2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 33

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 33 2. Zufallsvariable ud ihre Verteiluge 2.1. Defiitio der Zufallsvariable Defiitio 2.1. Seie (Ω, F) ud (Ω, F ) messbare Räume ud IIP ei Wahrscheilichkeitsmass auf (Ω, F). Eie messbare Abbildug X : Ω Ω heisst Ω - wertige Zufallsvariable. Falls (Ω, F ) = (IR, B(IR)) oder (Ω, F ) = ( IR, B( IR)), sage wir eifach Zufallsvariable. Wir ee IIP X = IIP X 1 die Verteilug vo X. Für eie reelle Zufallsvariable ee wir die Fuktio F X : IR [0, 1], x IIP X [[, x]] die Verteilugsfuktio vo X. Wir schreibe oft X für X(ω). Ist I eie Idexmege, ud Ω = i I Ω i, F = i I F i, ud X = {X i : Ω Ω i : i I} eie Familie vo Zufallsvariable, da ist X eie Ω -wertige Zufallsvariable. Die Verteilug IIP X heisst gemeisame Verteilug vo {X i : i I}. Sei X J = {X j : j J} für J I. Die Klasse der Verteiluge {IIP XJ : J I, edlich} heisst edlich-dimesioale Verteiluge vo X. Sid die Zufallsvariable reell, heisst die Fuktio F X (x) = IIP X [ i I [, x i ]] die (gemeisame) Verteilugsfuktio vo X. Folgedes Resultat wurde i der Eiführug i die Stochastik bewiese. Hilfssatz 2.2. Eie Fuktio F : IR [0, 1] ist geau da eie Verteilugsfuktio, falls F (x) wachsed ud rechtsstetig ist sowie lim x F (x) = 0 ud lim x F (x) = 1 gilt. Defiitio 2.3. falls Eie Familie {A i : i I} vo Ereigisse heisst uabhägig, IIP[ j J A j ] = IIP[A j ] J I edlich. j J Eie Familie vo Megesysteme {E i : i I} heisst uabhägig, falls für jede Wahl vo Ereigisse A i E i die Ereigisse {A i } uabhägig sid. Eie Familie {X i : i I} vo Zufallsvariable heisst uabhägig, falls die Megesysteme σ(x i ) = {{X i B i } : B i F i } uabhägig sid. Seie {X i : i I} relle Zufallsvariable mit (gemeisamer) Verteilugsfuktio F. Für J I edlich bezeiche wir mit F J die edlich-dimesioale Verteilugsfuktio. Da folgt aus der Uabhägigkeit vo {X i }, dass F J (x) = F j (x j ). (2.1) j J

34 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN Nehme wir a, dass für alle edliche J I (2.1) gilt. Da die Mege j J [, x j ] die σ-algebra B( IR J ) erzeuge, folgt, dass die {X j : j J} ud damit {X i : i I} uabhägig sid. Wir ee eie Verteilug absolutstetig, falls für jedes J I edlich eie messbare Fuktio f J existiert, geat Dichte, so dass F J (x) = x1 x f J (y) dy y 1, wobei = J. Da sid alle F j absolutstetig mit Dichte f j (x j ) = y 1 = y j 1 = y j+1 = y = f J (y) dy y j+1 dy j 1 y 1, wobei y j = x j. Es folgt da, dass {X i : i I} geau da uabhägig sid, falls f J (x) = j J f j(x j ) für alle edliche J I. Das folgede Resultat wurde i der Eiführug i die Stochastik bewiese. Propositio 2.4. (Borel Catelli-Lemma) Seie {A i F : i IIN} ud A = k A k (uedlich viele A treffe ei). Da gilt. i) Ist i=1 IIP[A i] <. Da ist IIP[A ] = 0. ii) Ist i=1 IIP[A i] = ud sid die A i uabhägig, da gilt IIP[A ] = 1. Beispiel 2.5. Seie N ud {X i : i IIN} uabhägige Zufallsvariable. N sei Poisso-verteilt mit Parameter λ, das heisst, IIP[N = ] = λ! e λ für IIN. Die {X i } seie uabhägig ud idetisch verteilt. Die Verteilug der Zufallsvariable S = N i=1 heisst zusammegesetzte Poisso-Verteilug. X i

