Computer Graphik I Abtas3heorie
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- Frida Dresdner
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1 Computer Graphik I Abtas3heorie 1
2 Mo5va5on Wie verkleinert man dieses Bild? 2
3 Mo5va5on En9ernen jeder zweiten Zeile und Spalte Nächste- Nachbar- Methode 1/8 1/4 3
4 Mo5va5on 1/2 1/4 (2x zoom) 1/8 (4x zoom) 4
5 Synthe5sches Beispiel 5
6 Videobeispiel Vorwärts drehendes Rad wird alle 40ms aufgenommen Ohne Hilfspunkt scheint es sich langsam rückwärts zu drehen 6
7 Abtas?ehler - Alias Durch Abtas9ehler treten Aliasing- Effekte auf Im Bild wurde in jedem Pixel (x',y') ein schwarzes oder weißes Quadrat gezeichnet In dem mit einem Kreis bezeichneten Gebiet wird in jedem Pixel zufällig ein weißes Feld getroffen 7
8 Abtas?ehler - Alias Wenn die die Abtastpunkte auf dem Bild nicht dicht genug sind entstehen Fehler Warum ist das so wich^g für CG? Unsere Bilder sind diskret (Monitor, Drucker, Kamera, etc.) z.b. resampling bei der Texturabbildung Um Abtastung und die möglichen Fehler zu verstehen, brauchen wir die Fourier- Theorie 8
9 Jean Bap5ste Fourier ( ) Fouriers Idee (1807): Jede periodische Funk^on ist eine Linearkombina^on von Sinus- und Kosinusfunk^onen Damals eine Überraschung Lagrange, Laplace, Poisson glaubten nicht an Fouriers Ideen Erst 1878 in andere Sprachen übersetzt 9
10 Elementare Abtas3heorie Fouriertheorie Fourier- Reihe Fourier- Integral Fourier- Transforma^on 10
11 Fourier- Reihe Jede periodische Funk^on ist als Summe von Sinus- und Kosinusfunk^onen darzustellen Voraussetzungen (Dirichlet Bedingungen): Die Anzahl der Unste^gkeiten innerhalb einer Periode ist endlich Die Anzahl der Maxima und Minima innerhalb einer Periode ist endlich Die Funk^on ist in jeder Periode integrierbar (d.h., die Fläche unter dem Betrag der Funk^on ist in jeder Periode endlich) 11
12 Fourier- Reihe Ist f(x) eine periodische Funk^on mit der Periodenlänge 2π, die die Bedingungen 1-3 erfüllt, so gilt f ( x) = n= 1 a0 + ( an cos( nx) + bn sin( nx)) Mit cos(0)=1 und sin(0)=0 vereinfacht sich diese Gleichung zu: f(x) = n=0 (a n cos(n x) + b n sin(n x)) 12
13 Fourier- Reihe Berechung der Koeffizienten a i und b i Sei H der Raum aller periodischen reellen Funk^on mit der Periodenlänge 2π, die die Bedingungen 1-3 erfüllen Dann wird durch f, g = ein Skalarprodukt auf H definiert Die Funk^onen u v ( t) ( t) π π sin( nt) bilden orthogonale Funk^onenfolgen in H n n = cos( nt) = f (t)g(t)dt 13
14 Fourier- Reihe Berechung der Koeffizienten a i und b i Es gilt u n,u m π $ 0 & = cos(nt)cos(mt)dt = % 2π π & ' π v n,v m 0 π $ & = sin(nt)sin(mt)dt = % 0 π & ' π π u n,v m = cos(nt)sin(mt)dt = 0 π m n m = n = 0 m = n > 0 m n m = n = 0 m = n > 0 14
15 Fourier- Reihe Berechung der Koeffizienten a i und b i Damit erhalten wir f,u 0 = a n u n + b n v n,u 0 = a 0 u 0,u 0 = a 0 2π n=0 und daraus a 0 = 1 2 π f,u 0 = 1 2 π π f (x)cos(0x)dx = 1 2 π π π π f (x)dx 15
16 Fourier- Reihe Berechung der Koeffizienten a i und b i Analog berechnen wir für m > 0 f,u m = a n u n + b n v n,u 0 = a m u m,u m = a m π n=0 und daraus a m = 1 π f,u m = 1 π π π f (x)cos(mx)dx 16
