Allgemein. nichtlineare, zeit-(in)variante Systeme weakly-nonlinear time-(in)variant systems

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1 1 Allgemein Systeme (device under test, DUT): Elektro-akustische Systeme Abhör- oder Darbietungssräume Leicht Ziele: nichtlineare, zeit-(in)variante Systeme weakly-nonlinear time-(in)variant systems Erfassung System beschreibender Parameter Hohe Genauigkeit der Messung Kurze Messzeit, Hohe Reproduzierbarkeit Hoher Signalrauschabstand (signal-to-noise ratio, SNR)

2 2 Direkte Messung Direkte Messung der Amplitude und Phase: Vanderkooy (1986) Einfache Messsysteme (stepped-sine method) Hohe Energieübertragung Messung nur im stationären Zustand: Sehr lange Dauer bei hoher Frequenzauflösung

3 3 Signal: Impuls: Direkte Impulsmessung Impulsantwort Sehr direkt verfügbar wenig Energie im Signal Sehr hoher Crest-Faktor: Sehr niedrige SNR C= A A EFF =T IR Abhilfe: Wiederholung und Mittelung Müller & Massarani (2001) Periodic Impulse Response (PIR) Periodic Impulse Excitation (PIE) Verdoppelung der Wiederholungen: +3dB SNR

4 4 1-Kanal-FFT Signal: Weißes Rauschen: Amplitudenspektrum: bei f = 0 Hz: 0, sonst: 1 Phasenspektrum: zufällig (gleich verteilt) Im Zeitbereich: zufällig, Gauß'sche Verteilung Crest-Faktor: 1-Kanal-FFT: Nur Amplitudengang erfassbar 2-Kanal-FFT: C= ^A A EFF Gesamte Identifikation Crest-Faktor Wahrscheinlichkeit 1 32,00% 2 4,80% 3 0,37% 3,3 0,10% 3,9 0,01% 4 63 ppm 4,4 10 ppm 4,9 1 ppm 6 2 ppb

5 5 2-Kanal-FFT Erfassung der Amplitude und der Phase H f = Y f X f Müller & Massarani (2001)

6 6 algorithmen in aku stik und compute rmusik Pseudo-Zufallsfolgen Weißes Rauschen: völlig dekorreliert: r xx [n]= [n] Aus der Systemtheorie: r xy [n]= h r xx [n] Mit einem dekorrelierten Signal: r xy [n]=h[n] Ersatz für weißes Rauschen: dekorrelierte Signale Gesucht: Dekorreliertes Signal Deterministisch Niedriger Crest-Faktor binäre Pseudo-Zufallsfolgen

7 7 Golay Codes Zwei binäre Pseudo-Zufallsfolgen: a 1 =[1,1] Zirkuläre Autokorrelation: L... Länge der Folge, b 1 =[1, 1] a n 1 =[a n, b n ] b n 1 =[a n, b n ] a 2 =[1,1,1, 1] b 2 =[1,1, 1,1 ] r xx [n]=r aa [n] r bb [n]=2l [n] L=2 N Zirkuläre Kreuzkorrelation: F {y a [n]} F {a[n]}h F * {a[n]} F {b[n]} H F * {b[n]}=2l H F {y b [n]} r aa [n] r bb [n] r xx [n] Zahorik (2000)

8 8 algorithmen in aku stik und compute rmusik Golay Codes Messprozedur: Anregung mit Folge a: k Wiederholungen (k>1) Aufnahme und Mittelung über die Wiederholungen 2 bis k Eine Periode abwarten Anregung mit Folge b: k Wiederholungen (k>1) Aufnahme und Mittelung über die Wiederholungen 2 bis k Kreuzkorrelation der Antworten mit der Anregungen Summation der Kreuzkorrelationen: Impulsantwort

9 9 Golay Codes Signal-to-noise ratio (SNR): Energie einzelnen Pulses: 1 Energie der Golay Codes: 2L Erhöhung der SNR in db: Wiederholung der Anregung: Mit jeder Verdoppelung steigt SNR um +3dB Länge der Codes: Mindestens gleich lang wie die zu erwartete IR Sonst time-aliasing in der IR 10log 2L

10 10 Maximum Length Sequence (MLS) Probleme der Golay-Codes: Zwei Messungen notwendig Probleme MLS: bei zeitvarianten Systemen Eine binäre Pseudo-Zufallsfolge Autokorrelation: r xx [n]= [n] 1 L 1 Einheitsimpuls Mit einem kleinen Offset Dunn & Hawksford (1993)

11 11 MLS Generierung: Schieberegister Z -1 2 Z -1 1 Z -1 0 x(n) Rückkopplung über EX-OR Länge der Sequenz: Insgesamt 2N Zustände Zustand 0 nicht zielführend Nicht geeignet für Radix-2-FFT-Algorithmus L=2 N 1 EXOR Ordnung N Abzapfung bei bit