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 35 2.2. Der Erwartugswert ud der Raum L p Sei X eie Zufallsvariable. Der Wert IIE[X] = X diip heisst Erwartugswert der Zufallsvariable X, falls IIE[X] wohldefiiert ist. Da für eie messbare Fuktio f : IR IR f(x) eie Zufallsvariable ist, gilt IIE[f(X)] = f(x) diip = f X diip. Wir sage, f(x) ist itegrierbar, falls das Itegral edlich ist, das heisst, dass f(x) diip <. Wir werde i Zukuft IR f(x) df X(x) für das Itegral f(x) diip schreibe. Besodere Erwartugswerte sid die folgede: p-tes Momet Das p-te absolute Momet ist IIE[ X p ] für p 0. Ist X 0 oder p IIN, da lässt sich auch das p-te Momet µ p = IIE[X p ] defiiere. Existiert das zweite Momet, da ee wir die Variaz. Var[X] = IIE[(X IIE[X]) 2 ] = IIE[X 2 ] IIE[X] 2 Existiere die zweite Momete vo X ud Y, so ee wir Cov[X, Y ] = IIE[(X IIE[X])(Y IIE[Y ])] = IIE[XY ] IIE[X]IIE[Y ] die Kovariaz vo X ud Y. Ma sieht aus der Defiitio, dass Cov[X, X] = Var[X], Cov[X, Y ] = Cov[Y, X], Cov[X, αy + βz] = α Cov[X, Y ] + β Cov[X, Z]. Ist IIE[X] = IIE[Y ] = 0, so erhalte wir aus [( Var[X] Var[Y ] (Cov[X, Y ]) 2 Cov[X, Y ] ) 2 ] = IIE Var[Y ]X Y 0, Var[Y ] dass (Cov[X, Y ]) 2 Var[X] Var[Y ]. Wir defiiere die Korrelatio Cor[X, Y ] = Cov[X, Y ] Var[X] Var[Y ] [ 1, 1]. Aus der biomische Formel erhält ma sofort die Gleichug Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] + 2 Cov[X, Y ]. Sid X ud Y ukorreliert (Cov[X, Y ] = 0), so erhalte wir die eifache Formel Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ].

36 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN Charakteristische Fuktio Die Fuktio ϕ X : IR C, r IIE[e irx ] = IIE[cos rx] + iiie[si rx] ist wohldefiiert ud heisst charakteristische Fuktio. Mometeerzeugede Fuktio Die Fuktio M X (r) = IIE[e rx ] heisst mometeerzeugede Fuktio. Falls X 0, da ist M X (r) < für r 0. Es ka aber sei, dass M X (r) ur für r = 0. Wir habe im komplexe M X (r) = ϕ X ( ir). Laplace-Trasformierte Die Fuktio l X (r) = M X ( r) heisst Laplace-Trasformatio. Erzeugedefuktio Für x > 0 heisst die Fuktio η X (x) = M X (log x) = IIE[x X ] (Wahrscheilichkeits-) Erzeugedefuktio. Sie wird vor allem beutzt, falls IIP[X IIN] = 1. Hilfssatz 2.6. Es gilt für alle itegrierbare Zufallsvariable X IIE[X] = (1 F (x)) dx 0 0 F (x) dx. Beweis. Dies folgt aus dem Satz vo Fubii IIE[X] = = = 0 0 y x df (x) + 0 df (x) dy (1 F (y)) dy x df (x) = 0 y 0 0 F (y) dy. x dy df (x) 0 0 0 0 x df (x) dy dy df (x) Hilfssatz 2.7. Zwei Zufallsvariable X ud Y sid geau da uabhägig, falls für alle messbare beschräkte Fuktioe f ud g gilt, dass IIE[f(X)g(Y )] = IIE[f(X)]IIE[g(Y )]. Beweis. Da f = 1I A ud g = 1I B messbare Fuktioe sid, ist die eie Richtug trivial. Sid X ud Y uabhägig, da gilt die Aussage für f = 1I A ud g = 1I B. Sei H der Raum der messbare Fuktioe f, für die die Aussage mit g = 1I B gilt. H