17 Fourier- Reihe Berechung der Koeffizienten a i und b i Analoge Rechnungen gelten für v m, m = 0,1,2, und daraus f,v m = a n u n + b n v n,u 0 = b m v m,v m = b m π n=0 b m = 1 π f,v m = 1 π π π f (x)sin(mx)dx 17
18 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck Bes^mmung der Fourier- Koeffizienten einer periodischen Rechteckfunk^on. f $ k wenn π < x < 0 ( x) = # und f ( x) = f x + " k wenn 0 < x < π ( 2π ) 18
19 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck a = 0 0 a n = 1 π = 1 π = 1 π π π $ & %& $ & % & ( ) f x cos(nx)dx 0 π ' ( k)cos(nx)dx + k cos(nx)dx) π 0 () 0 sin(nx) k + k sin(nx) π ' ) n n π 0 ( ) = 0 trivial weil für x=..., -π, 0, π,... stets gilt: sin nx = 0 19
20 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck b n = 1 π = 1 π b n = k nπ = 2k nπ π π $ & & %& ( ) f x cos( nx) k n sin( nx)dx = 1 π 0 π k $ & %& 0 π cos( nx) n ( k) sin nx ( cos0 cos( nπ) cos( nπ) + cos 0) ( 1 cos ( nπ) ) = 4k nπ π 0 ' ) ) () π ' ( )dx + ksin( nx)dx) 0 () Für n ungerade 20
21 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck Damit wird f ( x) = 4k π " sin x sin 3x + 1 % sin 5x + # $ 5 & ' 21
22 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck f 4k π ( x) = sin x 22
23 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck 4k 1 f $ 3 π % 3 & # ( x) = sinx + sin x! " 23
24 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck 4k 1 1 f $ 5 π % 3 5 & # ( x) = sinx + sin3x + sin x! " 24
25 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck 4k & f ( x) = $ sinx + sin3x + sin5x + sin7x π % #! " 25
26 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck 4k 1 1 f $ 25 π % 3 25 & # ( x) = sinx + sin3x + L + sin x! " 26
27 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck Alterna^ve Darstellung (Skalierung in x- Richtung mit 1/2π ) liefert Darstellung mit der Wellenzahl u und der Kreisfrequenz ω=2πu f ( x) = 4k π " $ # sin( x( 2π*1) ) Ortsraumdarstellung sin( x( 2π*3) ) ( ) + sin x( 2π*5) % ' & 27
28 Fourier- Reihe Beispiel: Rechteck f ( x) = 4k π " # $ sin( x( 2π *1)) Frequenzraumdarstellung sin( x( 2π * 3) ) ( ) + sin x( 2π *5) % & ' 28
29 Die Fourier- Reihe Exponen5alschreibweise Euler- Iden^tät e i α = cosα + i sinα; i = 1 cosα = e iα + e 2 iα sinα = i e iα e 2 iα 29
30 Die Fourier- Reihe Exponen5alschreibweise f (x) = n=0 $ e inx + e inx = & a n n=0% 2 $ ( a n ib ) n = & n=0% 2 n= = c n e inx (a n cos(n x) + b n sin(n x)) ib n e inx e inx 2 e inx + ( a + ib ) n n e inx 2 ' ) ( ' ) ( 30
31 Das Fourier- Integral Nichtperiodische Funk^onen Zunächst betrachten wir anstar Funk^onen mit Periode 2π, Funk^onen mit Periode 2L f L (x) = = n= n= Nun betrachten wir den Übergang c n e in2π 2L x % ' & 1 2L L L L ( f (x)e inπ L x dx ) 2π * ein 2L x 31
32 Das Fourier- Integral lim L f L (x) = lim L = lim L = lim L n= n= L L % L 1 ( f (t)e inπ L t ' dt & 2L L ) % L 1 ( f (t)e inπ L (t x) ' dt & 2L * L ) % n 1 2L f 2π (t x) ( (t)e i 2L ' * dt n= & ) R iemann Summe = f (t) e iu2π (t x) dudt 2π * ein 2L x 32
33 Das Fourier- Integral Diese Gleichung lässt sich als Superposi^on auffassen f (x) = f (t) e iu2π (t x) dudt mit f (x) = F(u)e 2π iux du F(u) = f (t)e 2π iut dt 33