12 12 MLS Berechnung der Impulsantwort: r xx [n]= [n] 1 L 1 r xy [n]=h[n] 1 L 1 n=0 N 1 r xy [n]=h[n] 1 L n=0 N 1 h[n] h[n] Mittelwert von h[n] = DC 1 1 L 1 = 1 L 1 L L 1 N 1 L L 1 n=0 r xy [n]=h[n] DC [1 1 L 1 ] r xy [n]= h r xx [n] h[n] 1 L 1 DC

13 13 MLS Berechnung der Kreuzkorrelation: Direkte Methode: Im Frequenzbereich: Fourier-Transformation Radix-2-FFT nicht möglich r xy [n]= 1 L 1 L 1 i=0 Andere FFT-Algorithmen möglich durch Faktorisierung der Länge (FFTW library) Darstellung in Matrizenform: Aus x[n] wird eine rechts-zirkuläre Matrix X Aus y[n] und r xy [n] werden Matrizen Y und R XY x[ i n mod L] y[i] R XY = 1 L 1 X Y Fast Hadamard Transformation: R HY =H 2 n Y

14 14 Fast Hadamard Transformation (FHT) Algorithmus ähnlich der DFT Butterfly, aber kein Bit-reversal Nur Additionen/Subtraktionen L log 2 L Operationen Hadamard-Matrix: R HY =H 2 n Y H 8 H 1 =[1] H 2 =[ ] H 2 n 1=[ H 2 n H 2 n H n] 2 n H =H n H 2 2 n 2 H 32

15 15 MLS Problem: MLS ergibt keine Hadamard-Matrix Lösung: Umformung der MLS-Matrix: X 2 n 1 =P 2 S 2 H 2 n S 1 P 1 P 1, P 2 S 1, S 2... Permutationsmatrizen... Begrenzungsmatrizen (supress) S 2 =[ ] 0 0 S 1 =[0 1] P 1 =[1 0] Borish & Angell (1983) R XY = 1 L 1 P 2 S 2{H 2 n[s 1 P 1 Y ]} r xy [n] h[n]

16 16 MLS Länge der MLS: Mindestens gleich lang wie die zu erwartete IR SNR: 10log L 1 höher als PIE Gleich wie bei Golay-Codes gleicher Länge Nur eine Folge: Mittelung der IR bei zeitvarianten Systemen Weitere Erhöhung der SNR: Verdoppelung der Länge: +3dB

17 17 Einfluss der Verzerrungen auf MLS MLS-Signal: LP-Filter, f=1khz Dunn & Hawksford (1993) IR des Filters nach Korrelation: Mit Verzerrung: Dunn & Hawksford (1993) d {x f [n]}= 10dB x[n] 3 Dunn & Hawksford (1993) Dunn & Hawksford (1993)

18 18 Einfluss der Verzerrungen auf MLS Fehlersignal e[n]=h d [n] h[n] h d [n]=r x f y[n] r dy [n] h d [n]=r xy [n]=r x f d y [n] e[n]=r xd [n] Fehler: Energieverteilung: x[n] 2 x[n] 5 Dunn & Hawksford (1993) Dunn & Hawksford (1993)

19 19 Einfluss der Verzerrungen auf MLS MLS-Länge verlängern (statt mehrfache Mittelung) Immunität gegenüber Verzerrungen: Immunität gegenüber Rauschen: I n = A Je nach System optimale Amplitude! I d = r 1 A L= 6dB L=0dB L= 6dB Verzerrungen OK! Rauschen Dunn & Hawksford (1993)

20 20 Inverse Repeated Sequence (IRS) Dämpfung gerader Verzerrungen: IRS: x[n L]= x[n] x [n]={ m[n], m[n], m[n]... MLS n gerade,0 n 2L n ungerade,0 n 2L 2L 1 r xy = 1 2 L 1 x[n] x[n k ] k =0 ={ r my[n], n gerade r my [n], n ungerade = [n] 1 n L 1 [n L] 0 n 2L Dunn & Hawksford (1993) Dunn & Hawksford (1993)

21 21 PIE, MLS, IRS Immunität gegenüber Verzerrungen: Filter: LP f = 1kHz Distortion :-20dB Länge: 2047 samples Dunn & Hawksford (1993) Auf distortion immunity normalisierte SNR: Dunn & Hawksford (1993)

22 22 Sweeps Probleme von MLS und IRS: Empfindlichkeit auf nichtlineare Verzerrungen Gesucht: Messung des linearen Teils Alle Harmonischen getrennt erfassbar Lösung: Sweeps: x t =sin [ f t ] linearer Sweep: f t = At exponentieller Sweep: f t = A e t / 1

23 23 linearer Sweep Sweeps Farina (2000) System: leicht nichtlinear x Konstanter Abstand zu den Harmonischen! Frequency Time

24 24 Time-Delay-Spectrometry Signal: Linearer Sweep x t =cos t x y Vanderkooy (1986) y R Antwort: y (t )= H (ω) cos [ωt+φ (ω)] y (t )= H (ω ) {cos (ωt)cos [ φ (ω ) ] sin (ω t )sin [ φ (ω ) ]} Demodulation + Tiefpassfilter: y I y R (t )= y (t )cos (ωt ) y I (t )= y (t ) [ sin (ωt )] y R (t )= H (ω ) { 1 2 cos [φ (ω ) ] [1+cos (2ωt) ] 1 2 sin (2ωt)sin [φ (ω ) ]} y R (t)= 1 2 H (ω) cos [φ(ω)] y I (t )= 1 2 H (ω) sin [φ(ω)]