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 37 ist ei liearer Raum, ethält die Idikator- ud die kostate Fuktioe. Seie u f 1, f 2,... beschräkte Fuktioe aus H mit f 1 f 2, sup f c ud f = lim f. Da ist f (X)1I B (Y ) eie mootoe Folge, ud somit gilt IIE[f(X)1I B (Y )] = IIE[lim f (X)1I B (Y )] = lim IIE[f (X)1I B (Y )] = lim IIE[f (X)]IIE[1I B (Y )] = IIE[f(X)]IIE[1I B (Y )]. Somit ethält H ach Satz 1.21 alle beschräkte messbare Fuktioe. Setze wir u H de Raum der messbare beschräkte Fuktioe g, für die die Aussage für alle messbare beschräkte f gilt. Da folgt aalog, dass H alle messbare beschräkte Fuktioe ethält. Sid u X ud Y uabhägig, so erhalte wir ϕ X+Y (r) = ϕ X (r)ϕ Y (r). Aaloge Aussage gelte für M X (r), l X (r) ud η X (x). Existiere die zweite Momete vo X ud Y, so erhalte wir Cov[X, Y ] = Cor[X, Y ] = 0. Die Umkehrug gilt icht. Ist X eie symmetrische Zufallsvariable, das heisst, F (x) = 1 F (x ) für alle x, so dass IIE[ X 3 ] <, da ist IIE[X] = 0. Setze wir Y = X 2, so ist IIE[XY ] = IIE[X 3 ] = 0 (wege der Symmetrie), ud damit sid X ud Y ukorreliert. Ist aber Y icht determiistisch, da gibt es ei x 0, so dass 1 < IIP[X x 2 0] < 1, ud damit IIP[X > x 0, Y > x 2 0] = IIP[X > x 0 ] IIP[X > x 0 ] 2 = IIP[X > x 0 ]IIP[Y > x 2 0]. Somit sid X ud Y abhägig. Hilfssatz 2.8. Sei IIP[X IIN] = 1. Da ist η(x) uedlich oft i (0, 1) differezierbar ud lim x 1 η() (x) = (faktorielle Momete) ud k(k 1) (k + 1)IIP[X = k] k= lim x 0 η() (x) = IIP[X = ]. Isbesodere ist die Verteilug vo X durch η(x) eideutig festgelegt. Beweis. Dies folgt sofort aus der Theorie der Potezreihe.

