Abitur Mathematik: Nordrhein-Westfalen 2013 Aufgabe 2 a) (1) STARTPUNKT BERECHNEN Der x Wert des Startpunktes ist mit 8 gegeben. Der zugehörige y Wert ist 8 1 50 8 3 106 8 4,24. 4 25 Der Startpunkt liegt in 4,24 m Höhe. (2) SCHNITTPUNKT B MIT DER x-achse BESTIMMEN Die Schnittpunkte des Graphen von mit der x Achse haben jeweils die y Koordinate null. Ihre x Koordinaten sind die Nullstellen der Funktion. Die Nullstelle bei 0 ist in der Aufgabenstellung gegeben, gefragt ist nach einer weiteren Nullstelle. 1 50 3 4 0 1 50 3 4 0 0 oder 1 50 3 4 0. Die Stelle 0 ist nicht gefragt. Die weiteren Nullstellen ergeben sich wie folgt: 1 50 3 4 0 50 3 4 150 4 5 2 6. Die Nullstelle bei 6 ist auch nicht gefragt, denn die Funktion wird nur im Bereich 80 für die Modellierung benutzt. Der gesuchte Schnittpunkt des Graphen mit der x Achse hat also die Koordinaten 60. www.learnattack.de 1
(3) DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG PRÜFEN UND PUNKT C FINDEN Die durchschnittliche Steigung des Graphen von im Bereich 80 ist der Quotient aus dem Höhenunterschied zwischen Start und Endpunkt der Schanze und der Länge der Schanze, also Δ Δ 0 4,24 4,24 0,53. 08 8 Somit ist die Angabe korrekt. Anhand von Abbildung 1 kann man erkennen, dass die Steigung von im dargestellten Bereich stetig zunimmt: sie ist zunächst negativ mit Betrag 2, wird im Tiefpunkt des Graphen null und ist im Punkt A positiv mit kleinem Betrag ( 1). Zwischen den Punkten S und B ist die durchschnittliche Steigung 0 4,24 5 4,24 2 6 8 8 5 2,3. 2 6 Somit ist die Steigung im Punkt S kleiner als 2,2 und im Punkt größer als null. Da die Ableitung stetig ist, nimmt sie nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert zwischen 2,3 und 0 an, insbesondere also den Durchschnittswert 0,53. Einen Durchschnittswert für die Steigung über das gesamte Intervall anzugeben, ist nicht sinnvoll, weil der Graph einen Tiefpunkt durchläuft, wo die Steigung ihr Vorzeichen von nach + wechselt. Diese Information geht bei der Angabe des Durchschnittswertes verloren und man kann aus ihr weder das durchschnittliche Gefälle vor dem Tiefpunkt, noch den durchschnittlichen Anstieg nach dem Tiefpunkt ableiten. b) (1) KOORDINATEN DES TIEFPUNKTES BERECHNEN Extremalstellen von sind Nullstellen von, die zuerst bestimmt werden. Es ist 3 1 50 3 4 3 50 3 4, also 0 3 50 3 4 0 3 50 3 4 3 4 50 25 3 2 5 2 2. www.learnattack.de 2
Die Stelle 2 liegt nicht im betrachteten Intervall 8; 0, also kommt nur 2 als Extremstelle in Frage. Wegen 2 3 50 3 ist 25 5 2 2 3 25 5 2 2 3 2 0, 10 also handelt es sich um ein lokales Minimum der Funktion. Der zugehörige Funktionswert ist 5 2 2 1 50 5 2 2 3 4 5 2 2 1 50 125 8 2 23 4 5 2 2 5 15 2 8 8 2 10 8 2 5 4 2. Somit hat der Tiefpunkt des Graphen von die Koordinaten 2 2. (2) ABSPRUNGWINKEL BERECHNEN Gefragt ist nach dem Winkel, den die Tangente an im Punkt mit der x Achse einschließt. Dazu wird die Steigung der Tangente im Punkt benötigt, die durch den Wert der Ableitung an der entsprechenden Stelle gegeben ist: 0 3 4. Der gesuchte Winkel ergibt sich aus der Beziehung tan 3 36,9. 4 Die BMX Fahrer verlassen die Schanze tangential unter einem Winkel von etwa 36,9 zur Horizontalen. c) (1) STAMMFUNKTION ERMITTELN Da für jedes eine Stammfunktion von durch gegebenen ist, ergibt sich mit Hilfe der Linearität unbestimmter Integrale 1 200 3 8 www.learnattack.de 3