25 25 Time-Delay-Spectrometry Frequenz des Generators = Frequenz des Demodulators Lösung: Anregung verzögern Sonst: Vorteil: Artefakte nach LP-Filterung Automatische Trennung zwischen Lautsprecher und Raum x y Vanderkooy (1986) Verzerrungen Harmonische (nach Filterung weg) y R y I Raumimpulsantwort: Lange Messzeit Tiefe und hohe Frequenzen getrennt messen

26 26 Time-Delay-Spectrometry Artefakte bei tiefen Frequenzen 1-pass Lösung: TDS mit 2 Durchläufen (2-pass TDS) Vanderkooy (1986) 2-pass Vanderkooy (1986) Vanderkooy (1986)

27 27 Sweep: Randbedingungen: Lösungen: Exponentielle Sweeps x t =sin [ A e t / 1 ] [ A (e t / τ 1)] [ A (e t / τ 1)] =ω t 1 =ω t=0 t 2 t=t A= T 1 ln 2 / 1 = Abstand zur N-ten Harmonischen: T ln 2 / 1

28 28 Exponentielle Sweeps Y = X H H =Y X 1 X

29 29 Exponentielle Sweeps Y = X H H =Y X 1 X

30 30 Exponentielle Sweeps Y = X H H =Y X 1 X

31 31 Exponentielle Sweeps Y (ω)= X (ω) H (ω) H =Y X 1 x 10 4 X x 10 4 X Frequency 1 Frequency Time Time

32 32 Exponentielle Sweeps Impulsantwort: Time in ms mit: H (ω)=y (ω) X 1 (ω) X 1 (ω)= F {x( t)} X (ω) 2 Amplitude in db τ 5 = τ K τ 2 L 2 L 1-80 oder: k X 1 (ω)=f {g (t) x( t)} g (t): Abfall von 6 db/oct/s

33 33 Exponentielle Sweeps Abstand zur N-ten Harmonischen: Δ τ i = T ln(i) ln (ω 2 /ω 1 ) i=1,2, Time in ms 0-10 ΔƬ=konst Amplitude in db τ 5 = τ K τ 2 ΔƬ=konst L 2 L 1-80 exponentieller Sweep Farina (2000) k

34 34 Impulsantwort: Gleichzeitige Messung von IR und Klirrfaktor (THD) Amplitudenspektrum einzelner IR-Teile: Farina (2000) THD-Messung: (1kHz)

35 35 Exponentielle Sweeps SNR: Frequenzabhängig Durchschnittlich um 1.5 db niedriger als MLS gleicher Länge Probleme: Transiente Störungen Zeitvariante Systeme Bandbegrenzte Impulsantwort

36 36 algorithmen in aku stik und compute rmusik Vergleich Direkte Impulsantwortmessung (PIE) MLS, IRS, Golay Codes: Höchstmögliche SNR Empfindlich gegenüber nichtlinearer Verzerrungen Sweeps: Linear: TDS (Verzögerung, Frequenzbereich, Messdauer) Exponentiell: Hohe SNR möglich Robust gegenüber nichtlinearer Verzerrungen Empfindlichkeit: transiente Störungen, Zeitvarianz Bandbegrenzt: schlechte zeitliche Auflösung

37 37 Weiterführende Literatur Vanderkooy, J. (1986). Another Approach to Time-Delay- Spectrometry, J. Audio Eng. Soc., 34(7/8): Zhou, B., Green, D.M. (1992). Characterization of external ear impulse responses using Golay codes, J. Acoust. Soc. Am. 92(2 Pt 1): Zahorik, P. (2000). Limitations in using Golay codes for head-related transfer function measurement, J. Acoust. Soc. Am. 107(3): Dunn, C., Hawksford, M.O. (1993). Distortion Immunity of MLS- Derived Impulse Response Measurements, J. Audio Eng. Soc., 41(5): Borish, J., Angell, J.B. (1983). An Efficient Algorithm for Measuring the Impulse Response Using Pseudorandom Noise, J. Audio Eng. Soc. 31(7): Terras, A. (1999). Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, Cambridge U. Press, Cambridge, U.K.

38 38 Weiterführende Literatur Farina, A. (2000). Simultaneous Measurement of Impulse Response and Distortion with a Swept-Sine Technique, Presented at the 108 th Convention, 2000 February 19-22, Paris, France Stan, G-B., Embrechts, J-J., Archambeau, D. (2002). Comparison of Different Impulse Response Measurement Techniques, J. Audio Eng. Soc., 50(4) Müller, S., Massarani, P. (2001). Transfer function measurement with sweeps, J. Audio Eng. Soc. 49(6): Majdak, P., Balazs, P., Laback, B. (2007). Multiple Exponential Sweep Method for Fast Measurement of Head-Related Transfer Functions, J. Audio Eng. Soc. 55(7/8):