38 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN Beispiel 2.9. Sei X eie Zufallsvariable mit IIP[X IIN] = 1 ud setze wir p() = IIP[X = ]. Die Pajer-Klasse sid die Verteiluge, bei dee es Zahle a ud b gibt, so dass ( p( + 1) = a + b ) p(). + 1 Multipliziere wir die Gleichug mit ( + 1)x ud addiere die Gleichuge, erhalte wir ( + 1)x p( + 1) = a ( + 1)x p() + b x p(). =0 Dies köe wir schreibe als also =0 η (x) = (axη(x)) + bη(x), (1 ax)η (x) = (a + b)η(x). Ist a = 0 erhalte wir η(x) = p(0)e bx. Mit Hilfe vo η(1) = 1 fide wir η(x) = e b(1 x). Da e b = η(0) 1, muss b 0 gelte. Aus der Taylorformel erhalte wir die Poisso-Verteilug p() = b e b /!, falls b 0. Ist a 0, erhalte wir η(x) = p(0)(1 ax) (a+b)/a. Also habe wir ( 1 a ) (a+b)/a η(x) =. 1 ax Ist a + b = 0, so ist η(x) = 1, also p(0) = 1 ud p() = 0 für alle 1. Nehme wir also a + b 0 a. Da η(x) für x [0, 1] wohldefiiert ist, muss a 1 gelte. Da η(x) = 0 keie Erzeugedefuktio ist, köe wir auch a = 1 ausschliesse. Da η(x) wachsed ist, folger wir, dass a+b > 0. Wir erhalte aus der Tayloretwicklug ( ) ( ) (a + b)/a + b/a p() = (1 a) (a+b)/a ( a) = (1 a) (a+b)/a a, wobei wir hier de Biomialkoeffiziete als ( ) y y(y 1) (y + 1) =! defiiere. Ist a > 0, ist dies die Negativbiomialverteilug. Ist a < 0, sehe wir, dass p() egativ wird, ausser we 0 = b/a 1 IIN. Wir schreibe da ( ) 0 ( a ) ( 1 ) 0 p() =. 1 a 1 a Dies ist die Biomialverteilug. Ist die mometeerzeugede Fuktio auf eiem Itervall defiiert, da ist auch die Verteilug eideutig festgelegt. Dies werde wir i Propositio 9.3 beweise. =0

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 39 Beispiel 2.10. Fuktio M X (r) = IIE[e rx ] = 1 2π Sei X stadard ormalverteilt. Da ist die mometeerzeugede e rx e x2 /2 dx = 1 2π e (x r)2 /2 dx e r2 /2 = e r2 /2. Ist X ormalverteilt mit Mittelwert µ ud Variaz σ 2, da ist (X µ)/σ stadardormalverrteilt. Also erhalte wir M X (r) = IIE[e rx ] = IIE[e (rσ)[(x µ)/σ] ]e rµ = e rµ+r2 σ 2 /2. Eie mometeerzeugede Fuktio, dere Logarithmus eie quadratische Fuktio ist, gehört somit zu eier Normalverteilug. Die folgede Ugleichuge wurde i der Eiführug i die Stochastik bewiese. Hilfssatz 2.11. (Jeses Ugleichug) Sei X eie Zufallsvariable mit edlichem Erwartugswert ud u : IR IR eie kovexe Fuktio, so dass IIE[u(X)] existiert. Da gilt IIE[u(X)] u(iie[x]). Ist IIP[X = IIE[X]] < 1 ud u(x) strikt kovex, da gilt die strikte Ugleichug. Hilfssatz 2.12. Sei h(x) eie positive wachsede Fuktio. Da gilt h(c)iip[x c] IIE[h(X)]. Isbesodere gelte die Markov-Ugleichug IIP[ X c] c 1 IIE[ X ] ud die Chebychev-Ugleichug IIP[ X IIE[X] c] c 2 Var[X]. Wir erhalte isbesodere: ist X 0 mit IIE[X] = 0, so ist IIP[X c] = 0 für alle c > 0, also IIP[X = 0] = 1. Ist Var[X] = 0, so ist IIP[X = IIE[X]] = 1. Wir sage X L p, falls IIE[ X p ] < für p (0, ). Wir sage X L, falls IIP[ X c] = 1 für eie Kostate c IR. Wir defiiere X p = (IIE[ X p ]) 1/p für p (0, ), ud X = if{c IR : IIP[ X c] = 1}. Aus Jeses Ugleichug folger wir für 0 < q < p <, dass IIE[ X q ] = IIE[( X p ) q/p ] IIE[ X p ] q/p. Daraus folgt, dass X q X p. Es folgt eifach, dass die Aussage auch für p = gilt.

