9 e fft! in (! t) + arctan! ff ; Diee Gleichung kann nur für einen Tiefpaß mit konjugiert komplexem Polpaar verwendet werden. Für eine doppelte, rein reelle Poltelle (hier: ff! 0 und! 0) gilt die Gleichung jedoch nicht. Voricht: Diviion durch Null! 5.4) Nachbildung durch lineare Näherung: ) H z (z) z T ψ (z )! 0! 0 (z )! 0 +! 0! z 5.5) Mit der linearen Näherung wird eine gute Übereintimmung nur bei ehr niedrigen Frequenzen (klein gegenüber der Abtatfrequenz) erreicht. Mit teigender Frequenz wird die Nachbildung de zeitkontinuierlichen Netzwerke immer chlechter. 5.6) Da Netzwerk H z (z) verzögert da Eingangignal lediglich um zwei Takte. H z (z) z fh ";n g 6 ) fh ";n g f" n g n

14 Klauur Impultechnik I & II ) Bilineare Tranformation: K z z + ) H z (z) ψ!! 0 K z +! z+ 0 ψ! 0 (z +) z(k +! 0 ) K +! 0!!0 K +! 0 z + z K! 0 K+! 0 A (Gl. 5.7) 5.8) Damit da Netzwerk einen abchnittweie linearen Phaengang aufweit, müen alle Poltellen im Urprung und alle Nulltellen auf dem Einheitkrei liegen. Die zweite Bedingung it in jedem Fall erfüllt, da die doppelte Nulltelle bei z liegt, unabhängig von der Wahl von K. Damit die Pole im Urprung liegen, mu gelten: K! 0 z + ) H z (z) 4 z Daneben gibt e noch die triviale Löung K 0, um ein Netzwerk mit linearem Phaengang zu erzeugen. Diee Abbildung tellt jedoch keine bilineare Tranformation mehr dar. Vielmehr degeneriert da zeitdikrete Filter zu einem reinen Kontanten-Multiplizier mit der Übertragungfunktion H z (z) H()j 0. Hier wäre die Übertragungfunktion alo H z (z), wa keine innvolle Nachbildung de zeitkontinuierlichen Filter dartellt. 5.9). Löungweg: z + H z (z) 4 z 4 z +z + z h + z + z i 4 Einheitimpulantwort fh ;n g Einheitprungantwort fh ";n g c ρ 4 ffi n + ffi n + ff 4 ffi n ρ 4 " n + " n + ff 4 " n

15 Klauur Impultechnik I & II Löungweg: H z (z) z z 4 4 z + " z + z z 4 # 3z + z(z ) 4 (z +) z(z )» z + 4 z c fh ";n g ρ 4 ffi n ff 4 ffi n + " n ρ 4 ffi n + 3 ff 4 ffi n + " n fh ";n g n 5.0) Berechnung von! : K tan!! T! 0 (Gl. 5.0),!! ß tan! 0! 0 4,!! 0 5.) Die Taktfrequenz de zeitdikreten Filter muß geändert werden. Die Kontante K darf nicht verändert werden, weil ont die Poltellen außerhalb de Urprung lägen und da Netzwerk nicht mehr den geforderten abchnittweie linearen Phaengang hätte. Häufiger Fehler in der Klauur: E wurde angenommen, daß die Taktfrequenz halbiert werden muß, wenn die Frequenz! halb o groß ein oll wie vorher. Der Zuammenhang zwichen! und! T it jedoch nichtlinear. Die neue Taktfrequenz kann au Gleichung (Gl. 5.0) berechnet werden: K tan!! T ) tan!0 T 4!! 0 mit!! 0, f T T! 0 4 arctan() ß 0; 54! 0 bzw.! T! 0 ß arctan() ß 3; 39! 0 Zum Vergleich, vorher galt: f T! 0 ß ß 0; 64! 0 bzw.! T 4! 0