34 Die Fourier- Transforma5on Fouriertransforma^on f inverse Fouriertransforma^on F ( x) F( u) ( u) f ( x) ( ) = f ( x) F u f x ( ) = F u e i2πux dx ( )e +i2πux du 34
35 Die Fourier- Transforma5on Os ist f(x) reell, F(u) ist komplex: ( ) = Re F ( u) F u ( ) ( ) + iim( F u ) 35
36 Die Fourier- Transforma5on Defini5onen Fourierspektrum von f(x) Energiespektrum von f(x) Phasenspektrum ( ) = Re F ( u) F u ( ) 2 = Re F ( u) F u Φ u ( ) ( ) 2 + Im( F u ) 2 ( ) ( ) 2 + Im( F u ) 2 ( ) = arctan Im F ( u ) Re F ( u) ( ) ( ) 36
37 Fourier- Integral Beispiel: Rechteckimpuls F(u) = 1 f (t)e 2πiut dt = e 2πiut dt = 1 = 1 πu ( i) e 2πiu e 2πiu 2 1 = 2 sin(2πu) 2πu $ % 2πiu e 2πiut 1 & ' 1 37
38 Fourier- Integral Beispiel: Rechteckimpuls f (x) = 2 sin(2πu) 2πu e 2πiux du 1..du 1 2..du 2 4..du 4 8..du 8 38
39 Fourier- Integral Beispiel: Rechteckimpuls Ortsdarstellung Frequenzdarstellung 39
40 Die Fourier- Transforma5on Graphische Konstruk^on der Fouriertransformierten der Rechteckfunk^on F u 1 1 ( ) = e i2πux dx 40
41 Basisfunk5onen in 2D 41
42 2D Fourier- Transforma5on Spektrum 42
43 2D Fourier- Transforma5on Spektrum 43
44 Inverse 2D Fourier- Transforma5on Veränderte Spektren 44
45 Inverse 2D Fourier- Transforma5on Veränderte Spektren - Hohe und 5efe Frequenzen 45
46 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 46
47 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 47
48 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 48
49 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 49
50 Faltung Faltung im 1D ist definiert durch g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα 50
51 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα 51
52 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 52
53 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 53
54 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 54
55 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 55
56 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 56
57 Faltung Rechteckfunk5on g(x) h(x) = g(x α)h(α)dα g(x) h(x) 57
58 Faltungssatz Für die Fouriertransformierte von g und h gilt F(g(x) h(x)) = g(x α)h(α)dα e i2πux dx 58
59 Faltungssatz Wir subs^tuieren und erhalten = = s = x - α g( x g( s) h( α) e g( s) e α) h( α) e i2πus ds = F( g( x)) F( h( x)) i2πux i2πu( s+ α ) h( α) e dxdα dsdα i2πuα dα 59
60 Faltungssatz Also: In Worten: Faltung im Ortsraum entspricht Produkt im Frequenzraum Produkt im Ortsraum entspricht Faltung im Frequenzraum 60
61 Die Fourier- Transforma5on Delta- Distribu5on f soll abgetastet werden Ste^g, ste^ge Ableitungen Verschwindet ausserhalb eines endlichen Intervals Abgetastet wird durch Innenprodukte mit unendlich schmalen Impulsen δ Deltafunk^on ist strengenommen eine Distribu^on Gerechnet wird über Grenzwert einer Funk^onenfolge δ(x) = 0,x 0 δ(x)dx =1 δ(x x 0 )f (x) = f (x 0 ) 61
62 Die Fourier- Transforma5on Delta- Distribu5on Delta- Distribu^on als Grenzwert einer Funk^onenfolge " $ g n (x) := n, x 1 # 2n %$ 0, sonst Dann gilt für jede Tes9unk^on f lim n g n (x x 0 )f(x) = f(x 0 ) 62
63 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 63
64 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 64
65 Die Fourier- Transforma5on Transforma5onspaare Ortsraum Frequenzraum 65