40 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN Hilfssatz 2.13. (Hölder sche Ugleichug) Seie p, q [1, ], so dass p 1 + q 1 = 1, X L p ud Y L q. Da ist XY L 1 ud XY 1 X p Y q. Beweis. Die Aussage ist für p {1, } trivial. Nehme wir also p (1, ) a. Ist X p = 0, so folgt, dass X = 0 (fast sicher). I diesem Fall gilt die Aussage. Wir köe also X p > 0 ud Y q > 0 aehme. Sei zuerst X p = Y q = 1. Da die Fuktio f(x, y) = p 1 x p + q 1 y q xy für x, y > 0 ihr Miimum i f(1, 1) = 0 aimmt, folger wir, dass IIE[ XY ] IIE[ X p /p + Y q /q] = p 1 + q 1 = 1 = X p Y q. Die Aussage gilt also i diesem Fall. Da X/ X p p = 1, folgt u die Aussage im allgemeie Fall. Hilfssatz 2.14. (Mikowski-Ugleichug) Für p [1, ] ud X, Y L p gilt Beweis. X + Y p X p + Y p. Für p = folgt die Aussage aus der Dreiecksugleichug für IR. Sei also p <. Aus X + Y p 2 p ( X p + Y p ) folger wir, dass X + Y L p. Da X + Y X + Y, köe wir X, Y 0 aehme. Wir habe u für q = p/(p 1), X + Y p p = IIE[(X + Y ) p ] = IIE[(X + Y )(X + Y ) p 1 ] ( X p + Y p ) (X + Y ) p 1 q = ( X p + Y p )IIE[(X + Y ) p ] (p 1)/p = ( X p + Y p ) X + Y p 1 p, wobei wir die Hölder-Ugleichug verwedet habe. Dies ist äquivalet zur Aussage. Idetifiziere wir also alle Variable, die fast sicher gleich sid, so habe wir eie ormierte Raum. Wir zeige u als ächstes, dass L p ei Baachraum ist. Propositio 2.15. Sei p [1, ]. Da ist der Raum L p ei Baachraum. Beweis. Wir müsse u och zeige, dass der Raum vollstädig ist. Sei u {X i } eie Cauchyfolge. Sei { k } eie wachsede Folge, so dass X m X k p < k 2 für alle m > k. Setze wir Y k = X k+1 X k. Da ist Y k p Y k p k 2.

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 41 Mootoe Kovergez ergibt, dass IIE[ Y k ] IIE[( Y k ) p ] <. Also ist Y k fast sicher absolut koverget. Es existiert ei Grezwert X = X 1 + Y k vo {X k }. Da X p X 1 p + Y k p <, ist X L p. Sei ε > 0. Da gibt es ei m, so dass k=m k 2 < ε/2. Sei > m. Da ist X X p X X m p + p Y k < m 2 + k=m k 2 < ε. k=m Somit kovergiert X ach X i L p. Damit ist L p vollstädig. Korollar 2.16. Für X, Y L 2 sei (X, Y ) := IIE[XY ]. Da ist (X, Y ) ei Skalarprodukt auf L 2. Der Raum L 2 ist ei Hilbertraum. Beweis. Dass (X, Y ) = (Y, X) ud (X, αy + Z) = α(x, Y ) + (X, Z) ist klar. Aus (X, X) = IIE[X 2 ] 0 folgt die Positivität. Ist (X, X) = 0, so ist IIE[X 2 ] = 0 ud damit X = 0 (f.s). Also habe wir ei Skalarprodukt. Da X 2 = (X, X), wird die Norm auf L 2 vom Skalarprodukt erzeugt. Die Vollstädigkeit habe wir i Propositio 2.15 gezeigt. 2.3. Gesetze der Grosse Zahl Seie {X i } Zufallsvariable ud S = i=1 X i. Satz 2.17. (Schwaches Gesetz der grosse Zahl) mit IIE[X i ] = µ i, so dass sup 1 Var[X i ] <. Sid die {X i } paarweise ukorreliert, da gilt für alle ε > 0 i=1 [ 1 lim IIP ] (X i µ i ) > ε = 0. i=1 Seie X i Zufallsvariable Beweis. Wege der Ukorreliertheit gilt lim Var [ 1 i=1 X i ] = lim 2 Var[X i ] = 0. i=1 Somit folgt die Aussage aus der Chebychev-Ugleichug.