als Stammfunktion für 1 50 3 4. (2) AUSZUHEBENDES ERDVOLUMEN BERECHNEN Das Volumen des ausgehobenen Bodenmaterials berechnet sich als Querschnittsfläche der Grube mal Breite der Grube, wobei die Breite der Grube mit der Breite der Sprungschanze übereinstimmt, also 2 m beträgt. Die Querschnittsfläche der Grube entspricht der Fläche, die der Teil des Graphen mit der x Achse einschließt, der unterhalb der x Achse verläuft. Diese Fläche kann mit einem bestimmten Integral über bestimmt werden. Da sie aber unterhalb der x Achse liegt, muss das negative Vorzeichen des Integrals kompensiert werden. Die Integralgrenzen sind die Nullstellen von, also 6 und 0. Somit ist Fläche 5 0 2 6 1 200 5 2 6 3 8 5 2 6 625 36 3 25 6 200 16 8 4 25 9 25 18 2 16 32 225 32 7,03125. 25 25 9 9 18 32 32 Da eine Längeneinheit einem Meter entspricht, beträgt die Querschnittsfläche der Grube genau 7,03125 m 2. Das Volumen des auszuhebenden Bodenmaterials ist also 7,03125 m 2 m 14,0625 m. Es müssen also rund 14,1 m 3 Erde für den Bau der Schanze ausgehoben werden. d) (1) BEDINGUNGEN FÜR h ANGEBEN KNICKFREIER ANSCHLUSS IN A Der Graph der Funktion geht durch den Punkt 0 0 00. Der Anschluss von an ist knickfrei, d. h. die Steigungen beider Funktionen stimmen in A überein 0 0. www.learnattack.de 4
KNICKFREIER ANSCHLUSS IN D Der Graph der Funktion geht durch den Punkt 5 0 5 0. Der Anschluss von an die x Achse ist knickfrei, d. h. die Steigung von in ist gleich der Steigung der x Achse, also gleich null 5 0. h ALS GANZRATIONALE FUNKTION 3. GRADES Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat einen Funktionsterm der Form für geeignete Konstanten,, und. Man setzt also und benutzt die obigen Bedingungen, um geeignete Konstanten zu finden. 0 0 0000 0. 0 0 3 4, wobei 3 2 ist. Die Bedingung lautet also 00 3 4 3 4 3 4. 5 0 5 5 3 4 50 125 25 15 4 0. 5 0 3 5 2 5 3 4 0 75 10 3 4 0 Die Parameter und ergeben sich aus dem linearen Gleichungssystem I: 125 25 15 4 0 II: 75 10 3 4 0 30 15 2 I5 II: 250 375 0 4 125 15 4 0 15 15 4 125 500 3 100 0,03 Einsetzen von in I. liefert www.learnattack.de 5
3 15 125 25 100 4 0 5 3 4 Die Gleichung für lautet demzufolge 3 100 3 10 3 4. 25 15 4 0 25 15 2 15 50 3 0,3. 10 (2) EXTREMWERT DER STEIGUNG BESTIMMEN Gefragt ist nach der Maximalstelle von im Intervall 0; 5. Diese ist entweder ein Maximum von mit nicht negativem Wert oder ein Minimum von mit negativem Wert. Dabei ist 9 100 3 5 3 4, d. h., der Graph von ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit gibt es keine lokalen Maxima im offenen Intervall 0; 5, sondern nur das globale Minimum im Scheitelpunkt bei mit dem Wert 10 3 9 100 100 9 3 5 10 3 3 4 12 3 4 1 4. Das Maximum von im Intervall 0; 5 liegt auf dem Rand. Die beiden Randwerte wurden durch die Bedingungen in (1) festgelegt: 0 3 4 oder 5 0. Der größte Wert von auf 0; 5 ist also 0. Wegen ist somit 0 die Stelle der betragsmäßig größten Steigung des Aufsprunghügels. www.learnattack.de 6