66 Signalabtastung Ist f(x) an der Stelle x=x 0 ste^g, so läßt sich der Abtastwert von f(x) an der Stelle x 0 ausdrücken als ˆf (x) = f (x)δ(x - x 0 ) = f (x 0 )δ(x - x 0 ), Die Deltafunk^on, die an der Stelle x 0 ausrir, besitzt ein Gewicht, das gleich dem Funk^onswert von f an der Stelle x 0 ist. 66
67 Signalabtastung Sei f(x) an den Stellen x=nδx mit n=+/- 1,+/- 2,, ste^g Die Funk^on ˆf (x) = n= f (nδx)δ (x - nδx) wird als Abtastsignal bezeichnet Δx ist die Abtastperiode bezeichnet Das Abstastsignal besteht aus einer Überlagerung unendlich vieler äquidistanter Deltadistribu^onen, deren Gewichte den Funk^onswerten von f(x) an den diskreten Abtastwerten entsprechen 67
68 Abtas3heorie Unter welchen Bedingungen läßt sich eine kon^nuierliche Funk^on aus äqudistanten Abtastwerten exakt rekonstruieren? Betrachte die Fourier- Transformierte des Abtastsignals ˆf (x) = n= Nach dem Faltungssatz gilt f (nδx)δ (x - nδx) ˆF(u) = F(u) * 1 Δx δ(x - n Δx ) n= 68
69 Abtas3heorie Anschauung ˆF(u) ˆf (x) Die Fouriertransformierte von besteht aus skalierten Kopien von F(u) im Abstand 1 Δx 69
70 Abtas3heorie Sei die Funk^on f(x) bandbegrenzt durch eine Grenzfrequenz u G, d.h. F(u)=0 für u >u G 70
71 Abtas3heorie Annahme: u G < 1 2Δx Die Kopien der Fouriertransformierten F(u) überlappen sich nicht Die Spektren F(u) und ˆF(u) s^mmen auf dem Intervall "# u G,u G $ % bis auf den Skalierungsfaktor überein 1 Δx Das Frequenzspektrum von F(u) kann vollständig aus dem Abtastsignal und damit den Abtastwerten berechnet werden 71
72 Abtas3heorie Annahme: u G 1 2Δx Die Kopien der Fouriertransformierten F(u) überlappen sich In den Überschneidungsbereichen bilden sich Summen Es ist unmöglich, F(u) aus den Abtastwerten wiederzugewinnen 72
73 Abtas3heorie Nyquist- Frequenz Die Überlappung der Spektren von F(u) wird als Aliasing bezeichnet Frequenzen der Fouriertransformierten F(u) außerhalb des Intervalls # 1, 1 & $% Δx Δx'( werden durch den Abtastprozess fälschlicherweise in das Intervall übersetzt (aliased) Die maximal erlaubte Grenzfrequenz u G = 1 2Δx, unterhalb der kein Aliasing ausrir heißt Nyquist- Frequenz. # 1, 1 & $% Δx Δx'( 73
74 Abtas3heorie Rekonstruk5on Rekonstruk^on von f aus den Abtastwerten Zunächst wird das Ortsfrequenzspektrum von aus berechnet Dazu mul^pliziert man ˆF(u) mit einer Rechteckfunk^on Die inverse Fouriertransformierte von ist f F(u) ˆF(u) '& F(u) = ˆF(u)R(u) $ & R(u) = Δx, u [ u,u ] G G % 0, sonst 74
75 Abtas3heorie Abtas3heorem von Whi3aker- Shannon Exis^ert für eine Funk^on f(x) eine endliche Grenzfrequenz u G, so dass das Spektrum F(u)=0 für u >u G, dann ist die abgetastete Funk^on f(x) aus den Abtastwerten f(mδx) fehlerfrei rekonstruierbar, sofern die Abtas9requenz Δx - 1 mindest doppelt so hoch wie u G ist: 1 Δx > 2u G 75
76 Abtas3heorie An5aliasing Das Abtasrheorem liefert eine Anleitung zur Besei^gung des Aliasing (An^- Anliasing) Bei vorgegebener Abtastrate (Bildschirmauflösung) muss das darzustellende Signal f(x) mit einem Tiefpassfilter bandbegrenzt werden Dabei gehen Details verloren, aber genau diese Details sind für Aliasingeffekte verantwortlich 76
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