42 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN Folgedes Resultat wurde i der Eiführug i die Stochastik bewiese. Satz 2.18. (Starkes Gesetz der grosse Zahl) Seie {X k } uabhägig mit festem Erwartugswert IIE[X k ] = µ. Weiter gelte eie der folgede Bediguge: i) {X k } seie idetisch verteilt. ii) Es gelte sup k IIE[Xk 4] <. Da gilt IIP[ lim 1 S = µ] = 1. Um das ächste Resultat zu beweise beötige wir Hilfssatz 2.19. b 1 k Seie {Y i } uabhägige Zufallsvariable, so dass IIE[ Y i 2 ] < ud IIE[Y i ] = 0. Sei {b i } eie wachsede Folge vo streg positive Zahle, die gege uedlich kovergiert, so dass b 2 k IIE[Y k 2 ] <. Da kovergiert die Summe Y k fast sicher ud b 1 Y k kovergiert ach 0. Beweis. Sei > m ud A m, (ε) = { k [m, ) : folgt aus der Chebychev-Ugleichug [ IIP[A m, (ε)] ε 2 Var Lasse wir, erhalte wir [ IIP k,, m k <, i=m+1 i=k+1 b 1 i Y i ] = ε 2 i=m+1 i=k+1 b 1 i b 2 i IIE[Y 2 i ]. ] b 1 i Y i > ε lim IIP[A m, (ε/2)] 4ε 2 i=m+1 Y i > ε}. Da b 2 i IIE[Y 2 i ]. Wir köe eie Teilfolge {m k } fide, so dass die Summe über die rechte Seite kovergiert. Nach dem Borel Catelli-Lemma tritt somit das Ereigis auf der like Seite ur für edlich viele m k ei. Es folgt also, dass m b 1 k Y k eie Cauchy-Folge ist, ud daher kovergiert. Sei ρ k = i=k+1 b 1 i Y i, ud r so, dass ρ k < ε für k r. Da habe wir i=1 Y 1 i = ρ + b 1 ρ k (b k+1 b k ) + b 1 b 1 ρ 1. b r ρ k(b k+1 b k ) ud b 1 b 1 ρ 1 ach Mit kovergiere die Terme ρ, b 1 Null. Die restliche Terme sid durch ε beschräkt. Dies beweist de Hilfssatz.

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 43 Propositio 2.20. (0, 2). Da gilt Seie die {X } uabhägig ud idetisch verteilt. Sei p lim 1/p (S a) = 0 (2.2) für eie Kostate a geau da, we IIE[ X p ] <. Falls (2.2) für ei p [1, 2) erfüllt ist, da ist a = µ. Ist p < 1, da ka a beliebig gewählt werde. Beweis. Aus Satz 2.18 folgt, dass a = IIE[X], falls p 1. Ist p < 1, ka a beliebig gewählt werde. Wir ehme daher a = 0 a. Gilt (2.2), da habe wir, dass { X > 1/p } ur edlich oft eitritt. Somit tritt { X p > } ur edlich oft ei. Nach dem Borel Catelli-Lemma muss da IIE[ X p ] IIP[ X p > ] < gelte. =0 Nehme wir u IIE[ X p ] < a. Sei X = X 1I X 1/p ud X = X 1I 1/p. X > Da =1 IIP[ X p > ] IIE[ X p ], tritt ach dem Borel Catelli-Lemma {X 0} ur edlich oft ei. Isbesodere gilt Wir erhalte k 2/p IIE[X k2 ] = lim 1/p = k j=1 j=1 X k = 0. (j 1) 1/p < x j 1/p x 2 df (x)k 2/p (j 1) 1/p < x j 1/p x 2 df (x) k 2/p. Die iere Summe ist durch Cj 2/p+1 beschräkt, wobei C eie geeigete Kostate ist. Also k 2/p IIE[X k2 ] C C j=1 (j 1) 1/p < x j 1/p j ( x j 1/p ) 2 df (x) (j 1/p ) p [F (j 1/p ) F ((j 1) 1/p ) + F ( (j 1) 1/p ) F ( j 1/p )] j=1 C + 2CIIE[ X p ] <. k=j Aus Hilfssatz 2.19 folgt, dass 1/p (S IIE[S ]) 0. Da auch k 2/p IIE[X k] 2 k 2/p IIE[X k2 ] <, folger wir, dass 1/p IIE[S ] 0.