16 Klauur Impultechnik I & II ) Die Kontante K kann nicht o dimenioniert werden, daß man die gewünchte Einheitprungantwort fg n g erhält.. Löungweg: Man berechnet die Übertragungfunktion H z (z), die da Netzwerk haben müßte, um die gewünchte Sprungantwort fg n g zu erhalten. fg n g ρ ffi n + " n ff c G z (z) z + z (z ) z z + z(z ) ) H z (z) G z (z) z z z + z E muß dann geprüft werden, ob die Übertragungfunktion H z (z) durch geeignete Wahl der Kontanten K realiiert werden kann. Der Vergleich mit Gleichung (Gl. 5.7) zeigt, daß die nicht möglich it, da H z (z) eine doppelte Nulltelle bei z 0 beitzt, unabhängig von K. Die Übertragungfunktion dürfte jedoch nur eine einfache Nulltelle bei z 0 haben.. Löungweg: Au der Übertragungfunktion H z (z) (Gl. 5.7) wird der erte Wert der Einheitprungantwort berechnet und mit dem der zu realiierenden Folge fg n g verglichen. H z (z)!0 K +! 0 z + z K! 0 K+! 0 A Einheitprungantwort: fh ";n g!0 K +! 0» + 4K z + ::: K +! 0 ( )! 0 (K +! 0 ) " n + 4K! 0 (K +! 0 ) " 3 n + ::: 8 9 <! 0! (5K 0 +! 0) :(K +! 0 ) ; (K +! 0 ) 3 ; ; :::! ρ 0 ; ff ; ; ::: fg n g Koeffizientenvergleich: Der erte Wert h ";0 der Sprungantwort verchwindet nur im Grenzfall K!. Dann it jedoch die Übertragungfunktion H z (z) 0.

17 Klauur Impultechnik I & II Muterlöung Aufgabe 6: 6 Punkte 6.) au Skizze: lange, dünne Leitungen ) tarke Kopplung: ffl Kapazitiv wg. Parallelführung ) Abtand der Rechner verringern, Leitungen kürzen, geerdete (Einzel-)Abchirmung ffl Induktiv wg. (großer) Leiterchleife ) Abtand der Rechner verringern, Leitungen kürzen, Leitungen verdrillen ffl reitiv / galvanich wg. hohem Widertand (inbeondere chlechte Maeverbindung) ) Leitungquerchnitt erhöhen, differentielle Übertragung nicht abgechirmt: törempfindlich ) abchirmen, Schirmung erden (Bei hohen Übertragungraten muß terminiert werden, um Reflexionen zu vermeiden.) 6.) Geänderte Schaltung: ffl Vorteil: törunempfindlich wg. Schirmung, verdrillten Leitungen & differentieller Übertragung (doppelter Spannunghub, Gleichtakttörungen werden unterdrückt) ffl Nachteile: größerer Schaltungaufwand (Koten) Durchlaufzeit de Inverter würde (bei anonten idealen Bauteilen) bei jedem Pegelwechel den Störabtand auf Null reduzieren ) Komparator mit Hyteree benötigt 6.3) Eratzchaltbild: Eratz für die Leitung R u (t)? t p c R C C C C C 6 ud H HH HH Φ Φ ΦΦ c c? u a (t)

18 Klauur Impultechnik I & II ) Für die Betrachtung de Differenzignal können die Streukapazitäten und Längwidertände zuammengefaßt werden: u (t) (5 V u (t t p ))? R C c 6 c u d (t) 6.5) Da Signal U + it gegenüber dem Signal U um t p zeitverzögert. D.h. die Differenzpannung entteht au der Überlagerung von zwei (gegeneinander verchobenen) Exponentialfunktionen. u e (t)v; u inv (t)v Abbildung 6.: - tn 6.6) Die Zeitkontante der Eratzchaltung beträgt fi 4RC 4n. Nach 0 n 5fi it der Endwert nahezu erreicht: t 4 6 Anmerkung: Man kann in Unterpunkt 6.6.) lediglich die Anteile von u + und u betimmen, die durch da Differenzignal hervorgerufen werden. Die Geamtpannungen u + und u haben ein andere Auehen, da unter anderem die Zeitkontante für die Gleichtaktauteuerung ander it.