44 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 2.4. Die Laplace-Trasformatio Sei X eie Zufallsvariable. Mit l X (r) = IIE[e rx ] bezeiche wir die Laplace Stieltjes-Trasformatio. Wir ehme u a, dass es ei r 0 gibt, so dass l X (r) <. Nehme wir für de Momet a, dass X 0. Da existiert l X (r) für alle r 0, ud l X (r) ist eie stetige fallede Fuktio. Existiert l X (r) für ei r < 0, so existiert l X (s) für alle s [r, ). Wir erhalte mit Hilfe des Satzes vo Fubii l X (r) = 0 e rx df (x) = 0 x re ry dy df (x) = r 0 e ry F (y) dy. Dies ist eie klassische Laplace-Trasformatio. Ma weiss, dass we zwei Fuktioe die gleiche Laplace-Trasformierte habe, da sid die Fuktioe Lebesgue fast sicher gleich, siehe auch Abschitt 9.1. Da F steiged ud rechtsstetig ist, ist die Verteilug also durch die Laplace Stieltjes-Trasformatio eideutig festgelegt. Diese Aussage gilt auch für X, die auf IR verteilt sid, sofer es ei r 0 gibt, für das l X (r) <. Seie u X ud Y uabhägige Variable. Da erhalte wir l X+Y (r) = IIE[e r(x+y ) ] = IIE[e rx e ry ] = IIE[e rx ]IIE[e ry ] = l X (r)l Y (r). Durch Stadard-Abschätzuge der Expoetialfuktio erhalte wir i der folgede Rechug, dass ma Erwartugswert ud Ableitug vertausche darf. l () X (r) = d l X dr (r) = IIE [ d dr e rx ] = ( 1) IIE[X e rx ]. Also hat ma IIE[X ] = ( 1) l () X (0). Ist N eie diskrete Variable, so habe wir l N (r) = IIE[e rn ] = IIE[(e r ) N ] = η N (e r ). Wir köe also l N (r) mit Hilfe der Erzeugedefuktio ausdrücke. Betrachte wir eie affie Trasformatio Y = a + bx, so folgt sofort, dass l Y (r) = e ra l X (rb). Somit geügt es, Grudtype vo Verteiluge zu betrachte. Wir betrachte u ei paar Beispiele. Expoetialverteilug: Hier erhalte wir eifach die Formel l X (r) = α/(α + r).

2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN 45 Normalverteilug: Für die Stadard-Normalverteilug folgt l X (r) = 1 2π e rx e x2 /2 dx = 1 2π Isbesodere folgt für N(µ, σ 2 ), l X (r) = e rµ+σ2 r 2 /2. Gamma-Verteilug: Hier erhalte wir l X (r) = αγ Γ(γ) 0 e rx x γ 1 e αx dx = αγ Γ(γ) e (x+r)2 /2 dx e r2 /2 = e r2 /2. Γ(γ) ( α ) γ (α + r) =. γ α + r

46 2. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN